Предельная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений с двухточечными смешанными максимумами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.91

Т. К. Юлдашев

ПРЕДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУХТОЧЕЧНЫМИ СМЕШАННЫМИ МАКСИМУМАМИ

Изучается разрешимость предельной задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с двухточечными смешанными максимумами. При этом используется метод последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений.

В последние 35-40 лет началось систематическое изучение нового класса функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) с отклоняющимся аргументом, правая часть которых, наряду с обычным аргументом Ь, зависит и от конструкции

шах |х(т) т € [$1 (Ь); £2(Ь)] } , 0 ^ ^(Ь) ^ 52(Ь) < то.

Изучению такого класса ФДУ с максимумами посвящено много работ, например [1-8].

В приложениях максимум появляется всякий раз, когда закон управления соответствует максимальному отклонению регулируемой величины. Если в законе управления учитывается также максимальное значение отклонения рассматриваемой величины, то процесс регулируется с помощью уравнения с максимумами [1, 5, 9]. В работах [6, 7] на основе простейших примеров показано, что ФДУ с максимумами имеют специфические особенности в вопросе разрешимости и осциллируемости решений.

ФДУ, правая часть которых зависит от конструкции

тах|ж(г) г € [^1^) Т^2(^)] | , 0 ^ <5г(£) < то, г = 1, 2,

где [£!(£)7£2(£)] = [тт {61 (£); 52^)}] тах^О); <Ь0)}] , назовём ФДУ со смешанными максимумами.

Рассмотрим особенности решений ФДУ со смешанными максимумами в вопросе разрешимости на конкретных примерах.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

х'^) = (1 — а)-1 тах |ж(г) т € [££<ЕМ+ (а)

с начальным нулевым условием

х(0) = 0, (б)

где 0 < а < 1.

Уравнение (а) при начальном условии (б) имеет решение х(Ь) = Ь(1-а) на отрезке [0; 1]. Данное

уравнение имеет другое решение х(Ь) = С ■ ехр |(1 — а)-1 на полуинтервале [1; то), где С > 0 —

константа. Из условия (б) определить неизвестный коэффициент С не возможно. Для его определения требуется дополнительное условие.

Если зададим условие

х(+Ь) = х(— Ь) , (в)

ь= 1

і= 1

то получаем, что С = ехр {— (1 — а) ^, т. е. решение уравнения (а) на полуинтервале [1; то) имеет вид

х(Ь) = ехр |(1 — а)-1 (Ь — 1)| , Ь € [1; то) .

Отметим, что решение уравнения (а) по характеру условия (в) непрерывно на полуоси [0; то). Но, нельзя говорить о гладкости этого решения. Она нарушается в точке Ь = 1.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

А*) = . ЮР{І> ■ 1 + Т{(1 + (~Д,} х ш“НІт € И ('+ (-1)И)’ г

(1 + ехр{і}) Єхр|(і + (-1)М) і}

Є М (г)

с положительным начальным условием

х(0) = х0 > 0,

(д)

где [і] — целая часть і.

Уравнение (г) имеет решение

х^)=Сі ехр{^ а> 0, г = 1, 3, 5, 7, ...

1 + ехр {і |

на множестве Т£° = [0; 1] и [2; 3] и [4; 5] и ....

Кроме того, уравнение (г) имеет другое решение

х(і) = ехр | —2 (1 + ехр {і}) 11 , Cj > 0, і = 2, 4, 6, ...

на множестве Т^° = [1; 2] и [3; 4] и [5; 6] и ....

С помощью начального условия (д) определяется только первый коэффициент: Сі = 2х0. Для

того, чтобы определить последующие коэффициенты С2, Сз, С4, С5, ... требуется задание дополни-

тельных условий в точках £& (к Є М).

Рассматривается система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений вида

х'(і) = і7, І і, ж(і), У Н (і, ,в, тах |ж(т) т Є [<5і(«) :<52(«)]}) І , ІЄМ

с предельным условием

Ііт х(і) = х < то,

і—>•—СЮ

(1)

(2)

где ^ (£, х, у) и Н (£, 8, ж) —векторные функции размерности п х 1 и т х 1, соответственно, определённые в областях = {£ € М, ж € Мп, у € Мт} и ^2 = {£ € М, —то <8 ^ £, ж € Мп}, непрерывные по £, ж, у в области ^1 и по £, 8, ж в области ^2; ж(£) —искомая векторная функция размерности п х 1; £г(£) € С(М) (г = 1, 2), ^(£) = $2(£) при £ € М, исключением являются только две точки £1 и £2, в которых ^(£г) = $2(£г) (г = 1, 2) £1 < £2; ж-те —заданный конечный п х 1-мерный постоянный вектор.

