Алгоритм с сильной устойчивостью для решения краевых задач в теории нерегулярных волноводов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доклады БГУИР_DokladyBGUIR

2018, № 8 (118) 2018, No. 8 (118)

УДК 519.63/537.87

АЛГОРИТМ С СИЛЬНОИ устойчивостью для решения КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ТЕОРИИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ

А.А. КУРАЕВ, В В. МАТВЕЕНКО, Т.Л. ПОПКОВА

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, Республика Беларусь

Поступила в редакцию 19 февраля 2018

Аннотация. Предложен конечношаговый алгоритм с сильной устойчивостью для решения некорректных двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих в теории нерегулярных волноводов.

Ключевые слова. обыкновенные дифференциальные уравнения, двухточечная краевая задача, сильно устойчивые конечноразностные алгоритмы.

Abstract. It's proposed a finite-step algorithm with strong stability for solving incorrectly formulated two-point boundary problems for ordinary differential equations arising in the irregular waveguide theory.

Keywords. ordinary differential equations, two-point boundary problem, strong stability finite-difference algorithms.

Doklady BGUIR. 2018, Vol. 118, ]Чо. 8, pp. 12-17

Strong stability algorithm for solving boundary problems in the irregular waveguide theory A.A. Kurayev, V.V. Matveyenko, T.L. Popkova

Введение

В теории нерегулярных волноводов искомые поля Е и Н или потенциалы А, Пе'т представляются в виде разложений в полной системе векторных собственных функций вспомогательной поперечной краевой задачи. Для коэффициентов - функций разложения (амплитуд связанных волн) при этом получается двухточечная краевая задача для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с переменными коэффициентами. Эта задача при наличии закритических участков в волноводе является некорректной, и все имеющиеся в среде МА^АВ конечношаговые методы (как показано в статье) расходятся. Это требует создания сильно устойчивого метода решения ОДУ указанного типа. Один из таких методов предложен в статье. Его эффективность продемонстрирована на тестовой задаче распространения Н01 волны в нерегулярном волноводе с закритическими участками.

Тестовая задача: распространение Д^-волны в продольно-нерегулярном волноводе с круговым сечением

Воспользуемся теорией, развитой в [1], для случая распространения азимутально-симметричных Н0Гволн в продольно-нерегулярном волноводе с круговым сечением

и переменным внутренним радиусом Ь^). В соответствии с этой теорией компоненты Е и Н таких волн определяются через векторный потенциал А = ф0 Аф следующим образом:

-

E = -фп —-0 dt

процесса

H = —rol; (фп Аф), —0

Aф= Re ZZ ám ( z )<Ф (r, z ) e

jm(út

где для установившегося периодического во времени

(1)

m s í

Фs (r, z )= J1

л

-s

b( z )

, (х) - функция Бесселя 1-го рода, 1-го порядка, - корень

V

производной Л1 (x) : Л1 (x) = 0, 5 - номер корня.

Коэффициенты разложения в (1) определяются следующей системой обыкновенных

ОДУ:

й2йрт + И2 а +У|б а + Р ^} = о,

рт рт / г^яр ят яр I

dz2

dz

(2)

ГДе Qsp = Т í f^ ' PP = f íf^ ' ep = /Ф>х' p = 1'2'3--

p s± s,

Для полного представления поля в (1) следует (при больших — и —-) учитывать 3 -

Система (2) определяет амплитуды арт связанных волн в нерегулярном волноводе.

дЬ д2Ь — и —2 д* д*

8 закритических волн, связанных с Н01, как это показывают тестовые расчеты.

Для демонстрации свойств предложенного алгоритма, однако, решение такой громоздкой задачи представляется нецелесообразным. Поэтому, как и в [1], будем пренебрегать взаимодействием мод и положим: р = 1, = Р^ = 0. Таким образом, данный пример приобретает в определенной степени методический характер. Теперь система (2) редуцируется к одному уравнению вида

- + (И2 + 0) а + Р— = 0. (3)

dz1

dz Здесь

1 Г 52Ф^_ P = 2 Г 5ФФ

Qsp =1 í^ds-, Pp = e í , ei = =*b2 J (-01), h2 = k2

1 - 1 s, s,

—

—01 b

Для приведения (3) к виду уравнений «четного» типа воспользуемся, как и в [1], следующей заменой переменных:

Ч Т = к* = Ю

с

Тогда получаем следующее уравнение относительно С:

d2 С

а

i = C/(jQg), g = b(z)/bp, bp = T = kz = ^z.

(4)

2 + Q(T )C = 0.

