CC BY
25
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1
УДК 519.634 DOI 10.23683/0321-3005-2018-1-33-39
КАВИТАЦИОННОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
В ЖИДКОСТИ ПОСЛЕ УДАРА
© 2018 г. М.В. Норкин1, Л.А. Говорина1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия,
CAVITATION DECELERATION OF AN ELLIPTICAL CYLINDER IN A LIQUID AFTER IMPACT
M.V. Norkin1, L.A. Govorina1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Норкин Михаил Викторович - доктор физико-математических наук, профессор, доцент, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: norkinmi@mail.ru
Говорина Людмила Андреевна - магистр, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: ludmilagovorina@yandex. ru
Michail V. Norkin - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Associate Professor, Department of Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: norkinmi@mail.ru
Lyudmila A. Govorina - Master, Department of Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: ludmilagovorina@yandex.ru
Рассматривается плоская задача о вертикальном безотрывном ударе и последующем кавитационном торможении эллиптического цилиндра, полупогруженного в слой идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. В результате кавитационного отрыва вблизи поверхности тела образуется каверна и появляется новая внутренняя свободная граница жидкости. В общем случае зона отрыва представляет собой несвязное множество. Решение задачи строится при помощи прямого асимптотического метода, эффективного на малых временах. Формулируется специальная задача с односторонними ограничениями, на основе которой определяется связность зоны отрыва, а также формы внешней и внутренней свободных границ жидкости. В силу неизвестности зоны отрыва данная задача является нелинейной и относится к классу задач со свободными границами. Для численного решения задачи с односторонними ограничениями применяется специальный итерационный метод, в котором последовательно уточняются неизвестные заранее зоны отрыва и контакта частиц жидкости. Данная нелинейная задача сводится к последовательному решению линейных краевых задач с фиксированными точками раздела краевых условий. Последние задачи решаются численно с применением метода конечных элементов. Исследуется влияние физических и геометрических параметров задачи на основные характеристики процесса. Приводятся конкретные примеры, демонстрирующие образование каверн вблизи границы тела. Полученные результаты могут быть использованы для решения практических задач корабельной гидродинамики.
Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, эллиптический цилиндр, удар, кавитационное торможение, асимптотика, свободная граница, каверна, малые времена, число Фруда.
The two-dimensional problem about vertical continuous impact and the subsequent cavitational braking of the elliptic cylinder semi-shipped in a layer of an ideal incompressible fluid offinite depth is considered. As a result of a cavitational separation near the surface of a body the cavity is formed and the new internal free border of liquid appears. In general, the separation zone is a non-connected set. The solution of the problem is constructed by means of a direct asymptotic method, effective at small times. The special problem with unilateral restrictions on the basis of which the connectivity of a zone of a separation and also forms of external and internal free borders of liquid is defined is formulated. Because of the unknown zone of
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 1
separation, this problem is non-linear and belongs to the class ofproblems with free boundaries. For a numerical solution of a problem with unilateral restrictions, a special iterative method is used, in which the previously unknown zones of detachment and contact of the liquid particles are subsequently refined. This non-linear problem reduces to a sequential solution of linear boundary value problems with fixed separation points. The latter problems are solved numerically, using the finite element method. The influence of the physical and geometric parameters of the problem on the main characteristics of the process is investigated. Specific examples are given showing the formation of caverns near the boundary of the body. The results obtained can be used to solve the practical problems of ship hydrodynamics.
Keywords: ideal incompressible liquid, elliptical cylinder, impact, cavitational braking, asymptotics, free border, cavity, small times, Froude's number.
