Предельная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений с двухточечными смешанными максимумами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.91

Т. К. Юлдашев

ПРЕДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУХТОЧЕЧНЫМИ СМЕШАННЫМИ МАКСИМУМАМИ

Изучается разрешимость предельной задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с двухточечными смешанными максимумами. При этом используется метод последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений.

В последние 35-40 лет началось систематическое изучение нового класса функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) с отклоняющимся аргументом, правая часть которых, наряду с обычным аргументом Ь, зависит и от конструкции

шах |х(т) т € [$1 (Ь); £2(Ь)] } , 0 ^ ^(Ь) ^ 52(Ь) < то.

Изучению такого класса ФДУ с максимумами посвящено много работ, например [1-8].

В приложениях максимум появляется всякий раз, когда закон управления соответствует максимальному отклонению регулируемой величины. Если в законе управления учитывается также максимальное значение отклонения рассматриваемой величины, то процесс регулируется с помощью уравнения с максимумами [1, 5, 9]. В работах [6, 7] на основе простейших примеров показано, что ФДУ с максимумами имеют специфические особенности в вопросе разрешимости и осциллируемости решений.

ФДУ, правая часть которых зависит от конструкции

тах|ж(г) г € [^1^) Т^2(^)] | , 0 ^ <5г(£) < то, г = 1, 2,

где [£!(£)7£2(£)] = [тт {61 (£); 52^)}] тах^О); <Ь0)}] , назовём ФДУ со смешанными максимумами.

Рассмотрим особенности решений ФДУ со смешанными максимумами в вопросе разрешимости на конкретных примерах.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

х'^) = (1 — а)-1 тах |ж(г) т € [££<ЕМ+ (а)

с начальным нулевым условием

х(0) = 0, (б)

где 0 < а < 1.

Уравнение (а) при начальном условии (б) имеет решение х(Ь) = Ь(1-а) на отрезке [0; 1]. Данное

уравнение имеет другое решение х(Ь) = С ■ ехр |(1 — а)-1 на полуинтервале [1; то), где С > 0 —

константа. Из условия (б) определить неизвестный коэффициент С не возможно. Для его определения требуется дополнительное условие.

Если зададим условие

х(+Ь) = х(— Ь) , (в)

ь= 1

і= 1

то получаем, что С = ехр {— (1 — а) ^, т. е. решение уравнения (а) на полуинтервале [1; то) имеет вид

х(Ь) = ехр |(1 — а)-1 (Ь — 1)| , Ь € [1; то) .

Отметим, что решение уравнения (а) по характеру условия (в) непрерывно на полуоси [0; то). Но, нельзя говорить о гладкости этого решения. Она нарушается в точке Ь = 1.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

А*) = . ЮР{І> ■ 1 + Т{(1 + (~Д,} х ш“НІт € И ('+ (-1)И)’ г

(1 + ехр{і}) Єхр|(і + (-1)М) і}

Є М (г)

с положительным начальным условием

х(0) = х0 > 0,

(д)

где [і] — целая часть і.

Уравнение (г) имеет решение

х^)=Сі ехр{^ а> 0, г = 1, 3, 5, 7, ...

1 + ехр {і |

на множестве Т£° = [0; 1] и [2; 3] и [4; 5] и ....

Кроме того, уравнение (г) имеет другое решение

х(і) = ехр | —2 (1 + ехр {і}) 11 , Cj > 0, і = 2, 4, 6, ...

на множестве Т^° = [1; 2] и [3; 4] и [5; 6] и ....

С помощью начального условия (д) определяется только первый коэффициент: Сі = 2х0. Для

того, чтобы определить последующие коэффициенты С2, Сз, С4, С5, ... требуется задание дополни-

тельных условий в точках £& (к Є М).

Рассматривается система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений вида

х'(і) = і7, І і, ж(і), У Н (і, ,в, тах |ж(т) т Є [<5і(«) :<52(«)]}) І , ІЄМ

с предельным условием

Ііт х(і) = х < то,

і—>•—СЮ

(1)

(2)

где ^ (£, х, у) и Н (£, 8, ж) —векторные функции размерности п х 1 и т х 1, соответственно, определённые в областях = {£ € М, ж € Мп, у € Мт} и ^2 = {£ € М, —то <8 ^ £, ж € Мп}, непрерывные по £, ж, у в области ^1 и по £, 8, ж в области ^2; ж(£) —искомая векторная функция размерности п х 1; £г(£) € С(М) (г = 1, 2), ^(£) = $2(£) при £ € М, исключением являются только две точки £1 и £2, в которых ^(£г) = $2(£г) (г = 1, 2) £1 < £2; ж-те —заданный конечный п х 1-мерный постоянный вектор.