Изучим случай, когда ^(£) ^ $2(£) на интервале Т1 и Т3 и ^(£) ^ $1(£) на отрезке Т2 = [£1; £2];

Т1 = (—то; £1], Т3 = [£2; то); Т1 и Т2 и Т3 = М = (—то; то).

Отметим, что данная работа является дальнейшим развитием работ [10-12].

Однозначную разрешимость задачи (1), (2) будем изучать с помощью следующих непрерывных

условий склеивания:

х(+іі) = х(—іі), і = 1, 2.

(3)

Задача (1)—(3) эквивалентна совокупности следующих трёх систем нелинейных функциональноинтегральных уравнений (ФИУ) следующего вида:

х(£) = А1 (х; і) = х + і

+ I ^ \ , х(5), У Н ^, 0, тах|х(т) т Є [^1 (0); £2(0)] | ^ ^0 1 ^5, і Є Т1

(4)

?(і) = А2(х; і) = А1(х; і1) + J ^ (5, х(«), У Н ^, 0, тах|х(т) т Є [51 (0); £2(0)]}) ^0 +

І1 \ —те

+ 1Н (в, 0, тах |х(т) т Є [£2(0); ^(0)]}) Й0 1 Й5, і Є Т2, (5)

— ОО

— СЮ

—сю

і

ж(£) = А3(ж; £) = А2(ж; £2) + J Т ( 8, ж(з), У Н ^, 0, шах|ж(т) т € [^(0); $2(0)] |^ й0 +

*2 V -те

*2

+ У н(в, 0, ша^|ж(т) т € [$2(0); ^(0)]}) й0+

*1

+ 1Н ^, 0, шах |ж(т) т € [$1 (0); $2(0)]}^ ^0 I й§, £ € Т3. (6)

*2 /

Для дальнейшего изложения сути данной работы примем следующие обозначения: С(^) —пространство непрерывных функций по всем аргументам в области ^; Бпё(М) —класс функций, ограниченных по норме числом М; Ыр(^ ) —класс функций, удовлетворяющих условию Липшица

по переменным и, V, ... с коэффициентом Ь, а для функции одной переменной индекс будем опускать.

Лемма 1. Пусть неотрицательная функция и(£) € С(Т1) удовлетворяет интегральному неравенству

і

и(і) ^ С (і) + У

■и^и^) + / ш(«, 0)и(0) ^0

^5, і Є Т1,

(7)

где С (і), ■и(і), ш(і, §) —неотрицательные функции из С (ТО, —то <5 ^ і; причём интеграл

ш(і, 5) ^(«) ^5,

где <^(і) может означать любую из трёх следующих функций: и(і), С (і), 1, сходится по і на интервале Т1, сходится 'равномерно на любом его конечном отрезке и

^(5)^(5)+/ ш(«, 0)^(0) ^0

Тогда справедливо неравенство

и(і) ^ ехр < У -и(п) Т(і) + У ^(5) ехр < У V(п) ^

і Є Т1,

(8)

где

Т (і) = С (і) ехр < — / -и(п) ^П+ I ^(^) С (5) ехр < — / V (п) ^П^,

I -і-і 1-і

і Г і 1 і

^ (і) = У ш0(і, 0)Т (0) ^0, ш0(і, 0) = ш(і, 0) ехр і — У ^(п) ^п, V (і) = У ш0(і, 0) ^0.

Доказательство. Обозначим

і 5

и0(і) = У У ш(^, 0)и(0) ^0^5, и (і) = У ^(з)«(з) ^5 + и0(і).

Тогда в силу (7) имеем

— СЮ —СЮ

и(і) ^ С (і) + и (і), і Є Т1.

(9)

і

— СЮ

—сю

і

— оо

і

—сю

—сю

— оо

—сю

—сю

і

Дифференцируя функцию U(t) и используя (9), получаем

U'(t) ^ v(t)U(t) + v(t)C(t) + U0(t), t € Ti.

(10)

Решая дифференциальное неравенство (10) с предельным условием Нш и(£) =0 и учитывая (9), имеем

* £

u0(t) ^ T(t) + J У w0(s, 0)uo(0) d0ds, t € T1

(11)

— СЮ —СЮ

где u0(t) = u(t) exp i — / v(n) dn.

