Несимметричное кавитационное движение кругового цилиндра в жидкости после удара Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

УДК 519.634 DOI 10.23683/0321-3005-2019-1-24-29

НЕСИММЕТРИЧНОЕ КАВИТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА

В ЖИДКОСТИ ПОСЛЕ УДАРА

© 2019 г. М.В. Норкин1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

NON-SYMMETRIC CAVITATION MOVEMENT OF A CIRCULAR CYLINDER

IN A LIQUID AFTER IMPACT

M.V. Norkin1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Норкин Михаил Викторович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: norkinmi@mail.ru

Michail V. Norkin - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor, Department of Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: norkinmi@mail.ru

В плоской постановке исследуется динамическая смешанная задача о совместном движении идеальной несжимаемой жидкости и плавающего на ее поверхности кругового цилиндра на малых временах. Предполагается, что начальное возмущение жидкости вызывается вертикальным и безотрывным ударом цилиндра, полупогруженного в жидкость. После удара скорость цилиндра изменяется по известному закону. Наряду с вертикальной компонентой скорости появляется ее горизонтальная компонента, которая увеличивается пропорционально времени. Таким образом, рассматривается случай несимметричного движения тела после удара. Особенность этой задачи в том, что при определенных условиях сразу после удара возникают области низкого давления вблизи тела и образуются присоединенные каверны. Поставленная задача при малых временах сводится к смешанной краевой задаче теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. В силу неизвестности зоны отрыва она является нелинейной и относится к классу задач со свободными границами. Для ее решения применяется специальный итерационный метод, в котором последовательно уточняются неизвестные заранее первоначальные зоны отрыва и контакта частиц жидкости. Рассматриваются конкретные примеры, демонстрирующие образование каверн вблизи границы плавающего тела. Предложенная математическая модель может быть использована для решения практических задач корабельной гидродинамики.

Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, удар, кавитационный отрыв, асимптотика, свободная граница, каверна, малые времена, число Фруда.

In the flat formulation, we investigate the dynamic mixed problem of the joint motion of an ideal incompressible fluid and a circular cylinder floating on its surface for small times. It is assumed that the initial perturbation of the fluid is caused by a vertical and continuous impact of the cylinder, which is semi-submerged in the fluid. After hitting the cylinder speed changes according to a known law. Along with the vertical component of speed, its horizontal component appears, which increases in proportion to time. Thus, the case of asymmetric body movement after impact is considered. A feature of this problem is that under certain conditions, immediately after the impact, low pressure areas appear near the body and attached cavities are formed. The problem at small times reduces to a mixed boundary value problem of potential theory with one-sided constraints on the surface of the body. Due to the uncertainty of the separation zone, this problem is non-linear and belongs to the class ofproblems with free boundaries. To solve it, a special iterative method is used, in which the previously unknown initial zones of separation and contact of fluid particles are sequentially refined. Concrete examples that demonstrate the formation of cavities near the border of a floating body are considered. The considered mathematical model can be used to solve practical problems of ship hydrodynamics.

Keywords: ideal incompressible fluid, impact, cavitation separation, asymptotics, free boundary, cavity, small times, Froude number.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

