CC BY
20
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
УДК 519.634 DOI 10.18522/0321-3005-2017-1-42-46
ОТРЫВНОЙ УДАР И КАВИТАЦИОННОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПОД СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ
© 2017 г. М.В. Норкин
SEPARATION IMPACT AND CAVITATIONAL BRAKING OF THE CYLINDER UNDER THE FREE SURFACE OF HEAVY LIQUID
M. V. Norkin
Норкин Михаил Викторович - Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: norkinmi@mail.ru
Michail V. Norkin - Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor, Department of Mathematics and Mathematical Physics, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: norkinmi@mail.ru
В плоской постановке исследуется задача удара и последующего торможения твердого тела в идеальной и несжимаемой жидкости. Особенностью этой задачи является то, что удар цилиндра, полностью погруженного в жидкость, приводит к отрыву частиц жидкости от его поверхности и образованию растущей присоединенной каверны за телом. После удара могут возникнуть дополнительные кавитационные зоны, обусловленные законом движения цилиндра и физическими параметрами задачи. Для определения новых зон отрыва формулируется специальная задача с односторонними ограничениями, аналогичная классической задаче об ударе с отрывом. Так как зоны отрыва заранее неизвестны, то данная задача является нелинейной и относится к классу задач со свободными границами. Для нахождения ее приближенного решения применяется специальный итерационный метод, сводящий исходную нелинейную задачу к последовательному решению линейных краевых задач с фиксированными точками отрыва. Последние задачи решаются численно, с применением метода конечных элементов. В качестве конкретного примера рассматривается задача для эллиптического цилиндра. Показано, что безразмерное ускорение цилиндра оказывает существенное влияние на расположение дополнительных зон отрыва и их связность. Предложенная математическая модель может быть использована для решения практических задач корабельной гидродинамики.
Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, кавитационное торможение, асимптотика, свободная граница, каверна, малые времена, число Фруда, число кавитации, дополнительные кавитационные зоны.
The two-dimensional problem of hydrodynamic impact and the subsequent braking of a solid body in ideal and incompressible liquid is investigated. Feature of this problem is that the impact of the cylinder which is completely shipped in liquid leads to a separation of particles of liquid from its surface and to formation of the growing attached cavity behind a body. Besides after impact there can be additional cavitational zones caused by the law of movement of the cylinder and physical parameters of a problem. For determination of new cavitational zones the special problem with unilateral restrictions, similar to a classical problem about impact with a separation is formulated. As zones of a separation are in advance unknown, this problem is nonlinear and belongs to the class ofproblem with free borders. The special iterative method reducing an initial nonlinear problem to the consecutive solution of linear regional problems with the fixed separation points is applied to finding of her approximate decision. The last problems are solved in number, using a finite-element method. As a specific example the problem for the elliptic cylinder is considered. It is shown that di-mensionless acceleration of the cylinder has significant effect on an arrangement of additional zones of a separation and their connectivity. The offered mathematical model can be used for the solution ofpractical problems of ship hydrodynamics.
Keywords: ideal incompressible liquid, cavitational braking, asymptotics, free border, cavity, small times, Froude's number, cav-itation number, additional cavitational zones.