В последнее время расширился круг задач, связанных с резко нестационарным взаимодействием твердых тел с жидкостью (удар, разгон, торможение). Наряду с классической задачей об ударе с отрывом [1] рассматриваются нелинейные нестационарные задачи о начальном этапе движения твердых тел в жидкости с учетом явления кавитации (задача о динамике присоединенной каверны, образованной в результате отрывного удара тела в жидкости; торможение твердого тела в возмущенной жидкости и, в частности, торможение перед возникающим препятствием; быстрый разгон тела в покоящейся или возмущенной жидкости и различные другие задачи). Некоторые результаты, посвященные исследованию динамики каверны на малых временах при отрывном ударе плавающего кругового цилиндра, приведены в статье [2]. В работе [3] рассмотрена плоская задача о безотрывном ударе и последующем кавитационном торможении кругового цилиндра, полупогруженного в идеальную, несжимаемую и неограниченную жидкость. Показано, что определение внутренних свободных границ жидкости на малых временах сводится к решению смешанной краевой задачи теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. Аналогия с классической задачей об ударе с отрывом позволяет использовать для ее решения известные численные методы. Плоская задача о кавитационном торможении твердого тела произвольной формы под свободной поверхностью возмущенной жидкости изучена в статье [4]. Конкретные численные расчеты проведены для случая кругового цилиндра. Близкая задача о проникании твердого тела в жидкость с образованием кавита-ционной области перед телом рассматривалась в [5, 6]. В [7] определялась форма брызговых струй при вертикальном ударе кругового цилиндра, полупогруженного в жидкость, и его последующем движении вглубь жидкости с постоянной скоростью (без отрыва). В настоящей работе приведено развитие результатов статьи [3] на случай цилиндра эллиптического поперечного сечения. В рассматриваемой постановке возмущение жидкости вызвано безотрывным ударом цилиндра, а отрыв обусловлен законом движения цилиндра после удара и фи-
зическими параметрами задачи. Важным аспектом работы является постановка задачи с односторонними ограничениями, на основе которой определяется связность зоны отрыва, а также формы свободных границ жидкости на малых временах.
Общая постановка задачи
Рассматривается плоская задача о торможении эллиптического цилиндра в возмущенной идеальной и несжимаемой жидкости. Предполагается, что возмущение жидкости вызвано безотрывным вертикальным ударом цилиндра, полупогруженного в жидкость. При определенных условиях (например, при быстром торможении цилиндра) возникают области низкого давления вблизи тела и образуются присоединенные каверны. В естественных условиях в кавернах возникают пары жидкости или газа с давлениями, близкими к нулю. Требуется определить неизвестные заранее первоначальные зоны отрыва частиц жидкости, а также формы каверн и конфигурацию внешней свободной поверхности жидкости на малых временах. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в подвижной системе координат, связанной с цилиндром, имеет вид ЛФ= 0, ЯёО(/),
дФ •
— = h(t)ny , R е S„(t),
en
(1)
еФ
dt "hoеф +1 ^Ф)2 + Fr~2(y + h(t))-Р0 = 0,
R е«);
Фхх + (фy - h(t))y
í
x2 + y2
R0 (0)+— 0W ее
0(t) = R-2[(Фу -h(t))x—Фxy]R е Si2(í).
f-h(t) еФ +1 (УФ)2 + Fr-2t(x,t) = 0,
R е S2(t),
еФ et еФ et
еФ=е^еФ + е^, ReS2(t),
ey ex ex et
(2)
0 (t) + ^,
er (3)
(4)
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 1
ЭФ
— = 0, у = -Hb -h(t),
Эу
Фхy,0) = Фо(х,у), £(х,0) = 0, ,e,0) = 0, (6)
h(t) = -1+rot.
Течение жидкости в начальный момент времени (в момент, непосредственно следующий после удара) имеет потенциал Ф0(ху), который определяется на основе модели безотрывного удара:
Лф = 0, ReQ(0) ,
ЭФ0 „ е
—0 = -ny, R е л , cn у, 1,
Ф0 = 0, ReS2,
дфо
dy
У = -Hb.
Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам
й в а * 1 2
I =— I, х = ах, у = ау, Ф = ау0Ф, р =pvo р, V)
V) =-^у,
где штрихами помечаются размерные величины.
Неподвижные координаты X, У связаны с подвижными х, у соотношениями Х=х, У=у+к(/).