Одной из важнейших задач гидродинамики является исследование движения твердых тел в жидкости с учетом явления кавитации. Отрыв жидкости от тела часто возникает при ударе, разгоне или торможении твердых тел, плавающих на поверхности жидкости или полностью в нее погруженных. В результате отрыва вблизи поверхности тела образуется каверна и появляется новая внутренняя свободная граница жидкости. Форма каверны и конфигурация внешней свободной поверхности заранее неизвестны и подлежат определению в ходе решения задачи. Большой интерес представляют задачи, в которых начальное возмущение жидкости вызывается ударом плавающего тела. Согласно классической теории, изложенной в [1], удар может происходить как без отрыва частиц жидкости от смоченной поверхности тела, так и с образованием зон отрыва. При этом присоединенная каверна может возникать не только после отрывного удара тела в жидкости (что совершенно естественно), но также и после его безотрывного удара [2-5]. В последнем случае отрыв обусловлен процессами, происходящими уже после удара - законом движения тела и физическими параметрами задачи (число Фруда, безразмерное атмосферное давление или число кавитации). Математическая модель кавита-ционного торможения тела в жидкости после его безотрывного удара была предложена в статье [2]. Дальнейшее развитие эта работа получила в статьях [3-5]. В перечисленных работах изучение процесса кавитации на малых временах сводилось к решению смешанной краевой задачи теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. По своей структуре данная модель совпадает с классической задачей об ударе с отрывом, что обеспечивает регулярность ее решения в точках отрыва (выполнение условия Кутта - Жуковского) и позволяет использовать для ее решения известные численные методы. Ранее исследование задачи о кавитационном торможении кругового цилиндра проводилось в предположении о том, что картина течения жидкости симметрична относительно вертикальной оси у [2, 4]. В настоящей работе рассматривается обобщение результатов статьи [2] на несимметричный случай.

Постановка задачи

Рассматривается плоская задача о начальном этапе движения кругового цилиндра, плавающего на поверхности идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости. Предполагается, что начальное возмущение жидкости вызывается вертикальным и безотрывным ударом цилиндра, полупогруженного в жидкость. После удара, наряду с вертикальной

компонентой скорости движения цилиндра, появляется ее горизонтальная компонента, которая увеличивается со временем по линейному закону. При определенных условиях возникают области низкого давления вблизи тела и образуются присоединенные каверны. В общем случае зона отрыва представляет собой несвязное множество. Согласно классической теории удара, течение жидкости в момент, непосредственно следующий после удара, будет потенциальным, а в силу теоремы Лагранжа -потенциальным и во все последующие моменты времени [6]. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в подвижной системе координат, связанной с цилиндром, имеет вид ДФ = 0, Я еО(0, ОФ

— = кх(г)их + Ну (г)иу , Я е Sn(t), (1) Он

ОФ • ч ОФ • ч ОФ Ь^чг

— - ¿х с) - - Ну (<) -+2 (уф)2 - ^0 +

+ Гт"2(у + Ну(0) = 0, Я е ад);

— - Нх (ОСОБ 9-Ну (^т 0 = °^0(/) + ,

От х у о0 дГ

0(0 = Я"2 [х(Фу - Ну (0) - у(Фх - Нх (Г))} Я е ^2(0,

ОФ • ОФ • ОФ 1 / ч? 7

— - Нх (Г) — - Ну (Г) — + - (УФ)2 + Гт -2^(х, Г) = 0 ,

о дх 7 ду 2

R е S2(t),

5Ф

dy дх дФ

(2)

дФ ; , .

я--hx (t )

дх

+ —, R е S2(t). dt 2( )

= 0 , y = -Hb - hy (t); дф = о, дУ дх

х = +Hr - hx (t) ,

Ф(х, y,0) = Фо(х, y), ^(х,0) = 0, л(0,0) = 0 ,

hx(t) = юxt, hy (t) = -1 + rovt.

(3)

Течение жидкости в момент, непосредственно следующий после удара (начальный момент времени), определяется на основе решения задачи о безотрывном ударе [1]. В случае неограниченной жидкости решение задачи удара имеет простое аналитическое выражение:

Ф0(х,у) = .

х2 + у2

Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам

1' = х = ах, у = ау, Ф'= а^Ф, р' = р^2р,

У0 V3 =-К

y ■

где штрихами помечаются размерные величины.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

Неподвижные координаты X, Y связаны с подвижными x, y соотношениями X = x + hx (t),

Y = y + hy (t).