í 1

dT

Здесь Q(T) = 1 -

(5)

У 2 /т Л2 1 —21 í dg 1

g(T) J 3g VdT,

f

Зададим g(T) в виде g(T) = 1 + A + H sin2

dg

T

T

T

5 Л

а1--+ а3—~ + а5 —

1 Т 3 Т 5 Т

V 0 0 0

, 0 < T < L0, причем L0

выберем так, что (^0 ) = 0, (а1, а3, а5 - постоянные коэффициенты). Тогда граничные условия к (5) в случае согласования концов волноводной секции при Т = 0, Ь0 будут иметь вид:

s

2

§<0)^С(0) + Л, (6)

С (0) = В + jD.

Можно положить А0 = 1 (нормированный входной сигнал). Величины В и D необходимо выбирать из условий отражения и отсутствия сигнала справа:

(7)

аТ к

Задача (6), (7) относится к некорректным: малая ошибка в определении В и D приводит к развалу решения.

Алгоритм с сильной устойчивостью для решения краевой задачи для ОДУ второго

порядка

Термин «сильно устойчивый алгоритм» заимствован из [2]. В монографии [2] приведен алгоритм указанного типа для решения ОДУ первого порядка вида

f — P (T) f = F (T).

(8)

В соответствии с предложенным в [2] алгоритмом функция f на промежутке Тт-1-Тт

Г /т+1 + /т , /т+1 " /т дт

вычисляется как / =-, а производная / =-—-, ДТ - шаг по аргументу Т.

fm+\

2

При этом реализуется алгоритм

+P,

Jm I AT 2

AT

(9)

a. - pl '

AT 2

Здесь fm, Pm - вычисленные значения соответствующих функций на m-шаге. Заметим, что при P(T) = P0 = const и F = 0 решение является экспонентой, а формула (9) - конечно-разностное выражение экспоненты. Разовьем предложенную в [2] методику для уравнений второго порядка вида

^+P (T)f+е (T )■f=

Представим f = fm+1 + fm d = ' fm+1 - fm

k

d f _ \ fm+1 fm

2 dT V AT J " dT2

тогда получим следующий конечношаговый алгоритм решения:

—

AT2

(10)

fm fm-1

AT2

fm+1

fm m k 12+p n _ 1 ^AT AT J_ — Qm, 2 ( f — f ) .f | m J m—1 / m AT2

\ k1 V Г 1 + Pm ] AT2 AT_ + Qm ^ 2 J

k2'

fm+1

В случае когда в (10) Р(Т) = 0, полученный алгоритм редуцируется к следующему виду: /

т

k1 — q f . (fm fm-1)

AT2 *z-mj m at 2

к

AT2

1 + em

К

(11)

2

Здесь ^ - коэффициент, уточняющий положение рассчитываемой - на отрезке

dT

[Тт, Тт+1], k2 - стабилизирующий коэффициент [3]. Они подбираются для конкретной решаемой задачи.

Алгоритм (11) удовлетворяет понятию «сильно устойчивого» и может быть использован для решения некорректных задач типа (6), (7).

Решение краевой задачи (6), (7)

Предварительное решение задачи (6), (7) для определения начальных значений В, Г, при которых удовлетворяются условия (7), проводилось с использованием аппарата Т-функций

[4, 6]. При известных ВВ, Г решаемая задача становилась задачей Коши в форме (6). Решение этой задачи проводилось с использованием семи стандартных алгоритмов из МаАаЬ: ode45, ode23, ode113, ode23tb, ode15s, ode23s, ode23t и предложенного в статье алгоритма в форме (11).

Вариант 1. Lо=8n; Л=1; В = 143,8; Г) = 0,375,

к (°) =

k

= -0,526/, А = -0,115, Н = 0,55,

а1 = 5,5л, а2 = 0, а3 = 0. На рис. 1 приведены профиль гофра (шкала справа) и расчет

С(Т) = С(Т) с использованием стандартных алгоритмов (все они дают почти совпадающие

результаты). Как видно из графика С(Т), решение расходится: волновод закритический, С(Т) должно убывать, а в расчете оно, наоборот, возрастает в десятки раз, т. е. не отвечает физическому содержанию задачи. На рис. 2 представлены решения той же задачи на основе Т-функций и предложенного алгоритма (11) при ^ = 1,05; ^ = 0,999875. Теперь полученные решения адекватны решаемой задаче: Н00\ в гофрированном закритическом для этой волны волноводе затухает. Незначительное расхождение данных расчетов с использованием Т-функций и алгоритма (11) объяснимо тем, что тот и другой расчет приближенные.

