CC BY
23Построение бушей мод для нелинейных моноатомных
цепочек
Жуков К.Г., Рябов Д.С., Чечин Г.М. (chechin@phis.rsu.ru)
Ростовский Государственный Университет
Понятие о бушах нормальных мод, как о некоторых новых типах нелинейных возбуждений в динамических системах с дискретной симметрией, было введено в работе [ДАН, т.330, №3, с.308 (1993)], а их общая теория разработана в [Physica D 117, p.43 (1998)]. Буши мод представляют собой инвариантные многообразия, соответствующие подгруппам группы симметрии Гамильтониана исследуемой физической системы. В известном смысле, их можно рассматривать как некоторое обобщение понятия нормальных мод для случая нелинейных систем с дискретной симметрией. Настоящая статья является первой частью серии работ посвященных изучению бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама (FPU) с периодическими граничными условиями. В ней предложен простой кристаллографический метод вывода бушей мод для произвольных моноатомных цепочек и проведена их классификация по подгруппам группы диэдра. Обсуждается построение бушей мод в конфигурационном и модальном пространствах, а также вывод соответствующих им динамических уравнений.
1. Введение
Понятие о бушах (кустах) мод для нелинейных гамильтоновых систем с дискретной симметрией было введено в работе [1]. В зависимости от типа рассматриваемой системы моды могут иметь различный физический смысл. При исследовании колебательных режимов ^-частичных механических систем, к которым относятся рассматриваемые нами сейчас цепочки Ферми-Пасты-Улама, под термином мода (или колебательная мода) можно иметь в виду обычные нормальные моды (НМ), которые вводятся хорошо известным способом в рамках гармонического приближения1. Буши именно таких мод и будут рассматриваться в настоящей работе.
1 Заметим, что обычно удобнее говорить о бушах симметрических мод, которые строятся на основе базисных векторов неприводимых представлений соответствующих групп симметрии, поскольку построение таких мод не требует знания конкретных взаимодействий между частицами системы.
Наиболее просто к идее буша мод можно прийти следующим образом. Нормальные моды являются невзаимодействующими только в гармоническом приближении. При учете же в гамильтониане исследуемой системы ангармонических членов разного вида, НМ перестают быть независимыми друг от друга: возбуждение от одной первоначально возбужденной моды (мы будем в дальнейшем называть ее «корневой» модой) передается и некоторому числу других - «вторичных» - нормальных мод. При этом принципиально важно, что существуют некоторые правила отбора для передачи возбуждения между модами различной симметрии [1], в силу чего возбужденными, в конце концов, оказываются не все моды данной системы, а лишь некоторый вполне определенный их набор. Этот набор, состоящий из корневой моды и всех соответствующих ей вторичных мод, и был назван в [1] бушем мод.
Каждому бушу мод В [С] соответствует некоторая группа симметрии О, которая является подгруппой исходной группы симметрии О0 рассматриваемой системы в состоянии
равновесия. При описанном выше способе возбуждения буша, группа его симметрии О определяется симметрией корневой моды. Можно показать, что независимо от типа нелинейных взаимодействий между атомами системы (и, стало быть, независимо от характера взаимодействий между модами), группы собственной симметрии О}- всех
вторичных мод данного буша В [О] не могут быть ниже группы симметрии его корневой моды О}- ^ О . В работе [1] был описан теоретико-групповой метод нахождения бушей мод,
соответствующих всем подгруппам О исходной группы симметрии О0 . Этот метод является
обобщением аналогичного метода построения так называемого «полного конденсата» первичных и вторичных параметров порядка в теории фазовых переходов, который был развит в работе [2] (см. также [3]).
На буш В[О] можно смотреть как на некоторый динамический объект. Действительно, он представляет собой линейную комбинацию всех входящих в него мод с коэффициентами /л^ (^) (в дальнейшем мы будем называть их «амплитудами» соответствующих мод), которые
явным образом зависят от времени. Если известен гамильтониан системы, для этих амплитуд (^) можно написать систему дифференциальных уравнений, которые определяют
динамику рассматриваемого буша. Таким образом, буш В[О] представляет собой некоторую динамическую систему, размерность которой (т.е., число входящих в данный буш мод / (^) )
во многих случаях оказывается существенно меньше полной размерности исходной физической системы.
Заметим, что одна и та же система дифференциальных уравнений (с точностью до числовых значений входящих в них коэффициентов) может реализоваться как система динамических уравнений бушей мод в самых разнообразных по своей природе физических системах и для самых разнообразных групп симметрии G0. Эта особенность бушей мод
лежит в основе их классификации по некоторым «классам динамической универсальности» [1, 4].
Одним из важнейших свойств буша является то, что энергия первоначального возбуждения оказывается локализованной в данном буше, т. е. она не может передаваться модам ему не принадлежащим. Это является просто следствием определения буша как совокупности всех мод системы, которые будут возбуждены в результате первоначального возбуждения только одной корневой моды.
В строгом математическом смысле, буш мод представляет собой некоторое инвариантное многообразие, определенное из симметрийных соображений и разложенное по базисным векторам неприводимых представлений группы симметрии G0 исходной
нелинейной системы. Физической причиной того, что буш является единым динамическим объектом является то, что его моды связаны друг с другом силовыми взаимодействиями, в то время как со всеми другими модами системы они связаны параметрическими взаимодействиями (см. [5]).
Следует иметь в виду, что, говоря о бушах мод, мы на самом деле подразумеваем симметрийно определенные буши, т.е. такие инвариантные многообразия, которые выделены лишь симметрийными условиями, а не конкретным типом взаимодействий в исходной физической системе. С другой стороны, учет специфики гамильтониана, которая обусловлена не симметрией системы, может привести к дополнительным правилам отбора для передачи возбуждения между различными модами, и, как следствие, к уменьшению размерности данного буша, что будет далее продемонстрировано на примере цепочек FPU. Детальное описание теории бушей мод дано в работе [5]. В ней, в частности, сформулирован и доказан ряд теорем о структуре этих динамических объектов.
Итак, каждый буш мод B[G] представляет собой некоторый точный нелинейный динамический режим, которому соответствует вполне определенная группа симметрии G ^ G0, в силу чего ясно, что различные динамические режимы нелинейной физической
системы можно классифицировать по подгруппам группы симметрии ее равновесного состояния (или группы симметрии ее гамильтониана).
Как уже говорилось, полный комплект мод буша сохраняется во времени (в то время как их амплитуды изменяются). Фактически это является следствием того, что в
соответствие с принципом детерминизма классической механики, симметрия динамической системы не может самопроизвольно понизиться в процессе ее временной эволюции [1, 5]. Тем не менее, при определенных условиях рассматриваемый буш может потерять устойчивость, в результате чего он расширяется до буша большей размерности, и как следствие этого явления, выходящего за рамки классического детерминизма и являющегося аналогом фазового перехода, происходит спонтанное понижение симметрии динамического состояния рассматриваемой физической системы. Этот вопрос подробно исследуется в следующей статье настоящего цикла работ, посвященного колебательным бушам в цепочках FPU.
Принципиальная возможность применения теории бушей мод при исследовании различных физических явлений кратко обсуждалась в [5]. В последующих работах нами были найдены все возможные буши мод малой размерности для широких классов физических систем с точечной и пространственной симметрией. Упомянем здесь нахождение бушей мод для всех возможных систем с точечной кристаллографической симметрией [6, 7], для фуллерена C60 [8], нахождение «неприводимых» бушей мод (и, как следствие этого, так называемых нелинейных нормальных мод Розенберга) для всех 230 пространственных групп [9].