Здесь и далее используются следующие обозначения: Ф(х, y, t) - потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный относительно подвижной системы координат; Q (t) - область, занятая жидкостью; ^11 (t) - часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыв частиц жидкости; ^(t) - оторвавшаяся от поверхности цилиндра внутренняя свободная граница жидкости; S2 (t) - внешняя свободная поверхность жидкости, которая первоначально была горизонтальной;

V = (0, Vy) - скорость, приобретенная цилиндром в

результате удара; hx (t), hy (t) - безразмерные компоненты скорости цилиндра после удара; р = const -

плотность жидкости; a - радиус цилиндра; R - радиус-вектор с координатами (x,y).

Задача (1)-(3) содержит следующие безразмерные параметры:

Fr = _5L, p0 = pa

wxa wya

~T7i , rax =~~2 , юу

pv0 v v

После нахождения потенциала скоростей Ф давление в жидкости определяется на основании интеграла Коши - Лагранжа:

Р = P0"

5Ф dt

- hx (t) |ф - hy (t) |Ф +1 (VO)2 + Fr "2 (y + hy (t))

Jga pv0 v0 vo

где Fr - число Фруда; pa - атмосферное давление; g - ускорение свободного падения; wx, Wy -

ускорения цилиндра, соответствующие его движениям в горизонтальном и вертикальном направлениях. Через ra x, ra y, po обозначены обезразмерен-

ные величины wx, Wy , pa .

На внешней и внутренних свободных границах ставятся динамические и кинематические условия (2). Предполагается, что на внешней свободной границе 52 (t) действует атмосферное давление p = pa, на внутренней свободной границе Si2(t) -p = pc, где pc - давление насыщенных паров жидкости или газа (pc « 0).

Кинематическое условие на Si2(t) записывается в полярных координатах r, 9 (x = r cos 6, y = r sin 9 ). Уравнения внешней и внутренней свободных границ относительно подвижной системы координат имеют вид

y = 5(x, t) - hy (t); r = 1 + |9,t) .

В точках пересечения внутренней свободной границы с поверхностью цилиндра (в точках отрыва) ставится условие Кутта - Жуковского, означающее, что скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.

Асимптотический анализ задачи на малых временах

При моделировании кавитационного отрыва в возмущенной жидкости делается предположение о том, что отрыв происходит сразу по конечному и в большинстве случаев не маленькому участку поверхности тела [2]. При этом важную роль играют первоначальные зоны контакта и отрыва 5л(0), ^12(0), для определения которых необходимо сформулировать дополнительные динамическое и кинематическое условия типа неравенств.

Решение поставленной задачи на малых временах будем разыскивать в виде следующих асимптотических разложений (t ^ 0):

Ф(х,7,0 = Фо(х,у) + tФl(x,у) + а(0 , (4)

x,t) = £о(x) +12^i(x) + o(t2), Л(е, t) = fno(0) +12^i(9) + o(t2).

(5)

(6)

Подставляя (4)-(6) в (1)-(3), осуществляя снос краевых условий с возмущенных участков границы области О(^) на первоначально невозмущенный уровень и учитывая дополнительные условия в виде неравенств, придем для определения функции Ф1 к смешанной краевой задаче теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела:

ДФ1 = 0 , Я е0(0) , Ф1 =-/(Ф0), Я е 52(0), (7)

дФ

-1 = rax«x +®y«y , Po-Oi - f (фо)-Fr 2У >0,

dn ' '

R е Sli(O),

(8)

dO

dn

1 >fflxnx + » уПу , Po-Ol - f (Фо) - Fr 2 y = о,

R е ^12(0),

SO,

d 2Ф

dO

2 ,У = -Hb; — = 0, x = + Hr ,

(9)

(10)

ду дх

/(Ф0) = СФ° +1И0 )2.

ду 2

Обоснование краевых условий типа неравенств проводится по аналогии с [2]. Неравенство в (8) означает, что давление на смоченной поверхности тела (в главном приближении по времени) должно

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

быть неотрицательным. Неравенство в (9) говорит о том, что жидкие частицы не могут входить внутрь твердого тела, хотя им разрешается отрываться от твердой границы.