Изучим случай, когда ^(£) ^ $2(£) на интервале Т1 и Т3 и ^(£) ^ $1(£) на отрезке Т2 = [£1; £2];

Т1 = (—то; £1], Т3 = [£2; то); Т1 и Т2 и Т3 = М = (—то; то).

Отметим, что данная работа является дальнейшим развитием работ [10-12].

Однозначную разрешимость задачи (1), (2) будем изучать с помощью следующих непрерывных

условий склеивания:

х(+іі) = х(—іі), і = 1, 2.

(3)

Задача (1)—(3) эквивалентна совокупности следующих трёх систем нелинейных функциональноинтегральных уравнений (ФИУ) следующего вида:

х(£) = А1 (х; і) = х + і

+ I ^ \ , х(5), У Н ^, 0, тах|х(т) т Є [^1 (0); £2(0)] | ^ ^0 1 ^5, і Є Т1

(4)

?(і) = А2(х; і) = А1(х; і1) + J ^ (5, х(«), У Н ^, 0, тах|х(т) т Є [51 (0); £2(0)]}) ^0 +

І1 \ —те

+ 1Н (в, 0, тах |х(т) т Є [£2(0); ^(0)]}) Й0 1 Й5, і Є Т2, (5)

— ОО

— СЮ

—сю

і

ж(£) = А3(ж; £) = А2(ж; £2) + J Т ( 8, ж(з), У Н ^, 0, шах|ж(т) т € [^(0); $2(0)] |^ й0 +

*2 V -те

*2

+ У н(в, 0, ша^|ж(т) т € [$2(0); ^(0)]}) й0+

*1

+ 1Н ^, 0, шах |ж(т) т € [$1 (0); $2(0)]}^ ^0 I й§, £ € Т3. (6)

*2 /

Для дальнейшего изложения сути данной работы примем следующие обозначения: С(^) —пространство непрерывных функций по всем аргументам в области ^; Бпё(М) —класс функций, ограниченных по норме числом М; Ыр(^ ) —класс функций, удовлетворяющих условию Липшица

по переменным и, V, ... с коэффициентом Ь, а для функции одной переменной индекс будем опускать.

Лемма 1. Пусть неотрицательная функция и(£) € С(Т1) удовлетворяет интегральному неравенству

і

и(і) ^ С (і) + У

■и^и^) + / ш(«, 0)и(0) ^0

^5, і Є Т1,

(7)

где С (і), ■и(і), ш(і, §) —неотрицательные функции из С (ТО, —то <5 ^ і; причём интеграл

ш(і, 5) ^(«) ^5,

где <^(і) может означать любую из трёх следующих функций: и(і), С (і), 1, сходится по і на интервале Т1, сходится 'равномерно на любом его конечном отрезке и

^(5)^(5)+/ ш(«, 0)^(0) ^0

Тогда справедливо неравенство

и(і) ^ ехр < У -и(п) Т(і) + У ^(5) ехр < У V(п) ^

і Є Т1,

(8)

где

Т (і) = С (і) ехр < — / -и(п) ^П+ I ^(^) С (5) ехр < — / V (п) ^П^,

I -і-і 1-і

і Г і 1 і

^ (і) = У ш0(і, 0)Т (0) ^0, ш0(і, 0) = ш(і, 0) ехр і — У ^(п) ^п, V (і) = У ш0(і, 0) ^0.

Доказательство. Обозначим

і 5

и0(і) = У У ш(^, 0)и(0) ^0^5, и (і) = У ^(з)«(з) ^5 + и0(і).

Тогда в силу (7) имеем

— СЮ —СЮ

и(і) ^ С (і) + и (і), і Є Т1.

(9)

і

— СЮ

—сю

і

— оо

і

—сю

—сю

— оо

—сю

—сю

і

Дифференцируя функцию U(t) и используя (9), получаем

U'(t) ^ v(t)U(t) + v(t)C(t) + U0(t), t € Ti.

(10)

Решая дифференциальное неравенство (10) с предельным условием Нш и(£) =0 и учитывая (9), имеем

* £

u0(t) ^ T(t) + J У w0(s, 0)uo(0) d0ds, t € T1

(11)

— СЮ —СЮ

где u0(t) = u(t) exp i — / v(n) dn.