Независимо от развиваемой в вышеуказанных работах теории бушей мод, Погги и Руффо провели исследование динамики цепочки FPU-P, результаты которой были опубликованы в работе [10]. Они обнаружили некоторые «подмножества нормальных мод, в которых энергия возбуждения оказывается локализованной при соответствующем выборе начальных условий» (авторы называют их «подмножествами I-типа»).
В отличие от нашего подхода, проведенное в работе [10] исследование базируется не на симметрийных принципах, а на анализе специфики межатомных взаимодействий в цепочке FPU-p. При этом авторы нашли лишь некоторое число одномерных и двумерных совокупностей мод «I-типа». В работе [11] было показано, что найденные Погги и Руффо совокупности мод являются ничем иным, как бушами мод. Там же с помощью общего теоретико-группового метода, развитого нами в предыдущих работах, были найдены все возможные буши мод для произвольных нелинейных моноатомных цепочек при их классификации по группе трансляций T, а также частично обсуждены буши мод, полученные при классификации по более полной для таких цепочек группе симметрии - группе диэдра D.
Недавно появилась работа Боба Ринка [12], в которой обсуждается симметрийный метод построения инвариантных многообразий для нелинейных моноатомных цепочек. Несмотря на то, что эта работа выполнена совершенно независимо от вышеизложенного
подхода, основанного на концепции бушей мод, и написана в существенно более математизированном стиле по сравнению с аналогичной нашей работой [11], основные идеи, теоретико-групповой метод и результаты, приведенные в работах [11] и [12], оказались весьма близкими друг к другу (напомним, что буши мод представляют собой инвариантные многообразия, разложенные по базисным векторам неприводимых представлений группы симметрии рассматриваемой системы). Ограничившись здесь только этим коротким замечанием, мы вернемся к более подробному сравнению двух вышеуказанных работ в последующих статьях.
В соответствие с математической терминологией, большинство цитированных выше работ посвящено проблеме существования бушей мод. Однако очевидно, что для того, чтобы буши мод можно было рассматривать как реальные физические объекты, необходимо исследовать проблему их устойчивости и способы их возбуждения. Заметим, что если проблема существования бушей мод может быть решена с помощью лишь теоретико-групповых методов независимо от конкретных сил взаимодействия между частицами рассматриваемой физической системы, то проблема исследования их устойчивости уже существенным образом должна опираться на знание таких взаимодействий.
Устойчивость бушей мод в простейших октаэдрических механических системах с потенциалом Леннарда-Джонса была изучена в [13], а в цепочке FPU-a - в работе [11]. Тем не менее, несмотря на результаты, полученные в работах [10] и [11], ряд вопросов устойчивости бушей мод в цепочках Ферми-Пасты-Улама остался неизученным.
В настоящем цикле работ, посвященном цепочкам FPU и состоящим из четырех отдельных статей, представлены результаты исследования устойчивости бушей мод при «идеальных» и «неидеальных» условиях (в частности, при наличии тепловых колебаний, примесей и т.д.) и способы их возбуждения.
2. Буши колебательных мод для моноатомных цепочек
Данная работа является прямым продолжением работы [11], в силу чего мы будем использовать здесь ту же самую терминологию и те же самые обозначения.
2.1. Теоретико-групповые методы построения бушей мод
Рассмотрим произвольную гамильтонову систему с N степенями свободы, которой в ее состоянии равновесия соответствует группа дискретной (точечной или пространственной) симметрии (0. Пусть ^мерный вектор
Х()={х X 2 ((),..., X N (1)
определяет смещения х{ (() (/ = 1, 2, ..., N всех частиц этой системы в момент времени г из соответствующих им положений равновесия.
Как уже говорилось, данному бушу мод В[(] отвечает некоторая подгруппа G исходной пространственной группы симметрии (0 (( ^ (0). Каждому элементу симметрии
g е (0, действующему в трехмерном евклидовом пространстве, можно общепринятым
образом сопоставить оператор действующий в пространстве ^мерных векторов (1):
gX(()= {g 1 х1 ((), g 1Х2((),..., g- XN(г) }. (2)
В силу этого, любой подгруппе G ^ G0 соответствует изоморфная ей группа операторов G:
( = {VgеG }.
В вышеприведенных обозначениях, условие инвариантности «конфигурационного» вектора Х((), соответствующего рассматриваемому бушу В[(], относительно группы ( можно записать в форме ) = Х(() для всех g е ( или в более удобной эквивалентной форме:
(Х( ) = х(г). (3)
Первый и самый непосредственный способ построения буша В[(] состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений (3). В дальнейшем мы будем называть такой метод «прямым» (см. [5], а также [3, 14]). Заметим, что аналогичный метод был использован в [11] для построения базисных векторов неприводимых представлений группы симметрии (0 = Т . Для столь простой механической системы, каковой является моноатомная цепочка,
прямой метод достаточно легко дает явный вид искомого буша мод с группой симметрии ( (именно такой метод, правда в несколько иных терминах, был использован в работе Боба Ринка [12]). При построении бушей мод для достаточно сложных физических систем, например, для кристаллов, у которых в примитивной ячейке имеется большое число атомов
разных сортов, вышеуказанный метод может оказаться весьма сложным. Поэтому вместо него в работе [14] был предложен метод «расслоения орбит» исходной пространственной группы симметрии G0, которое происходит в результате понижения симметрии G0 ^ G
(подробное описание этого метода можно найти в [3]). Наконец, третий метод, в отличие от двух вышеупомянутых, имеющих чисто кристаллографический характер, основан на использовании разложения конфигурационного вектора X(t) по базисным векторам неприводимых представлений группы G0. Именно этот метод в сложных случаях является
наиболее эффективным, и он использовался нами наиболее часто (см. [1, 4-9, 11, 13].
Несмотря на то, что все три вышеупомянутых метода являются эквивалентными друг другу в геометрическом смысле, последний из них дает, вообще говоря, дополнительную физическую информацию. Действительно, представление буша в форме суммы вкладов от индивидуальных неприводимых представлений, позволяет тем самым выделить его составляющие (моды), которые обладают разными трансформационными свойствами по отношению к преобразованиям группы симметрии G0 . Но, как известно, при рассмотрении
конкретных физических явлений эти составляющие могут играть существенно различную роль. Например, одни из них могут быть активными в экспериментах с инфракрасным излучением, другие при комбинационном рассеянии света, а многие оказываются вообще неактивными в каких-либо оптических экспериментах, но проявляются при нейтронографических экспериментах и т.д. Мы вернемся к рассмотрению этого вопроса в третьей части настоящего цикла работ при обсуждении способов физического возбуждения бушей мод в цепочках FPU. Метод построения бушей мод на основе анализа неприводимых представлений исходной группы симметрии подробно описан в работе [5] для самого общего случая, а в работе [11] - для моноатомных цепочек. В связи с этим ограничимся здесь лишь несколькими краткими замечаниями, необходимыми для дальнейшего изложения.
Поскольку полный набор базисных векторов неприводимых представлений, построенных на атомных смещениях, образует базис механического (колебательного) представления, то можно сначала найти соответствующий данному бушу B[G] конфигурационный вектор X(() (например, с помощью прямого метода или метода расслоения орбит), после чего уже разложить этот вектор по базисным векторам (модам) индивидуальных НП группы симметрии G0 . В случае моноатомной цепочки мы приходим, таким образом, к формуле (14) из работы [11]:
N-1 N-1
X(() = ((Урк =Z V ((Vk . (4)
k=0 k=0
В зависимости от удобства, мы можем использовать либо разложение вектора Х(г) по комплексным модам рк, либо по действительным модам у/к (к = 0, 1, ..., N-1). Явный вид базисных векторов рк и у/к приведен в [11].