В статьях [1-4] рассматривалась задача о движении кругового цилиндра в жидкости после отрывного удара на малых временах с постоянной скоростью. Ее решение строилось с учетом двух важных физических условий - конечности скорости жидкости в точках отрыва (условие Кутта -Жуковского) и положительности давления на смо-
ченной поверхности тела. Было показано, что первому условию можно удовлетворить, если учесть динамику точек отрыва внутренней свободной границы жидкости. При этом второе условие выполняется не во всех случаях. Может возникнуть ситуация, когда после удара образуется каверна и вместе с ней появляются области отрицательных
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
давлений на смоченной поверхности тела. Таким образом, возникают два типа кавитационных зон. Одни из них вызваны ударом, а вторые обусловлены законом движения цилиндра после удара и физическими параметрами задачи. Основные трудности, возникающие при решении таких задач, связаны с тем, что при построении регулярного решения задачи необходимо учитывать динамику точек отрыва основной кавитационной зоны, образованной в результате удара. Вместе с тем анализ решения задачи для кругового цилиндра, проведенный в [14], показывает, что главное приближение для давления не зависит от динамики точек отрыва и, следовательно, дополнительные зоны отрыва можно определить независимо от условия Кутта - Жуковского. Проведенные рассуждения справедливы и для более общего случая - движения цилиндра после удара с постоянным ускорением (разгон или торможение). Отметим, что торможение тела в жидкости способствует образованию дополнительных кавитационных зон. В настоящей работе для произвольного плоского тела с гладкой границей определяются первоначальные зоны отрыва, соответствующие двум типам кавитационных зон. В математическом плане дело сводится к последовательному решению двух смешанных краевых задач теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. Первая из них - классическая задача об ударе с отрывом [5]. С ее помощью находится основная кавитационная зона, вызванная ударом. Вторая задача, совпадающая по своей структуре с первой, служит для определения дополнительных кавитационных зон. В качестве конкретного примера рассматривается задача о кавитацион-ном торможении эллиптического цилиндра после отрывного удара. Обзор работ по близкой проблеме проникания тела в жидкость с образованием кавита-ционной зоны впереди тела приводится в [6].
Общая постановка задачи
Рассматривается плоская задача о горизонтальном отрывном ударе твердого тела под свободной поверхностью идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости. Предполагается, что после удара скорость тела уменьшается по линейному закону (происходит торможение тела в жидкости). При определенных условиях наряду с основной зоной отрыва, вызванной ударом, образуются дополнительные кавитационные зоны, обусловленные законом движения цилиндра после удара и физическими параметрами задачи (числами Фруда и кавитации). В общем случае зона отрыва представляет собой несвязное множество. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в
подвижной системе координат, связанной с телом, имеет вид
ДФ = 0, Я еП(0 , (1)
5Ф •
— = h(t)nx, R е Sn(t),
on
(2)
0Ф • 0Ф 1 / ч? ?
h(t) — + - (уф)2 + Fr -2( y - H)= 0,
ot ox 2
q = 0,5x, R е Si2(t); q = P0, R е Sn(t) ,
(Ф x - h(t)) x + Ф yy
I
x2 + y2
Ro (0) +
00
0 (t) +
0(t) = R-2[Фyx- (Фx -h(t))yjR е S-2(t) uSB(t)
0Ф • 0Ф 1 / 49 9
__- h(t) — + - (УФ)2 + Fr - 2^(x, t) = 0,
ot ox 2
R е S2(t),
cy dx
"5Ф if ' ---h(t)
ox
+ —, R е S2(t) , dt 2
(3)
(4)
(5)
(6)
УФ ^ 0 , Я ^ да, (7)
Ф(х, у,0) = Фо(х, у), £,(х,0) = 0, Л(6,0) = 0, (8)
й(г) = 1 -аг. (9)
Течение жидкости в момент, непосредственно следующий после удара (в начальный момент времени), определяется решением следующей смешанной краевой задачи теории потенциала с неизвестным априори разбиением границы тела на зоны отрыва и контакта [5]: ДФ0 = 0, Я е 0(0),
дФ 0
дп 5Ф о
= nx, Фо < 0, R е Sii(0), > nx, Ф0 = 0, R е S-2(0),
(10)
дп
Ф0 = 0, Я е £2 (0) ,
УФ0 ^ 0, Я ^ да .
Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам
{ = —/, X = ах, у' = ау, Ф' = а¥0Ф, р' = рК02р,
Ъ
где штрихами помечаются размерные величины.
Неподвижные координаты X, У связаны с подвижными х, у соотношениями Х=х+к({), У=у.
Здесь и далее используются следующие обозначения: Ф(х, у, /) - потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный относительно подвижной системы координат; О.^) - область, занятая жидкостью; £ц(0 - часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыва частиц жидкости; £12(0, £13(0 - оторвавшиеся от поверхности цилиндра внутренние свободные границы жидкости (£12 ) - основная, а £13 (0 - допол-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
нительная); S2 (t) - внешняя свободная поверхность жидкости; р = const - плотность жидкости; V0 - скорость, приобретенная телом в результате удара (скорость тела в начальный момент времени); a - радиус цилиндра; H - глубина его погружения; R - радиус-вектор с координатами (xy).
