Условия возникновения отрыва жидкости при поступательно-вращательном разгоне плавающего эллиптического цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.634

УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРЫВА ЖИДКОСТИ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОМ РАЗГОНЕ ПЛАВАЮЩЕГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА

© 2014 г. А.А. Яковенко

Яковенко Антон Александрович - аспирант, кафедра вычислительной математики и математической физики, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].

Yakovenko Anton Aleksandrovich - Post-Graduate Student, Department of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].

Рассматривается нелинейная нестационарная задача о совместном движении идеальной жидкости и полностью погруженного в нее эллиптического цилиндра на малых временах. Предполагается, что цилиндр движется из состояния покоя в горизонтальном направлении с постоянным поступательным ускорением и вращается вокруг своей оси с постоянным угловым ускорением. Особенность этой задачи - при больших ускорениях цилиндра возникают области низкого давления вблизи тела и образуются каверны. Определяются точные условия возникновения отрыва частиц жидкости от поверхности движущегося тела.

Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, эллиптический цилиндр, малые времена, число Фруда, число кавитации, отрыв жидкости.

A nonlinear transient problem on the joint motion of an ideal fluid and fully submerged elliptical cylinder at small times is considered. It is assumed that the cylinder moves from a quiescent state in a horizontal translational direction at a constant acceleration, and rotates around its own axis with a constant angular acceleration. The peculiarity of this problem is that the high acceleration of the cylinder having a low pressure area near the body and form a cavity. The author defines the exact conditions of the separation offluid particles from the surface of the moving body.

Keywords: ideal incompressible fluid, elliptic cylinder, small times, Frud number, cavitation number, fluid separation.

Начальный этап движения тела в жидкости в большинстве случаев сопровождается образованием волн, каверн и брызговых струй. Как правило, формы свободных границ заранее неизвестны и подлежат определению в ходе решения задачи. Большой интерес представляют задачи, в которых необходимо учитывать явление отрыва частиц жидкости от поверхности тела. В статьях [1, 2] рассматривалась задача о начальном этапе движения эллиптического цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости с учетом отрыва частиц жидкости от твердой поверхности. В статье [3] изучалась задача о свободном вертикальном движении эллиптического цилиндра при наличии движущейся горизонтальной стенки. В этих работах было показано, что отрыв жидкости от тела происходит при достаточно большом ускорении цилиндра. При этом точные условия возникновения отрыва определялись не во всех случаях. В данной работе проводится более подробное исследование условий возникновения отрыва жидкости от поверхности тела, движущегося в горизонтальном направлении с учетом вращения.

Постановка задачи

Рассматривается эллиптический цилиндр, полностью погруженный в идеальную несжимаемую однородную жидкость, занимающую ограниченную область прямоугольной формы. Предполагается, что цилиндр начинает свое движение из состояния покоя и движется в горизонтальном направлении с постоянным поступательным ускорением, совершая при этом вращательные движения вокруг своей оси с постоянным угловым ускорением. При больших ускорениях цилиндра происходит отрыв жидкости от тела, в результате которого вблизи его границы образуются каверны и появляются новые внутренние свободные границы. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в подвижной системе координат, центр которой совпадает с геометрическим центром эллипса, ось х направлена по горизонтали, а ось у - вертикально вверх, имеет вид [1-4]

ДФ = 0, Я еП(/),

5Ф 5Ф 1 / 49 1 — -1 — + - (уф)2 + —(y - H) = 0, R е S-(t)

dt dx 2

Fr 2

1 , r е S2(t),

dy dx ^ dx ) dt

dФ

— = tnx + tor(ynx -xny), R еS--(t),

dn

5Ф 5Ф 1 /w„ov2 1 , rr4 1 „ „ 0 , „

— -t — + - (уф)2 +—-(y - H) - - x = a R е ^-(O,

dt dx 2 Fr 2 2

(Ф x - t)x + ф уУ fw^.d^Se dn

=iRo(e)+ij:d^• r е s-(t),

f = R-2(Фyx-(Фx -1)y)

+ rort,

(1)

)(e)=(c.