Заметим, что в третьем из упомянутых методов построения бушей мод делается как раз наоборот: сначала находятся отдельные составляющие буша (в случае моноатомной цепочки это просто отдельные слагаемые в формуле (4)), относящиеся к различным НП, а уже после этого по ним восстанавливается конфигурационный вектор Х(г).
В силу простоты рассматриваемой сейчас механической системы - моноатомной цепочки - в данной работе мы будем находить векторы Х(г) для бушей мод с помощью простого геометрического метода, после чего делать их разложение по базисным векторам неприводимых представлений группы трансляций Т в соответствие с формулой (4), что равносильно разложению Х(() по обычным нормальным координатам.
2.2. Построение бушей мод для нелинейной моноатомной цепочки
Мы будем рассматривать состоящие из N одинаковых атомов цепочки с периодическими граничными условиями, полагая тем самым, что в любой момент времени
XN+1 (()= X, ^) . (5)
В состоянии равновесия такая цепочка инвариантна относительно группы трансляционной симметрии Т. Генератором этой группы является оператор сдвига а на постоянную а одномерной решетки, образованной атомами рассматриваемой цепочки:
Т = { Д а а€2,..., €-1 }, € = Е (6)
Здесь Е - единичный элемент, а N - порядок группы Т, который, очевидно, равен числу атомов цепочки.
Оператор а генерирует циклическую перестановку всех частиц цепочки, в силу чего его действие на ^мерный конфигурационный вектор Х(г) имеет вид
а€Х(() ЕЕ а{ X x2 (), XN-l (( XN () }= { XN (), X1 (), X2 (), ^-1 () } . (7)
Полная группа симметрии моноатомной цепочки содержит также инверсию € по отношению к ее центру
€Х(() - 3 X ((), X2 ((), XN- ((), XN ) } = { - XN ), - XN- - X2 ), - X! (() }, (8)
а следовательно, и все возможные произведения целых трансляций € (к = 1, 2, ..., #-1)
на инверсию Эту так называемую группу диэдра Б можно записать в виде прямой суммы двух классов смежности по ее подгруппе целых трансляций Т:
Б = Т 0 Т ■ £ (9)
Таким образом, неабелева группа Б порождается двумя генераторами и € и может быть полностью задана следующими тремя определяющими соотношениями:
= 3, € = 3, €€ = (10)
Как и в работе [11], мы рассмотрим прежде всего частный случай N = 12, имея в виду, что на этом примере можно проиллюстрировать все наиболее существенные моменты построения и анализа бушей колебательных мод.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию элементов группы Б. Прежде всего заметим, что в одномерном случае действие инверсии эквивалентно отражению & в плоскости перпендикулярной к цепочке. Воспользуемся известной теоремой кристаллографии, которая утверждает, что плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция на величину А порождают новую («вставленную») плоскость симметрии2, параллельную исходной плоскости и отстоящую от нее на расстояние А/2. Тогда легко
видеть, что произведение = &к & при нечетных значениях к порождает плоскости отражения, проходящие через атомы, а при четных к - плоскости, проходящие между атомами'. На рисунке 1 показан фрагмент цепочки около ее середины. Вертикальными отрезками изображены плоскости отражения а€к&, которые и определяют положения инверсионных элементов $$ (для упрощения рисунка шляпки над операторами опущены).
Из определяющих соотношений (10) имеем = $6Тк = -к, в силу чего легко видеть, что элементы симметрии располагаются справа от центра цепочки, а элементы - слева от него.
2 Для случая трехмерных кристаллов, фигурирующие в этой теореме плоскости симметрии могут быть не только плоскостями зеркального отражения, но и плоскостями скольжения разного типа.
3 Это утверждение соответствует четному значению N. В случае нечетности N будет наоборот.
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1 62 5 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/137.pdf 33
1а 1а а1 а I
га4
¡а2
а2г
а4г
Рис.1. Расположение элементов симметрии группы диэдра Б для моноатомной цепочки с
N = 12 (фрагмент около середины цепочки).
Рассмотрим теперь все возможные подгруппы группы симметрии диэдра G0 = Б для
случая N = 12. Каждой из этих 32 подгрупп 0}. отвечает свой буш колебательных мод ],
и все они выписаны в первом столбце Таблицы 1. Каждая из подгрупп определяется набором своих генераторов4, которые записаны в квадратных скобках, причем есть подгруппы, которые задаются одним и двумя генераторами.
Например, запись В [а4] определяет буш с циклической группой третьего порядка,
которая состоит из трех чисто трансляционных элементов: Да4,а8 (с учетом того, что
а12 = Е). Наличие такой симметрии у колебательного состояния цепочки означает, что полный набор двенадцати атомных смещений можно разбить на три идентичных «блока», каждый из которых в кристаллографии принято называть расширенной элементарной ячейкой (РЭЯ). Таким образом, в нашем примере размер РЭЯ (4а) в четыре раза превышает размер элементарной ячейки (а) для цепочки в состоянии равновесия и, следовательно, в этой РЭЯ находятся 4 атома. Поскольку никаких других симметрийных ограничений на возможный набор атомных смещений нет, то колебательное состояние для случая N = 12, которое и определяет буш с группой симметрии G = {а4 }, в любой момент времени I можно записать в форме
Х() = { X (), X (), Xз (), X4 () | X (), X (г), Xз (г), X4 (г) | х (г), х (г), х (г), X4 () }. (11)
4 Имеется в виду описание группы с помощью минимально возможного количества порождающих элементов -
генераторов.
Буши колебательных мод для моноатомных цепочек с N = 12 в терминах атомных
смещений
Буш Атомные смещения Размерность буша
В[Е] * Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7, Х^, Х9, Х10, Хц, Х12 11
В[а] Х1 0
В[а2] * Х1, Х2 1
В[а2,/] Х1, -Х1 1
В[а ,т] 0, 0 0
В[а3] * Х1, Х2, Х3 | 2
В[а3,/] * 1 Х1, 0, -Х1 | 1
В[а ,т] | 0, Х1, -х1 | 1
В[а3,а2/] Х1, -Х1, 0 1
В[а4] * Х1, Х2, Х3, Х4 3
В[а4,/] * | Х1, Х2, -Х2, -Х1 | 2
В[а4,а2/] Х1, -Х1, Х2, -Х2 2
В[а4,а/] * | 0, Х1, 0, -Х1 | 1
В[а4,а3/] Х1, 0, -Х1, 0 1
В[а6] * Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6 5
В[а6,а/] * | 0, Х1, Х2, 0, -Х2, -Х1 | 2
В[а6,а3/] | ХЬ 0, -Х1, Х2, 0, -Х2 | 2
В[а6,а5/] Х1, Х2, 0, -Х2, -Х1, 0 2
В[а6,/] * | Х1, Х2, Хз, -Хз, -Х2, -Х1 | 3
В[а6,а2/] | Х1, -Х1, Х2, Хз, -Хз, -Х2 | 3
В[а6,а4/] Х1, Х2, -Х2, -Х1, Х3, -Х3 3
В[а/] * | 0, x1, x2, x3, Х4:> Х5:> 0, -Х5, -x4, -x3, -x2, -Х1 | 5
В[а3/] | Х1, 0, -Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, 0, -Х5, -Х4, -Х3, -Х2 | 5
В[а5/] x1, x2, 0, -x2, -x1, x3, x4, Х5:> ° -Х5, -x4, -Х3 5
В[а7/] | Х1, Х2, Х3, 0, -Х3, -Х2, -Х1, Х4, Х5, 0, -Х5, -Х4 | 5
В[а9/] | Х1, Х2, Х3, Х4, 0, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1, Х5, 0, -Х5 | 5
В[а11/] Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, 0, -Х5, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1, 0 5
В[7] * | Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, -Х6, -Х5, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1 | 6
В[а2/] ХЬ -Х1, x2, x3, x4, Х5:> x6, -x6, -Х5, -x4, -x3, -Х2 6
В[а4/] | Х1, Х2, -Х2, -Х1, Х3, Х4, Х5, Х6, -Х6, -Х5, -Х4, -Х3 | 6
В^6/] | Х1, Х2, Х3, -Х3, -Х2, -Х1, Х4, Х5, Х6, -Х6, -Х5, -Х4 | 6
В[а8/] | Х1, Х2, Х3, Х4, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1, Х5, Х6, -Х6, -Х5 | 6
В[а10/] Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, -Х5, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1, Х6, -Х6 6
Примечание: Размерность бушей мод указана с учетом исключения составляющей движения системы как целого. В частности бушу В [а] отвечает одновременное смещение всей цепочки на расстояние х1, в силу чего он исключается из числа колебательных бушей (его размерность равна нулю).
