Динамика внутренней свободной границы жидкости на малых временах при вертикальном ударе кругового цилиндра, полностью погруженного в жидкость Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.634

ДИНАМИКА ВНУТРЕННЕЙ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ ЖИДКОСТИ НА МАЛЫХ ВРЕМЕНАХ ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМ УДАРЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА, ПОЛНОСТЬЮ ПОГРУЖЕННОГО В ЖИДКОСТЬ*

© 2015 г. М.В. Норкин

Норкин Михаил Викторович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: norkin@math.sfedu.ru

Norkin Mikhail Viktorovich - Doctor of Phisical and Mathematical Science, Associate Professor, Professor, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: norkin@math.sfedu.ru

Рассматривается совместное движение идеальной несжимаемой жидкости и полностью погруженного в нее кругового цилиндра на малых временах после удара. Определяется форма внутренней и внешней свободных границ жидкости. Проводится асимптотический анализ внутренней свободной границы вблизи точек отрыва.

Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, удар с отрывом, малые времена, асимптотический анализ, динамика точек отрыва, каверна, число Фруда, число кавитации.

The joint movement of ideal incompressible liquid and the circular cylinder which is completely shipped in it after impact on small times is considered. The form of internal and external free border of liquid is defined. The asymptotic analysis of internal free border near separation points is carried out.

Keywords: ideal incompressible liquid, impact with a separation, small times, asymptotic analysis, dynamics ofpoints of a separation, a cavity, Frud number, cavitation number.

В последние годы большую актуальность приобрели задачи, в которых необходимо учитывать явление отрыва частиц жидкости от поверхности плавающего тела. Анализ опубликованных результатов показывает, что в настоящее время достаточно хорошо изучены задачи об ударе с отрывом в постановке Л.И. Седова, где рассматривается момент, непосредственно следующий после удара [1]. Проведенные в этой области исследования позволяют сделать вывод о том, что отрыв жидкости от тела при ударе происходит в подавляющем большинстве случаев. Если тело полностью погружено в жидкость, то отрыв ожидается практически всегда. Подробные обзоры работ по удару с отрывом приводятся в [2-5].

В гораздо меньшей степени изучены нелинейные нестационарные задачи о движении твердых тел в жидкости на малых временах с учетом отрыва частиц жидкости от их поверхностей. В результате отрыва вблизи поверхности тела образуется каверна и появляется новая внутренняя свободная граница. В естественных условиях в каверне образуются пары жидкости или газа с давлениями, близкими к нулю. Давление в каверне можно создавать и искусственным путем, считая, например, что сразу после начала движения в каверну (со стороны тела) поступает газ постоянного давления. Основные трудности, возникающие

при решении таких задач, связаны с тем, что формы внутренней и внешней свободных границ жидкости заранее неизвестны и подлежат определению в ходе решения задачи. Отметим, что вместе с телом в движение приходят и точки отрыва (точки пересечения внутренней свободной границы жидкости с поверхностью тела). Пренебречь перемещениями точек отрыва на малых временах можно не всегда. Как показано в работах [6, 7], при небольших числах Фруда начальная скорость движения точек отрыва может быть достаточно большой. Таким образом, в ходе решения задачи необходимо определить формы внутренней и внешней свободных границ жидкости и динамику точек отрыва на малых временах. Кроме этого, нужно контролировать давление на смоченной поверхности тела (в зоне контакта), которое не должно опускаться ниже давления насыщенных паров жидкости или газа [1].

Исследования по динамике отрыва на малых временах были начаты в статье [6], где на примере горизонтального удара полупогруженного в жидкость кругового цилиндра была изучена динамика оторвавшейся от поверхности цилиндра внутренней свободной границы жидкости. В [7] этот результат был обобщен на случай горизонтального удара цилиндра, полностью погруженного в жидкость. Задачи о начальном

*Работа выполнена в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (задание №1.1398.2014/к).

отрывном движении кругового и эллиптического цилиндров в идеальной несжимаемой жидкости с постоянным ускорением рассматривались в [8, 9].

Нелинейные нестационарные задачи о генерации волн погруженным в жидкость телом без учета отрыва частиц жидкости от его поверхности рассматривались во многих работах. Подробные обзоры приведены в статье [10].