Здесь и далее используются следующие обозначения: Ф(х,у,?) - потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный относительно подвижной системы координат; П(^) - область, занятая жидкостью; S11(t) - часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыв частиц жидкости; S12(t) - оторвавшаяся от поверхности цилиндра внутренняя свободная граница жидкости (граница каверны); S2(t) - свободная поверхность жидкости, которая первоначально была горизонтальной; Sl и S2 - смоченная поверхность цилиндра (половина его поверхности) и свободная граница жидкости в начальный момент времени; p=const -плотность жидкости; V = (0,КУ) - скорость, приобретенная цилиндром в результате удара; Щ) -проекция безразмерной скорости движения цилиндра после удара на ось у; а, Ь - полуоси эллипса; R -радиус-вектор с координатами (х,у). Задача (1)-(6) содержит безразмерные параметры
у0 „_м>а „ _ _ Ра е=Ь
Fr =
wa pn
-¡=, ю=-у, Ро = ^ '
■\¡ga Vo pVQ a
(2)-(5). Предполагается, что на внешней свободной границе S2(t) действует атмосферное давление, а на внутренней Si2(t) - давление p = pc, где pc - давление насыщенных паров жидкости или газа (pc ~ 0). Отметим, что в случае искусственной кавитации вместо p0 возникает величина 0,5Х где X - число кавитации (безразмерная разность давлений). Число кавитации оказывает влияние на связность зоны отрыва и форму каверны на малых временах.
Кинематическое условие на S12(t) записывается в полярных координатах r, 0 (x = rcos0, y = rsin0). Уравнения внешней и внутренней свободных границ относительно подвижной системы координат имеют вид
У = t) -h(t); R = Rj(9) +^(6,t),
R0(6) = (cos2 e + s-2 sin2 6)-1/2, где R0(6) - параметрическое уравнение эллипса.
Кинематические уравнения (3), (5) получаются путем дифференцирования этих равенств по времени вдоль траектории движения жидкой частицы, находящейся на внешней или внутренней свободной границе. Соответствующие динамические условия (2), (4) определяются на основании интеграла Коши - Лагранжа, записанного в подвижной системе координат.
В точках пересечения внутренней свободной границы жидкости с поверхностью цилиндра (в точках отрыва) ставится условие Кутты - Жуковского, означающее, что скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.
После нахождения потенциала скоростей Ф давление в жидкости определяется на основании интеграла Коши - Лагранжа
Р = Ро
дФ-h(t) дф+1 (УФ)2 + Fr -2 (у+hit))
dt ду 2
(7)
где Ег - число Фруда; ^ - ускорение цилиндра; ра -атмосферное давление; g - ускорение свободного падения. Через ю и р0 обозначим обезразмеренные величины ^ и ра (положительные ю соответствуют торможению цилиндра).
На внешней и внутренней свободных границах ставятся динамические и кинематические условия
Асимптотическое решение задачи на малых временах
При моделировании кавитационного торможения цилиндра после удара делается предположение о том, что отрыв происходит сразу по конечному участку поверхности тела, аналогично тому, как это имеет место в классической задаче гидродинамического удара [1]. Главным образом дело сводится к определению первоначальных зон отрыва и контакта частиц жидкости S12(0) и S11(0), которые получаются предельным переходом при t ^ 0 границ S12(t) и S11(t). Для определения этих зон необходимо сформулировать дополнительные динамическое и кинематическое условия типа неравенств.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 1
Решение поставленной задачи на малых временах будем разыскивать в виде следующих асимптотических разложений (? ^ 0):
Ф(х,у,0 = Фо(х,у)+tф(x,у)+а(0 , (8)
£(х,t) = ^о(х) + ^(х) + а(Г), (9)
Л(6,о = tпо(e) +12гц(0) + а(t2). (10)
Подставляя (8)-(10) в уравнение и граничные условия задачи (1)-(6), осуществляя снос краевых условий с возмущенных участков границы области О© на первоначально невозмущенные уровни и учитывая дополнительные условия в виде неравенств, придем для определения функции Ф1 = Ф1(х,у) к смешанной краевой задаче теории потенциала в области 0(0) с односторонними ограничениями на поверхности тела: Лф = 0, Яе0(0), ф =-/(Ф0), Яе52(0), (11) дФ
1 —9
1 = rnny, po-Oj - /(Фо) - Fr 2у > 0
Po-Ф - /(Фо) - Fr 2у = 0,
(12)
(13)
(14)
работах [3, 4]. Подставляя асимптотические разложения (8), (10) в кинематическое уравнение внутренней свободной границы жидкости (3), осуществляя процедуру сноса краевых условий на первоначально невозмущенный уровень и приравнивая величины при одинаковых степенях t, найдем выражения для коэффициентов разложения (10). Для определения функции п0(6) приходим к равенству
еФ0
ло(0)=Ro-1(0)V Ro (0)2 + Ro(ö)
5n
дп
Я е5п(0),
дФ1 ъ
-1 > юп,,,
дп у'
Я е 512(0),
дФ^_ д2Ф0 л>_ и
ду дх2
/ (Ф0)-дФ0+1 (^Ф У.
