CC BY
14УРАВНЕНИЕ РАЗВЕТВЛЕНИЯ С СИММЕТРИЕЙ ПЛОСКИХ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ГРУПП Нормуминов Б.А.
Нормуминов Баходир Ашурович - ассистент, кафедра высшей математики, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, г Ташкент, Республика Узбекистан
Аннотация: уравнение разветвления (УР) в теории ветвления решений нелинейных уравнений эквивалентно [1] исходной нелинейной задаче, структура их множеств малых решений в окрестности точки ветвления одинакова. Возникающая задача построения общего вида УР по допускаемой им группе симметрии решается на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений [2] (см. [3, 4]). В математической физике нередко встречаются задачи теории ветвления с симметрией плоских кристаллографических групп. Примером могут служить задачи о тепловой конвекции в жидкости, при разыскании разветвляющихся периодических решений с симметрией прямоугольной, треугольной или гексагональной решёток. В работе исследованы различные вырожденные случаи в указанной ситуации. Ключевые слова: гексагональной решётки, многообразия, системы разветвления.
УДК 3054
Для определенности рассмотрим случай гексагональной решётки для d-vmK(B )=6. Тогда yPfj(î, £)=0; j=1 , 6 ,допускает группу симметрии шестиугольника (принято соглашение нумеровать элементы р j базиса в Ж (B) и отвечающие им векторы tj обратной решётки так, что если вектору t отвечает нечетный номер, то вектору - t ставится в соответствие последующий чётный номер): (АД £)= Ав&£), f2k&£) = f2fc_ ! &£)(î = Aglf = Agf (1)
где Ag- группа симметрии гексагональной решётки, т.е. сдвиги
diag |f1expia(Za1 + V3ma2),Ç2exp[~ia(jai + V3ma2)],¡¡3exp^[(l + 3m)a1 + 3-1 +m a2, (4exp- ia2l+3m al +3- l+ma2(5expia2- l+3ma1-3(l+m)a2, £6exp3.(- ia2- l+3ma1-3 l+ma2), (2)
( l и m одинаковой четности, для простоты l=m=l) и подстановки
Pi=(12) (34) (56),P2=(12) (35) (46),P3=(125246),P4=(13)(24) (56),PS=(145) (236),P6= (14)(23), P7=(154)(253),P8=(15)(26),P9=(26)(25)(36),P10=(264253),P11=(34)(45) (3) Базис инвариантов группы (2),(3) в пространстве векторов (§1,...,§б; ji,---,Î6) стоит выбрать в виде
= р 7 = ^6; k+ЛО = fc = ïД (4)
LiO = ЬШ. '„(() = ЬЫь (5)
Где/Х 0 (О .h ! (О = 17 (О /8 (О /9 (О
По теореме [2] о представлении инвариантного многообразия F:f-f(J,£)=0, первое уравнение системы разветвления имеет вид
Ш,е) = с0(£)^ + £ сРа^(а)(ШР1 (Ш'ЧШЧМЬШНЬШ42]™'
РаАр
= X сРос°ШШР1(ШР2(ШРз
|ра|>0
+ £ сРакшШР1(ШР2(ШРзЯ~ЧШк+1
Ра,к>о
+ X О^^ГЧ^^^Ч^Ч^)* = О
Р 1,/с>0
Остальные пять уравнений находятся из условия симметрии относительно подстановок: [к+1 = Р2= Д(Р2 Л (О.е) = 0 к = 1^5 _
= Р2к-Ш,е) = Л(Р2к-1(0.е) = 0 к = 1,5 Здесь символ [ . . . ] ои: означает факторизацию выражения внутри скобки по связи (5).
Список литературы
1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М. Наука, 1989. 526 с.
2. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М: Наука, 1976. 400 с.
3. Логинов Б.В. «Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности». Ташкент.: Фан, 1985. 184 с.
СВОЙСТВО ВЫРОЖДЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ РАЗЛИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Стаценко И.Е.
Стаценко Иван Евгеньевич - студент, кафедра внутризаводского оборудования и автоматики, Армавирский механико-технологический институт (филиал) Кубанский государственный технологический университет, г. Армавир
Ключевые слова: квадратные матрицы, вырожденность, последовательность.
Целью моего научного исследования являются различные числовые последовательности, применяемые в исследуемой работе.
Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Квадратная матрица - это матрица, число строк которой равно количеству столбцов [1].
Рассмотрим первую самую простую - арифметическую погрешность. В среде MathCad записываем квадратную матрицу А, имеющую 5 строк и 5 столбцов. В нее записываем элементарную арифметическую прогрессию с первым членом прогрессии А1=1, а шаг прогрессии d=1.