I -^

Обозначая правую часть интегрального неравенства (11) без T(t) через Ui (t), имеем

uo(t) ^ T(t) + Ui(t), t € Ti. (12)

Используя (12) и монотонную неубываемость функции Ui(t) на Ti, получаем

Ui(t) < V(t)Ui(t) + W(t), t € Ti. (13)

Решая дифференциальное неравенство (13) с предельным условием lim Ui(t) = 0 и учиты-

t^ — те

вая (12), окончательно получим (8). □

Лемма 2. Пусть выполняются следующие условия:

1) F (t, x, y) € Lip ^Ln(t)|x; Li2(t)|J, Lii(t) € C(Ti; R+), i = 1, 2;

2) H (t, s, x) € Lip (Li3(t, s) |x), Li3(t, s) € C(Tf; R+);

t t

3) интегралы j H (t, 0, 0) d0, J Li3 (t, 0) d0 сходятся по t на интервале Ti и сходятся рав-

— те — те

номерно на его любом конечном отрезке; t г s

4) J Lii(s) + Li2(s^ Li3(s, 0) d0

ds < to, t € Ti;

5) интеграл f (t) = Ai(0; t) — x те существует при любом t € Ti;

6) f (t) € S^Ti; Rra).

Тогда система ФИУ (4) имеет единственное решение в классе S^Ti; R”), удовлетворяющее неравенству

||x(t)|| < Mi(t), t € Ti, (14)

где

Mi(t) = exp i J Lii(n) dnTi(t) + J Vi(s, 0, Ti)exp i J Vi(n, 0, 1) dnds ,

v—те J L —те vs ) _

T i(t) = Ci(t) exp i — f Lii(n) dn+ f Lii(s)Ci(s) exp i — f Lii(n) dnds,

l —те J —re I —re J

Ci(t) = ||x—те + f (t)|| , а Vi определяется из следующего обозначения:

Vi (t; ai, «2) = Lii(t)ai(t) + Li2(t) J Li3(t, 0) exp i —i • J Lii(n) dn«2(0) d0 (i = 0, 1),

a

;(t) € C(Ti; R+) (j = 0, 1), причём, интеграл в V0 (t; ai, «2) сходится по t на интервале Ti

и сходится равномерно на любом его конечном, отрезке. 18

— ОО

Для различных двух решений x(t) и y(t) системы ФИУ (4) в классе S^Ti; М”) с предельными векторами x—° и y—°, соответственно, справедлива оценка

l|x(t) — y(t)|| ^ ||x—° — y—°|| exp і У Vl (s; І, І) ds J , t Є T1. (l5)

Кроме того, если

fo = sup {||f (t)|| : t Є Ti} < то, (l6)

то это решение ограничено на Ti.

Доказательство. Сначала докажем существование решения x(t) Є C1 (Ti; М”) системы

t

ФИУ (4), для которого интеграл J Тіз (t, 0) ||x(0)|| d0 сходится по t на интервале Ti и сходится

—о

равномерно на любом его конечном отрезке и

S

Lii(s) ||x(s)|| + Li2(s) J Тіз(s, 0) ||x(0)|| d0

ds < то, t Є T1.

Этот класс ж(£) € С^Т1; М”) в условиях леммы обозначен через Б^Т1; М”).

Для системы ФИУ (4) построим последовательные приближения:

ж0(£) = 0, £ € Т1,

жк+1(£) = А (жй; £), £ € Т1, к = 0, 1, 2,....

В силу условий леммы и, используя монотонную неубываемость на Т1 функций

* *

С1(£) = J Ро (8; С1, С1) ^ и С2(£) = J Ро («; 1, 1) ^,

— те —те

из последовательных приближений (17) получаем

||ж1(*)|| < С1(£), £ € Т1, ж1 (£) € Б1 (Т1; Мп);

(l7)

t

—те

—те

\\xk+i(t) - Xk{t)\\ ^ ^k^2y G1(t)(G2(t))k 2, к = 2, 3, , t Є Т\; (18)

k—2 і

\\xk(t)\к = 2,3,..., t Є Ті, я*(*) Є 5і(Ті; Мга); (19)

v=o ‘

||x(t)|| ^ Ci(t) + Gi(t) ■ exp {G2(t)}, t Є Ti.

