Обратимость линейных изотропных электродинамических структур с замкнутыми идеально проводящими границами Текст научной статьи по специальности «Физика»

2005

Доклады БГУИР

январь-март

№ 1

УДК 621.35.6

ОБРАТИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР С ЗАМКНУТЫМИ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИМИ ГРАНИЦАМИ

А.А. КУРАЕВ, Т.Л. ПОПКОВА, А.К. СИНИЦЫН, С И. ЯРОМЕНОК

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь

Поступила в редакцию 2 января 2005

Теоретически доказано и подтверждено на основе вычислительного эксперимента фундаментальное свойство обратимости (в отношении характеристик прямого и обратного распространения и преобразования волн) линейных изотропных электродинамических структур с идеально проводящими границами.

Ключевые слова: лемма Лоренца, теорема обратимости, свойство обратимости, периодическая система, нерегулярный волновод.

Введение

Общие свойства электродинамических структур дают весьма ценную информацию как для исходной постановки задач анализа и синтеза, так и для решения конкретных вопросов по их использованию в тех или иных устройствах СВЧ. Поэтому установление и доказательство некоторых классов таких фундаментальных свойств является одной из важнейших задач электродинамики СВЧ. Ниже доказано одно из весьма общих свойств линейных изотропных электродинамических структур с идеально проводящей границей — их обратимость (независимо от конфигурации) в отношении прямого и обратного распространения и преобразования волн в этих структурах.

Теорема обратимости

Рассмотрим произвольную конфигурацию электродинамической структуры (рис. 1,а). Здесь V — внутренний объем структуры, ограниченный проводящей замкнутой поверхностью 5^ = 51 + 52 + ... + + ... + 5 ; нормаль п к — внешняя. Дополнительно указаны объемы

д е ^ т

V1 е V и V, е V , в которых расположены источники поля: в V1 система источников 1 ' 1 ,

^ е ^ т

ТГ д2 , д2

в V соответственно 2' 2 .

Будем полагать, что источники гармонические и имеют одну и ту же угловую частоту ю. Поэтому плотности электрических токов источников и магнитных токов соответственно д1"!2 записаны в комплексной форме. Будем считать, что среда, заполняющая V, линейна и изотропна. Среда может быть поглощающей, но потери в ней также линейны и изотропны. Положим, что — идеально проводящая. Тогда имеет место граничное условие вида

Г Я, Ё1 = 0. (1)

1 J —е

Будем считать, что источники 81е, 8Г в отсутствие источников 82е, 8Г возбуждают в

V с границей -Е поле Ех, Н1, а источники 882е, 82Г в отсутствие 8/, 8 Г возбуждают поле Е 2, Н 2. В рассматриваемом случае (линейная и изотропная среда в V ) перечисленные поля и источники связаны леммой Лоренца в следующей формулировке [1]:

§ {[ Д, Н 2 ] - [ ¿2, Нл = § {(5^2 - 52 Е) - (5ГН 2 - 8ГЩШ. (2)

V

Учитывая (1 ) в (2), а также принадлежность источников к V! и V2 , из (2) получаем:

\(8хеЁ2 - 3™ Н 2 ) dV 1 = {(82еЁ 1 - 82ГН1 ) dV2 (3)

Специализируем (3) к случаю, который иллюстрирует рис. 1,6: источники заданы на идентичных сечениях — = — и — 2± = — в виде поверхностных токов и 8-Г . Положим также, что <5^ = де32 = 5е3 , ¿Т™ = = §Г . Тогда из (3) следует

\ (Ё2 - Ё ± - | (Н 2 - Н1 ± = 0. (4)

На компоненты 8 —, 8Г никаких ограничений не наложено; эти компоненты можно считать произвольными непрерывными функциями на . Тогда можно использовать основную лемму вариационного исчисления [2], используя которую последовательно при всех компонентах 8 е'Г , кроме одной, равных нулю, из (4) получаем:

Ё2 - Ё1 = 0, Н2 - Н1 = 0. (5)

Результат (5) имеет следующий смысл: любые источники 8 —, 8Г в сечении возбуждают в сечении —±1 поле Ёх, Н1 точно такое же, как поле Ё2, Н2, которое те же источники, помещенные в сечение , возбуждают в сечении 2 . Иначе говоря, характеристики рассматриваемой структуры при распространении волн от сечения 2 к сечению —±1 (справа налево) и от сечения — к сечению (слева направо) идентичны.