С(Т)

г(г>

Рис. 1. Расчет амплитуды поля С(Т) стандартными методами для варианта 1: 1 - профиль волновода g(T); 2 - С(Т); 3 - gкр

Рис. 2. Расчет амплитуды поля Н01 С (Т) методами Т-функций и предложенным алгоритмом для варианта 1: 1 - профиль волновода g(T); 2 - С(Т) - Т-функций; 3 - С(Т) по предложенному методу

• • h(0)

Вариант 2. Lo = 15л; Л = 1; В = -1; О = -0,0017, —^ = -0,328/, А = -0,05, Я = 0,22,

k

ах = 15л, «2 = 0, аз = 0. Рис. 3 иллюстрирует результаты расчета С(Т) стандартными алгоритмами из МаЙаЬ. Как и в предыдущем варианте, решение очевидным образом расходится: С(Т) вместо уменьшения возрастает в десятки тысяч раз. На рис. 4 приведены решения задачи, полученные с использованием Т-функций и предложенного алгоритма (11) при ^ = 1,07; k2 = 0,99987. Решения практически совпадают и отвечают физическому содержанию задачи.

Рис. 3. Расчет амплитуды поля С(Т) стандартными методами для варианта 2: 1 - профиль волновода g(T); 2 - С(Т); 3 - gкр

Рис. 4. Расчет амплитуды поля Hoi C (T) методами T-функций и предложенным алгоритмом для варианта 2: 1 - профиль волщжода g(T); 2 - C(T) - T-функций; 3 - C(T) по предложенному методу

Заключение

Приведение материалы позволит утверждать, что предложенный алгорщм вида (11) с сильной устойчивостью может быть использован для решения некорректных задач в теории нерегулярных волноводов. Используемая методика построения алгоритма может быть использована и для решения систем ОДУ как первого, второго, так и высших порядков.

Список литературы

1. Кураев А.А., Ковалев И.С., Колосов С.В. Численные методы оптимизации в задачах электроники СВЧ. Минск: Наука и техника, 1975. 296 с.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск, 1998. 442 с.

3. Kurayev A.A., Matveyenko V.V., Popkova T.L. Algorithms with Stabilizing Coefficients for Solving Poorly Determined Radiophisics Problems // Radiofizika i elektronika. 2016. Vol. 7, № 3. P. 5-10.

4. Кураев А.А., Попкова Т.Л., Яроменок С.И. Аппарат T-функций для решения двухточечных краевых задач в теории нерегулярных волноводов // Радиотехника. 2004. № 9. С. 34-39.

5. Кураев А.А., Попкова Т.Л., Яроменок С.И. T-функции для четных численно-аналитических методов решения краевых задач электродинамики // Вести НАН Беларуси. 2005. № 2. С. 60-68.

6. Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн. М., 2016. 424 с.

References

1. Kuraev A.A., Kovalev I.S., Kolosov S.V. Chislennye metody optimizacii v zadachah jelektroniki SVCh. Minsk: Nauka i tehnika, 1975. 296 s. (in Russ.)

2. Samarskij A.A., Vabishhevich P.N., Matus P.P. Raznostnye shemy s operatornymi mnozhiteljami. Minsk, 1998. 442 s. (in Russ.)

3. Kurayev A.A., Matveyenko V.V., Popkova T.L. Algorithms with Stabilizing Coefficients for Solving Poorly Determined Radiophisics Problems // Radiofizika i elektronika. 2016. Vol. 7, № 3. P. 5-10.

4. Kuraev A.A., Popkova T.L., Jaromenok S.I. Apparat T-funkcij dlja reshenija dvuhtochechnyh kraevyh zadach v teorii nereguljarnyh volnovodov // Radiotehnika. 2004. № 9. S. 34-39. (in Russ.)

5. Kuraev A.A., Popkova T.L., Jaromenok S.I. T-funkcii dlja chetnyh chislenno-analiticheskih metodov reshenija kraevyh zadach jelektrodinamiki // Vesti NAN Belarusi. 2005. № 2. S. 60-68. (in Russ.)

6. Kuraev A.A., Popkova T.L., Sinicyn A.K. Jelektrodinamika i rasprostranenie radiovoln. M., 2016. 424 s. (in Russ.)

Сведения об авторах

Кураев А.А., д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры информационных радиотехнологий Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники.

Матвеенко В.В., к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры вычислительных методов и программирования Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники.

Information about the authors

Kurayev A.A., D.Sci, professor, professor of information radiotechnologies department of Belarusian state university of informatics and radioelectronics.

Matveyenka V.V., PhD, associate professor, associate professor of computational methods and programming department of Belarusian state university of informatics and radioelectronics.

Попкова Т.Л., к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры информационных радиотехнологий Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники.

Popkova T.L., PhD, associate professor, associate professor of information radiotechnologies department of Belarusian state university of informatics and radioelectronics.

Адрес для корреспонденции

220013, Республика Беларусь,

г. Минск, ул. П. Бровки, 6,

Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники

тел. +375-17-293- 89-56;

e-mail: [email protected]

Матвеенко Владимир Владимирович

Address for correspondence

220013, Republic of Belarus, Minsk, P. Brovka, st., 6, Belarusian state university of informatics and radioelectronics tel. +375-17-293- 89-56; e-mail: [email protected] Matveyenka Vladimir Vladimirovich