Поясним, что под сносом краевых условий на невозмущенный уровень понимается разложение граничных функций в ряды при малых временах. В результате этого область оказывается фиксированной, а краевые условия принимают вид асимптотических разложений по степеням малого параметра t. Процедура сноса позволяет определить коэффициенты асимптотических разложений (8)—
(10) с помощью метода неопределенных коэффициентов.
В силу неизвестности зоны отрыва 512(0) задачу
(11)—(14) можно рассматривать как задачу со свободной границей.
Объясним смысл краевых условий типа неравенств в формулах (12) и (13). Неравенство в (12) означает, что давление на смоченной поверхности цилиндра (в главном приближении по времени) не может быть отрицательным. Для его нахождения необходимо подставить асимптотическое разложение (8) в формулу (7) и ограничиться старшими членами. Неравенство для нормальной производной в (13) говорит о том, что жидкие частицы не могут входить внутрь твердого тела, хотя им разрешается отрываться от твердой границы. При выводе последнего условия используются рассуждения, аналогичные тем, которые проводились в
В силу краевого условия на смоченной поверхности цилиндра, справедливого в задаче безотрывного удара [1], функция п0(6) обращается в ноль: По(0) = 0. С учетом этого разложение (10) принимает вид
п(е,о - Л^(е)+а(Г), t ^ 0, (15)
где функция П1(9) определяется по формуле
тц(б) = 0,5Ro-1(©W R0 (0)2 + Ro(0)
5Ф1
-1 -rany
dn у
Из представления (15) вытекает, что функция ^1(6) должна быть неотрицательной. Действительно, если бы эта функция принимала отрицательные значения, то при малых t часть внутренней свободной границы оказалась бы внутри цилиндра, что невозможно. Из неотрицательности функции ^1(6) следует выполнение граничного условия в виде неравенства в (13). По аналогии находятся формулы для коэффициентов разложения (9). Подставляя (8), (9) в кинематическое уравнение внешней свободной поверхности (5) и применяя указанные выше процедуры, придем к равенствам
So(x) =
дф
ду
2Si(x) =
дФ1
ду
Существенно отметить, что задача (11)—(14) по своей структуре совпадает с классической задачей об ударе с отрывом (отличие состоит только в виде конкретных граничных функций, являющихся гладкими). На основании этого можно сделать вывод о регулярности ее решения в точках отрыва. Таким образом, построенное на малых временах решение задачи удовлетворяет условию Кутты -Жуковского. С учетом этого функция (15), описывающая возмущение внутренней свободной границы жидкости на малых временах, будет непрерывной в точках отрыва, а ее первая производная будет иметь в них особенности типа квадратного корня. Подчеркнем, что именно регулярность решения задачи (11)—(14) позволяет изобразить внутреннюю свободную границу жидкости на малых временах без построения специальных по-гранслойных решений в точках отрыва.