Для краткости, в Таблице 1 мы ограничиваемся записью атомных смещений только в пределах одной РЭЯ и не указываем в явной форме зависимость этих смещений от времени. Размерность найденного буша (11) равна 4, поскольку соответствующий ему динамический режим полностью характеризуется четырьмя динамическими переменными x1 ((), X2 (г), X,, (() и X 4 (().
Четыре последующие подгруппы из Таблицы 1 - {я4,€}, О4,а€}, {,а2€} и {,а3Я}-
имеют тот же самый трансляционный генератор а4 и, следовательно, такой же размер РЭЯ -4а. Однако, наличие второго генератора, из-за чего она становится группой шестого порядка, приводит к некоторым дополнительным ограничениям на допустимые атомные смещения x1 ((), x2(), X,. () и x4(г) в пределах РЭЯ (см. формулу (11)). В результате размерность
соответствующих им бушей мод уменьшается по сравнению с размерностью 4 буша (11). Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Группа {я4,€} состоит из следующих шести элементов:
Е, а4, а8, а4 а8 € - Ш4.
Соответствующая ей диаграмма элементов симметрии, аналогичная той, которая изображена на Рис. 1 для полной группы диэдра, имеет вид:
Xl
га4
РЭЯ (4а)
X2
Xз
X4
а4 г
Рис.2. Колебательный буш, соответствующий подгруппе
Элементы симметрии, расположенные на концах РЭЯ (Ю4 и очевидно, не дают
никаких дополнительных ограничений на набор атомных смещений внутри РЭЯ, поскольку связывают между собой смещения в соседних расширенных элементарных ячейках5. С
5 Равенство же одноименных смещений в соседних РЭЯ и без этого обеспечивается наличием трансляционного
генератора а€.
другой стороны, наличие инверсии (€) в середине РЭЯ означает требование равенства по величине и противоположности по направлению смещений атомов, которые расположены симметрично относительно центра РЭЯ:
1(()=- x 4 ( ), x 2(() = - Xз ().
(12)
В результате набор атомных смещений, соответствующих подгруппе 6 = {,€}, имеет
вид
Х(( )=
{ X ((), X2 ((), - X2 ((^ - X1 (() ) X ((), X2 (), - X2 (), - X1 () | X (), X2 (), - X2 ((^ - X1 (() } . (1 3)
Поскольку соотношения (12) сохраняются в любой момент времени, мы здесь и далее будем опускать аргумент I при записи формул типа (11) и (13), и говорить, что в Х-пространстве колебательный буш, отвечающий подгруппе {4,€} имеет вид | x1, x2, - x2, x1 |. В Табл. 1 каждый буш описывается лишь набором соответствующих ему
атомных смещений в пределах одной РЭЯ. Аналогично, для буша с подгруппой
{, а} Е, а4, а8, а€, а5 Я- ¡а7, а9 € - №
мы получим диаграмму, изображенную на Рис. 3.
РЭЯ (4а)
Xl = 0
X2
Xз = 0
¡а3
аг
x4
Рис.3. Колебательный буш, соответствующий подгруппе 6 ={
В связи с наличием двух элементов симметрии Ш3 и О^, которые проходят через первый и третий атомы, ясно, что этим атомам должны соответствовать нулевые смещения: x1 - 0, x3 - 0. Кроме того, из этой же диаграммы видно, что атомы 2 и 4, расположены
симметрично относительно позиции элемента О6 (эквивалентного по своему действию
отражению в соответствующей плоскости симметрии!) и, следовательно, есть еще одно ограничение на возможные атомные смещения: X2 - -X4 .
Из вышесказанного ясно, что мы имеем в рассматриваемом случае следующий одномерный буш:
Х() = { 0, ^^^), 0, - x(t) | 0, x(t), 0, - x(t) | 0, x(t), 0, - x(t) }, (14)
где x(t) есть его единственная динамическая переменная. В краткой записи, приведенной в Таблице 1, этот буш имеет вид:
| 0, X, 0, - X |.
Диаграмма для буша, соответствующего подгруппе
6={,0€2€}- Д а4, а8; 0€2¡€ аб€- ¡О6, а10€- ¡О2
приведена на Рис. 4.
Xl
РЭЯ (4а)
X2
Xз
x4
¡а2
а21
Рис.4. Колебательный буш, соответствующий подгруппе 6 = {, а2 €}.
В силу наличия инверсионных элементов (плоскостей отражения) между двумя первыми и двумя последними атомами в РЭЯ, смещения атомов удовлетворяют следующим соотношениям:
X (()=- x 2 ( ), x 4 (() = - xз().
В результате мы приходим к двумерному бушу вида:
Х(( ) =
{ Xl((), - X ((), Xз((), - Xз((^ X ((), - Xl(), Xз(), - Xз() | Xl(), - Xl(), Xз((), - Xз(() }, (15)
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1630 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/137.pdf
которому соответствуют две динамические переменные Х1 (V) и Х3 (V). В Таблице 1 этому бушу отвечает запись6:
Х1 , Х1, Х2 , Х2 •
И наконец, для буша, соответствующего подгруппе
О = {, а3€} Д £4, £8; € €, € €€5, £п€ = \
имеем диаграмму, приведенную на Рис.5.
Х1
РЭЯ (4а)
Х2 = 0
Х3
га
ссЧ
Рис.5. Колебательный буш, соответствующий подгруппе
Наличие двух плоскостей, которые проходят через второй и четвертый атомы РЭЯ, приводит к условию неподвижности этих атомов: Х2 (V ) = 0, Х4 (V ) = 0.
Атомы же с номерами 1 и 3, расположенные симметрично относительно первой плоскости отражения (элемент симметрии гй), могут иметь только одинаковые по величине, но противоположные по направлению смещения Х1 (V) = - Х3 (V).
Таким образом, соответствующий подгруппе буш является одномерным и
имеет вид:
х() = { х((), 0, - х((), 01 х(г), 0, - х(г), 01 х(г), 0, - х(г), 0 }, (16)
а в Таблице 1 ему отвечает запись | х, 0, - х, 0 |.
Итак, мы рассмотрели вывод бушей мод для всех пяти подгрупп О группы О0 = Б, у
которых размер РЭЯ равен 4а. Заметим, что других подгрупп с той же самой РЭЯ в рассматриваемом нами случае N = 12 не может быть в силу того, что второй генератор имеет
6 Очевидно, изменение нумерации динамических переменных является несущественным.
вид ак€ с показателем к в интервале 0 < к < 4. Действительно, любая степень к > 4 может быть приведена к этому интервалу добавлением или вычитанием заведомо целой трансляции О4, которая является первым генератором этих подгрупп.
