CC BY
9
УДК 519.634
ОБРАЗОВАНИЕ НЕОДНОЗНАЧНОСТЕЙ НА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОМ РАЗГОНЕ ПЛАВАЮЩЕГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
© 2014 г. М.В. Норкин, А.А. Яковенко
Норкин Михаил Викторович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: norkin@math.sfedu.ru.
Яковенко Антон Александрович - аспирант, кафедра вычислительной математики и математической физики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090.
Norkin Michail Viktorovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Professor, Department of the Computational Mathematics and Mathematical Physics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: norkin@math.sfedu.ru.
Yakovenko Anton Aleksandrovich - Post-Graduate Student, Department of the Computational Mathematics and Mathematical Physics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090.
Исследуется совместное движение идеальной несжимаемой однородной жидкости и полностью погруженного в нее эллиптического цилиндра на малых временах. Предполагается, что цилиндр движется из состояния покоя в горизонтальном направлении с постоянным поступательным ускорением и вращается вокруг своей оси с постоянным угловым ускорением. Предложен численно-аналитический метод моделирования таких течений с образованием неоднозначностей на свободной поверхности жидкости.
Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, эллиптический цилиндр, неоднозначности на свободной границе, малые времена, число Фруда.
Investigate the joint motion of an ideal incompressible fluid and is completely immersed in her elliptical cylinder at short times. It is assumed that the cylinder is moved from a state of rest in a horizontal translational direction at constant acceleration and rotates around its own axis with a constant angular acceleration. We propose a numerical and analytical method for modelling such flows with the formation of the ambiguities on the free surface of the liquid.
Keywords: ideal incompressible fluid, elliptic cylinder, ambiguities on the free surface, small times, Frud number.
В статье [1] рассматривалась задача о начальном этапе движения эллиптического цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости с учетом отрыва частиц жидкости от поверхности цилиндра. При этом предполагалось, что форма внешней свободной границы жидкости определяется однозначной функцией. Однако в ряде случаев движение тела в жидкости на малых временах сопровождается образованием неоднозначностей на свободной границе, что в свою очередь приводит к обрушению волн. В настоящее время подробно исследованы процессы обрушения волн, вызванные поступательным движением кругового цилиндра [2] (обрушение происходит уже после разгона цилиндра, когда рассматривается режим движения с постоянной скоростью). Исследование этих вопросов для случая поступательно-вращательного движения эллиптического цилиндра не проводилось. Вместе с тем вращение контура и его форма оказывают существенное влияние на процессы, приводящие к обрушению волн. Отметим также, что при поступательном разгонном движении (без вращения) эллиптического цилиндра на свободной границе может возникнуть особенность (появиться острие) за очень маленький промежуток времени. Такая картина течения наблюдается для эллиптического цилиндра, вытянутого в вертикальном направлении.
Постановка задачи
Рассматривается эллиптический цилиндр, полностью погруженный в идеальную несжимаемую жидкость, занимающую ограниченную область прямоугольной формы. Предполагается, что цилиндр начинает свое движение из состояния покоя и движется в горизонтальном направлении с постоянным поступательным ускорением, совершая при этом вращательные движения вокруг своей оси с постоянным угловым ускорением. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в подвижной системе координат, центр которой совпадает с геометрическим центром эллипса, ось х направлена по горизонтали, а ось у - вертикально вверх, имеет вид ДФ = 0, Я еП(/), (1)
щ) ^ +1 (уф)2 + Ег _ 2 (у - Н ) = 0, дГ дх 2х ' V / >
Я е ЗД,
дФ дп дФ дп
Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам:
= -h(t)ys + yx - xtys, R e S2(t)>
= h(t)nx + ((t){ynx - xny R e Sj
0Ф Л rr 0Ф Л rr
— = 0, y = -H_; — = 0, x = Hr - h(t), oy ox
x = -HL - h(t),
Ф(x, y,0) = 0, x(s,0) = s, y(s,0) = H, Л
h(t) = 1 2 2 a(t): 1 = — ю 2
Fr юг = wra w0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
t' = (-—t, x' = ax, y' = ay, Ф' = ^»дяФ, p' = pw0ap .
\w0
где штрихами помечаются размерные величины.
Связь между неподвижными координатами X, Y,
подвижными x, y и координатами xj, yj, жестко связанными с осями эллипса, устанавливается при помощи соотношений (a = a(t)): X = x + h(t), Y = y, x = xjcos a + yjsin a, y = -xjsin a + yjcos a .