Задача (1)-(9) содержит безразмерные пара-
метры
Fr =
Vn
~ Рл _ Рг —na p„
% = 2 Ра -pc , ю=-0г , Ро =- a
Р = Ро-
i,® 1 (уф)2+Fr-2 {y _ и)
dt dx 2v ; ^ ;
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
Определение дополнительных кавитационных зон
4g¿' pV2 V2 ■ "" pV0z
где Fr - число Фруда; x - число кавитации (безразмерная разность давлений на внешней свободной поверхности жидкости и в основной каверне); pa - атмосферное давление; pc - давление в основной каверне; g - ускорение свободного падения; юо - ускорение тела. Через ю и ро обозначены обезразмеренные величины юо и pa .
На внешней и внутренних свободных границах ставятся динамические и кинематические условия (3)-(6). Предполагается, что на внешней свободной границе S2 (t) действует атмосферное давление (Р = Pa). На внутренней свободной границе S^(t) -давление р = pc, где pc - давление насыщенных паров жидкости или газа (pc и 0), либо давление газа в каверне при искусственной кавитации (в естественной ситуации, когда pc и 0, справедливо равенство x = 2 po). На дополнительных свободных границах S^(t) давление совпадает с давлением насыщенных паров (p и 0).
Кинематическое условие на S^t) и S^(t) записывается в полярных координатах r, 9 (x = r cos 9, y = r sin 9). Уравнения внешней и внутренних свободных границ относительно подвижной системы координат имеют вид
y = H + £(x,t); r = R0(9) + Л(9,t), где r = R0 (9) - параметрическое уравнение границы тела.
В точках пересечения внутренних свободных границ с поверхностью цилиндра (в точках отрыва) ставится условие Кутта - Жуковского, означающее, что скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.
После нахождения потенциала скоростей Ф давление в жидкости определяется на основании интеграла Коши - Лагранжа:
Образование новых зон отрыва происходит сразу по конечным и в большинстве случаев немаленьким участкам поверхности тела (аналогия с [7]). При этом важную роль играют первоначальные зоны отрыва 51э(0), которые получаются предельным переходом при t ^ 0 границ Slз(t). Для их определения необходимо сформулировать дополнительные динамическое и кинематическое условия типа неравенств.
Решение поставленной задачи на малых временах будем разыскивать в виде следующих асимптотических разложений (t ^ 0):
Ф(х, 0 = Фо (х, у) + /Ф1 (х, у) + а(0, (11)
S(x,t) = rfio(x) + 12^j(x) + o(t2),
r,(0,t) = tno(0) +14(0) + o(t2) .
(12) (13)
Подставляя (11)—(13) в (1)-(9), осуществляя снос краевых условий с возмущенных участков границы области на первоначально невозмущенный уровень и учитывая дополнительные условия в виде неравенств, придем для определения функции Ф1 к смешанной краевой задаче теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела:
ДФ1 = 0 , Я е0(0) , Ф1 = /(Ф0), Я е £2(0), (14)
0Ф
dn
1 = _-nx , Ро _Ф1 + /(Фо)_Fr 2(y_И)> о
R е 5п(о):
(15)
0Ф
dn
'i 7
1 >_-nx, Ро _Ф1 + /(Фо)_Fr~2(y_И) = о,
R е ^(о),
Ф1 _ /(Фо ) + Fr _2 (y _ И) _ о,5% = о, R е ^(о) , УФ1 ^ о, R ^ да ,
/(Фо) = °Ф°_ 1 (УФо)2 .
