CC BY
11
УДК 519.634
НАЧАЛЬНЫЙ ЭТАП ДВИЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА В НЕОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
© 2013 г. М.В. Норкин, А.А. Яковенко
Норкин Михаил Викторович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].
Norkin Michail Viktorovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected].
Яковенко Антон Александрович - аспирант, кафедра вычислительной математики и математической физики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].
Yakovenko Anton Aleksandrovich - Post-Graduate Student, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected].
Рассматривается совместное движение идеальной, несжимаемой, неоднородной жидкости и полностью погруженного в нее эллиптического цилиндра на малых временах. Предполагается, что цилиндр движется из состояния покоя в горизонтальном направлении с постоянным ускорением. Особенностью этой задачи является то, что на малых временах наблюдается сильная деформация внешней свободной границы жидкости и при определенных условиях происходит отрыв жидкости от тела, в результате которого вблизи тела образуется каверна и появляется новая внутренняя свободная граница.
Ключевые слова: неоднородная жидкость, эллиптический цилиндр, свободная граница, каверна, малые времена, отрыв жидкости, число Фруда, число кавитации.
Joint movement of an ideal, incompressible non-uniform liquid and the elliptic cylinder completely shipped in it on small times is considered. Supposed, that the cylinder moves from a condition of rest in a horizontal direction with constant acceleration. Feature of this problem is that on small times strong deformation of external free border of a liquid is observed and under certain conditions, occurs separation liquids from a body as a result of which near to a body the cavity is formed and there is a new internal free border.
Keywords: non-uniform liquid, elliptic cylinder, free border, cavity, small times, separation liquid, Frud number, cavity number.
Математическое моделирование процесса взаимодействия тела с жидкостью представляет собой сложную гидродинамическую задачу. Начальный этап движения тела в жидкости в большинстве случаев сопровождается образованием волн, каверн и брызго-вых струй. Как правило, формы свободных границ заранее неизвестны и подлежат определению в ходе решения. Большой интерес представляют задачи, в которых необходимо учитывать явление отрыва частиц жидкости от поверхности плавающего тела. В работах [1, 2] рассматривались задачи о движении кругового цилиндра в жидкости после удара на малых временах с образованием каверны. Основное внимание было уделено изучению динамики оторвавшейся
от поверхности цилиндра внутренней свободной границы жидкости. В [3] аналогичные вопросы изучены для случая движения кругового цилиндра в жидкости из состояния покоя с постоянным ускорением [3]. Ранее асимптотический анализ на малых временах без учета отрыва частиц жидкости от поверхности кругового цилиндра проводился в [4, 5]. Во всех перечисленных работах жидкость предполагалась идеальной, несжимаемой и однородной. Отметим также работу [6], в которой рассматривалась задача об отрывном разгоне эллиптического цилиндра в вязкой, несжимаемой, однородной жидкости. С учетом неоднородности жидкости динамические задачи удара и разгона значительно усложняются.
Постановка задачи
Рассматривается эллиптический цилиндр, полностью погруженный в идеальную, несжимаемую, неоднородную жидкость, наполняющую ограниченный бассейн прямоугольной формы. Предполагается, что цилиндр начинает свое движение из состояния покоя и движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением. При больших ускорениях тела происходит отрыв жидкости от тела, в результате которого вблизи тела образуется каверна и появляется новая внутренняя свободная граница. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в подвижной системе координат, связанной с цилиндром, имеет вид
5« 5«
--1— +
5t 8х 4 ' р Fr1 др 8р
(и, V)u = - — Vp--k, R е Q(t)
— - t—P + (u, V)p = 0, divu = 0, R е Q(t), (1)
dt —x
p = 0, = £ k -+ £, R е (t), (2)
u» = n, R е Su (t), (3)
x(Px -1)+yvy
V-2 ■ -2
x + y
■ = fR0+ + R е (t),
^ 0W -в) dt dt 12V/
—0
= R 2 [xuy -y(ux -1)],
(4)
R0(0)= (cos2 0 + s-2 sin2 в)-1'2, p = -0,5^, R е S12(t), ux = (u,i) = 0, x = Нд -0,5t2, x = -HL -0,5t2 , oy =(u, k) = 0, y = -HB ,
U t=0 = 0 $ t=0 = 0 Pt=0 =^0 (y),
(5)
Fr =
U'
1 = 2-
s =-
b
Pd®0a a Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам: t' = •t, x' = ax, y' = ay,
P - Pa =Pd^0aP-.