Из (l8) следует, что последовательность {xk(t)} сходится на интервале Ti и сходится равномерно на его конечном отрезке к некоторой n x 1 векторной функции x(t), которая принадлежит классу C(T1; Мга). Переходя в (l7) к пределу при k ^ то и учитывая (l9), получаем, что x(t) удовлетворяет системе ФИУ (4), x(t) Є S1(T1; Мп).

Покажем единственность этого решения на Ti. Пусть система ФИУ (4) имеет два решения x(t) Є Є S^T1; Мга) и y(t) Є S^T1; Мга). Тогда получим следующую оценку:

t

u(t) ^ У Vo (s; u(s); u(s)) ds

—о

или в развёрнутом виде

t s

x(t) — y(t)|| ^ J Lii(s) ||x(s) — y(s)|| + Li2(s) У L^s, 0) ||x(0) — y(0)|| d0

ds, t Є T1.

Отсюда, применяя лемму 1, получаем, что и(£) = ||ж(£) — у(£) | = 0. Следовательно, решение ж(£) € € БЧТ1; Мп) системы ФИУ (4) единственно.

Оценки (14) и (15) получаются в результате применения леммы 1. Устойчивость решения ж(£) € € Б1 (71; Мп) системы ФИУ (4) относительно предельного данного ж те следует из оценки (15). При этом число 5 > 0 в зависимости от заданного числа е > 0 определяется из неравенства

*1

5 < є exp і — J Vl (t; 1; 1) dt

В силу условия (16) имеем

Co = sup [Ci(t) : t Є Ti] =

x

+ fo < то, T 1(t) < Co, t Є Ti,

Mi(t) ^ C0 exp ^ J Vi (s; 1; 1) ds, t € Ti.

Отсюда из (14) следует ограниченность решения системы ФИУ (4) на Ti. □

Лемма 3. Пусть выполняются следующие условия:

1) выполняются все условия леммы 2;

2) F (t, x, y) € Bnd(M2(t)), 0 ^ M2(t) < to, t € T2;

3) F (t, x, y) € Lip (L2i(t)|x; L22(t)| j , L2i(t) € C(T2; R+), i = 1, 2;

4) H (t, s, x) € Lip (L23(t, s)|x), L23(t, s) € C(T22; R+);

ti t

5) qi < 1, где qi = J Vo (t; 1; 1) dt + J V2 (s) ds, V2(t) = L2i(t) +

+L22(t)

ti t

J Тіз({, 0) d0 ^(t, s) ds

Тогда система ФИУ (5) имеет единственное решение в классе С(Т2; М”).

Доказательство. Воспользуемся методом последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений. При этом положим

Xo(t) = ti, t Є T2,

Xk+i(t) = A (xk; t), к = 0, 1, 2,..., t Є T2.

В силу условий леммы, из (20) получим

||xi(t) — xo(t)| ^ Ci(t) + M2(t), t € T2,

(2Q)

(2l)

l|xk+i(t) — Xk(t)| ^ |Ai(xk; ti) — Ai(xk—1; ti)| +У V2(s) ds ■ ||xk(t) — Xk—1

^ qi |xk(t) — Xk—1

t Є T2.

(22)

— OO

— OO

—OO

— OO

В силу пятого условия леммы из оценок (21) и (22) следует, что оператор A2 (x; t) в правой части системы (5) является сжимающим. Следовательно, система ФИУ (5) имеет единственное решение в классе C(T2; R”). □

Лемма 4. Пусть выполняются следующие условия:

1) выполняются все условия леммы 3;

2) F (t, x, y) € BndeM3(t)), 0 ^ M3(t) < to, t € T3;

3) F (t, x, y) € Lip (L3i(t)|x; L32(t)|J , L3i(t) € C(T3; R+), i = 1, 2;

4) H (t, s, x) € Lip (L33(t, s)|x) , L33(t, s) € C(T32; R+);

t

5) q2 < 1, q2 = qi + J V3 (s) ds, V3(t) = L3i(t) +

t2

+^з2 (t)

tl t2 t

J £із(£, 0) d0 ^(s, 0) d0 + J ^(t, s) ds

tl

t2

Тогда система ФИУ (6) имеет единственное решение в классе С(Т3; М”).

До ка з а т е л ь с тв о. Опять воспользуемся методом последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений. Положим

Xo(t) = t2, t Є Tз,

Xk+i(t) = Аз (xk; t), к = 0, 1, 2,..., t Є Tз.