Перейдем к обобщению результата (5). Рассмотрим общий случай, когда Ф 2 . Это может быть, например, волноводный преобразователь мод. Построим зеркально отображенную относительно 2 конфигурацию исходной структуры (рис. 1,в). Общая структура теперь отвечает условиям получения (5): входное и выходное сечения однотипны. Более того, структура симметрична относительно 2 и представляет собой встречно включенные отрезки нерегулярных волноводов одинаковой конфигурации. Поскольку результат (5) для объединенной структуры справедлив, мы приходим к заключению, что и в общем случае имеет место свойство обратимости электродинамических структур произвольной конфигурации при оговоренных выше условиях линейности и изотропности заполняющей структуры среды. Это и есть содержание теоремы обратимости.

Иллюстрации (и подтверждение) теоремы обратимости на основе вычислительного эксперимента приведены ниже.

а>

Я,

Рис. 1. Конфигурация рассматриваемых областей: а — общая произвольная конфигурация рассматриваемой области; б — специальная конфигурация с источниками в сечениях 5 ^ и

5 ^2; в — симметричная конфигурация

Продольно-несимметричный периодический волновод с круговым сечением на Н 0. -модах

Исследование проводилось на основе моделей и методик расчета, развитых в [3]. На рис. 2,а — профиль волноводной секции (Ь = Ь (Т)/ Ькр1, Ькр1 — критический для

Н01 -волны радиус, Т = 2О / с , О — угловая частота поля, с = 1 / / а ); на рис. 2,б — распространение волн слева направо: Р1 = Р1 + — Р1 — — безразмерная разностная мощность, переносимая в положительном направлении 2 для Н 0 моды, Р. + , Р.— — соответственно безразмерные мощности попутной и встречной волн; на рис. 2,в — распространение волн справа налево, Р. имеет тот же смысл. Как следует из сравнения данных на рис. 2,б,в, в пределах точности вычислений приведенный отрезок несимметричного периодического волновода обладает свойством обратимости.

Рис. 2. Характеристики продольно-несимметричного периодического волновода: а — профиль волновода; б — случай распространения волн слева направо: Рi — разностные потоки мощности в +7-направлении соответственно для .=1, 2; в — случай обратного распространения волн

Отрезок нерегулярного волновода с круговым сечением на модах Н 0.

Профиль волновода изображен на рис. 3,а. Нормированные разностные мощности Р. (2) для мод н 01 (. = 1) и Н 02 (. = 2) при распространении слева направо (Р1 > 0) приведены на рис. 3,б, при обратном распространении (Р1 < 0) — на рис. 3,в. Сравнение данных рис. 3,б и рис. 3,в указывает на полную обратимость отрезка нерегулярного волновода.

Рис. 3. Характеристики отрезка нерегулярного волновода: а — профиль волновода; б — случай распространения волн слева направо: Р, — разностные потоки мощности в +7-направлении соответственно для /=1,2,3; в — случай обратного распространения волн

Трансформатор моды Н 01 в Н 02 на нерегулярном волноводе

В предыдущих случаях входное и выходное сечения были идентичны, равно как и тип волны на входе и на выходе. Теперь ситуация иная: входное сечение существенно меньше выходного (входное — закритическое для Н 02 -волн, выходное — нет.); на вход подается волна Н01, на выходе трансформатора — волна Н 02 . На рис. 4,а изображен профиль трансформатора. На рис. 4,б показан прямой режим трансформатора: на входе — Р1 падающей Н 01-волны, на выходе — Р2 проходящей Н 02 -волны. На рис. 4,в изображен обратный режим трансформатора: справа падает волна Н 02 (Р2 < 0) , слева в — 2 -направлении выходит волна Н 01 (Р2 > 0) .

Сравнение данных рис. 4,б и рис. 4,в указывает на то, что и для трансформатора мод теорема обратимости выполняется.

Рис. 4. Характеристики трансформатора моды Н01 в Н02: а — профиль волновода; б — случай распространения волн слева направо: Р{ — разностные потоки мощности в +7-направлении соответственно для .=1,2; в — случай обратного распространения волн

Заключение

Доказанная теорема, численные примеры обосновывают фундаментальное свойство произвольно-нерегулярных электродинамических систем с линейным и изотропным заполнением и идеально проводящими границами - обратимость характеристик при прямом и обратном распространении волн.

THE RETURNABILITY OF LINEAR ISOTROPIC ELECTRODYNAMIC SYSTEM WITH CLOSED (CONFINED) IDEAL CONDUCTING BOUNDARY

A.A. KURAYEV, T.L. POPKOVA, A.K. SINITSYN, S.I. YAROMENOK

Abstract

The fundamental property of returnability of linear isotropic electrodynamic system with ideal conducting boundary is theoretically proved and is validated (corrbrated) on the base of calculating experiment.

Литература

1. Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн. Мн., 2004.

2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.

3. Кураев А.А., Лущицкая И.В., Попкова Т.Л., Яроменок С.И. // Докл. БГУИР. 2003. Т. 1, № 4. С. 49-52.