2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Численная реализация и анализ результатов
Исследование нелинейной нестационарной задачи (1)-(6) на малых временах сводится к решению смешанной краевой задачи теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. Численный метод решения последней задачи основывается на специальном итерационном процессе, в котором последовательно уточняются неизвестные заранее зоны отрыва и контакта частиц жидкости. Для начала итераций необходимо знать примерное расположение этих зон. С этой целью рассматривается соответствующая задача о безотрывном торможении и определяются участки поверхности тела, на которых давление (в главном приближении по времени) принимает отрицательные значения. В качестве начального приближения в итерационном методе выбирается решение смешанной краевой задачи (11)—(14) (без учета неравенств) с такой маленькой зоной S12(0), в окрестности которой главное приближение для давления принимает отрицательные значения. Точки на поверхности цилиндра (расположенные вблизи начальной зоны отрыва), в которых функция р принимает локальные отрицательные минимумы, выбираются за следующие приближения к точкам отрыва. Дальше процесс повторяется. Каждый следующий шаг итерационного процесса приводит к некоторому увеличению зоны S12(0) и уменьшению зоны отрицательных давлений. Процесс заканчивается, когда зона отрицательных давлений исчезает. Итерационный метод сходится достаточно быстро. Для определения угловых координат точек отрыва с двумя верными знаками после запятой требуется не более чем 20-30 итераций. После окончания итерационного процесса проверяется выполнение кинематического условия в виде неравенства в (13). Заметим, что условие положительности давления будет выполнено и для большей зоны S12(0). Однако при увеличении этой зоны нарушается указанное кинематическое условие. Таким образом, данный метод позволяет однозначно определить зону отрыва S12(0). Отметим также, что полученные на каждом шаге итерационного процесса линейные задачи (с фиксированными точками раздела краевых условий) решаются численно методом конечных элементов с использованием пакета FreeFem++ [8]. Ранее аналогичные итерационные процессы применялись для решения близких задач об отрывном ударе твердых тел в жидкости [9], контактных задач теории упругости с неизвестными заранее областями контакта [10], а также в работах [2-4], посвященных резко нестационарному взаимодействию твердых тел с жидкостью на малых временах.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1
Теперь перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Исследование задачи о кавитационном торможении эллиптического цилиндра проводится при следующих фиксированных значениях параметров: Fr = 3, p0 = 1. При этом рассматриваются случаи, соответствующие различным ускорениям цилиндра, а также различным геометрическим параметрам (рисунок).
б/b
в/с
Зависимость кавитационного торможения эллиптического цилиндра от его геометрических параметров и ускорения: а - ю = 2, s = 0,5, Hb = 1, t = 0,2; б - ю = 4, е = 0,5, Hb = 1, t = 0,2; в - е = 1,5, ю = 2, Hb = 2,5, t = 0,4 / Dependence of cavitation braking of an elliptical cylinder on its geometric parameters and acceleration: a - ю = 2, s = 0.5, Hb = 1, t = 0.2; b - ю = 4, s = 0.5, Hb = 1, t = 0.2; с - s = 1.5, ю = 2, Hb = 2.5,t = 0.4
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1
Рассмотрены 3 картины течения жидкости вблизи тела. На начальном этапе торможения цилиндра существенное влияние на картину течения жидкости оказывает параметр ю. При увеличении ю промежуток времени, на котором происходит процесс торможения цилиндра, уменьшается (0 < t < ю Значениям параметров: ю = 2, е = 0,5, Нь = 1, t = 0,2 соответствуют две симметричные каверны. Угловые координаты точек отрыва первой кавитацион-ной зоны имеют следующие приближенные значения: 0] = -0,024, 02 = -0,23. При увеличении ускорения цилиндра кавитационные зоны увеличиваются и сливаются в одну большую зону отрыва. Картина течения (рис. б) соответствует ускорению цилиндра ю = 4 и неизменным остальным параметрам задачи (01 = -0,023 , 02 = -1,10). Следует отметить, что при уменьшении ю зоны отрыва уменьшаются, но сразу не исчезают. Полное исчезновение зон отрыва происходит только при отрицательных значениях параметра ю, которые соответствуют разгону цилиндра. Отметим также, что существенное влияние на расположение зон отрыва оказывает форма эллипса, характеризуемая параметром е. Для эллипса, вытянутого в горизонтальном направлении, крайние точки отрыва расположены очень близко к внешней свободной границе жидкости (рис. а, б). При увеличении параметра е зоны отрыва смещаются вниз (рис. в). Здесь параметры задачи выбраны следующим образом: е = 1,5, ю = 2, Нь = 2,5, t = 0,4. Приближенные значения угловых координат точек отрыва равны 0! = -0,65 , 02 = -1,24.
Предыдущие рассуждения проводились при фиксированных значениях параметров Гг и р0. Однако эти безразмерные величины также оказывают влияние на отрыв. Если, например, зафиксировать параметры задачи (кроме числа Фруда), соответствующие рис. а, то при уменьшении числа Фруда зоны отрыва будут исчезать.
