CC BY
13
УДК 519.634 Б01 10.18522/0321-3005-2016-1-26-31
ОБРАЗОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ КАВИТАЦИОННЫХ ЗОН ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМ УДАРЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА, ПОЛНОСТЬЮ ПОГРУЖЕННОГО В ЖИДКОСТЬ*
© 2016 г. М.В. Норкин
Норкин Михаил Викторович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южного федерального университета, Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]
Norkin Mikhail Viktorovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Professor, Department of Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]
Исследуется динамическая смешанная задача о вертикальном ударе и последующем движении с постоянным ускорением кругового цилиндра, полностью погруженного в идеальную и несжимаемую жидкость. Показывается, что при определенных условиях наряду с зоной отрыва, вызванной ударом, образуются дополнительные кавитационные зоны, зависящие от закона движения цилиндра после удара и физических параметров задачи. Изучается влияние ускорения цилиндра на расположение зон отрыва и их связность.
Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, удар с отрывом, малые времена, асимптотический анализ, каверна, число Фруда, число кавитации, дополнительные кавитационные зоны.
The dynamic mixed task about vertical impact and the subsequent movement with continuous acceleration of the circular cylinder which is completely shipped in ideal and incompressible liquid is investigated. Is shown that under certain conditions, along with the zone of a separation caused by impact the additional cavitational zones depending on the law of the movement of the cylinder after impact and physical parameters of a task are formed. Influence of acceleration of the cylinder on an arrangement of zones of a separation and their connectivity is studied.
Keywords: ideal incompressible liquid, impact with a separation, small times, the asymptotic analysis, a cavity, Froude's number, cavitation number, additional cavitational zones.
Исследования по классическим смешанным задачам гидродинамического удара в постановке Л.И. Седова [1] позволяют сделать вывод о том, что отрыв жидкости от тела при ударе происходит в подавляющем большинстве случаев. При этом безотрывный удар возможен только для некоторого класса тел, плавающих на поверхности жидкости. Обсуждение этих вопросов, а также подробные обзоры работ по удару с отрывом приводятся в [2-5]. При изучении задачи об ударе с отрывом важную роль играют первоначальные зоны отрыва частиц жидкости, которые определяются на основе классической модели удара Л.И. Седова [1]. В момент удара положение механической системы не успевает измениться и образующаяся на поверхности тела зона отрыва характеризуется тем, что импульсивное давление в ней равняется нулю. В следующие после удара моменты времени внутренняя свободная граница отходит от поверхности тела и образу-
ется каверна, заполненная парами жидкости или газа [1]. Давление в каверне можно создавать также и искусственным путем, считая, например, что сразу после удара в каверну (со стороны тела) поступает газ постоянного давления.
В работах [6-8] исследовалась задача о движении кругового цилиндра в жидкости после отрывного удара на малых временах с постоянной скоростью. Положение точек отрыва внутренней свободной границы жидкости в каждый момент времени определялось из условия конечности скорости жидкости в этих точках (из условия Кутта - Жуковского). В результате для различных случаев, были построены регулярные асимптотические решения динамической задачи удара на малых временах. Наряду с условием Кутта - Жуковского должно также выполняться другое важное физическое условие - положительности давления на всей смоченной поверхности тела. Проведенные иссле-
*Работа выполнена в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (задание № 1.1398.2014/к).
дования показывают, что последнее условие выполняется не во всех случаях. Нарушение условия положительности давления приводит к необходимости введения дополнительных кавитационных зон. Отметим, что близкая задача о начальном этапе движения кругового цилиндра в жидкости из состояния покоя с постоянным ускорением рассматривалась в [9].