Совершенно аналогичным образом, исходя из чисто симметрийных соображений, были найдены и все другие буши из Таблицы 1. Эта таблица содержит колебательные буши, отвечающие всем 32 подгруппам группы диэдра для N = 12, в частности, и те, которые являются эквивалентными друг другу в динамическом смысле (мы называем их «динамическими доменами» по аналогии с соответствующим термином из теории фазовых переходов). Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Все перечисленные в Таблице 1 подгруппы О группы диэдра Б являются различными в кристаллографическом смысле, но среди них есть взаимносопряженные, а согласно общей теории бушей мод именно таким подгруппам и отвечают динамические домены. Напомним, что две подгруппы 61 и 62 группы 60 называются сопряженными друг другу, если в группе
О0 найдется хотя бы один элемент g0, который переводит их друг в друга в результате
преобразования вида
О2 = g0-(1 g0 ((0 е О). (17)
Мы будем записывать условие сопряженности (17) в форме О2 ~ О1.
Из рассмотренных нами выше четырех подгрупп шестого порядка вида {О4,Ок 1} попарно сопряженными оказываются те подгруппы, у которых показатели к, входящие во второй генератор, имеют одинаковую четность:
{, а€}~ {а4, а3€} и { €}~ {а4, а2 €}. (18)
Проверим первое из этих соотношений. Для него в формуле (17) можно положить = О и, таким образом, нужно доказать справедливость равенства
{, а€}= а-1 • {, а3€}} (19)
Имеем
( = {, а} Д, а4, а8, а€, а5€, а9 Я, 62 = {, 0€3€}= Д, а4,а8,а3 а7 ап€
(20)
В результате преобразования (17) с учетом определяющих соотношений = О О12 = Д (см. формулу (10)), получим
& 1 (€)& = Йй = ¿£-1г€= &11€,
С- (&5€)& = С4 €€ = С4 а-1€ = &3€, (21)
С-1 (&€ €)& = с€ Й€ = С8 &-1€ = С7 €
Из этих соотношений с учетом того факта, что С-1 €т& = € для любого значения т, ясно, что полный набор элементов группы Ог в результате преобразования с€-1О1 & переходит в полный набор элементов группы О 2, ч.т.д.
Сравним теперь буши мод, соответствующие этой паре взаимно сопряженных подгрупп, т.е. формулы (14) и (16). Видно, что если сдвинуть на единицу нумерацию атомов и учесть периодические граничные условия, то набор атомных смещений (14) перейдет в набор атомных смещений (16). Соответственно, явный вид динамических уравнений для любой моноатомной цепочки для бушей (14) и (16) будут иметь совершенно одинаковый вид. Именно такие буши мы и называем доменами одного и того же буша.
Совершенно аналогично, динамическими доменами являются и двумерные буши (13) и (15), соответствующие взаимно сопряженным подгруппам &4, €} и {, а€ €}. В Таблице 1 есть много разных динамических доменов, например, буши, отвечающие подгруппам {€}, {с2€}, {с4€}, {с6€}, {&8€} и {с10€} являются доменами одного и того же шестимерного буша, а буши, отвечающие подгруппам {С&}, {С?€}, {&5€}, {С7€}, {а?€} и {&11€} суть домены одного и того же пятимерного буша. Разумеется, при исследовании динамических свойств бушей мод, в частности, их устойчивости, достаточно рассмотреть только один из доменов этого буша.
Согласно Таблице 1, для нелинейных моноатомных цепочек с N = 12 имеется 12 существенно различных бушей колебательных мод: они помечены в первом столбце этой таблицы значком * после символа буша. В их число входит и тривиальный 12-мерный буш, симметрия которого определяется лишь одним тождественным элементом (и которая не накладывает никаких ограничений на 12 возможных атомных смещений.
Заметим, что, в принципе, не всем подгруппам группы симметрии исходной физической системы могут соответствовать колебательные буши. В случае моноатомных цепочек таким
исключением являются подгруппа {, &€}, которая требует неподвижности обоих атомов в
РЭЯ размером 2а, поскольку через них проходят плоскости отражения (инверсионные
элементы и
В заключение подчеркнем еще раз, что каждый буш получается из соответствующего «чисто трансляционного» буша с группой симметрии О€к (к = 1, 2, 3, 4, 6, 12 = 0)7 наложением дополнительных ограничений на атомные смещения в пределах РЭЯ размером ка, которые возникают за счет наличия некоторых инверсионных элементов из класса
смежности Т •€ в формуле (9). Отсюда ясно, что любой буш с трансляционной симметрией Ок}, найденный для случая N = 12, автоматически является бушем и для всех других значений N для которых число к является делителем. На этой идее основан способ нахождения бушей мод малой размерности для моноатомных цепочек, состоящих из произвольного числа атомов.
В дальнейшем мы будем говорить о бушах колебательных мод из Таблицы 1 как о бушах, заданных в Х-пространстве, поскольку они определены явным образом через наборы смещений всех атомов цепочки в произвольный момент времени. С другой стороны, называя эти объекты термином «буши мод» мы имеем в виду, что их можно представить в виде суперпозиции некоторого числа нормальных мод для рассматриваемых нами моноатомных цепочек. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
В работе [11] мы использовали нормальные моды как в комплексной ((рк), так и
действительной (\ук ) форме, причем, последняя форма была полностью идентичной таковой из работы [10]:
WK =■
1
4N
sin
G 2nk ~N~
-n I + cos
G 2nk
N
nI
n = 1, 2,..., N
(22)
Здесь индекс k (k = 0, 1, 2, ..., N-1) есть номер моды, а индекс N - номер атома. В настоящей работе используются лишь действительные нормальные моды \ук .
Фактически, формула (22) определяет лишь базисные векторы соответствующих неприводимых представлений (НП) группы диэдра, а истинные нормальные моды получаются из них умножением на временные множители sin(cokt + Sk) , где cok - частота
k-й нормальной моды, а Sk - начальная фаза. Поскольку полный набор векторов у/к (k = 0, 1, 2, ..., N-1) образует базис в пространстве всех возможных атомных смещений, конфигурационный вектор X(() для любого динамического режима рассматриваемой
7 Возможные значения к являются делителями числа атомов в цепочке (Ы). Таким образом, для случая простых N существует только один тривиальный буш с симметрией (см. [11]), размерность которого равна N.
нелинейной цепочки можно разложить по этому базису с зависящими от времени коэффициентами /ик (():
N-1
) = Е ^ ((?к . (23)
к=0
В связи с этим мы будем в дальнейшем понимать под термином «моды» произведения базисных векторов у/к на зависящие от времени функции /ик (V), для которых далее получим соответствующие системы динамических уравнений. Лишь в частном случае чисто гармонических колебаний функция /ик (V) может оказаться равной фигурирующему в
определении нормальной моды «временному» множителю ът(ак1 + 5к ).
Более того, для краткости мы часто называем модой не только произведение /ик (V ?к,
но и сами временные множители /ик (V), которые становятся новыми динамическими
переменными после преобразования (23).
В соответствие с вышесказанным, буш можно определить не набором соответствующих ему атомных смещений хг (V), а набором функций /ик ((). В последнем
случае мы будем говорить о буше, определенном в модальном пространстве.
В качестве примера рассмотрим модальное представление для буша, который в терминах атомных смещений имеет вид (13).