Наличие сразу двух неравенств гарантирует существование единственного решения задачи. После решения задачи (7)-(10) коэффициенты асимптотических разложений (5), (6) находятся по формулам

ОФп ОФ,

М = -т° , х) = 0,5 —1; Л0(0) = 0 ,

5у

dy

V0) = 0,5

дФ

1 -ю,. cos 9-ю,, sin 9

дг х y

Из общей теории решения краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных следует, что функция (6), описывающая возмущение внутренней свободной границы жидкости на малых временах (с учетом равенства "0(0) = 0), будет непрерывной в точках отрыва, а ее первая производная по переменной 0 будет иметь в них особенности типа квадратного корня. Подчеркнем, что именно регулярность решения задачи с односторонними ограничениями позволяет изобразить форму внутренней свободной границы на малых временах без построения специальных погранслойных решений в точках отрыва. Роль погранслойных решений здесь состоит в том, чтобы сгладить особенности у производных и таким образом получить регулярное выражение для функции "(0,?) вблизи точек отрыва. При этом форма каверны на малых временах практически не изменится. Сложнее обстоит дело с внешней свободной границей жидкости вблизи точек контакта (х = ±1, у = 0). Наличие горизонтальной компоненты скорости Нх (?) приводит к слабой особенности в коэффициенте £,-(х) при х ^±1. Асимптотическая формула (5) является лишь внешним разложением, эффективным за пределами некоторых окрестностей указанных точек. Построение внутреннего разложения в такого рода примерах остается нерешенной задачей. Однако при малых временах и небольших юх указанная особенность проявляет себя только в очень маленькой окрестности точки контакта, что позволяет использовать формулу (5) практически во всем диапазоне изменения переменной х . Отметим также, что в предельном случае, когда р0 ^ 0, указанной выше особенности не возникает. Отличительной особенностью этого предельного случая является то, что зазоры (области контакта) между крайними точками отрыва и внешней свободной границей жидкости исчезают. Отметим, что основные вопросы

данной статьи, связанные с кавитацией, решаются достаточно полно и не зависят от проблемы, возникающей в точках контакта.

Численная реализация и анализ результатов

Для численного решения задачи с односторонними ограничениями применяется специальный итерационный метод, в котором последовательно уточняются неизвестные заранее первоначальные зоны отрыва и контакта частиц жидкости. Исходная нелинейная задача (с неизвестной зоной отрыва) сводится к последовательному решению линейных краевых задач с фиксированным разбиением границы тела на области задания краевых условий типа Дирихле - Неймана. В качестве начального приближения в этом итерационном процессе выбирается решение линейной (без учета неравенств) смешанной краевой задачи (7)-(10) с такой маленькой зоной Sl2(0), в окрестности которой нарушается динамическое условие в виде неравенства (8) (т.е. нарушается условие неотрицательности давления в области контакта). Новые приближения к точкам отрыва определяются из условия локального отрицательного минимума давления на смоченной поверхности тела. Затем процесс повторяется. Каждый следующий шаг итерационного процесса приводит к уменьшению зоны отрицательных давлений. Процесс заканчивается, когда эта зона исчезает. Заметим также, что линейные задачи, возникающие на каждом шаге итерационного процесса, решаются численно методом конечных элементов с применением пакета РгееРеш++ [7]. При этом используется их слабая вариационная постановка. Подробное изложение данного итерационного метода приводится в работах [2-5]. Ранее аналогичные итерационные процессы применялись в контактных задачах теории упругости с неизвестными заранее областями контакта [8], а также при исследовании плоских задачах об отрывном ударе твердых тел в жидкости [9]. Итерационные методы последовательного уточнения неизвестной границы в применении к другим задачам со свободной границей изложены в монографии [10].