Постановка задачи
Рассматривается задача о вертикальном ударе кругового цилиндра, плавающего под свободной поверхностью идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости. Предполагается, что до удара тело и жидкость покоились. После удара цилиндр движется поступательно в вертикальном направлении с постоянным ускорением. Удар цилиндра, полностью погруженного в жидкость, сопровождается отрывом частиц жидкости от его поверхности и образованием растущей присоединенной каверны позади тела. После удара, в зависимости от конкретной физической ситуации, могут появиться дополнительные кавитационные зоны, зависящие от закона движения цилиндра и физических параметров задачи. Существенно отметить, что классическая модель удара от этих факторов не зависит. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в подвижной системе координат, жестко связанной с цилиндром, имеет вид
ДФ = 0, Я еП(0, (1)
5Ф с
— = 1^)пу , Я е Яп(/),
оп
0Ф- т 0Ф+1 (УФ)2 +
Ы 0у 2У '
+ Гт -2( у + Щ) - Н)-<; = 0,
<; = 0,5Х, Я е ЗД); <; = Р0, Я е Slз(t) ,
% )sm 9 = ^ %) + ,
dr d9 dt
R е S12(t)u Sn(t),
1 дФ ) cos 9
(2)
(1 + rf (9,t))2 д9 1 + rf (9,t)'
f- % f +1 (УФ)2 + Fr "2 (y + h(t) - H ) = 0, R е S2(t),
дФ=^дФ+д^, R е S2(t),
dy ddx dx dt Ф^0 , R^да,
Ф(x,y,0) = Ф0(x,y), £(x,0) = 0, rf (9,0) = 0 , (3) ) = y + rot.
Течение жидкости в начальный момент времени, создаваемое ударом кругового цилиндра, имеет потенциал Фо(х, у), определяемый решением следующей смешанной краевой задачи теории потенциала с неизвестными априори областями контакта
[1-5]:
ДФ0 = 0, Я е П(0) ,
0Ф 0
dn
дФ 0
= yny, Ф0 < 0, R е Sn(0), > yny Фе = 0, R е S12(0),
n
Ф0 = 0, R е S2(0) , Ф ^ 0, R ^ да .
Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам
(4)
t' = -
-t, x' = ax, y' = ay, Ф' = a | ö0 | Ф,
i^ci p' = P^op,
где штрихами помечаются размерные величины.
Подвижные координаты x, y связаны с неподвижными X, Y соотношениями X=x, Y=y+ h(t).
Здесь и далее используются следующие обозначения: Ф(х, y, t) - потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный в подвижной системе координат; Q (t) - область, занятая жидкостью; Sn(t) - часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыва частиц жидкости; Sio(t), "$1з(0 -оторвавшиеся от поверхности цилиндра внутренние свободные границы жидкости (Sio(t) - основная, а Si3(t) - дополнительная); So(t) - свободная поверхность жидкости, которая первоначально была горизонтальной; р = const - плотность жидкости; p - давление; a - радиус цилиндра; H - глубина его погружения в начальный момент времени; R - радиус-вектор с координатами (xy); параметр у характеризует направление удара (при у =-1 цилиндр движется вглубь жидкости).
Задача (1)-(3) содержит безразмерные параметры:
Fr = IM х = o pa -pc , ю = wCa
■fgä
pö2
ö0
где Гт- число Фруда; х- число кавитации (безразмерная разность давлений на внешней свободной поверхности жидкости и в основной каверне); ра - атмосферное давление; рс - давление в основной каверне; g - ускорение свободного падения; wо - ускорение цилиндра; ю - обезразмерен-ная величина .
a
Предполагается, что на внутренней свободной границе S^(t) давление p = pc, где pc - давление насыщенных паров жидкости или газа, либо давление газа в каверне при искусственной кавитации (в естественной ситуации, когда p « 0, справедливо равенство % = 2 po). На дополнительных свободных границах S^(t) давление совпадает с давлением насыщенных паров (p « 0). На внешней свободной поверхности жидкости p = pa .
На внешней и внутренних свободных границах ставятся динамические и кинематические условия (2). Кинематическое условие на S^(t) и S^(t) записывается в полярных координатах r, 0 (x = r cos 0, y = r sin 0). Уравнения внешней и внутренних свободных границ относительно подвижной системы координат имеют вид
y = H - h(t) + £(x, t); r = 1 + rf (0, t).
В точках пересечения внутренних свободных границ с поверхностью цилиндра (в точках отрыва) ставится условие Кутта - Жуковского, означающее, что скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.
После нахождения потенциала скоростей Ф давление в жидкости определяется на основании интеграла Коши - Лагранжа
p = po -
hfo ^Ф +1 (УФ)2 + Fr "2 (y + h(t) - H )1 (5)
8t 8y 2V ' ^ _
где po - безразмерное атмосферное давление.
Асимптотическое решение задачи на малых временах
Вначале остановимся на основных этапах построения асимптотики в случае одной зоны отрыва (без дополнительных свободных границ). Центральным моментом здесь является учет динамики точек отрыва внутренней свободной границы жидкости, благодаря которому удается удовлетворить условию Кутта - Жуковского. Действуя по аналогии с [6-8], запишем исходную задачу в полярных координатах и сделаем замену переменной по угловой координате 0
а =
(6)
я-20л«1
где углы 0^(0,0'2(О = я-0'1(О определяют положение точек отрыва в момент времени /, 0^1, 0'2 = я - 0'1 - в начальный момент времени.