Поскольку для него размер РЭЯ равен 4а, очевидно, что в разложении соответствующих ему атомных смещений по полному набору из 12 базисных векторов (напомним, что мы рассматриваем случай N = 12) будут участвовать только те из них, которым отвечает РЭЯ того же самого размера. Таким образом, нам заведомо достаточно учитывать только базисные векторы с трансляционной симметрией С€, и С4, поскольку для всех них можно выбрать общую РЭЯ размером 4а. Иными словами, для реализации вышеуказанной цели можно рассмотреть лишь «приведенную» моноатомную цепочку из четырех атомов. Она порождает три идентичных блока смещений (РЭЯ), из которых построен набор атомных смещений для буша В[&4,€] в полной цепочке из 12 атомов. Зная явный вид базисных векторов (22), нетрудно получить следующий результат:
В[&4, €] =
= { х, ((), х2 ((), - х2 ((), - х (() | х, ((), х2 ((), - Х2 ((), - х, (() | х ((), Х2 ((), - х2 ((), - х (() }= (24)
= Д( >?/ 2 V3 N/4.
Динамический домен этого буша В[&4, € €] имеет следующее модальное представление:
в[а4, €] = ((^ 2 + ~ (( Ут^ 4.
Таким образом, в разложении этого двумерного буша из N базисных векторов входят только два вектора
ТN2 (-1,1, -1,1, -1,1, -1,1, -1,1, -1,1 )
и (25)
ТN4 (-1, -1,1,1, -1, -1,1,1, -1, -1,1,1 )
Между новыми динамическими переменными /и({) и у() и старыми динамическими переменными х1 (() и х2 ) из формул (24), (25) получается следующая связь:
^ [1 ((х 2 ((У
N (26)
у(( ) = [Х1(() + Х2((Я
Очевидно, что запись буша В[О4,€] в форме (24), (25) является справедливой не только для N = 12, но и для любой другой моноатомной цепочки, у которой количество атомов N является числом кратным четырем.
Как уже говорилось, все вторичные моды буша В [С] имеют симметрию не ниже симметрии С корневой моды. В этом смысле можно утверждать, что корневая мода имеет минимальную симметрию из всех мод рассматриваемого буша. Выбор корневой моды буша может оказаться неоднозначным в том случае, если среди его мод есть несколько разных мод, имеющих одну и ту же минимальную симметрию. Более того, существуют случаи, когда среди мод буша В [С] нет ни одной моды, симметрия которой характеризуется группой С. Для возбуждения такого буша необходимо в начальный момент времени возбудить уже не одну, а две или более мод, таких, что пересечение групп их собственной симметрии равно группе С рассматриваемого буша.
В случае буша В[О4, £] корневой является мода у(), поскольку трансляционная
симметрия соответствующего ей базисного вектора равна О4, а моде ) отвечает базисный
вектор с более высокой трансляционной симметрией О2, что непосредственно видно из формул (25).
В Таблице 2 для случая N = 12 приведен явный вид всех колебательных бушей в модальном пространстве. Фактически, Таблицы 1 и 2 дают геометрическое описание бушей мод. Для того, чтобы составить о них представление как о некоторых динамических
объектах, необходимо записать уравнения движения для соответствующих динамических переменных (в обычном или в модальном пространстве). Наиболее просто это сделать с помощью уравнений Лагранжа второго рода (см. [13]).
Таблица 2.
Буши колебательных мод для моноатомных цепочек с N = 12 в модальном
пространстве
Буш Разложение буша по базисным векторам (нормальным координатам)
В[Е] Vlфl+V2ф2+Vзфз+V4ф4+V5ф5+V6ф6+V7ф7+V8ф8+V9ф9+Vl0фl0+Vllфl1
В[а2а/] (=В[а]) 0
В[а2/] (=В[а2]) Vф6
В[а3] Vlф4+V2ф8
В[а3,/] V(8lф4+82ф8)
В[а ,а/] V(82ф4+8lф8)
В[а3,а2/] V8з(ф4-ф8)
В[а4] Vlфз+V2ф6+Vзф9
В[а4/] Vlф9-V2ф6
В[а4а2/] Vlфз+V2ф6
В[а4а/] V8з(фз+ф9)
В[а4а3/] V8з(фз-ф9)
В[а6] Vlф2+V2ф4+Vзф6+V4ф8+V5фl0
В[а6,/] Vl(-8lф2+82фlo)+V2(-8lф4-82ф8)+Vзф6
В[а6,а2/] Vl8з(ф2+фlo)+V28з(-ф4+ф8)-Vзф6
В[а6,а4/] Vl(82ф2-8lфlo)+V2(82ф4+8lф8)+Vзф6
В[а6,а/] Vl(8lф2+82фlo)+V2(-82ф4-8lф8)
В[а6,а3/] Vl(82ф2+8lфlo)+V2(8lф4+82ф8)
В[а6,а5/] Vl8з(ф2-фlo)+V28з(ф4-ф8)
вИ Vl(-84фl+85фll)+V2(8lф2-82фlo)+Vзф3+V4(-8lф4-82 ф8)+V5(84ф5+85ф7)-V6ф6
В[а2/] Vlфl1-V28з(ф2+фlo)+Vзф9+V48з(-ф4+ф8)-V5ф5+V6ф6
В[а4/] Vl(84фl+85фll)+V2(-82ф2+8lфlo)-Vзфз+V4(82ф4+8lф8)+V5(-84ф5+85ф7)-V6ф6
В[а6/] Vl(85фl+84фll)+V2(-8lф2+82фlo)-Vзф9+V4(-8lф4-82ф8)+V5(85ф5-84ф7)+V6ф6
В[а8/] Vlфl+V28з(ф2+фlo)+VзФз+V48з(-ф4+ф8)-V5ф7-V6ф6
В[а10/] Vl(85фl-84фll)+V2(82ф2-8lфlo)+Vзф9+V4(82ф4+8lф8)+V5(85ф5+84ф7)+V6ф6
В[а/] Vl(-8lфl+82фll)+V2(-8lф2-82фlo)+Vз8з(фз+ф9)+V4(-82ф4-8lф8)+V5(82ф5-8lф7)
В[а3/] Vl(8lфl+82фll)+V2(-82ф2-8lфlo)+Vз8з(фз-ф9)+V4(8lф4+82ф8)+V5(-82ф5-8lф7)
В[а5/] Vl8з(фl+фll)+V28з(-ф2+фlo)-Vз8з(фз+ф9)+V48з(ф4-ф8)+V58з(ф5+ф7)
В[а7/] Vl(82фl+8lфl)+V2(8lф2+82фlo)+Vз8з(-фз+ф9)+V4(-8lф4-82ф8)+V5(-8lф5-82ф7)
В[а9/] Vl(82фl-8lфll)+V2(82ф2+8lфlo)+Vз8з(фз+ф9)+V4(8lф4+82ф8)+V5(-8lф5+82ф7)
В[а11/] Vl8з(фl-фll)+V28з(ф2-фlo)+Vз8з(фз-ф9)+V48з(ф4-ф8)+V58з(ф5-ф7)
Примечание: Здесь введены обозначения 81 = $т(ж/12) =-\/2(V3 -1)/4, 82 = ^8(^/12)= = л/2(л/3 + 1)/4 , 83 =72/2, 84 = 1/2, 85 =л/3/2.
Формализм Лагранжа хорошо приспособлен для тех случаев, когда в механической системе есть некоторые связи, т.е. когда между естественными динамическими переменными (например, смещениями отдельных частиц) имеются дополнительные соотношения, приводящие к фактическому уменьшению размерности системы. Именно с таким случаем мы имеем сейчас дело, причем, дополнительные связи между переменными у нас возникают за счет симметрийных ограничений. Действительно, требование инвариантности в любой момент времени конфигурационного вектора X(t) по отношению к группе симметрии G ^ G0 (см. формулу (3)) приводит к вполне определенным связям между рассматриваемыми динамическими переменными (это могут быть или координаты атомов, или амплитуды соответствующих мод). Соотношение (3) GX(() = X(() позволяет естественным образом ввести обобщенные координаты, которые и являются динамическими переменными для редуцированной гамильтоновой системы, соответствующей бушу B[G].