U =yf>
co0 a -u, p =pp, где штри-
горизонтальная и вертикальная полуоси эллипса; R -радиус-вектор с координатами (xy).
Функции г) = ^(в,t) и £=£(х,t) определяют возмущение свободных границ жидкости, уравнения которых относительно подвижной системы координат имеют вид R = Я0(в) + ^(в,t), y = H + £(х,t), где H -глубина погружения цилиндра.
На свободных границах задаются динамические и кинематические условия (2), (4). Кинематическое условие на S12 (t) записывается в полярных координатах R,0(x = Rcos в, y = Rsin0).
В точках пересечения внутренней свободной границы с поверхностью цилиндра (в точках отрыва) ставится условие Кутты-Жуковского, согласно которому скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.
Отметим, что в состоянии покоя (и = 0, £ = 0) плотность жидкости зависит только от координаты У (р0 = А0 (у)) . Все дальнейшие рассуждения носят общий характер и справедливы для произвольной функции А0 (у). Конкретные примеры рассматриваются для случая экспоненциально-стратифицированной жидкости:
p0
(y) =
_ ek(H-y)
где k - показатель стратификации.
хами помечаются размерные величины.
Неподвижные координаты X, Y связаны с подвижными х, у соотношениями: X = х + к(г), У = у,
h(t) = 0,5г2.
Здесь и = и(х, у, г), р = р(х, у, t), р = р(х, у, t) -скорость движения жидкости, давление и плотность, записанные относительно подвижной системы координат; 0.(г) - область, занятая жидкостью; (г) -часть поверхности тела, на которой не происходит отрыва частиц жидкости; (t) - оторвавшаяся от поверхности цилиндра внутренняя свободная граница жидкости (граница каверны); (t) - свободная поверхность жидкости, которая первоначально была горизонтальной; р11 - плотность на невозмущенной свободной поверхности в равновесном состоянии; pa -атмосферное давление; pc - давление в каверне; юа -ускорение цилиндра; g - ускорение свободного падения; Fr - число Фруда; % - число кавитации; а и Ь -
Асимптотическое решение задачи о безотрывном разгоне эллиптического цилиндра
Рассмотрим безотрывный разгон эллиптического цилиндра, происходящий при небольших и умеренных числах Фруда. В этом случае на всей поверхности цилиндра ставится условие непротекания (3). Решение поставленной задачи на малых временах будем искать в виде следующих разложений (г ^ 0):
и(х, у, г) = ?и0 (х, у) + ( 2 и (х, у) + гЗи2 (х, у) + о(3), р(х, у,г) = Ро (х, у) + р (х, у) + г2р2 (х, у) + о(2), (6)
р(x, y, г) = Ро (у)+Р (x, у) +г 2 Р2^ у)+ о(г 2),
#(х, г)=г 2#о (х)+г(х)+г (х)+о(г4). (7)
Подставляя разложения (6) в уравнения (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим равенства:
--VPö -—гk, 2Ui =--
Ре
Fr
Pö
Vpi -P Vp0
P0
(8)
3U2-—+ (U0, V)«0
Vp2-Pp Vpi-P Vp0 +PV Vp0 P0 P0
P0
8х ро
р, = 0, 2р2 +(«о, У)ро = 0, (9)
сИш0 = 0, = 0, = 0.
Взяв дивергенцию от обеих частей равенств (8) и учитывая формулы (9), получим для определения функций р0 (х, у), р (х, у) и р2 (х, у) эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка:
div
P0
-Vp0
f
= 0 , div
\
P0
-Vpi
f
= 0, div
P0
"Vp2
fi = div
% vp"
Po
f2 = div(uo, V)U0 •
-fi - f ,
(10)
a
c
0
U
0
i
i
Остановимся на преобразовании функций / и /2-Используя определение дивергенции, будем иметь
f = дх
pl Po
fP?
р cpo
Po2 йх ,
1 Фо
Л
д_
ду
E др±
Po2 дУ
__д
Po дх ро дх
др^ Po дх
ду
Po
1 дPo + P2 д
1 дрс.