В результате точки отрыва, зависящие от времени, перейдут в фиксированные точки отрыва, соответствующие начальному моменту времени.
В случае ю = 0 полученная в результате преобразования дифференциальная система приведена в [8]. Ее отличие от рассматриваемого случая состоит только в виде конкретной функции Н(р).
В соответствии с [6-8] решение преобразованной задачи на малых временах будем разыскивать в виде асимптотических разложений (/ ^ 0)
ф = ф0(а, г) + %(а, г) + о(Г) , (7)
(8)
(9)
о о
г|(а, t) = tq0 (а) +1(а) + o(t 2 ) ,
£(x, t) = t^o(x) +12^i(x) + o(t2), 0ji(t) = 0,1 + cit + o(t), 0,2(t) = ^-0si(t), (10) где величина c1 имеет смысл угловой скорости движения первой точки отрыва в начальный момент времени, а новые функции ф = ф(а, r, t) и ^ = ^(а, t) определяются равенствами
ф(а,r,t) = Ф(г cos 0(а,t),t) ; ^(а,t) = rf (0(а, t),t).
Подставляя (7)-(10) в уравнение и граничные условия преобразованной задачи и осуществляя перенос краевых условий с возмущенных участков границы области O(t) на первоначально невозмущенный уровень, используя при этом разложения граничных функций в ряды на малых временах, получим для определения функций фо =фо(а, r) и Ф1 =ф1(а, r) смешанные краевые задачи в фиксированной области 0(0)
Дф0 = 0, R е0(0); 8фо = у sin а, R е S11(0), (11)
8r
ф0 = 0, R е S12(0) ^ S2; ф0 ^ 0, R ^ да, (12)
дф0 ( л
Ф1 = с —I а-- 1 + и
Дм = 0, R е 0(0);
Ли
— = rosinа, R е Su(0); и = g1, R е S12(0), (15)
дг
(13)
(14)
и = g2 , R е 52(0); и ^ 0, R ^^ ,
(16)
2
g1 = удф^т а-0,5|дф0| - Fr " 2(sin а-H) +
дг ^ дг
+ 0,5Х,R е S12(0),
g 2 =у|ф0 - 0,5Í|^V дУа 1дУ,
2ci
л- 2ел
v-^а у
ха = r cos а, уа = r sin а .
Задача (11)—(12) полностью соответствует задаче об ударе с отрывом (4), определяющей течение жидкости в начальный момент времени. Для нахождения функции ф1 используется уравнение Пуассона, которое сводится к уравнению Лапласа при помощи подстановки (13). После решения
краевых задач для ф1 и u постоянная с определяется из условия регулярности асимптотического разложения (7) в первой точке отрыва
ñi =-
.ai
ai
ai = lim
52Ф0
a^e^i-0 da
a2 = lim Л esi -
-0 9а
Существенно отметить, что в силу регулярности решения задачи об ударе с отрывом функция и на 512(0) будет непрерывно дифференцируемой в точках отрыва, в чем можно убедиться, дифференцируя по а соответствующее граничное условие (вторая формула в (15)).
С помощью формул (5)—(10), (13) находится главное приближение для давления на смоченной поверхности цилиндра
Р = Ро -/(Фо,и)>
Г(фо, и) = и -у^ф0 + 0,5(Уфо )2 + ^"2 (у - Н), (17)
ду
Как показывают примеры, давление, определяемое по формуле (17), либо остается положительным на всей смоченной поверхности цилиндра, либо принимает отрицательные значения на некоторых участках границы тела. В первом случае делается вывод о том, что построенное на малых временах решение задачи вполне корректно (выполнены два важных физических условия: Кутта - Жуковского и положительности давления). Вторая ситуация приводит к необходимости введения дополнительных кавитационных зон.