Постановка задачи

Рассмотрим круговой цилиндр, полностью погруженный в идеальную несжимаемую и неограниченную жидкость. До начала процесса тело и жидкость находились в покое. Пусть в некоторый начальный момент времени происходит удар плавающего тела, в результате которого цилиндр мгновенно приобретает вертикальную скорость . Удар цилиндра, полностью погруженного в жидкость, сопровождается отрывом частиц жидкости от его поверхности. При этом зона отрыва частиц жидкости заранее неизвестна и находится на основании модели удара Л.И. Седова [1]. После удара цилиндр движется поступательно в вертикальном направлении с постоянной скоростью $0. Позади цилиндра образуется каверна, форма которой зависит от числа Фруда, числа кавитации и глубины погружения цилиндра (рисунок).

Согласно классической теории удара, движение идеальной жидкости будет потенциальным в момент, непосредственно следующий после удара (в начальный момент времени), а в силу теоремы Лагранжа оно будет потенциальным и во все последующие моменты времени [11]. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в подвижной системе координат, жестко связанной с цилиндром, имеет вид

ДФ = 0, Я еП(0 , (1)

дФ

— = упу, Я е 5П(0, (2)

дн

ОФ ОФ 1 /„„,42 ^ -2/ .А

—-У—+1М2 + ¥т 2 (у + - И)-

дt оу 2

-0,5Х = 0, Я е ^2(0 ,

t' = -

löol

t, x' = ax, y = ay, Ф' = a | ö0 | Ф, p' = pö 2p,

(3)

5Ф Urf urf

уsine = -fG+-f, R6S12(t),

Ur ue ut

_ 1 иФ У cos e G =------,

(1+rf (e,t))2 ue 1+rf (e,t)

иф_уиф +1 (УФ)2 + Fr "2 (y + yt _ H ) = 0, Ut ' Uy 2 V ' '

R 6 S2(t),

= + ^, R 6 S2(t) ,

Uy Ux Ux Ut

ur

(4)

(5)

(6)

Ф^0 , Я ^да, Ф(х,у,0) = Ф0(х,у), ^(х,0) = 0, гг(9,0) = 0 .

Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам:

где штрихами помечаются размерные величины.

Вертикальный удар цилиндра: а - 1 = 0,2; б - 1 = 0,4; в - 1 = 0,6

Подвижные координаты х, у связаны с неподвижными X, У соотношениями X = х, У = у+ yt .

Здесь и далее используются следующие обозначения: Ф(х, у, 0 - потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный в подвижной системе координат; П (^ - область, занятая жидкостью; Зц^) - часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыва частиц жидкости; «^(О - оторвавшаяся от поверхности цилиндра внутренняя свободная граница жидкости (граница каверны); 52(0 -свободная граница жидкости, которая первоначально

a

а

б

в

была горизонтальной; р = const - плотность жидкости; p - давление; a - радиус цилиндра; H - глубина его погружения в начальный момент времени; R -радиус-вектор с координатами (x,y); параметр у характеризует направление движения цилиндра (при у =1 цилиндр движется вверх, а при у =-1 - вниз).

Задача (1) - (6) содержит безразмерные параметры

Fr =

IM

4ёа

Х = 2-

рэ 0

где Fr - число Фруда; х- число кавитации (безразмерная разность давлений на внешней свободной поверхности жидкости и в каверне); pa - атмосферное давление; pc - давление в каверне; g - ускорение свободного падения.

На внутренней и внешней свободных границах ставятся динамические и кинематические условия (3)-(5). Кинематическое условие на S12 (t) удобно записывать в полярных координатах r, 9 (x = r cos 9, y = rsin9). Уравнения внутренней и внешней свободных границ относительно подвижной системы координат имеют вид

r = 1 + rf (9,t), y = H-Y? + £,(x,t).

Течение жидкости в начальный момент времени, создаваемое ударом кругового цилиндра, имеет потенциал Фо(х, y), определяемый решением следующей смешанной краевой задачи теории потенциала с неизвестными априори областями контакта [1-6]: ДФ0 = 0, R eQ(0),

5фа

—0 = Y«y, Фо < 0, R е Sii(0),

dn

5Фо

dn

>yny, Фо = о, R е ^12(0);

(7)

Ф0 = 0, R е 52(0) ,

Ф ^ 0, R ^ да.