R0 (e)=(cos2 e+e-2sin2 e 5Ф

-2-2, sr '

5Ф

\-1/2 7 ,

— = 0, у = HB; — = 0, x = Hr - h(t), HL - h(t),

dy dx

ф^, y,0) = 0, n(e,0)=0, ^(x,0) = 0,

,,ч 12,4 1 2 wra b

h(t) = -12, a(t) = -rart2, ror =

2 2 W0

e =-

Гг = ,,Ч, Х = 2 ^^ . ё Р^оа

Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам

= \-аt, X = ах, у' = ау, \Щ

Ф' = а^й'ОаФ, р' = р^ар ,

где штрихами помечены соответствующие размерные величины.

Здесь Ф(х, у, t) - потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный относительно подвижной системы координат х, у; П ^) - область, занятая жидкостью; «^п (0 - часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыва частиц жидкости; ^(О - оторвавшаяся от поверхности ци-

линдра внутренняя свободная граница жидкости (граница каверны); S2(t) - внешняя свободная поверхность жидкости; р = const - плотность жидкости; p -давление; h(t) и a(t) - перемещение и угол поворота цилиндра; Wq и wr - поступательное и угловое ускорения цилиндра; Fr - число Фруда; % - число кавитации; pa - атмосферное давление; pc - давление в каверне; g - ускорение свободного падения; a, b -полуоси эллипса; R - радиус-вектор с координатами (x, У) •

Связь между неподвижными X, Y, подвижными x, y и координатами xj, y, жестко связанными с осями эллипса, устанавливается при помощи соотношений (a = a(t)):

X = x + h(t), Y = y, x = xj cos a + y sin a,

y = —xj sin a + yj cos a.

Положительным значениям a(t) соответствует вращение эллипса по ходу часовой стрелки, отрицательным - против.

Функции -q = -q(9, t) и ^ = t) определяют возмущение внутренней и внешней свободной границы жидкости. Их уравнения относительно подвижной системы координат имеют вид

Я(9, t) = Rq (0)+n(0, t), y = H + £(x, t).

На этих границах задаются динамические и кинематические условия. Кинематическое условие на Sj2(t) записывается в полярных координатах (R, 9), где x = R cos 9, y = R sin 9. Граница тела описывается уравнением R = Rq (9).

В точках пересечения внутренней свободной границы с поверхностью цилиндра (в точках отрыва) ставится условие Кутта-Жуковского, согласно которому скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.

После решения задачи (1) давление в жидкости определяется на основании интеграла Коши-Лагранжа:

p = po

5Ф 5Ф 1 /„„42 --1-+ -(УФ)2

dt dx 2

+ 7 - H) Fr 2

%(x, t) = t x) +1 \(x) + o(t4).

(3)

Подставляя разложения (2), (3) в уравнение и граничные условия задачи (1), перенося краевые условия с возмущенных участков границы области 0(г) на первоначально невозмущенные уровни с помощью соответствующих разложений в ряды на малых временах, получим для определения первых двух приближений потенциала скорости следующие краевые задачи:

ДФ0 = 0, Я е 0(0); Ф0 = 0, у = Н,

dФo

dn

= nx + rar (Упх - xnyX R e S1-.

ЭФП ЭФп

0 = 0, 7 = HB; —0 = 0, x = Hr , HL

dy

АФ1 = 0, R e Q (0),

dx

ЭФ, 1

-1 = —ra,

dn 2 '

ЭФ0 ЭФ0 d2Ф0 ,

0 n„--0 n. +-(ynx + xny) +

dx

y

Э2ФО ,

+-(yny -xnx) -n

dxdy

3Ф1 = -

y

dy , R e S1:

dx

2

Э^ -1 |ЭФ0

dy

21 dy

2

Fr 2

-^o(x), y = H ,

эф

. ЭФ1 _ 1 Э2Ф,

1 ЭФ1 1 Э Фл

1 = 0, y = Hb; —1 =1 -ф0, x = Hr,Hl

cy dx 2 Qx2

где коэффициенты ^q(x) и ^j(x) определяются равенствами

^o(x) =

1 ЭФ^ 1 ЭФ1 ' ч --0 ^(x) = -—1 + ^o(x). (4)

где Р0 - безразмерное атмосферное давление.

Асимптотическое решение задачи на малых временах

Вначале остановимся на задаче о безотрывном разгоне эллиптического цилиндра, соответствующей небольшим числам Фруда. В этом случае на всей поверхности цилиндра Б1 ставится условие непротекания (4-е из (1)). Решение задачи (1) на малых временах будем искать в виде следующих разложений

(г ^ 0) [1]:

Ф(х, у, г) = гФ0 (х, у) + г ^ (х, у) + о(г3), (2)

2 1 4

После решения краевых задач для Ф0 и Ф[ и определения коэффициентов ^ (х) и ^ (х) возмущение внешней свободной границы жидкости находится по формуле (3).