I -^

Обозначая правую часть интегрального неравенства (11) без T(t) через Ui (t), имеем

uo(t) ^ T(t) + Ui(t), t € Ti. (12)

Используя (12) и монотонную неубываемость функции Ui(t) на Ti, получаем

Ui(t) < V(t)Ui(t) + W(t), t € Ti. (13)

Решая дифференциальное неравенство (13) с предельным условием lim Ui(t) = 0 и учиты-

t^ — те

вая (12), окончательно получим (8). □

Лемма 2. Пусть выполняются следующие условия:

1) F (t, x, y) € Lip ^Ln(t)|x; Li2(t)|J, Lii(t) € C(Ti; R+), i = 1, 2;

2) H (t, s, x) € Lip (Li3(t, s) |x), Li3(t, s) € C(Tf; R+);

t t

3) интегралы j H (t, 0, 0) d0, J Li3 (t, 0) d0 сходятся по t на интервале Ti и сходятся рав-

— те — те

номерно на его любом конечном отрезке; t г s

4) J Lii(s) + Li2(s^ Li3(s, 0) d0

ds < to, t € Ti;

5) интеграл f (t) = Ai(0; t) — x те существует при любом t € Ti;

6) f (t) € S^Ti; Rra).

Тогда система ФИУ (4) имеет единственное решение в классе S^Ti; R”), удовлетворяющее неравенству

||x(t)|| < Mi(t), t € Ti, (14)

где

Mi(t) = exp i J Lii(n) dnTi(t) + J Vi(s, 0, Ti)exp i J Vi(n, 0, 1) dnds ,

v—те J L —те vs ) _

T i(t) = Ci(t) exp i — f Lii(n) dn+ f Lii(s)Ci(s) exp i — f Lii(n) dnds,

l —те J —re I —re J

Ci(t) = ||x—те + f (t)|| , а Vi определяется из следующего обозначения:

Vi (t; ai, «2) = Lii(t)ai(t) + Li2(t) J Li3(t, 0) exp i —i • J Lii(n) dn«2(0) d0 (i = 0, 1),

a

;(t) € C(Ti; R+) (j = 0, 1), причём, интеграл в V0 (t; ai, «2) сходится по t на интервале Ti

и сходится равномерно на любом его конечном, отрезке. 18

— ОО

Для различных двух решений x(t) и y(t) системы ФИУ (4) в классе S^Ti; М”) с предельными векторами x—° и y—°, соответственно, справедлива оценка

l|x(t) — y(t)|| ^ ||x—° — y—°|| exp і У Vl (s; І, І) ds J , t Є T1. (l5)

Кроме того, если

fo = sup {||f (t)|| : t Є Ti} < то, (l6)

то это решение ограничено на Ti.

Доказательство. Сначала докажем существование решения x(t) Є C1 (Ti; М”) системы

t

ФИУ (4), для которого интеграл J Тіз (t, 0) ||x(0)|| d0 сходится по t на интервале Ti и сходится

—о

равномерно на любом его конечном отрезке и

S

Lii(s) ||x(s)|| + Li2(s) J Тіз(s, 0) ||x(0)|| d0

ds < то, t Є T1.

Этот класс ж(£) € С^Т1; М”) в условиях леммы обозначен через Б^Т1; М”).

Для системы ФИУ (4) построим последовательные приближения:

ж0(£) = 0, £ € Т1,

жк+1(£) = А (жй; £), £ € Т1, к = 0, 1, 2,....

В силу условий леммы и, используя монотонную неубываемость на Т1 функций

* *

С1(£) = J Ро (8; С1, С1) ^ и С2(£) = J Ро («; 1, 1) ^,

— те —те

из последовательных приближений (17) получаем

||ж1(*)|| < С1(£), £ € Т1, ж1 (£) € Б1 (Т1; Мп);

(l7)

t

—те

—те

\\xk+i(t) - Xk{t)\\ ^ ^k^2y G1(t)(G2(t))k 2, к = 2, 3, , t Є Т\; (18)

k—2 і

\\xk(t)\к = 2,3,..., t Є Ті, я*(*) Є 5і(Ті; Мга); (19)

v=o ‘

||x(t)|| ^ Ci(t) + Gi(t) ■ exp {G2(t)}, t Є Ti.