Заключение
В работе исследована задача об ударе и последующем кавитационном торможении эллиптического цилиндра, полупогруженного в жидкость конечной глубины. Центральным моментом работы является постановка задачи с односторонними ограничениями, на основе которой определяются первоначальные зоны отрыва и контакта частиц жидкости, а также возмущения внешней и внутренней свободных границ жидкости на малых временах. Рассмотрены конкретные численные примеры, демонстрирующие образование каверн около границы тела. Показано, что физические и геометрические параметры задачи оказывают существен-
ное влияние на расположение зоны отрыва и ее связность.
Литература
1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.
2. Норкин М.В. Образование каверны при наклонном отрывном ударе кругового цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Сиб. журн. индустриальной математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 81-92.
3. Норкин М.В. Кавитационное торможение кругового цилиндра в жидкости после удара // ПМТФ. 2017. Т. 58, № 1. С. 102-107.
4. Норкин М.В. Кавитационное торможение твердого тела в возмущенной жидкости // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13, № 2. С. 181-193.
5. Korobkin A. Cavitation in liquid impact problems // Fifth International Symposium on Cavitation (CAV2003). November 1-4. Osaka, Japan, 2003.
6. Reinhard M., Korobkin A.A., Cooker M.J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration // J. Engng Math. 2016. Vol. 96 (1). P. 155174.
7. Korobkin A.A., Wu G.X. Impact on a floating circular cylinder // Proc. R. Soc. Lond. A. 2000. Vol. 456. P. 2489-2514.
8. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2008. 256 с.
9. Дворак А.В., Теселкин Д.А. Численное исследование двумерных задач об импульсивном движении плавающих тел // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1986. Т. 26, № 1. С. 144-150.
10. Рвачев В.Л., Проценко В.С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977. 235 с.
References
1. Sedov L.I. Ploskie zadachi gidrodinamiki i aero-dinamiki [Flat problems of hydrodynamics and aerodynamics]. Moscow: Nauka, 1966, 448 p.
2. Norkin M.V. Obrazovanie kaverny pri naklon-nom otryvnom udare krugovogo tsilindra pod svobodnoi po-verkhnost'yu tyazheloi zhidkosti [Formation of a cavity with an oblique tear-off impact of a circular cylinder under the free surface of a heavy fluid]. Sib. zhurn. industri-al'noi matematiki. 2016, vol. 19, No. 4, pp. 81-92.
3. Norkin M.V. Kavitatsionnoe tormozhenie krugo-vogo tsilindra v zhidkosti posle udara [Cavitational inhibition of a circular cylinder in a fluid after impact]. PMTF. 2017, vol. 58, No. 1, pp. 102-107.
4. Norkin M.V. Kavitatsionnoe tormozhenie tverdo-go tela v vozmushchennoi zhidkosti [Cavitation braking
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 1
of a rigid body in a perturbed fluid]. Nelineinaya dinami-ka. 2017, vol. 13, No. 2, pp. 181-193.
5. Korobkin A. Cavitation in liquid impact problems. Fifth International Symposium on Cavitation (CAV2003). November 1-4. Osaka, Japan, 2003.
6. Reinhard M., Korobkin A.A., Cooker M.J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration. J. Eng. Math. 2016, vol. 96 (1), pp. 155174.
7. Korobkin A.A., Wu G.X. Impact on a floating circular cylinder. Proc. R. Soc. Lond. A. 2000, vol. 456, pp. 2489-2514.
8. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Ispol'zovaniepake-ta konechnykh elementov FreeFem++ dlya zadach gidro-
dinamiki, elektroforeza i biologii [Use of the FreeFem ++ finite element package for hydrodynamics, electrophoresis and biology problems]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2008, 256 p.
9. Dvorak A.V., Teselkin D.A. Chislennoe issledo-vanie dvumernykh zadach ob impul'sivnom dvizhenii plavayushchikh tel [Numerical investigation of two-dimensional problems on the impulsive motion of floating bodies]. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki. 1986, vol. 26, No. 1, pp. 144-150.
10. Rvachev V.L., Protsenko V.S. Kontaktnye zadachi teorii uprugosti dlya neklassicheskikh oblastei [Contact problems of the theory of elasticity for nonclassical domains]. Kiev: Naukova dumka, 1977, 235 p.
Поступила в редакцию /Received
27 декабря 2017 г. /December 27, 2017