В силу условий леммы, из (23) получаем,что

||xi(t) — xo(t)| ^ Ci(ti) + M2(t2) + M3(t), t € T3,

(2З)

(24)

|xk+i(t) — Xk(t)| ^ |A2(xk; t2) — A2(xk—1; t2)| Vj(s) ds ■ ||xk(t) — Xk—1

t2

^ 92 ||Xk(t) — Xk—1

t є T?.

(2Б)

В силу пятого условия леммы, из (24) и (25) следует, что оператор А3 (ж; £) в правой части системы (6) является сжимающим. Следовательно, система ФИУ (6) имеет единственное решение в классе С (73; М”). □

Из доказанных выше трёх последних лемм следует, что справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть выполняются условия леммы 4. Тогда задача (1)-(3) имеет единственное решение ж(£) € С (М; М”), которое представимо в виде

A1 (x x(t) = і А2 (x Аз (x

t) , t Є Ti ,

t) , t Є T2,

t), t Є тз.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Магомедов, А. Р. Обыкновенные дифференциальные уравнения с максимумами [Текст] / А. Р. Магомедов. —Баку: Элм, 1991. — 220 с.

2. Мунтян, В. И. К вопросу о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра [Текст] / В. И. Мунтян, В. П. Шпакович / В кн.: Вопросы устойчивости интегральных многообразий в уравнениях математической физики. — Киев: Наукова думка, 1987. — С. 49-55.

3. Петухов, В. Р. Вопросы качественного исследования решений уравнений с максимумами [Текст] / В. Р. Петухов // Изв. вузов. Математика. — 1964. — № 3. — С. 116-119.

4. Voulov, H. D. On the asymptotic stability of differential equations with maxima [Text] / H.D. Voulov, D.D. Bainov // Rend. Circ. Math. Palermo. Ser. 2. — 1991. — Vol. 40, No 3. — Р. 385-420.

5. Bainov, D. D. Justification of the averaging method for functional differential equations with maxima [Text] / D. D. Bainov,

S.D. Milisheva // Nouvelle Serie. — 1984. — Vol. 38 (52) — P. 149-152.

6. Yuldashev, T. K. Introduction to the theory of nonlinear functional differential equations with maxima [Text] / T. K. Yul-dashev, K. H. Shabadikov. —Bishkek: Inst. of Math. of KNAS, 1998. — 128 p.

7. Иманалиев, М. И. Основы качественной теории нелинейных динамических систем с максимумами [Текст] / М. И. Иманалиев, Т. К. Юлдашев. — Ош: КУУ, 1999. — 198 с.

8. Юлдашев, Т. К. Некоторые уравнения с отражающими отклонениями [Текст] / Т. К. Юлдашев. — Ош: ОшГУ, 2005. — 104 с.

9. Юлдашев, Т. К. Об одной динамической системе экономики [Текст] / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Токошева / Актуальные проблемы современной науки: Тр. 5-й международ. конф. молодых учёных. (7-9 сентября 2004, Самара). — Самара: СамГТУ, 2004.—Ч. 1, 2: Математика, Мат. моделирование. — С. 124-125.

10. Yuldashev, T. K. Initial value problem for a system of nonlinear functional differential equations with mixed maxima [Text] / T. K. Yuldashev // Складi системи i процеси. — 2004. — № 1-2. — С. 9-12.

11. Yuldashev, T. K. On a random system of nonlinear functional differential equations with nonlinear mixed random maxima [Text] / T. K. Yuldashev / Abstract book of 16 th international conf. of Jangjeon Math. Society (4-6 July 2005, Antalya, Turkey). — Antalya: Akdeniz univ., 2005. — P. 63.

12. Yuldashev, T. K. On a system of nonlinear functional differential equations with mixed maxima [Text] / T. K. Yuldashev / Тез. докл. 9-ой международ. науч. конф. по проблемам аэрокосмических систем (11-12 ноября 2005, Красноярск). — Красноярск: Сиб. аэрокосм. ун-т., 2005. —С. 205-206.

Кыргызская государственная юридическая академия, г. Ош Поступила 12.04.2006

[email protected]

T. K. Yuldashev

LIMIT VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO POINT MIXED MAXIMUMS

We studied the solvability of limit value problem for a system of integro-differential equations with two points mixed maximums. The method of successive approximations in combination it with the method of compressing mapping used.

Kyrgyz state law academy, Osh city Received 12.04.2006

[email protected]