(16)
(17)
(18)
дх 2
Неравенство в (15) означает, что давление на смоченной поверхности тела (в главном приближении по времени) должно быть неотрицательным. Для его получения нужно подставить разложение (11) в выражение для давления и ограничиться старшими членами. Неравенство в (16) говорит о том, что жидкие частицы не могут входить внутрь твердого тела, хотя им разрешается отрываться от твердой границы. Обоснование этого неравенства проводится по аналогии с [4]. Подставляя разложения (11)—(13) в кинематическое уравнение внутренней свободной границы жидкости (4) и осуще-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
ствляя процедуру сноса, получим для определения коэффициента ^q(Q) равенство
Ло(9) = R WR (б)2 + Rq(0)2
5Фо дп
Так как при ударе в зоне £13(0) отрыва не происходит, то потенциал Фо , определяющий течение жидкости в начальный момент времени, должен удовлетворять условию безотрывного обтекания в этой зоне. Следовательно, выражение в квадратных скобках равно нулю. Таким образом, коэффициент ^о(б) = 0 и возмущение дополнительных внутренних свободных границ жидкости на малых временах представимо в виде (/ ^ 0)
|6, ^ = Лц(6) + о(Г2). (19)
Повторяя указанную выше процедуру, получим для определения коэффициента гц(6) равенство
л 1(6) = 0,5Ro WR0(б)2 + Ro(0)2
дф1
дп
■ + ипт
Из асимптотической формулы (19) вытекает, что функция г|1((Э) должна быть неотрицательной. Действительно, нарушение этого условия означало бы, что при малых / часть внутренней свободной границы находится внутри цилиндра, что невозможно. Из неотрицательности функции 11(6) следует выполнение кинематического условия типа неравенства в (16).
Численная реализация и анализ результатов
Для определения дополнительных кавитацион-ных зон возникает задача с односторонними ограничениями (14)-(18), совпадающая по своей структуре с классической задачей об ударе с отрывом (10). Отсюда следует регулярность решения этой задачи в точках отрыва и возможность применения для ее решения известных численных методов. В настоящей работе для решения задачи (14)—(18) используется специальный итерационный метод, в котором последовательно уточняются неизвестные заранее зоны отрыва и контакта частиц жидкости [1-4]. Исходная нелинейная задача (с неизвестной дополнительной зоной отрыва) сводится к последовательному решению линейных краевых задач с фиксированным разбиением границы тела на области задания краевых условий типа Дирихле -Неймана. На каждом шаге итерационного процесса новые приближения к точкам отрыва дополнительных кавитационных зон определяются из условия локального отрицательного минимума давления на смоченной поверхности тела. Процесс заканчивается, когда зоны отрицательных давлений исчеза-
ют. Отметим также, что указанные линейные задачи решаются численно методом конечных элементов с применением пакета РгееРеш++.
В качестве конкретного примера рассматривается задача о кавитационном торможении эллиптического цилиндра под свободной поверхностью идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости после его отрывного удара. Исследование задачи проводится при следующих фиксированных значениях параметров: ¥т = 3, % = 0,7 , ро = 0,35 (естественная ситуация), Н = 1,3, е = 0,5, где е = Ь /а ; а и Ь - полуоси эллипса. При этом рассматриваются случаи, соответствующие различным ускорениям цилиндра. При ю = 2 образуются две дополнительные ка-витационные зоны (рис. 1). Увеличение ю приводит к слиянию этих зон и образованию одной большой кавитационной зоны в передней части тела. На рис. 2 (ю = 3,8) дополнительные зоны отрыва расположены уже достаточно близко друг к другу. Интересно отметить, что при уменьшении ю эти зоны уменьшаются, но сразу не исчезают.
Рис. 1. Образование двух дополнительных зон отрыва: Fr = 3, ю = 2 / Fig.1. The formation of two additional separation zones: Fr = 3, ю = 2
Рис. 2. Зоны отрыва при увеличении ю : Fr = 3, ю = 3,8 / Fig. 2. Separation zones with increasing of the ю : Fr = 3, ю = 3,8
На рис. 3 изображены зоны отрыва, соответствующие случаю, когда после удара цилиндр движется с постоянной скоростью (ю = 0 ). Хорошо видно, что верхняя зона отрыва сильно уменьшилась, а нижняя зона практически соединилась с основной кавитационной зоной (между ними имеется очень маленький зазор).
В предыдущих рассуждениях менялось только ускорение цилиндра, а остальные параметры были фиксированы. Однако другие параметры также влияют на формирование дополнительных кавита-ционных зон. Если, например, зафиксировать все параметры задачи, за исключением числа Фруда, то
— п
x
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
при уменьшении этого числа дополнительные ка-витационные зоны будут исчезать.