Из (l8) следует, что последовательность {xk(t)} сходится на интервале Ti и сходится равномерно на его конечном отрезке к некоторой n x 1 векторной функции x(t), которая принадлежит классу C(T1; Мга). Переходя в (l7) к пределу при k ^ то и учитывая (l9), получаем, что x(t) удовлетворяет системе ФИУ (4), x(t) Є S1(T1; Мп).

Покажем единственность этого решения на Ti. Пусть система ФИУ (4) имеет два решения x(t) Є Є S^T1; Мга) и y(t) Є S^T1; Мга). Тогда получим следующую оценку:

t

u(t) ^ У Vo (s; u(s); u(s)) ds

—о

или в развёрнутом виде

t s

x(t) — y(t)|| ^ J Lii(s) ||x(s) — y(s)|| + Li2(s) У L^s, 0) ||x(0) — y(0)|| d0

ds, t Є T1.

Отсюда, применяя лемму 1, получаем, что и(£) = ||ж(£) — у(£) | = 0. Следовательно, решение ж(£) € € БЧТ1; Мп) системы ФИУ (4) единственно.

Оценки (14) и (15) получаются в результате применения леммы 1. Устойчивость решения ж(£) € € Б1 (71; Мп) системы ФИУ (4) относительно предельного данного ж те следует из оценки (15). При этом число 5 > 0 в зависимости от заданного числа е > 0 определяется из неравенства

*1

5 < є exp і — J Vl (t; 1; 1) dt

В силу условия (16) имеем

Co = sup [Ci(t) : t Є Ti] =

x

+ fo < то, T 1(t) < Co, t Є Ti,

Mi(t) ^ C0 exp ^ J Vi (s; 1; 1) ds, t € Ti.

Отсюда из (14) следует ограниченность решения системы ФИУ (4) на Ti. □

Лемма 3. Пусть выполняются следующие условия:

1) выполняются все условия леммы 2;

2) F (t, x, y) € Bnd(M2(t)), 0 ^ M2(t) < to, t € T2;

3) F (t, x, y) € Lip (L2i(t)|x; L22(t)| j , L2i(t) € C(T2; R+), i = 1, 2;

4) H (t, s, x) € Lip (L23(t, s)|x), L23(t, s) € C(T22; R+);

ti t

5) qi < 1, где qi = J Vo (t; 1; 1) dt + J V2 (s) ds, V2(t) = L2i(t) +

+L22(t)

ti t

J Тіз({, 0) d0 ^(t, s) ds

Тогда система ФИУ (5) имеет единственное решение в классе С(Т2; М”).

Доказательство. Воспользуемся методом последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений. При этом положим

Xo(t) = ti, t Є T2,

Xk+i(t) = A (xk; t), к = 0, 1, 2,..., t Є T2.

В силу условий леммы, из (20) получим

||xi(t) — xo(t)| ^ Ci(t) + M2(t), t € T2,

(2Q)

(2l)

l|xk+i(t) — Xk(t)| ^ |Ai(xk; ti) — Ai(xk—1; ti)| +У V2(s) ds ■ ||xk(t) — Xk—1

^ qi |xk(t) — Xk—1

t Є T2.

(22)

— OO

— OO

—OO

— OO

В силу пятого условия леммы из оценок (21) и (22) следует, что оператор A2 (x; t) в правой части системы (5) является сжимающим. Следовательно, система ФИУ (5) имеет единственное решение в классе C(T2; R”). □

Лемма 4. Пусть выполняются следующие условия:

1) выполняются все условия леммы 3;

2) F (t, x, y) € BndeM3(t)), 0 ^ M3(t) < to, t € T3;

3) F (t, x, y) € Lip (L3i(t)|x; L32(t)|J , L3i(t) € C(T3; R+), i = 1, 2;

4) H (t, s, x) € Lip (L33(t, s)|x) , L33(t, s) € C(T32; R+);

t

5) q2 < 1, q2 = qi + J V3 (s) ds, V3(t) = L3i(t) +

t2

+^з2 (t)

tl t2 t

J £із(£, 0) d0 ^(s, 0) d0 + J ^(t, s) ds

tl

t2

Тогда система ФИУ (6) имеет единственное решение в классе С(Т3; М”).

До ка з а т е л ь с тв о. Опять воспользуемся методом последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений. Положим

Xo(t) = t2, t Є Tз,

Xk+i(t) = Аз (xk; t), к = 0, 1, 2,..., t Є Tз.