Для полной постановки задачи необходимо также сформулировать дополнительное условие в точках пересечения внутренней свободной границы с поверхностью тела (в точках отрыва). Будем требовать, чтобы в этих точках скорость жидкости была конечной (условие Кутта - Жуковского).

После нахождения функции Ф давление в жидкости определяется на основании интеграла Коши -Лагранжа:

Р = Ро-

dФ dФ i /„„,42 ^ _2/ \

---Ydr +1 (уФ)2 + Fr 2 (y + yt — Я)

dt dy 2

где Р0 - безразмерное атмосферное давление.

Отметим, что давление в жидкости не может опуститься ниже некоторой положительной величины р^ . Возможным нижним пределом р^ является давление насыщенных паров жидкости, зависящее от ее температуры [1].

Асимптотика точек отрыва на малых временах

После удара точки отрыва внутренней свободной границы движутся вдоль твердой поверхности цилиндра. Чтобы изучить их динамику на малых временах, сделаем замену переменных, при которой точки отрыва, зависящие от времени, переходят в фиксированные точки отрыва, соответствующие начальному моменту времени. С этой целью запишем задачу (1)-(6) в полярных координатах и сделаем замену переменной по угловой координаты 6

а= \2е" Msi(t)]+9si, л — 29si(t)

(8)

где углы 9si(t), 9s2 (t) = л — 9si (t) определяют положение точек отрыва в момент времени t; углы 9si, 9s2 = л —9si - в начальный момент времени. В дальнейшем будем интересоваться опускающимся цилиндром (у = -i), расположенным до начала процесса в непосредственной близости к свободной поверхности жидкости (0 < 9si (t) < 0,5л,). Введем новые обозначения:

ф(а, r, t) = Ф(г cos 9(а, t), r sin 9(а, t), t),

■Л(а, t) = rf (9(а, t), t) .

В результате замены (8) уравнение Лапласа (1) и граничные условия (2) -(4) примут вид

d 2ф+1 _L 2 =0

dr2 r dr r2 ota2 I dа

^ф = у sin 9(а, t) , R е Su(t),

dr

dф d9 --—--

dt dt

i

+ — 2

—

+ Fr~2 (r sin9(а,t) + yt — Я) — 0,5x = 0, R е Si2(t) ,

2

— sin 9(а, t) + — cos 9 (а, t)

dr r

(9)

^ф —y sin 9(а, t) ^Í^G + ^ —

dr dа ^ dа) dt

—^f , rеSi2(t),

5а ^ 5а ) dt

— y cos 9(а, t)

G =

(i + ^(а, t))2 i + Л(а, t) —i

За ^За

Динамическое условие на 52(0 преобразуется аналогично условию на «^(О и определяется по формуле (8) с постоянной % = 0. Кинематическое условие на 52(0 сохраняет свой вид, но теперь производные потенциала Ф находятся по формулам

а

c

+

2

+

+

2

r

= — cos 9(а, t) - r sin 9(а, t), dx dr

ЭФ Это . ч -i

-= — sin 9(a,t) + r у cos 9(a,t).

dy dr

Поступим по аналогии со случаем горизонтального удара цилиндра [6, 7]. Решение преобразованной задачи будем искать в виде следующих разложений (t ^ 0):

ф = ф0(а,r) + t<pi(a,r) + o(t) , (10)

^(a,t) = íno(a) + t2^i(a) + o(t2), (11)

S(x, t) = t^o( x) + t2^i(x) + o(t2), (12)

9,i(t) = 9,i + cit + o(t), (zW,F„,e(")jr=o, (13) где величина ci имеет смысл угловой скорости движения первой точки отрыва в начальный момент времени.