Рис. 3. Зоны отрыва при уменьшении ю : Fr = 3, ю = 0 / Fig. 3. Separation zones with decreasing of the ю : Fr =3, ю = 0
На рис. 4 показаны первоначальные зоны отрыва при Fr = 1,5 , ю = 2 (остальные параметры не меняются). Отметим также, что при искусственной подаче газа в основную каверну (при уменьшении числа х) дополнительные зоны отрыва исчезают.
Рис. 4. Зоны отрыва при изменении числа Фруда: Fr = 1,5,
ю = 2 / Fig. 4. Separation zone when change the FroudeJs number: Fr = 1,5, ю = 2
Заключение
В работе предложен эффективный метод определения дополнительных кавитационных зон, возникающих при торможении цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости после его отрывного удара. Показано, что для нахождения новых зон отрыва нужно последовательно решить две смешанные краевые задачи теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. Преимущество предлагаемого подхода состоит в том, что он позволяет определять первоначальные зоны отрыва частиц жидкости, соответствующие двум видам кавитационных зон, для произвольного плоского тела с гладкой границей. В качестве конкретного примера рассмотрена задача для эллиптического цилиндра.
Литература
1. Norkin M., Korobrin A. The motion of the free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder // J. of Engineering Mathematics. 2011. Vol. 70. P. 239-254.
2. Норкин М.В. Движение кругового цилиндра в жидкости после удара на малых временах с образованием каверны // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 3. С. 101-112.
3. Норкин М.В. Динамика внутренней свободной границы жидкости на малых временах при вертикальном ударе кругового цилиндра, полностью погружен-
ного в жидкость // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-теств. науки. 2015. № 1. С. 30-35.
4. Норкин М.В. Образование каверны при наклонном отрывном ударе кругового цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Сиб. журн. индустриальной математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 81-92.
5. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., 1966. 448 с.
6. Reinhard M., Korobkin A.A., Cooker M.J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration // J. of Engineering Mathematics. 2016. Vol. 96, № 1. P. 155-174.
7. Норкин М.В. Образование каверны на начальном этапе движения кругового цилиндра в жидкости с постоянным ускорением // ПМТФ. 2012. Т. 53, № 4. С. 74-82.
References
1. Norkin M., Korobrin A. The motion of the free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder. J. of Engineering Mathematics. 2011, vol. 70, pp. 239-254.
2. Norkin M.V. Dvizhenie krugovogo tsilindra v zhidkosti posle udara na malykh vremenakh s obrazovaniem kaverny [The motion of a circular cylinder in a liquid after a shock at short times with the formation of a cavity]. Izv. RAN. MZhG. 2012, No. 3, pp. 101-112.
3. Norkin M.V. Dinamika vnutrennei svobodnoi granitsy zhidkosti na malykh vremenakh pri vertikal'nom udare krugovogo tsilindra, polnost'yu pogruzhennogo v zhidkost' [Dynamics of the internal free boundary of a liquid at small times with a vertical impact of a circular cylinder completely immersed in a liquid]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2015, No. 1, pp. 30-35.
4. Norkin M.V. Obrazovanie kaverny pri naklonnom otryvnom udare krugovogo tsilindra pod svobodnoi poverkhnost'yu tyazheloi zhidkosti [Formation of a cavern with an oblique tear-off impact of a circular cylinder under the free surface of a heavy liquid]. Sib. zhurn. industrial'noi matematiki. 2016, vol. 19, No. 4, pp. 81-92.
5. Sedov L.I. Ploskie zadachi gidrodinamiki i aerodinamiki [Flat problems of hydrodynamics and aerodynamics]. Moscow, 1966, 448 p.
6. Reinhard M., Korobkin A.A., Cooker M.J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration. J. of Engineering Mathematics. 2016, vol. 96, No. 1, pp. 155-174.
7. Norkin M.V. Obrazovanie kaverny na nachal'nom etape dvizheniya krugovogo tsilindra v zhidkosti s postoyannym uskoreniem [The formation of a cavity at the initial stage of the motion of a circular cylinder in a liquid with a constant acceleration]. PMTF. 2012, vol. 53, No. 4, pp. 74-82.
Поступила в редакцию /Received
11 ноября 2016 г. /November 11, 2016