Здесь Ф^, y, t) - потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный относительно подвижной системы координат x, y; Q (t) - область, занятая жидкостью; Sj - поверхность цилиндра; S2 (t) - свободная граница жидкости; р = const -плотность жидкости; p - давление; h(t) и a(t) -перемещение и угол поворота цилиндра; W0 и Wr -поступательное и угловое ускорения цилиндра; Fr -число Фруда; g - ускорение свободного падения; a
и b - полуоси эллипса; R - радиус-вектор с координатами (x, y).
На свободной поверхности жидкости выполняются динамическое и кинематическое условия (2)-(3). В случае, когда свободная граница не имеет однозначной проекции на ось x, удобно ее задавать параметрически. В данном случае форма свободной границы жидкости относительно подвижной системы координат задается с помощью функций:
x = x(s, t), y = y(s, t), x(0, t) = 0 где s - длина дуги кривой. В каждый момент времени t функции x(s, t) и y(s, t) удовлетворяют соотношению
(7)
После решения задачи (1)-(7) давление в жидкости определяется на основании интеграла Коши-Лагранжа:
p = po-[f- h(t) f + J (УФ)2 + Fr "2 (y - H) где p0 - безразмерное атмосферное давление.
Асимптотическое решение задачи на малых временах
Потенциал скоростей Ф(x, y,t), а также функции x(s, t), y(s, t), определяющие динамику внешней свободной границы жидкости, будем разыскивать в виде следующих асимптотических разложений (t ^ 0):
Ф(x,y,t) = tФ0(x,y) + t2Ф1(x,y) + t3Ф2(x,y) + o(t3) , (8)
2,2-,
x2 + ys = 1 •
_b_ a
x(s, t) = x0(s) + xj(s)t + x2 (s)t + + x3(s)t3 + x4(s)t4 + o(t4),
y(s, t) = H + yj (s)t + y2 (S)t2 + Уз (s)t3 + + У4 (s)t4 + o(t4),
(9)
r
где коэффициенты разложения (9) удовлетворяют условиям: хг (0) = 0, г = 0...4 .
Подставляя (9), (10) в определяющее соотношение (7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях I, получим
х0^)2 = 1, х0^) х1(з) = 0, х1(5)2 + 2x0(5) х2(^) + У1 (5) 2 = 0, х0 (5) х3 (5) + х (5) х2 (5) + у1 (5) у2 (5) = 0, х2 (5) 2 + 2х0 (5) х4 (5) + 2х1 (5) х3 (5) + + У2(5)2 + 2у1(5)у3(5) = 0.
Далее, подставляя (8)-(10) в кинематическое уравнение свободной границы (3), в главном приближении по времени придем к равенству
-(^ (х0(5),Я) = -У1(5) + 0(0, I ^ 0.
ау
Используя полученные соотношения, последовательно находим
х0 (5) = 5, х1 (5) = 0, (5) = 0, х2 (5) = 0, хз (5) = 0,
1 * 9
= -1J y2(t )2 dt.
2 0
(11)
5Ф,
dn
дФр dy
= nx +юг (ynx —xny), R e Si; Фо = 0, y = H;
= 0, y = -Hb;
5фо
dx
■ = 0, x = HB, x = —Ht ;
АФ2 = 0, R eQ(0); ЗФ 1
= —ю,R e S ;
dn 2
9ФП d^n d2 Фп
" я,"ny--nx +-2T(ynx + xny ) +
dx dy dx2
d 2Ф 0
+ ^T-ü (y"y— xnx)—ny; dxdy
3Ф 2 = —^ y2(s) — 1 — Fr — 2 y2 (s), y = H;
x = Hr , x = —Hl .
=0, у=-Нь; йф? = 1 £Фс.
Йу ' ЙГ 2 ах2
Отметим, что подвижные кординаты х1, >>1 используются только при формулировке граничных условий на поверхности цилиндра. Чтобы получить соответствующие граничные условия для функций Ф0 и Ф2, нужно записать краевое условие (4) в подвиж-
ных координатах и для произвольной фиксированной точки контура с координатами х1, >1 провести разложения в ряды по степеням малого параметра t.
Функция Ф1(х, у) оказывается равной нулю, так как для ее определения возникает смешанная краевая задача для уравнения Лапласа с нулевыми граничными условиями.