Рассмотрим конкретные примеры, демонстрирующие образование каверн вблизи границы плавающего тела. Исследование задачи проводится при следующих фиксированных значениях параметров: Гт = 3 , юу = 2, ? = 0,4, Ня = Н = 5. При

этом рассматриваются случаи, соответствующие различным юх и р0. При юх = 0 , р0 = 1 образуются две симметричные присоединенные каверны, вызванные быстрым торможением цилиндра [2].

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

Для юх > 0 эта симметрия нарушается. На рис. 1 изображены две несимметричные каверны, соответствующие случаю юх = 0,5 , ро = 1. Угловые координаты точек отрыва имеют следующие приближенные значения: 01 = -0,39, = -0,82,

63 = -2,11, 84 =-2,88. Дальнейшее увеличение

приводит к исчезновению первой зоны отрыва, расположенной в области -0,5л < 6 < 0 . Это происходит при значениях юх, близких к 0,9. При юх ^да задача (7)-(10) переходит в классическую задачу о горизонтальном отрывном ударе цилиндра, полупогруженного в жидкость [11, 12]. Как следует из этих работ, приближенное значение безразмерной ординаты точки отрыва су = -0,921 (для

случая неограниченной жидкости).

ax = 2 ( 01 =-0,043,

92 = -0,85,

6з =-1,71,

64 =-3,12). При уменьшении юх зоны отрыва сливаются, а при увеличении юх первая зона исчезает. Рисунок 3 соответствует случаю Р0 = 0,1, юх = 1

(0! =-0,036, 02 =-1,17, 03 =-1,66, 04 =-3,12).

Рис. 2. Картина течения при юх = 2 , ро = 0,1 / Fig. 2. The flow pattern at юх = 2 , ро = 0,1

Рис. 1. Образование двух несимметричных присоединенных каверн: юх = 0,5 , ро = 1 / Fig. 1. Formation of two asymmetrical attached cavities: ®х = 0,5 > Ро =1

Численные значения ординаты соответствующей точки отрыва, полученной на основе решения задачи (7)-(10) при различных значениях юх и неизменных остальных параметрах задачи, равны:

юх = 3, Су =-0,898 ; юх = 10, су =-0,908 ; юх = 100 ,

Су =-0,912 . При юх ордината второй точки

отрыва стремится к нулю. Изучим влияние безразмерного атмосферного давления на картину течения жидкости после удара. При стремлении величины р0 к нулю зазоры между крайними точками отрыва и внешней свободной границей жидкости исчезают. На рис. 2 изображена картина течения жидкости, соответствующая случаю Р0 = 0,1,

Рис. 3. Картина течения при юх = 1, po = 0,1 / Fig. 3. The flow pattern at юх = 1, po = 0,1

Заключение

В работе дано обобщение на несимметричный случай задачи о кавитационном торможении кругового цилиндра в жидкости после безотрывного удара. Показано, что горизонтальное ускорение цилиндра оказывает существенное влияние на картину течения жидкости после удара. Важным является учет физических параметров задачи, которые влияют на расположение каверн и их форму на малых временах.

Приводятся численные примеры, демонстрирующие образование каверн вблизи границы плавающего тела. Результаты данной статьи допускают обобщение на случай эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности жидкости.

Литература

1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.

2. Норкин М.В. Кавитационное торможение кругового цилиндра в жидкости после удара // Прикладная механика и техн. физика. 2017. Т. 58, № 1. С. 102-107.

3. Норкин М.В. Кавитационное торможение твердого тела в возмущенной жидкости // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13, № 2. С. 181-193.

4. Норкин М.В. Свободное кавитационное торможение кругового цилиндра в жидкости после удара // Сиб. журн. индустр. Математики. 2018. T. XXI, № 3 (75). С. 94-103.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

5. Норкин М.В. Математическая модель кавита-ционного торможения тора в жидкости после удара // Мат. моделирование. 2018. Т. 30, № 8. С. 116-130.

6. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Ч. 1. 583 с.

7. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2008. 256 с.

8. Рвачев В.Л., Проценко В.С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наук. думка, 1977. 235 с.

9. Дворак А.В., Теселкин Д.А. Численное исследование двумерных задач об импульсивном движении плавающих тел // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1986. Т. 26, № 1. С. 144-150.

10. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во МГУ, 1987. 164 с.

11. Кудрявцева Н.А. Горизонтальный удар плавающего эллипса о несжимаемую жидкость // ПММ. 1960. Т. 24. С. 258-261.

12. Корчагин В.С. Отрывной удар по цилиндру, полупогруженному в жидкость // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1978. № 4. С. 25-27.

References

1. Sedov L.I. Ploskie zadachi gidrodinamiki i aero-dinamiki [Flat problems of hydrodynamics and aerodynamics]. Moscow: Nauka, 1966, 448 p.

2. Norkin M.V. Kavitatsionnoe tormozhenie kru-govogo tsilindra v zhidkosti posle udara [Cavitation braking of a circular cylinder in a liquid after impact]. Pri-kladnaya mekhanika i tekhn. fizika. 2017, vol. 58, No. 1, pp. 102-107.

3. Norkin M.V. Kavitatsionnoe tormozhenie tver-dogo tela v vozmushchennoi zhidkosti [Cavitation inhibition of a solid in a perturbed fluid]. Nelineinaya dinamika. 2017, vol. 13, No. 2, pp. 181-193.

4. Norkin M.V. Svobodnoe kavitatsionnoe tormozhenie krugovogo tsilindra v zhidkosti posle udara [Free cavitation braking of a circular cylinder in a liquid after impact]. Sib. zhurn. industr. matematiki. 2018, vol. XXI, No. 3 (75), pp. 94-103.

5. Norkin M.V. Matematicheskaya model' kavi-tatsionnogo tormozheniya tora v zhidkosti posle udara [Mathematical model of cavitation inhibition of the Torah in the fluid after impact]. Mat. modelirovanie. 2018, vol. 30, No. 8, pp. 116-130.

6. Kochin N.E., Kibel' I.A., Roze N.V. Teoretiche-skaya gidromekhanika [Theoretical hydromechanics]. Moscow: Fizmatgiz, 1963, ch. 1, 583 p.

7. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Ispol'zovanie paketa konechnykh elementov FreeFem++ dlya zadach gidrodinamiki, elektroforeza i biologii [Using the FreeFem++ finite element package for hydrodynamics, electrophoresis, and biology]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2008, 256 p.

8. Rvachev V.L., Protsenko V.S. Kontaktnye zadachi teorii uprugosti dlya neklassicheskikh oblastei [Contact problems of elasticity theory for non-classical domains]. Kiev: Nauk. dumka, 1977, 235 p.

9. Dvorak A.V., Teselkin D.A. Chislennoe issledo-vanie dvumernykh zadach ob impul'sivnom dvizhenii plavayushchikh tel [Numerical study of two-dimensional problems on the impulsive motion of floating bodies]. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki. 1986, vol. 26, No. 1, pp. 144-150.

10. Vabishchevich P.N. Chislennye metody resheniya zadach so svobodnoi granitsei [Numerical methods for solving problems with a free boundary]. Moscow: Izd-vo MGU, 1987, 164 p.

11. Kudryavtseva N.A. Gorizontal'nyi udar plavayush-chego ellipsa o neszhimaemuyu zhidkost' [Horizontal impact of a floating ellipse on an incompressible liquid]. PMM. 1960, vol. 24, pp. 258-261.

12. Korchagin V.S. Otryvnoi udar po tsilindru, polup-ogruzhennomu v zhidkost' [The detachable shock cylinder, half-sunk in the fluid]. Izv. SKNTs VSh. Estestv. nauki. 1978, No. 4, pp. 25-27.

Поступила в редакцию /Received

5 февраля 2019 г /February 5, 2019