CC BY
22
6. Гнатюк, В. И. Техника. Техносфера. Энергосбережение / В. И. Гнатюк. [Электронный ресурс] / электрон. дан. Режим доступа : http://gnatukvi.narod.ru/zip_files/ task_mcd.zip. Загл. с экрана.
7. Четыркин, Е. М. Вероятность и статистика / Е. М. Четыркин, И. Л. Калихман. М. : Финансы и статистика, 1982. 319 с.
8. Гнатюк, В. И. Ранговый анализ техноценозов / В. И. Гнатюк, О. Е. Лагуткин. Калининград : БНЦ РАЕН -КВИ ФПС РФ, 2000. 86 с.
9. Фуфаев, В. В. Ценологическое определение параметров электропотребления, надежности, монтажа и ремонта электрооборудования предприятий региона / В. В. Фуфаев. М. : Центр системных исследований, 2000. 320 с.
10. Кудрин, Б. И. Введение в технетику / Б. И. Кудрин. Томск : ТГУ, 1993. 552 с.
11. РД 153-34.0.46.302-00. Методические указания по диагностике развивающихся дефектов трансформаторного оборудования по результатам хроматографического анализа газов, растворенных в масле. М. : АО ВНИИЭ, 2001.
T. М. Chupak, A. Y. Yuzhannikov
FIBONACHCHI NUMBERS AND ESTIMATION OF THE CONDITION POWER TRANSFORMERS
On determined stage of development of the electrotechnical systems in their organizations and operation the cenosical characteristics, which are described by H-distributions reveal. Ideal (harmonious) distribution types in cenosis is described by proportions of the gold section. Examples of this characteristics manifestation at estimation of the condition power transformers are considered .
Принята к печати в октябре 2006 г.
УДК 517. 91
Т. К. Юлдашев КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
С НЕЛИНЕЙНЫМИ ТРЕХТОЧЕЧНЫМИ СМЕШАННЫМИ МАКСИМУМАМИ
Рассматривается однозначная разрешимость краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с нелинейными трехточечными смешанными интегральными максимумами при заданных непрерывных условиях склеивания. При этом используется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.
Рассматривается система нелинейных уравнений с впервые нами в работах [1-7]. В отличие от этих работ в
максимумами вида настоящей работе рассматривается краевая задача для
I 0 0 г Го —о П\ системы дифференциальных уравнений с трехточечны-
x (t) = F(t,x(5.),x(52), тах{т) Ixelô,: 5,1}, ~
w | i 2 jjy> (i) ми нелинейными интегральными максимумами.
t е t Итак, целью данной работы является изучение одно-
значной разрешимости краевой задачи для системы уравнений с нелинейными трехточечными смешанными мак-x(0) = x Х(Т) = х (2)
v ' ’ v ' ’ w симумами. При этом используется метод последователь-
где F (t,x, y, z )e С (о xX3 ) То = [°;T ], 0 < T <~, X с R" - ных приближений в сочетании его с методом сжимаю-
ограниченное замкнутое множество, x(t) е X - неизве- щих отображений.
стная "x1 -мерная векторная функция, Пусть 5. < 5, на множестве Т. и Т_и 5. > 5, на мно-
жестве Т2 иТ4. где Т = [_.;tt], i = 1,4 , t0 = 0, t4 = T,
L0
с краевым условием
8, =8
t, |K, {t,s,x{s))ds e С (r0 x R" ), 0 <8, <T, i =1,2, ^ u T2 u T3 u T4 = T0.
о , о4 , гг Однозначную разрешимость задачи (1), (2) будем изучать
о. Ф о 2 при I е Т„, исключением являются три точки ■! V V ^ \ » \ > .1 .!
1 2 с помощью следующих условий непрерывного склеивания:
0 < t1 < t2 < t3 < T, при которых 81
tt, IK1 (t,, s, x(s) ) ds
= 8
( ,
ti, |K2 (t,, s, x(s) ) ds
0
i = 1,3 , Kt (t, s,x)e C(T02 xX),
х(+^1) = х(—,-), , = 1,2 . (3)
Тогда задачи (1)-(3) на отрезке Т0 эквивалентны совокупности четырех систем нелинейных функциональноинтегральных уравнений (СНФИУ) примут вид
i = 1,2 , x0, xT - заданные конечные "x1 -мерные по- t x (t) = Д (x;t) = x° +
стоянные векторы.