Подставляя (10)-(13) в уравнение и граничные условия преобразованной задачи и осуществляя снос краевых условий с возмущенных участков границы области Q(t) на первоначально невозмущенный уровень с помощью соответствующих разложений в ряды на малых временах, получим для определения функций фо =9o(a, r) и toi =9i(a, r) смешанные краевые задачи в фиксированной области Q(0)

Дф0 = 0, R е Q(0); dTOo = у sin a, R е Su (0),

dr

Ф0 = 0, R е Si2 (0) ^ S2; Ф0 ^ 0, R ^ да,

2c d ф0

~~2 я 2

r da

R eQ(0); ф1 ^ 0, R ^c

Аф1 =

дф! = yq(a)cosa, R e Sn(0),

dr

ф1 =yd£0sina-0,5^I2 -Fr"2(sina-H) +

dr

+ 0,5%, R e 5i2(0),

dr

ф1 = дф0 9(a) + У^ - 0,5

дУа dVa

V dya

R e 52(0),

2c,

л- 29,i

9(a) = ci + c(a-95i),

дф0 (

ф1 =c ддОТ J+",

где функция u - решение задачи

du

Au = 0, R eQ(0); — = 0, R e 511(0) ;

dr

(14)

дфo • n-i дфo u = y—^sin a- 0,51 —— dr V dr

+ 0,5%, R e 512(0);

дф0

- Fr - 2 (sin a- H) +

u = y—— - 0,5

dya

дУ

; R e 52(0); u ^0, R ^c

a У

Остановимся на вопросе определения величины С1. Анализ первых двух членов разложения (10) вблизи точки смены граничных условий на поверхности цилиндра показывает, что потенциал фо, дающий решение задачи об ударе с отрывом, ведет себя как (R _Rs)3/2, а ф1 - как (R _Rs)1/2, где Rs - модуль радиус-вектора соответствующей точки. В общем случае (для произвольной постоянной c) первые производные функции ф1 в окрестности рассматриваемой точки будут иметь особенность типа квадратного корня. Следовательно, чтобы удовлетворить условию Кутта - Жуковского, необходимо подобрать постоянную »1 таким образом, чтобы в окрестности рассматриваемой точки функция ф1 имела конечную производную. Таким образом, условие регулярности записывается в виде

lim ^ Ж^а = о.

a^es1 _о Ua

Учитывая (14), получим равенство

(15)

5ф1

da

= п

d 2ф0

da

дф0

„ , a--I + —

2 I 2 J da

du da

На его основании из условия регулярности (15) найдем окончательное выражение для постоянной С1:

С1 =- —, где коэффициенты а1 и а2 определяются

a1

по

формулам a1 = lim d ф0

a^9,1 -0 dte2

du

V9s1-a;

xa = r cos a, ya = r sin a .

Задача для ф0 полностью соответствует задаче об ударе с отрывом (17). Уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа при помощи подстановки:

a2 = lim ^—J9s1 -a .

a^9s1 -0 da

Определение внешней и внутренней свободных границ жидкости

Подставляя разложения (10)-(12) в преобразованное уравнение внешней свободной границы жидкости, осуществляя процедуру сноса на первоначально невозмущенный уровень и собирая члены порядка 0(1) и О(^ при t ^ 0, найдем коэффициенты

^0(х), X) :

^a) = |ф0, ^1(Xa) = 0,5^

dya ^a

ya= H .

По аналогии определяются коэффициенты разложения (11) для внутренней свободной границы жидкости:

2

c = -

сф0

%(а) = —°(а,1) -y sin а,

cr

(а) = С (а,1)^0 (а) + (а,1) - Y?(a)cos а + Cr2 Cr

+ ^(а) + y cos а)^0 (а).

Проведем анализ функции ^(а, t) вблизи первой точки отрыва. Рассмотрим случай опускающегося цилиндра (Y = -1). Первое слагаемое ^(t) в этом

разложении ведет себя как tjа -9^ , второе - как

^(а^^)-^2. Таким образом, вблизи рассматриваемой точки разложение (11) неприменимо. В этом случае нужно построить внутреннее решение, справедливое в окрестности данной точки, и согласовать его с внешним разложением (11). Анализ первых двух членов разложения (11) в окрестности первой точки отрыва показывает, что оба эти выражения будут иметь одинаковый порядок по t, если а - 9^ = O(t) при t ^ 0. Следовательно, внутренняя переменная т во внутреннем решении должна представляться в виде

а —9

si

t

(16)

Внешнее решение после перехода к внутренней переменной примет вид

Л(а, t) =ß(9si)t

3/2

Гт ß

4>/т

+ o(t3/2), t ^ 0, (17)

где постоянная 0(6^) есть коэффициент в разложении функции "Л0(а) в окрестности рассматриваемой

точки:

с п0(а)~ 0(6^).,/ а - 6sl, а величина 0 определяется равенством 0 = Щ + у ео8 6sl.