Теперь рассмотрим задачу о разгоне с отрывом. Представляя искомые функции Ф(х, у, г), £,(х, г) и

"л(9, г) на малых временах в виде асимптотических разложений (г ^ 0) [1, 2]:

Ф(х, у, г) = гФ0( х, у) + о(г),

£(х, г) = г %(х) + о(г2), л(е, г) = г2^0 (е)+о(г2)

в главном приближении по времени с учетом дополнительных условий в виде неравенств, получим для определения функции Ф0 следующую смешанную

краевую задачу теории потенциала с неизвестными априори областями контакта и отрыва: ДФ0 = 0, Я е 0(0); Ф0 = 0, у = Н,

ЭФо

dn

= nx +rar (ynx - xny X

1X Ц"( y - H)-Фо > 0, R e Sn(0) , 2 Fr2

1

5Фо дп

■> пх +юг (ynx - xnv),

(5)

1

2 Fr2

(y-H)-Ф0 = 0, R e Si2(0) ,

дФ0 = 0, y = HB; дФ0

= 0, x = Hr , HL

ду дх

Здесь Бц(о) и 8^(0) - первоначальные зоны контакта и отрыва, которые получаются в результате предельного перехода при / ^ 0 границ БцО) и Б^© . В зоне отрыва выполняется кинематическое условие в виде неравенства, означающее, что жидкие частицы не могут входить внутрь твердого тела, хотя им разрешается отрываться от этой границы. Динамическое граничное условие в виде неравенства в области контакта говорит о том, что давление на смоченной поверхности цилиндра не может опуститься ниже давления в каверне.

После решения задачи (5) функция ^о(х) находится по первой формуле в (4), а функция ^о (б) определяется при помощи равенства

Яо_1(е)Кх - 1) х + Фоуу] =

= до (е)к2 (е)(ФоуХ - (Фох -1) у)]+ 2^0 (0) •

Заметим, что первоначальные зоны контакта и отрыва зависят от физических параметров задачи - чисел Фруда и кавитации. В случае безотрывного движения цилиндра число Фруда учитывается только во втором приближении.

Численная реализация и анализ результатов

Для решения смешанной краевой задачи (5) с неизвестными априори областями контакта и отрыва применяется специальный итерационный процесс, позволяющий свести решение рассматриваемой нелинейной задачи к последовательному решению линейных краевых задач (с фиксированным разбиением границы тела на области задания краевых условий типа Дирихле-Неймана). Последние задачи решаются численно с использованием пакета конечных элементов FreeFem++ [5].

Остановимся на условиях возникновения отрыва жидкости от поверхности цилиндра. Определение точных условий возникновения отрыва проводится на основе решения нелинейной задачи (5) с учетом искусственной кавитации. Существенное влияние на отрыв оказывают два параметра - число Фруда и число кавитации. Если зафиксировать число % и изменять число Гг, то отрыв всегда будет происходить при больших числах Фруда. При уменьшении числа Фруда зоны отрыва будут уменьшаться и при некотором критическом значении этого параметра совсем исчезнут. Таким образом, задача состоит в том, чтобы при любом заданном числе % найти такое число Гг , при котором каверны полностью исчезают. Соответ-

ствующее множество точек (%, Гг) на плоскости параметров задачи определяет нейтральную кривую. Точки, расположенные выше этой кривой, соответствуют параметрам, при которых отрыв жидкости от тела будет происходить; точки, лежащие ниже, - параметрам безотрывного разгона.

В естественной ситуации (рс = о) найденное условие возникновения отрыва равносильно условию безотрывности движения и может быть определено на основании решения задачи о безотрывном разгоне цилиндра. При искусственной кавитации (в частности, при % < о) может возникнуть ситуация, когда выделившийся со стороны тела газ небольшого давления не может оттеснить жидкость и движение тела происходит без отрыва. Однако при увеличении ускорения цилиндра отрыв все-таки происходит. Заметим, что при искусственной подаче газа отрыв жидкости от тела может произойти уже при небольших ускорениях цилиндра.