Отметим, что дифференциальные и разностные урав-
нения со смешанными максимумами рассматривались { е Т
+| F (s, x(81), x(82),max |x(x) те [81 ; 82
(4)
г
х(г) = А2(х; г) = А1(х; г1) +
Р(5, х(5.),х(52), тах|х(х) | те [б2 ; 51 ] })
г е Т2;
г
-I
х(г) = А 3(х; г) = А2 (х; г2) +
Р(5,х(5.),х(б2), тах|х(т) | те [б.; 5 2 ] })с},
г е Т3;
х(г) = А 4 (х; г) = хТ -
Р(5,х(5.),х(б2), тах|х(т) | те [б 2; 51 ] })с},
г е Т
Через | у, (г) Ж мы обозначим интеграл | У, (г) С
Т ___ I
на отрезке Т, , = 1,4, г0 = 0, г4 = Т .
Лемма. Пусть выполняются следующие условия:
|Р(г, г,-. , г,_1, г,-1) Л Т I
2) р(г,х,у,¿)еЫр(Цн(г )к;¿,2(г) |у;¿,3(г) |2),
0 < Ы11 (г),, = 1,4,; = 1,3;
3) 5;(г,«)е Ы,р(Ы;(.+3)(Г)|и) , 0 <Ы(+3)(?),, = 1,4,1 = 1,2;
4) К; (г, 5, х) е Ы,р ((г, 5)!х), 0 < К,0 (г, 5),, = 1,4, ; = 1,2;
5) Ч, = Ч , -1+ с,, (г1) < l, 0 (г) = | Ц;(г) +
+М,
I Ц,; (/) • Ы (3+; )(/) I |К,^ (I , 5 )| +
к; (г, 5) &
;=1
+Ы 3(г )ХЦ (3+;)
1=1 0
[х0(/) = 0, г е Т1,
I хт (I) = А 1 (хт_1; г), т е Ж = {1, 2, 3 , ... }, г е Тг
+Ы 13 (5)
(5) г ^ ¿11 (5) • М1
0 1=1
(6) + Х1 (5)
X М1Х 1=1 / 51 V
-5,
5, |к.(5,0, х1(0)) с0
0
5
5, |К] (5, 0, х0(0)) С0
. (7)
-5
V +
г I 3
5, I К} (5, 0, х0(0)) С0
0
х1(5) - х0(] }С5 < ИХ Ы 1; (5) •(! х1( 5) - х0( 5)| +
+М1
£Ы1 (5)¿1(3+у) (5) ||К (5, 0) • ||х (0) - х0 (0)|| С0 +
<
1=1
+Ы13 (5)ХЫ1(3+;) (5)||К (5, 0) • ||х (0) - х0 (0)| С0
1 =1 0
(х^| + М1О^), I е Т .
Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа т > 2, по индукции получим
||х°|| + М1
хт+1 (1) - хт (1 ^ <-
[О1(/)]т, хе Т. (10)
, = 1,4, ч 0 = 0.
Тогда СНФИУ (3 + г) имеет единственное непрерывное решение на отрезке Т,, = 1,4, удовлетворяющее условию Липшица.
Доказательство. Сначала докажем лемму для случая , = 1. Используем метод последовательных приближений. +М1
При этом положим следующие условия:
Из оценок (9) и (10) следует, что последовательность функции {хт (I)}, т е N сходится равномерно по г на отрезке Т к функции х(I) е X, которая является решением СНФИУ (4).
Если положим, что СНФИУ (4) имеет два решения: х(/) и у(/) на отрезке Т1, то имеем оценку вида ||х (I) - у^ ^1 <
(8)
В силу первых трех условий леммы из итерационного процесса (8) получаем
|х1 (I) - х0 (I)| <||х^| + М1, I е Т1; (9)
г
||х2 (г) - *1 (г) || < |[ Ы11 (5) || х1 (51) - х0 (50)| +
0
+ Ы12 (5^| ^1 (52) - х0(52)| +
х{х 1(т)|те [51; 52 ]}-с{х0(т)|те [50; 52]^^<
|]ХЫ1; (5) IIх(5) -у(5)|| +
0 [ 1=1
2 ГИ
IЦ ; (5) ¿1(3+ .)(5) Ц К (5 , 0)|-| |х^0) ^у С 0 +
1=10
+¿13 (5)Х¿1(3+10 (5)|||К0 (5, 0)|| • ||х(0) - у(0)1 С0
о
г
161(5)!х (5) - у (5)|С, г е Т ,
1=1
<
(11)
где через 6Х (г) обозначена подынтегр^ьная функция в О1(г).
Применяя к выражению (11) неравенства типа Грону-олла-Бельмана на отрезке Т1, получаем ||х(г) - у (г )|| = 0, т. е. решение системы (4) является единственным на отрезке Т1 .
Доказательство леммы в случае , = 2 . Используем метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений. При этом положим следующие условия:
[х0(г) = х1, ге Т,,
|хт (г) = А2 (хт-1; г), т е N, г е Т2.