В соответствии с (17) внутреннее представление свободной границы будем искать в виде

п(а, /) = 0(6^У3/2 Е(х) + а(Г3/2), (18)

где Е(х) - новая неизвестная функция.

Далее в преобразованном кинематическом уравнении внутренней свободной границы сделаем замену переменной (16) и используем разложения (11), (18). Ограничиваясь только главными по t членами (по-1/2

рядка t ), получим для определения функции Е(х) обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

(х-01)Е'(х)-1,5Е(х) = -/г , 0 <х<да , (19) где 01 =-0.

Функция Е(х) удовлетворяет нулевому начальному условию и условию сращивания с внешним решением на бесконечности, которое следует из (17), (18):

F (0) = 0, F (т) =4,—^.

4V т

т ^от.

(20)

Далее исследуется случай 01 > 0. Для таких 01 решение задачи (19), (20) имеет вид

л

F (т) =— т3/2, 0 <T<ßb 3ßi

F (т) = — () 3ßi

|т3/2 — (т — ßi)

3/2

ßi < т < от .

Численная реализация и анализ результатов

Для решения поставленной задачи применяется численно-аналитический метод, в основе которого лежат асимптотики на малых временах. Для решения задачи об ударе с отрывом (7) используется специальный итерационный процесс, основанный на сведении данной нелинейной задачи к последовательному решению линейных краевых задач (с фиксированным разбиением границы тела на области задания краевых условий типа Дирихле - Неймана). Последние решаются численно методом конечных элементов с использованием пакета FreeFem++ [12]. Ранее такой подход применялся для решения задач об отрывном ударе и разгоне плавающих тел в жидкости [6-9].

Подробно остановимся на случае опускающегося цилиндра (у = -1), расположенного достаточно близко к внешней свободной поверхности жидкости. Исследования проводились при фиксированных значениях параметров задачи Ег = 5; % = 0,5; к = 1,1. При этом рассматривались случаи, соответствующие различным моментам времени. На рисунке показаны положение цилиндра и форма внешней свободной поверхности в моменты времени t = 0,2; 0,4; 0,6. Хорошо видно, что на внутренней свободной границе образуется впадина, которая увеличивается с ростом t. Приближенное значение угловой координаты 6^ = 0,567. Угловая скорость движения точки отрыва в начальный момент времени С1 = 0,63. Численные значения параметров 0 и 01 - 0,21 и 1,46.

Пусть, например, радиус цилиндра а = 1 м. Тогда

данные значения чисел Фруда и кавитации соответствуют физической ситуации, когда безразмерное атмосферное давление и безразмерное давление в каверне равны 1,2 и 0,95. В этом случае давление (в главном приближении по времени) будет положительным на всей смоченной поверхности цилиндра. Отметим, что при дальнейшем увеличении числа Фруда в маленькой окрестности точки х = 1, у = 0 наблюдается падение давления до отрицательных значений, хотя и весьма незначительное.

По аналогии может быть решена задача удара для поднимающегося цилиндра, полностью погруженного в жидкость (у = 1). Предложенный метод также обобщается на случай отрывного удара кругового цилиндра, погруженного в жидкость более чем наполовину.

т =

Литература

1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродина-

мики. М., 1966. 448 с.

2. Норкин М.В. Методы решения нелинейных задач гидро-

динамического удара в ограниченных областях // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 4. С. 138-150.

3. Норкин М.В. Отрывной удар эллиптического цилиндра,

плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 120-132.

4. Норкин М.В. Отрывной удар круглого диска, плавающего

на поверхности идеальной несжимаемой жидкости бесконечной глубины // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 4. С. 76-86.

5. Норкин М.В. Смешанные задачи гидродинамического

удара. Ростов н/Д, 2007. 135 с.

6. Norkin M., Korobkin A. The motion of the free-surface sepa-

ration point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder // J. Eng. Math. 2011. Vol. 70. P. 239-254.

7. Норкин М.В. Движение кругового цилиндра в жидкости

после удара на малых временах с образованием каверны // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 3. С. 101-112.