Коэффициенты >2(5), >3(5), >4(5) находятся из равенств дФп
dy
-(s, h) = 2y2 (s), y3(s) = 0, dф 2
(12)
4y4(s) = —2(s,H) + y2(s).
dy
Проведенные рассуждения показывают, что решение исходной задачи следует искать в виде (t ^ 0)
Ф(х, у, t) = tФ0 (х, у) +13Ф2 (х, у) + о( 3 ), (13)
x(s,t) = s + x4(s)t4 + o(t4),
y(s, t) = H + y2(s)t2 + y4 (s)t4 + o(t4),
(14)
Теперь, подставляя (8)-(10) в уравнение и граничные условия задачи (1)-(6), перенося краевые условия с возмущенных участков границы области О ^) на первоначально невозмущенные уровни с помощью соответствующих разложений в ряды на малых временах, получим для определения функций Ф0(х, у) и Ф2(х, у) смешанные краевые задачи теории потенциала в первоначально невозмущенной области (прямоугольнике с выброшенным эллипсом): ДФ0 = 0, Я еО(0);
где функции у2(5) и у4(5) определяются на основании формул (12), а функция х4(5) выражается через функцию у2(5) по формуле (11).
Численная реализация и анализ результатов
Для решения задачи о поступательно-вращательном разгоне эллиптического цилиндра (1)-(6) применяется численно-аналитический метод, в основе которого лежат асимптотики на малых временах. Динамика задачи описывается аналитическими формулами (13), (14), где коэффициенты асимптотического разложения (13) определяются в результате решения смешанных краевых задач теории потенциала в фиксированной области О (0). Последние задачи решаются численно методом конечных элементов с применением пакета РгееРеш++ [3].
В качестве первого примера на применение полученных формул рассмотрим задачу о поступательно-вращательном разгоне эллиптического цилиндра, которая характеризуется следующими значениями параметров: ¥т = 1, е = 2, юг = 1,5 , Н = 2,5 , Иь = 2,5, Ня = 10, Нь = 10 . На рис. 1 показаны положение цилиндра и форма внешней свободной поверхности жидкости в моменты времени t = 0,5; 0,8; 1. Хорошо
видно, что на свободной границе образуется впадина и вместе с ней появляются неоднозначности и формируется острие.
Другая картина появления неоднозначностей на свободной границе наблюдается при крутильном разгоне цилиндра (рис. 2, ¥т = 1, е = 1,5, И = 1,65 , Нь = 2, Ня = 10, Нь = 10 , t = 1,5). В этом случае безразмерные переменные вводятся по-другому:
,, I 1-1/2, , , ... 2| |1/ 2
t = |wr | t, x = ax, y = ay, Ф = a \wr\ Ф. P' = P |wr|a 2 P.
1/2
Новое число Фруда определяется по формуле
Fr =
I w.
g
Рис. 2. Крутильный разгон цилиндра (t = 1,5 )
Заметим, что при крутильном разгоне неоднозначности появляются не на гребне волны, а на дне впадины.
Интересно отметить, что при разгонном движении эллиптического цилиндра без вращения на свободной границе может образоваться особенность. Такая картина течения наблюдается при следующих значениях параметров: ¥г = 0,8, е = 2 , юг = 0 , Н = 2,7, Нь = 2,5, Нк = 10, Нь = 10 . На рис. 3 показана форма внешней свободной границы жидкости в момент времени t = 1,5 .
Рис. 3. Появление особенности при горизонтальном разгоне цилиндра (t = 1,5 )
Выводы
Рис. 1. Поступательно-вращательный разгон цилиндра: а - t = 0,5 ; б - t = 0,8 ; в - t = 1
Математическая постановка задачи о крутильном разгоне в безразмерных переменных будет отличаться от (1)-(5) только граничным условием на поверхности цилиндра:
5Ф 1 \ ос
0Ф i -ф=
В работе приведены конкретные примеры, демонстрирующие образование неоднозначностей на свободной поверхности жидкости при поступательно-вращательном и крутильном разгоне плавающего эллиптического цилиндра. Показано, что за конечное время на свободной границе может возникнуть особенность. Преимущество применяемого подхода в том, что он позволяет рассматривать задачи для достаточно произвольных, первоначально невозмущенных областей (предполагается, что твердые границы допускают гладкую параметризацию).
а
б
в
r
Литература
1. Норкин М.В., Яковенко А.А. Начальный этап движения эллиптического цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами // Вычисл. математика и мат. физика. 2012. Т. 52, № 11. С. 2060-2070.
Поступила в редакцию_
2. Горлов С.И. Нестационарная нелинейная задача о гори-
зонтальном движении контура под границей раздела двух жидких сред // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 3. С. 37-43.
3. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета ко-
нечных элементов ЕгееЕеш++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д, 2008. 256 с.
_2 октября 2013 г.