В силу первых трех условий леммы из итерационного процесса(12) получаем
||х1(г) - х0(г)|| <| |х0|| + М1 + М2, t е Т 2; (13)
||хт+1(г) - хт (г) | < | А2 (хт ; г )- А2 (хт-1 ; г)|| <
<1 |А1 (хт ; г1 )- А1 (хт-1; г1 )|| +
+ | Х Ы 21 хт (5т ) - хт-1(5т-‘)| +
г1 1 =1
+L 23 (5)
X (т)іхє[5 m; 5 m ]}
nax{xm(t)|тє[5m-1; 5m-1 ]}||]ds <
<NXL1У (0) 'II Xm(9)- xm-1(0)1 +
+M,
>d 0 +
>ds <
X L1 j (0)¿1(3+ .) (0) J |K0 (0 , %)| • I\xm (%) - Xm-1 (%)|| d% +
j=1 0
+¿13 (0)ї¿1(3+]) С0)/1К (0, к © - хт_х ©|| ^
і=1 0 _
+ } іХ 1 2і (5) IIХт (5) - Хт-1 (+
4 і і=1
2 *
Х ¿2і 0^2(3+і) (і) 11|К ( , п)|| • \хт (П) - Х„-1 №11 4П + і^1 0
+¿23 (і)Х ¿2(3+і) (і) 1|КІ (* ’ П ) ІХт (П) - Хт-1 (П^|4П і=1 0 _
^ °1 (І1 ) • || Хт (0) - Хт-1 (0)|| + С2 (І) • || Хт (І) - Хт-1 (І^ ^
^ ?2 •)\Хт (І) - Хт-1(0||. І Є Т2 • (14)
В силу последнего условия леммы из оценок (13) и (14) следует, что оператор А (х; £) в правой части СНФИУ (5) является сжимающим. Следовательно, СНФИУ (5) имеет единственное непрерывное решение, удовлетворяющее условию Липшица на отрезке Т2.
Доказательство леммы для случаях і = 3, 4 можно провести аналогичным образом.
Из доказанной выше леммы следует, что справедлива теорема.
Теорема. Пусть выполняются условия леммы. Тогда задачи (1)-(3) имеют единственное решение на отрезке Т0, которое представимо в виде
A (x;t), te t,
A2 (x;t), t e T2,
A3 (x;t), t e T3,
A4 (x;t), t e T4.
В заключение отметим, что в теоретическом отношении результаты статьи являются дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений с максимумами. Доказательство теоремы конструктивно и позволяет построить алгоритмы при численных расчетах прикладных задач. Полученные результаты могут найти применение в теории колебаний и автоматического регулирования.
Библиографический список
1. Юлдашев, Т. К. Начальная задача для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со смешанными максимумами по времени / Т. К. Юлдашев // Исследов. по интегро-дифференциаль-ным уравнениям. Бишкек : Илим, 2001. Вып. 30. С. 222-225.
2. Юлдашев, Т. К. Краевая задача для системы функционально-дифференциальных уравнений с одноточечными интегральными смешанными максимумами / Т. К. Юлдашев // Складш системи i процеси. 2006. № 1. С. 3-9.
3. Юлдашев, Т. К. Функционально-дифференциальные уравнения со смешанными максимумами / Т. К. Юлдашев // Геометрия в Одессе - 2006. Дифференциальная геометрия и ее приложения : тезисы межд. семинара (Одесса, 22-27 мая 2006 г.). Одесса, 2006. С. 167-169.
4. Yuldashev, T. K. Initial value problem for a system of nonlinear functional differential equations with mixed maxima / T. K. Yuldashev // Складш системи i процеси. 2004. № 1-2. С. 9-13.
5. Yuldashev, T. K. On a random system of nonlinear functional differential equations with nonlinear mixed random maxima / T. K. Yuldashev // Abstract book of 16 th intern. Conf. of Jangjeon math. soc. (Antalya, 4-6 July 2005). Antalya : Akdeniz Univer., 2005. P. 63.
6. Yuldashev, T. K. Mixed problem for a nonlinear equation with nonlinear mixed maxima / T. K. Yuldashev // Складш системи i процеси. 2005. N° 2. С. 3-8.
7. Yuldashev, T. K. On a nonlinear system of functional difference equations with nonlinear complicated mixed maxima / T. K. Yuldashev // Advan. Stud. in Contemp Math. (S. Korea). Vol. 13. № 1 (2006). P. 1-5.
T. K. Yuldashev
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR THREE POINT MIXED MAXIMA
It is proved a theorem of existence and uniqueness of solution of the nonlinear system of functional differential equations with nonlinear mixed integral maxima. It is used the method of successive approximation in combination with the method of compressing mapping.