Рассмотрим процедуру вывода динамических уравнений для бушей мод в цепочках FPU на конкретном примере. Гамильтониан таких цепочек может быть записан в следующей форме:
1 N 1 N V N
H = T + V = 2Z+ 2£(( - х")2 - х")). (27)
2 n=1 2 n=1 р n=1
Здесь для FPU-a модели р = 3, у = а, а для FPU-P модели р = 4, у = в,8 причем, в соответствии с периодическими граничными условиями мы должны считать, что xN+1 (() = x1 ((). В формуле (27) кинетическая и потенциальная энергия обозначены символами T и V, соответственно.
Рассмотрим буш колебательных мод B[St,€], которому отвечает следующий набор атомных смещений:
X(()= {x, y, - x, - y | x, y, - y, - x | x, y, - y, - x }. (28)
Здесь через x = x(t) и y = y(() обозначены две независимые переменные x1 (t)= x(t), x2 (() = y((), фигурирующие в описании этого буша в Таблице 1. Подставляя атомные смещения (28) в гамильтониан (27), мы получим для цепочки FPU-a следующие выражения для кинетической энергии T и для потенциальной энергии V:
8 Заметим, что с помощью тривиального масштабирования переменных, постоянные аир могут быть обращены в единицу. Мы оставляем эти коэффициенты в явном виде лишь для наглядности последующего изложения.
Т = N (2 + У2), (29)
V = N(2 - 2ху + 3у2) + )3 + х2у - ху2 - у3). (30)
Формулы (29) и (30) справедливы для любой БРИ-а цепочки, у которой число атомов N является кратным четырем, ибо для рассматриваемого сейчас буша мод размер РЭЯ равен 4а. Действительно, при нахождении формул для Т и V можно ограничиться лишь суммированием в пределах РЭЯ.
Уравнения Лагранжа имеют вид:
йг
дЬ Уд/ У с
дЬ. = 0,
где Ь = Т - V, а индекс у нумерует динамические переменные (в нашем случае /их (г) = х(г),
¡2 ()= у(())
С учетом формул (29) и (30) из этих уравнений легко получить следующие динамические уравнения для рассматриваемого нами сейчас буша Б[<€4,€]:
X + (3х - у) + а(3х2 + 2ху - у2 )= 0,
у + (3у - х) + а(х2 - 2ху - 3у2 )= 0.
Обратим внимание на то, что уравнения (31) не зависят от числа N атомов в цепочке, необходимо лишь, чтобы оно было кратно четырем.
Уравнения (31) записаны в Х-пространстве, т.е. в терминах атомных смещений х1 (() = х(() и х2 (() = у(г). Из них легко получить и динамические уравнения для рассматриваемого буша в модальном пространстве, т. е. в терминах амплитуд двух нормальных мод /(() и у(), которые связаны с атомными смещениями уравнениями (26).
В результате соответствующего преобразования от переменных х(() и у(г) к переменным /(() и у(г), находим следующий вид уравнений для описания динамики буша Б[<€4,€]:
•• „ 4а 2 .
// + 4/-—=у2 = 0,
а (32)
.. „ 8а
V + 2у—= /цу = 0.
Полезно также выписать в явном виде гамильтониан буша В[&4,€] в модальном пространстве:
н[&4, €] =1 (2 +!>2 )+(2ц2 +у2)-(33) 2 ^JN
Аналогичным образом можно получить уравнения движения в пространстве атомных смещений и в модальном пространстве и для других бушей мод. В Таблице 3 приведены динамические уравнения для всех одномерных и двумерных бушей мод в модальном пространстве как для цепочки БРИ-а, так и для цепочки БРИ-р. В ней указаны лишь уравнения для бушей мод без учета возможности их реализации в виде разных доменов, поскольку доменам одного и того же буша соответствуют идентичные динамические уравнения. Заметим, что бушам мод даже разной симметрии могут соответствовать однотипные уравнения движения, т. е. уравнения принадлежащие к одному и тому же «классу динамической универсальности». Такие уравнения отличаются друг от друга только числовыми значениями входящих в них параметров. В качестве примера можно привести все одномерные буши для цепочки БРИ-р. Им отвечает уравнение Дуффинга Ц + Лц + ВЦ = 0 с разными значениями постоянных А и В.
Динамические уравнения одномерных и двумерных бушей мод в цепочках FPU
Буш Уравнения
FPU-a FPU-в
B[a2,i] ! + 4 v = 0 в 3 ! + 4v = -16—v N
B[a3,i] B[a ,ai] B[a3,a2i] .. 3л/6 a 2 ! + 3 v =--j= v 2 VN ! + 3v = - — v 3 2N
B[a4,ai] B[a4,a3i] ! + 2 v = 0 ! + 2v = -4 — v 3 N
B[a3] .. „ a ( 2 „ 2\ !1 + 3 ^ = 2 4N (1 2l/1 v2 + v2 ) •• „ 3^3 at 2 „ 2\ ! 2 + 3 v 2 = 2 ^ ( + vi v 2 + v 2 ) .. „ 27 в i 2 2\ ! + 3 v, =---v, lv, + v2 1 1 2 N v ' .. „ 27 в ( 2 2\ ! 2 + 3 v2 =^"2N v 2 ( + v2 )
B[a4,i] B[a4,a2i] •• с a !i + 2vi = -8^n vJ v 2 a2 ^ + v2 ^ !1 + 2v =-8—v ( + 3v2 ) 1/2 + 4v2 =-8—v 2 (2 + 2v2)
B[a6,ai] B[a6,a3i] B[a6,a5i] !1 + vi =-V6-N vi v 2 !2 + 3 v2 = 2 ^ ( + 3v22 ) !1 + v1 =- 3 — v1 ( + 3 v22 ) !2 + 3 v 2 =- 2—v 2 (2 + v2)
Заметим, что для цепочки БРИ-Р существует некоторое число дополнительных по отношению к полученным при классификации по группе диэдра бушам мод, которые были найдены в работе [12]. Их существование связано с четностью локального потенциала для системы БРИ-р. Таким образом, цепочка БРИ-Р обладает более широкой группой симметрии по сравнению с группой, соответствующей цепочке БРИ-а (группой диэдра), что и приводит к существованию для нее дополнительных симметрийно обусловленных бушей мод. При их описании использована операция которая изменяет знаки всех атомных смещений на противоположные. В группы симметрии бушей мод из таблиц 4, 5 и 6 она входит в комбинации с другими элементами симметрии - различными степенями трансляции (6€ ) и
(или) инверсии (€). При этом некоторые из групп симметрии бушей мод для цепочек БРИ-Р характеризуются уже не двумя, а тремя генераторами.
Все одномерные и двумерные дополнительные буши мод9 (как в терминах атомных смещений, так и в терминах нормальных координат) и соответствующие им динамические уравнения приведены в таблицах 4, 5 и 6.
Таблица 4.