8. Норкин М.В. Образование каверны на начальном этапе

движения кругового цилиндра в жидкости с постоянным ускорением // ПМТФ. 2012. Т. 53, № 4. С. 74-82.

9. Норкин М.В., Яковенко А.А. Начальный этап движения

эллиптического цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами // Журн. вычисл. математики. и мат. физики. 2012. Т. 52, № 11. С. 20602070.

10. Горлов С.И. Численные методы решения нелинейных

нестационарных задач о генерации волн погруженным в жидкость телом // Вычисл. технологии. 1998. Т. 3, № 6. С. 9-20.

11. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гид-

ромеханика. Ч. 1. М., 1963. 583 с.

12. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета ко-

нечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д, 2008. 256 с.

References

1. Sedov L.I. Ploskie zadachi gidrodinamiki i aerodinamiki

[Plane problems of hydrodynamics and aerodynamics]. Moscow, 1966, 448 p.

2. Norkin M.V. Metody resheniya nelineinykh zadach

gidrodinamicheskogo udara v ogranichennykh oblastyakh [Methods for solving nonlinear problems of hydrodynamic

Поступила в редакцию

impact in limited areas]. Izv. RAN. MZhG, 2005, no 4, pp. 138-150.

3. Norkin M.V. Otryvnoi udar ellipticheskogo tsilindra,

plavayushchego na poverkhnosti ideal'noi neszhimaemoi zhidkosti konechnoi glubiny [Tear kick of the elliptic cylinder floating on the surface of an ideal incompressible fluid of finite depth]. Izv. RAN. MZhG, 2008, no 1, pp. 120132.

4. Norkin M.V. Otryvnoi udar kruglogo diska, plavayushchego

na poverkhnosti ideal'noi neszhimaemoi zhidkosti beskonechnoi glubiny [Tear kick of the round disc floating on the surface of an ideal incompressible fluid of infinite depth]. PMTF, 2009, vol. 50, no 4, pp. 76-86.

5. Norkin M.V. Smeshannye zadachi gidrodinamicheskogo

udara [Mixed problems of the hydrodynamic shock]. Rostov-on-Don, 2007, 135 p.

6. Norkin M., Korobkin A. The motion of the free-surface

separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder. Journal of Engineering Mathematics, 2011, vol. 70, pp. 239-254.

7. Norkin M.V. Dvizhenie krugovogo tsilindra v zhidkosti

posle udara na malykh vremenakh s obrazovaniem kaverny [The movement of a circular cylinder in a liquid after impact at short times to form a cavity]. Izv. RAN. MZhG, 2012, no 3, pp. 101-112.

8. Norkin M.V. Obrazovanie kaverny na nachal'nom etape

dvizheniia krugovogo tsilindra v zhidkosti s postoyannym uskoreniem [Education cavity at the initial stage of motion of a circular cylinder in a fluid with constant acceleration]. PMTF, 2012, vol. 53, no 4, pp. 74-82.

9. Norkin M.V., Yakovenko A.A. Nachal'nyi etap dvizheniya

ellipticheskogo tsilindra v ideal'noi neszhimaemoi zhidkosti so svobodnymi granitsami [The initial stage of the motion of an elliptical cylinder in an ideal incompressible fluid with free boundaries]. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki, 2012, vol. 52, no 11, pp. 2060-2070.

10. Gorlov S.I. Chislennye metody resheniya nelineinykh

nestatsionarnykh zadach o generatsii voln pogruzhennym v zhidkost' telom [Numerical methods for solving non-linear non-stationary problems of wave generation by a body immersed in fluid]. Vychisl. tekhnologii, 1998, vol. 3, no 6, pp. 9-20.

11. Kochin N.E., Kibel' I.A., Roze N.V. Teoreticheskaya

gidromekhanika [Theoretical fluid mechanics]. Ch. 1, Moscow, 1963, 583 p.

12. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Ispol'zovanie paketa

konechnykh elementov FreeFem++ dlya zadach gidrodinamiki, elektroforeza i biologii [Using the finite element package FreeFem ++ for hydrodynamics problems, electrophoresis, and biology]. Rostov-on-Don, 2008, 256 p.

_6 ноября 2014 г.