Po дУ Po дУ iPo дУ
Отсюда, на основании первой формулы (10), полу-
1
чим равенство f = —
Po
д_
дх
W
Po
_LР
Po дх
д_
дх
д_
дУ
Po
dPo , дх ду
Po
5Po
ду
Гр ] = - P-P P'oiy )■
Po ] Po ду Po
В результате придем к выражению для функции f
f1
Po
р Opo, йх ох
дР2
йу
р2
Po
Po
0(у)
d>Po
ду
(11)
Функцию f можно представить в виде
д
ди
f2 = ~ I ^х -
дх{ ох
+U
öu„
o у
ду
д +—
ду
( ди
= 2-
U ди
дх ду
- + U
Og
дх
дх 0у ду U дЧ,у
+ uo у ^ + g2 - 2
o у ду дх ду
дх ду
Учитывая, что функция g = 0, окончательно получим
f _ 2 CUlldUo^ _ 2U 5uoу
o у
5у
4o(х)+и2у =£(хХч>х-1] + 4^2(х), у = H .
Подставляя далее разложения (6), (7) в краевые условия на твердых границах и учитывая равенства (8), (9), будем иметь (и0,п) = пх, п)= 0, (и2,п)= 0, ЯеS,
(«0, п)=--% - Рг , (В1, п) = --^ Я е 8 ,
Po дп
2Po
(U2, n) = 1
,_L Ф2 + р öPo +I-(uo, vjtoo, n
р дп р0 дп ^ 5х
R e Sl,
(uo, i) = o, (u„ i) = o, («2, i) =
1 ди
2 йх
(uo, i) = -^- %, («1,i) = - 1 Cp1
Po дх
2р0 дх
х = HR, - HL
х = Hr , - Hl
(u2, i)= 1
U-(uo, vUo х--1 Йр2 + P Cpo ох р ох р0 ох
х = Hr , - Hl ,
(uo,k) = o, (u1,k)= o, (u2,k) = o, х = -HB
(uo, k ) =
1
(°1, k ) =
1
_L ЙЕ±
Po °у Fr2' 2Po °у
i , \ 1 ^ / „4 1 5p2 р2 Opo
(u2 , k) = - "Г1 "l^ V)Uo у--"Г2 + -T1T
Po йу Po йу
3
5х
х = -H,
х = -H„
В результате для определения функций р0(х,у), р1(х,у), р2(х,у) получим смешанные краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в первоначально невозмущенной области (прямоугольнике с выброшенным эллипсом). В главном приближении придем к следующей задаче:
Р0 = Рг-\Р0 {у)Лу + Я, (13)
у
(
div
1
Po
Л
Vq
= o, q = o, у = H , -—5q = Пх, R e S, (14)
Po 5n
= 0, х = Яд, - Иь; = 0, у = -Яв . дх -У
На основании решения задачи (13), (14) находятся компоненты вектора и0 (х, у) и функция %0(х):
1 Oq Po Йх
1 Oq Po ду
Uoу (х
(х, H ) = 2#o (х) .
(12)
дх ду дх ду Теперь остановимся на выводе соответствующих граничных условий. Подставляя разложения (6), (7) в динамическое и кинематическое условия (2) и перенося граничные условия с возмущенной свободной границы на первоначально невозмущенный уровень с помощью соответствующих разложений в ряды на малых временах, получим равенства р0 = 0, р1 = 0,
Р2 =-~р° (х) , у = Н , и0у = 2#0 (х) , и1у = (x),
до,
Отметим, что благодаря введению новой функции g хорошо видно, что возмущение свободной границы жидкости в главном приближении не зависит от числа Фруда.
Функция р1(х,у) оказывается равной нулю, так как она определяется на основе решения смешанной краевой задачи для однородного дифференциального уравнения вида (13) с нулевыми граничными условиями. Вследствие этого функция ^ (х) и компоненты вектора и (х, у) также обращаются в нуль.
Для определения функции р2= р2(х,у) получим задачу
div
— VP2
Po
= f1 - f2 > P2 =-
oq с -2 lt-Fr Po
4»(х), у = h,
~~ ==4Fr-n + Пх ] - [ Cuo - (uo, V)uo, n], R e S, Po On Po
х = Hr , - Hl , (15)
+ (uo, V)U
'Oy,
х = -HB .