Исследования проводились при следующих фиксированных значениях параметров: е = о,5, Н = о,8, Нв = -1,5, Нк = 8, Нь = -8. На рис. 1 показаны нейтральные кривые, соответствующие случаям по-

ступательного

(юг = 0)

и

поступательно-

вращательного (rar = 1) движений цилиндра.

Рис. 1. Нейтральные кривые в случаях е = о,5 , Н = о,8, Нв = 1,5, Нк = 8 , Нь =-8, юг = о, юг = 1 - сплошная линия; юг = о - пунктирная линия

Интересным представляется случай разгона цилиндра с вращением по часовой стрелке (юг = 1), которому соответствует сплошная линия на графике. (Пунктирная линия отвечает случаю поступательного движения без вращения). В табл. 1 приведены значения угловых координат точек отрыва для ряда значений параметров (%, Гг), расположенных чуть выше нейтральной кривой, в случае разгона без вращения.

1

Таблица 1

Численные результаты, соответствующие параметрам задачи: е = 0,5 , H = 0,8, HB = 1,5, HR = 8 , HL =-8,

< = 0

X Fr 01 02

0,5 2,3469 3,1509 3,1661

0,3 1,7944 3,0199 3,0311

0,1 1,4867 2,8699 2,8841

-0,1 1,2789 2,7009 2,7171

-0,3 1,1221 2,5049 2,5201

-0,5 0,994 2,2459 2,2726

-0,7 0,884 1,9814 2,0081

-0,9 0,795 1,8124 1,8806

-1,1 0,7258 1,7834 1,8071

-1,3 0,6711 1,7429 1,7666

-1,5 0,6267 1,7139 1,7361

В табл. 2 - аналогичные значения для параметров (х, Рг), расположенных чуть выше нейтральной кривой, в случае разгона с вращением. Хорошо видно, что во втором случае на интервале (-0,7, -0,5) происходит быстрое изменение значений е1 и е2, и при X = -0,7 отрыв происходит на верхней части цилиндра. Вид свободной поверхности при х = -0,7, ¥г = 0,96 показан на рис. 2 (г = 1).

Рис. 2. Образование каверны в случае е = 0,5 , Н = 0,8, Нв = 1,5, НЯ = 8 , Нь =-8, х = -0,7 , ¥г = 0,96 , юг = 1

Выводы

В работе определяются точные условия возникновения отрыва жидкости на начальном этапе разгона плавающего эллиптического цилиндра с учетом искусственной кавитации. Исследовано влияние вращения цилиндра на условия возникновения отрыва. Получены нейтральные кривые, соответствующие различным значениям геометрических и кинематических параметров задачи. Основной вывод, который можно сделать на основании проведенных исследований, состоит в том, что на условие возникновения отрыва существенное влияние оказывают число Фруда, число кавитации, а также безразмерное угловое ускорение цилиндра.

Таблица 2

Численные результаты, соответствующие параметрам задачи: s = 0,5 , H = 0,8, HB = 1,5, HR = 8 , HL =-8,

= 0 , << = 1

X Fr 01 02

0,5 1,7991 3,5379 3,5541

0,3 1,5610 3,4869 3,5061

0,1 1,3939 3,4309 3,4471

-0,1 1,2679 3,3649 3,3831

-0,3 1,1676 3,2879 3,3081

-0,5 1,0843 3,1869 3,2111

-0,7 0,9247 1,5039 1,5221

-0,9 0,8159 1,5169 1,5311

-1,1 0,7383 1,5179 1,5421

-1,3 0,6792 1,5229 1,5461

-1,5 0,6324 1,5339 1,5521

Литература

1. Норкин М.В., Яковенко А.А. Начальный этап движения

эллиптического цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т. 52, № 11. С. 2060-2070.

2. Норкин М.В. Образование каверны на начальном этапе

движения кругового цилиндра в жидкости с постоянным ускорением // ПМТФ. 2012. Т. 53, № 4. С. 74-82.

3. Норкин М.В., Яковенко A.A. Формы свободных границ

жидкости на малых временах при совместном вертикальном движении эллиптического цилиндра и горизонтальной стенки // Экологический вестн. научных центров ЧЭС. 2013. № 2. С. 67-73.

4. Норкин М.В. Движение кругового цилиндра в жидкости

после удара на малых временах с образованием каверны // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 3. С. 101-112.

5. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета ко-

нечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д., 2008. 256 с.

Поступила в редакцию

25 марта 2014 г.