В силу условий леммы, из (23) получаем,что

||xi(t) — xo(t)| ^ Ci(ti) + M2(t2) + M3(t), t € T3,

(2З)

(24)

|xk+i(t) — Xk(t)| ^ |A2(xk; t2) — A2(xk—1; t2)| Vj(s) ds ■ ||xk(t) — Xk—1

t2

^ 92 ||Xk(t) — Xk—1

t є T?.

(2Б)

В силу пятого условия леммы, из (24) и (25) следует, что оператор А3 (ж; £) в правой части системы (6) является сжимающим. Следовательно, система ФИУ (6) имеет единственное решение в классе С (73; М”). □

Из доказанных выше трёх последних лемм следует, что справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть выполняются условия леммы 4. Тогда задача (1)-(3) имеет единственное решение ж(£) € С (М; М”), которое представимо в виде

A1 (x x(t) = і А2 (x Аз (x

t) , t Є Ti ,

t) , t Є T2,

t), t Є тз.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Магомедов, А. Р. Обыкновенные дифференциальные уравнения с максимумами [Текст] / А. Р. Магомедов. —Баку: Элм, 1991. — 220 с.

2. Мунтян, В. И. К вопросу о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра [Текст] / В. И. Мунтян, В. П. Шпакович / В кн.: Вопросы устойчивости интегральных многообразий в уравнениях математической физики. — Киев: Наукова думка, 1987. — С. 49-55.

3. Петухов, В. Р. Вопросы качественного исследования решений уравнений с максимумами [Текст] / В. Р. Петухов // Изв. вузов. Математика. — 1964. — № 3. — С. 116-119.

4. Voulov, H. D. On the asymptotic stability of differential equations with maxima [Text] / H.D. Voulov, D.D. Bainov // Rend. Circ. Math. Palermo. Ser. 2. — 1991. — Vol. 40, No 3. — Р. 385-420.

5. Bainov, D. D. Justification of the averaging method for functional differential equations with maxima [Text] / D. D. Bainov,

S.D. Milisheva // Nouvelle Serie. — 1984. — Vol. 38 (52) — P. 149-152.

6. Yuldashev, T. K. Introduction to the theory of nonlinear functional differential equations with maxima [Text] / T. K. Yul-dashev, K. H. Shabadikov. —Bishkek: Inst. of Math. of KNAS, 1998. — 128 p.

7. Иманалиев, М. И. Основы качественной теории нелинейных динамических систем с максимумами [Текст] / М. И. Иманалиев, Т. К. Юлдашев. — Ош: КУУ, 1999. — 198 с.

8. Юлдашев, Т. К. Некоторые уравнения с отражающими отклонениями [Текст] / Т. К. Юлдашев. — Ош: ОшГУ, 2005. — 104 с.

9. Юлдашев, Т. К. Об одной динамической системе экономики [Текст] / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Токошева / Актуальные проблемы современной науки: Тр. 5-й международ. конф. молодых учёных. (7-9 сентября 2004, Самара). — Самара: СамГТУ, 2004.—Ч. 1, 2: Математика, Мат. моделирование. — С. 124-125.

10. Yuldashev, T. K. Initial value problem for a system of nonlinear functional differential equations with mixed maxima [Text] / T. K. Yuldashev // Складi системи i процеси. — 2004. — № 1-2. — С. 9-12.

11. Yuldashev, T. K. On a random system of nonlinear functional differential equations with nonlinear mixed random maxima [Text] / T. K. Yuldashev / Abstract book of 16 th international conf. of Jangjeon Math. Society (4-6 July 2005, Antalya, Turkey). — Antalya: Akdeniz univ., 2005. — P. 63.

12. Yuldashev, T. K. On a system of nonlinear functional differential equations with mixed maxima [Text] / T. K. Yuldashev / Тез. докл. 9-ой международ. науч. конф. по проблемам аэрокосмических систем (11-12 ноября 2005, Красноярск). — Красноярск: Сиб. аэрокосм. ун-т., 2005. —С. 205-206.

Кыргызская государственная юридическая академия, г. Ош Поступила 12.04.2006

tursunbay@rambler.ru

T. K. Yuldashev

LIMIT VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO POINT MIXED MAXIMUMS

We studied the solvability of limit value problem for a system of integro-differential equations with two points mixed maximums. The method of successive approximations in combination it with the method of compressing mapping used.

Kyrgyz state law academy, Osh city Received 12.04.2006

tursunbay@rambler.ru