!р1 = 0,5 % + (ис, V)о
р дх дх
__1_ др^ = _ до0у
Р0 ду дх Здесь функции /1 и /2 находятся по формулам (11), (12), где функция Р2 = -0,5%0уРо(у).
После решения задачи (15) функция (х) определяется из равенства
до
%#0(х)+%2у Ч'0(хЬ0х -1] + 4#2(х), у = Н,
3и2 у = -
ди
o у
дх
-(u0, V)Uoу - —
Po
5Р2 р2_ дрй_
ду Po ду
у = H.
+
д
+
Заметим, что главное приближение (14) будет справедливо и для плавающего на поверхности жидкости цилиндра. Однако на его основе не удается определить возмущение свободной границы жидкости, так как вертикальная компонента вектора скорости имеет в точках пересечения цилиндра и жидкости особенности.
Отрывной разгон эллиптического цилиндра
При движении цилиндра с большими ускорениями (большие числа Фруда) происходит отрыв жидкости от тела, в результате которого вблизи цилиндра образуется каверна и появляется новая внутренняя свободная граница. Решение задачи (1)-(5) на малых временах будем разыскивать в виде асимптотических разложений (г ^ 0): и(х, у, г) = гио (х, у) + о(г),
р(х, у, /) = ро (х у) + о(1), р(х y, /) = ро (у) + о(1), #(х, г) = г 2#о (х)+о(г2), Щв, г) = г Щ (0)+о(г2).
В главном приближении придем к следующей смешанной краевой задаче для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с неизвестным априори разбиением границы тела на области контакта и отрыва
div
i 1 ^ —Vpo
vA у
= 0, R е Q(0), p0 = 0, у = H ,
(16)
-— 1р1 = Рт-гпу + пх, Ро £-0,5*, Л 6(о), (17)
Ро дп
- — ^ > Рт-2пу + пх, Ро = -о,5*, Л 6Би(о), (18) Ро дп
дР° = о, х = И, - И, , = Рт-2, у = -Н в . (19)
дх Ро ду
Здесь (о) и £12 (о) - первоначальные зоны контакта и отрыва, которые получаются в результате предельного перехода при г ^ о границ £п (г) и £12 (г). Динамическое условие в виде неравенства в
(17) означает, что давление на смоченной поверхности цилиндра не может быть меньше давления в каверне. Кинематическое условие в виде неравенства в
(18) говорит о том, что жидкие частицы не могут входить внутрь твердого тела, хотя им разрешается отрываться от этой границы. В силу регулярности решения задачи (16)-(19) вблизи точек отрыва условие Кутты-Жуковского в главном приближении будет выполнено автоматически.
После решения задачи (16)-(19) функции (х) и щ (0) определяются на основании равенств
°оу = 2#о (х), Ло-1 (0)[х(^ох -1)+ учоу ] =
= Ло (0) Л-2 (0)[х^оу - у(Чох -1)]+ 2що (0) . Главное приближение задачи о разгоне с отрывом содержит важные физические параметры Рт и *, которые существенно влияют на картину течения жидкости.
Отметим, что близкая по математической постановке задача об ударе с отрывом твердого тела, плавающего на поверхности неоднородной жидкости,
рассматривалась в [7], где была доказана теорема существования и единственности ее решения. В [8] исследовалась задача об ударе с отрывом эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности неоднородной жидкости.
Численная реализация и анализ результатов
Линейные смешанные краевые задачи (14), (15) решаются численно методом конечных элементов с использованием пакета FгeeFem++ [9]. На основании их решения определяются коэффициенты разложения (7) для возмущения свободной границы жидкости
(х) и (х) (функция <^1(х) = о). Для решения смешанной краевой задачи (16)-(19) с неизвестными априори областями контакта применяется специальный итерационный процесс, позволяющий свести решение рассматриваемой нелинейной задачи к последовательному решению линейных краевых задач. Последние решаются численно с помощью пакета конечных элементов FreeFem++ [9]. Ранее такой подход применялся для решения задач об ударе с отрывом в неоднородной жидкости [8].
Вначале рассмотрим задачу о безотрывном разгоне эллиптического цилиндра в экспоненциально-стратифицированной жидкости. Исследования проводились при следующих фиксированных значениях параметров: /=1,5, ¿=0,2, е=0,2, Н=0,5, Нв=0,5, Нд=10, Нь=10. На рис. 1а, б показана конфигурация свободной границы жидкости при Рг=0,4 и Рг=1.