Для определения новых кавитационных зон на малых временах формулируется задача с односторонними ограничениями, аналогичная классической задаче об ударе с отрывом
Ди = 0, Я е 0(0);
ди дг ди дг
= rosina, po - f (Фо,и) > 0, R е 5ц(0), (18) >rasina, p0 -f(ф0,и) = 0, R е 513(0), (19)
и = Я!, Я е 512(0) ; и = £2 , Я е 5*2(0) ; и ^ 0, Я ^да . (20)
Здесь граничные условия типа равенств на 5П(0), 512 (0), ^2(0) имеют такой же вид, как и в случае одной зоны отрыва (формулы (14)-(16)). На новых свободных границах давление р = 0
(формула (19)). На первоначальных зонах 5П(0) и 51з(0) ставятся граничные условия типа неравенств. Первое неравенство означает, что давление на смоченной поверхности цилиндра (в главном приближении по времени) не может быть отрицательным. Второе условие говорит о том, что жид-
кие частицы не могут входить внутрь твердого тела, хотя им разрешается отрываться от твердой границы. Для доказательства справедливости последнего неравенства подставим асимптотические разложения (7), (8) в преобразованное кинематическое уравнение внутренней свободной поверхности жидкости и используем формулу (13). В результате для коэффициентов разложения (8) получим равенства
✓ ч ✓ ч CU
"Л0(а) = 0 , 2|i(a) =--rosin a .
дг
Таким образом, возмущения дополнительных свободных границ на малых временах имеют вид
г|(а, t) = t2| (а) + o(t2 ), t ^ 0 .
Отсюда следует, что функция ri(a) должна быть неотрицательной. Действительно, если бы эта функция принимала отрицательные значения, то при малых t часть внутренней свободной границы оказалась бы внутри цилиндра, что невозможно. Из неотрицательности функции ri(a) следует выполнение кинематического условия типа неравенства в (19).
Для основной внутренней свободной границы 5"i2 (t) коэффициенты разложения (8) определяются равенствами
Г о (a) = (a,1) - у sin a,
дг
2|i (a) = ^ (a,1)r о (a) + ^ (a,1) -
дг2 дг
- yq(a) cos a + (q(a) + у cos a)r0 (a) - ro sin a,
q(a) = q + c(a - 0si) .
В случае внешней свободной границы жидкости коэффициенты разложения (9) имеют вид
50(*a) = ^l(Xa) = 0^ , Ja= H .
Численная реализация и анализ результатов
Исследование поставленной задачи на малых временах сводится к решению смешанных краевых задач теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. Решается классическая задача об ударе с отрывом (4) и определяются первоначальная зона отрыва частиц жидкости 5*12(0) и течение жидкости в начальный момент времени. На следующем этапе на основе решения задачи (18)-(20) находятся дополнительные первоначальные зоны отрыва 5i3(0). После этого определяются возмущения внешней и внутренних свободных границ жидкости на малых временах. Смешанные краевые задачи теории потенциала с краевыми условиями типа неравенств решаются
a
численно с применением специального итерационного метода [6-8].
Теперь перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Исследование задачи проводится при следующих фиксированных значениях параметров: Fr = 3, х = 0,7 , p0 = 0,35 , у = -1, H = 1,1 (естественная ситуация: pc = 0). При этом рассматриваются случаи, соответствующие различным безразмерным ускорениям ю и безразмерному моменту времени t = 0,2. При ю = 0 наряду с основной зоной отрыва образуются две симметричные дополнительные кавитационные зоны, изображенные на рисунке (a). Численные значения угловой координаты точки отрыва основной кавитационной зоны и угловых координат точек отрыва 62,63 дополнительной зоны отрыва равны соответственно 0,57; 0,36; -0,39. Скорость движения первой точки отрыва основной кавитационной зоны q = 1,21. При увеличении ю дополнительные зоны отрыва расширяются и смещаются в направлении отрицательной оси y . На рисунке (б) показаны положение цилиндра и формы свободных границ жидкости, соответствующие ю = 2 (62 = 0,25, 63 =-1,30, С1 = 1,48). Дальнейшее увеличение ю приводит к слиянию двух симметричных зон отрыва и образованию одной большой кавитационной зоны впереди тела. Заметим, что при увеличении ю промежуток времени, на котором происходит процесс торможения цилиндра, уменьшается (0 < t <ю-1). С другой стороны, в случае разгона цилиндра (ю < 0) при уменьшении ю дополнительные кавитацион-ные зоны смещаются вверх и уменьшаются. Так, например, при ю = -3 имеем 62 = 0,28, 63 = 0,48. При дальнейшем уменьшении ю дополнительные зоны отрыва исчезают.