Дополнительные буши колебательных мод для цепочки ЕРБ-Р с N = 12 в терминах
атомных смещений
Буш Атомные смещения Размерность буша
3 В[а ,1и] | Х1, Х2, Х1 | 1
3 В[а ,а1и] | Х1, Х2, Х2 | 1
32 Б[а ,а 1и] Х1, Х1, Х2 1
В[а4ш] | Х1, Х2, Х2, Х1 | 1
42 В[а ,а 1и] Х1, Х1, Х2, Х2 1
В[а4,а2/,а2и] | Х, Х, Х, Х | 1
42 В[а ,1,а и] Х, Х, -Х , -Х | 1
В[а4аш] | Х1, Х2, Хз, Х2 | 2
В[а4а3ш] ХЬ x2, x1, Хз 2
В[а ,а и] Х1, Х2, -Х1, -Х2 2
В[а6,а/,а3и] | 0, Х, Х, 0, -х, -Х | 1
В[а6,а3/,а3и] | х, 0, -х, -х, 0, х | 1
В[а6.а5/,а3и] х, х, 0, -х, -х, 0 1
В[а6,ш] | Х1, Х2, Хз, Хз, Х2, Х1 | 2
62 В[а ,а 1и] | Х1, Х1, Х2, Хз, Хз, Х2 | 2
В[а6,а4ш] Х1, Х2, Х2, Х1, Хз, Хз 2
В[а6,/,а3и] | Х1, Х2, Х1, -Х1, -Х2, -Х1 | 2
В[а6,а2/,а3и] | Х1, -Х1, Х2, -Х1, Х1, -Х2 | 2
В[а6,а4/,а3и] Х1, Х2, -Х2, -Х1, -Х2, Х2 2
9 Указанная в Таблице 4 размерность бушей мод дана с учетом исключения движения центра масс цепочки.
Дополнительные буши колебательных мод для цепочки ЕРБ-Р с N = 12 в модальном
пространстве
Буш Разложение по базисным векторам
з В[а ,/и] У(б2ф4-В1ф8)
В[а ,а/и] У(б1ф4-в2ф8)
3 2 В[а ,а /и] У8з(ф4+ф8)
В[а4/,а2и] (=В[а4/и]) Уфз
4 2 2 4 2 В[а ,а /,а и] (=В[а ,а /и]) Уф9
В[а4,а/и] ^18з(фз-ф9)+У2фб
В[а4а3/и] ^18з(фз+ф9)+У2фб
4 2 В[а ,а и] У1фз+У2ф9
В[а6,а/,а3и] У(81ф2+82фю)
В[а6,а3/,а3и] У(82ф2+81фю)
В[а6.а5/,а3и] У8з(ф2-ф10)
В[а6,/и] Vl(82ф2+8lфlo)+V2(82ф4-8lф8)
В[а6,а2/и] ^18з(ф2-фю)+У28з(ф4+ф8)
В[а6,а4/и] Vl(8l ф2+82ф 1o)+V2(8l ф4-82ф8)
В[а ,/,а и] Vl(-8lф2+82фlo)+V2ф6
В[а6,а2/,а3и] Vl8з(ф2+фlo)-V2ф6
В[а6,а4/,а3и] Vl(82ф2-8lфlo)+V2ф6
Динамические уравнения для дополнительных одномерных и двумерных бушей мод в
цепочке РРБ-Р
Буш Уравнения
3 В[а ,1и] -о 27 в 3 ! + 3 V =--— V 2 N
В[а ,аш]
3 2 В[а ,а 1и]
В[а4а2/,а2и] (=В[а4ш]) ! + 2v = -8 в V 3 N
В[а4,/,а2и] (=В[а4а2ш])
В[а4аш] !1 + 2 VI =-4 вв VI (2 + 6 V 2) !2 + 4 V 2 =-8 вв V2 (31/12 + 2 V 22)
В[а4а3ш]
42 В[а ,а и] в 3 !! + 2 V, =-8 — V,3 1 1 N 1 в 3 !2 + 2 V2 =-8 N V3
В[а6,а/,а3и] - . 3 в 3 ! + V =--— V 2 N
В[а6,а3/,а3и]
В[а6.а5/,а3и]
В[а6,ш] ! + V = -——V (2 + V 2) 1 1 2 N п ' .. „ 27 в ¡2 2^ ! 2+3 V =-у N V (1 + V)
В[а6,а2ш]
В[а6,а4ш]
В[а6,/,а3и] !1 + V =-~Н V [3 V2 + 3л^1 ^ + 12к22 ) ! 2 + 4^2 =~в + 12 V2 V2 + 16^ )
В[а6,а2/,а3и]
В[а6,а4/,а3и]
3. Заключение
В настоящей работе рассмотрен простой кристаллографический метод вывода бушей колебательных мод для одномерных атомных решеток, позволяющий получить наглядный геометрический образ этого нового типа нелинейных возбуждений в системах с дискретной симметрией. Для случая конечных цепочек, состоящих из N = 12 атомов, перечислены все симметрийно обусловленные буши мод. В этот перечень попадают все возможные одномерные и двумерные буши, которые могут существовать в моноатомных цепочках с произвольным числом атомов. Для них получен полный список уравнений движения в случае моделей БРИ-а и БРИ-р. В последующей работе этого цикла будет рассмотрена проблема устойчивости бушей колебательных мод.
Литература
[1] В.П. Сахненко, Г.М. Чечин, Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных смещений, Докл. Акад. Наук 330 (1993) 308-310.
[2] G.M. Chechin, T.I. Ivanova, V.P. Sakhnenko, Complete order parameter condensate of low-symmetry phases upon structural phase transition, Phys. Status Solidi (b) 152 (1989) 431-446.
[3] G.M. Chechin, E.A. Ipatova, V.P. Sakhnenko, Peculiarities of the low-symmetry phase structure near the phase-transition point, Acta Cryst. A 49 (1993) 824-831.
[4] В.П. Сахненко, Г.М. Чечин, Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией, Докл. Акад. Наук 338 (1994) 42-45.
[5] G.M. Chechin, V.P. Sakhnenko, Interactions between normal modes in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry. Exact results, Physica D 117 (1998) 43-76.
[6] Т.М. Белая, С.А. Волошановский, М.Ю. Зехцер, А.В. Кукин, Г.А. Малычев, Г.М. Чечин, В.Г. Ягубянц, Кусты взаимодействующих колебательных мод для систем с кристаллографической точечной симметрией, Деп. ВИНИТИ (1995).
[7] G.M. Chechin, V.P. Sakhnenko, M.Yu. Zekhtser, H.T. Stokes, S. Carter, D M. Hatch, Bushes of normal modes for nonlinear mechanical systems with discrete symmetry, World Wide Web Proceedings of the Third ENOC Conference, http://www.midit.dtu.dk.
[8] G.M. Chechin, O.A. Lavrova, V.P. Sakhnenko, H.T. Stokes, D M. Hatch, New approach to nonlinear dynamics of fullerenes and fullerites, Физика твердого тела 44 (2002) 554-556.
[9] G.M. Chechin, V.P. Sakhnenko, H.T. Stokes, A.D. Smith, D M. Hatch, Non-linear normal modes for systems with discrete symmetry, Int. J. Non-Linear Mech. 35 (2000) 497-513.
[10] P. Poggi, S. Ruffo, Exact solutions in the FPU oscillator chain, Physica D 103 (1997) 251.
[11] G.M. Chechin, N.V. Novikova, A.A. Abramenko, Bushes of vibrational modes for Fermi-Pasta-Ulam chains, Physica D 166 (2002) 208-238.
[12] B. Rink, Symmetry and resonance in periodic FPU chains, Physica D 175 (2003) 31-42.
[13] G.M. Chechin, A.V. Gnezdilov, M.Yu. Zekhtser, Existence and stability of bushes of vibrational modes for octahedral mechanical systems with Lennard-Jones potential, Int. J. NonLinear Mech. 38 (2003) 1451-1472.
[14] G.M. Chechin, Computers and group-theoretical methods for studying structural phase transition, Computers Math. Applic. 17 (1989) 255-258.