Рис. 1. Безотрывный разгон эллиптического цилиндра: а - Рг=0,4; б - Рг=1
Сравнение со случаем однородной жидкости (¿=0) показывает, что небольшие показатели стратификации практически не влияют на форму внешней свободной границы жидкости, однако они существенно влияют на силу реакции жидкости на тело. Так, например, для рассматриваемого случая Рг=0,4 (¿=0,2) численные значения безразмерных компонент силы и момента (рх, Ру ,м) приближенно равны
(- о,9о; 4,25; о,37). По сравнению с однородной жид-
а
б
костью сила сопротивления ¥х увеличивается примерно на 14 %. При к = 0,3 увеличение происходит на 20 %, а при к = 0,5 - на 32.
Задача о разгоне с отрывом исследовалась при следующих фиксированных значениях параметров: к = 0,2, ¥т = 3, е = 0,3, Н = 0,5, Нв = 0,5. При этом рассматривались случаи, соответствующие различным числам кавитации. На рис. 2 показаны форма каверны и конфигурация внешней свободной границы жидкости в случае % = 0,1, / = 1,2 . Угловые координаты
точек отрыва, определяющие первоначальные размеры зон отрыва и контакта, имеют следующие приближенные значения: в1 = 2,92, 02 = -2,81. С ростом показателя стратификации размеры каверны немного увеличиваются.
Интересно сравнить конфигурацию внешней свободной границы жидкости, полученную с учетом отрыва (рис. 2), с аналогичным случаем, когда отрыв жидкости от тела не учитывается (рис. 3). Из приведенных рисунков хорошо видно, что каверна препятствует образованию впадины на внешней свободной границе жидкости позади тела. Таким образом, неучет отрыва (в тех случаях, когда он необходим) может привести к качественному изменению картины течения жидкости.
Рис. 2. Разгон с отрывом и образование каверны: Fr=3
Рис. 3. Разгон без учета отрыва: Fr=3
В технических приложениях важную роль играют вопросы, связанные с искусственной кавитацией. Предположим, что на малых временах одновременно происходит отрыв жидкости и искусственная подача газа в каверну. При увеличении давления в каверне ее размеры сильно увеличиваются. В частности, можно рассматривать каверны, которые характеризуются отрицательными числами кавитации (давление в ка-
Поступила в редакцию
верне больше атмосферного давления). На рис. 4 изображена форма каверны в случае % = -0,5 , ( = 0,8
(^ = 0,2 ,<92 =-2,67 ).
Рис. 4. Образование каверны с отрицательным числом кавитации
Интересно отметить, что, расширяясь и пересекая невозмущенный уровень внешней свободной границы жидкости, каверна несет на себе слой жидкости, аналогично тому, как это имеет место при выходе из воды кругового цилиндра [5, 10].
Литература
1. Norkin M., Korobkin A. The motion of free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder // J. Eng. Math. 2011. Vol. 70. P. 239 - 254.
2. Норкин М.В. Движение кругового цилиндра в жидкости после удара на малых временах с образованием каверны // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 3. С. 101 -112.
3. Норкин М.В. Образование каверны на начальном этапе движения кругового цилиндра в жидкости с постоянным ускорением // ПМТФ. 2012. Т. 53, № 4. С. 74 - 82.
4. Tyvand P.A., Miloh T. Free-surface flow due to impulsive motion of a submerged sircular sylinder // J. Fluid Mech. 1995. Vol. 286. Р. 67 - 101.
5. Tyvand P.A., Landrini M. Free-surface flow of a fluid body with an inner sircular sylinder in impulsive motion // J. Eng. Math. 2001. Vol. 40. Р. 109 - 140.
6. Норкин М.В. Начальный этап движения эллиптического цилиндра в вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 2012. Т. 52, № 2. С. 319 - 329.
7. Юдович В.И. Однозначная разрешаемость задачи об ударе с отрывом твердого тела о неоднородную жидкость // Владикавказский мат. журн. 2005. Т. 7, № 3. С. 79 - 91.
8. Норкин М.В. Удар с отрывом эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности несжимаемой, экспоненциально-стратифицированной жидкости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. 2009. С. 168 -173.
9. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д, 2008. 256 с.
10. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике. Чебоксары, 1987. 95 с.
19 октября 2012 г.