Отметим, что в рассматриваемом асимптотическом приближении динамика точек отрыва дополнительных кавитационных зон не учитывается. Выполнение условия Кутта - Жуковского в этих точках следует из регулярности решения задачи с односторонними ограничениями (18)-(20). Условие Кутта - Жуковского в точках отрыва основной ка-витационной зоны обеспечивается благодаря учету их динамики и регулярности решения классической задачи об ударе с отрывом. Также обратим внимание на то, что на малых временах возмущения дополнительных свободных границ малы по сравнению с возмущением основной внутренней свободной границы жидкости.
б
Образование трех зон отрыва: а - го = 0 , t = 0,2; б - го = 2, t = 0,2
Литература
1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродина-
мики. М., 1966. 448 с.
2. Норкин М.В. Методы решения нелинейных задач гидро-
динамического удара в ограниченных областях // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 4. С. 135-147.
3. Норкин М.В. Отрывной удар эллиптического цилиндра,
плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 120-132.
4. Норкин М.В. Отрывной удар круглого диска, плавающе-
го на поверхности идеальной несжимаемой жидкости бесконечной глубины // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 4. С. 7686.
5. Норкин М.В. Смешанные задачи гидродинамического
удара. Ростов н/Д., 2007. 136 с.
6. Norkin M., Korobrin A. The motion of the free-surface sepa-
ration point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder // J. Eng. Math. 2011. Vol. 70. P. 239-254.
7. Норкин М.В. Движение кругового цилиндра в жидкости
после удара на малых временах с образованием каверны // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 3. С. 101-112.
8. Норкин М.В. Динамика внутренней свободной границы
жидкости на малых временах при вертикальном ударе кругового цилиндра, полностью погруженного в жидкость // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 1. С. 30-35.
9. Норкин М.В. Образование каверны на начальном этапе
движения кругового цилиндра в жидкости с постоянным ускорением // ПМТФ. 2012. Т. 53, № 4. С. 74-82.
References
1. Sedov L.I. Ploskie zadachi gidrodinamiki i aerodinamiki
[Plane problems of hydrodynamics and aerodynamics]. Moscow, 1966, 448 p.
2. Norkin M.V. Metody resheniya nelineinykh zadach gidro-
dinamicheskogo udara v ogranichennykh oblastyakh [Methods for solving nonlinear problems of hydrodynamic impact in limited areas]. Izv. RAN. MZhG, 2005, no 4, pp. 135-147.
3. Norkin M.V. Otryvnoi udar ellipticheskogo tsilindra,
plavayushchego na poverkhnosti ideal'noi neszhimaemoi zhidkosti konechnoi glubiny [Voucher kick elliptical cylinder, floating on the surface of an ideal incompressible fluid of finite depth]. Izv. RAN. MZhG, 2008, no 1, pp. 120-132.
4. Norkin M.V. Otryvnoi udar kruglogo diska, plavayushchego
na poverkhnosti ideal'noi neszhimaemoi zhidkosti beskonechnoi glubiny [Voucher kick of circular disc floating on the surface of an ideal incompressible fluid of infinite depth]. PMTF, 2009, vol. 50, no 4, pp. 76-86.
5. Norkin M.V. Smeshannye zadachi gidrodinamicheskogo
udara [Mixed problems of hydrodynamic shock]. Rostov-on-Don, 2007, 136 p.
Поступила в редакцию
6. Norkin M., Korobrin A. The motion of the free-surface sep-
aration point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder. J. Eng. Math., 2011, vol. 70, pp. 239-254.
7. Norkin M.V. Dvizhenie krugovogo tsilindra v zhidkosti
posle udara na malykh vremenakh s obrazovaniem kaverny [The motion of a circular cylinder in the liquid after impact on the short times to form a cavity]. Izv. RAN. MZhG, 2012, no 3, pp. 101-112.
8. Norkin M.V., Dinamika vnutrennei svobodnoi granitsy
zhidkosti na malykh vremenakh pri vertikal'nom udare krugovogo tsilindra, polnost'yu pogruzhennogo v zhidkost' [Dynamics of internal border-free liquid at short times in the vertical impact of a circular cylinder, fully immersed in the liquid]. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki, 2015, no 1, pp. 30-35.
9. Norkin M.V. Obrazovanie kaverny na nachal'nom etape
dvizheniya krugovogo tsilindra v zhidkosti s postoyannym uskoreniem [The formation of the cavity in the initial stage of movement in a circular cylinder with a constant acceleration fluid]. PMTF, 2012, vol. 53, no 4, pp. 74-82.
12 ноября 2015 г.
