CC BY
18
2008
Доклады БГУИР
№ 3 (33)
УДК 621.372.8+519.6
СОГЛАСОВАНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДИАФРАГМЫ В КРУГЛОМ ВОЛНОВОДЕ НА МОДЕ Н01 С ПОМОЩЬЮ КАНАВКИ-РЕФЛЕКТОРА
А.А. КУРАЕВ, О И. НАРАНОВИЧ, А.К. СИНИЦЫН
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 8 апреля 2008
Предложен метод расчета нерегулярных волноводов с частичным диэлектрическим заполнением. Разработана эффективная процедура решения, совмещающая метод преобразования координат, последующее сведение задачи к системе ОДУ на основе метода прямых, парциальные условия излучения на входном и выходном сечениях и метод блочной матричной прогонки для случая продольно-нерегулярного волновода с диэлектрическими вставками. Приведены результаты решения задачи о подборе рефлектора, компенсирующего отражение ^01-волны круглого волновода от диэлектрического окна.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, метод сеток, волновод, рефлектор.
Введение
Диэлектрические вставки специальной формы используются во многих элементах волноводной СВЧ-техники — замедляющие системы, диэлектрические окна. Ввиду этого актуальным является разработка эффективных методов расчета нерегулярных волноводов с частичным диэлектрическим заполнением. В [1] такие задачи решаются на основе метода преобразования координат и неполного метода Галеркина, который, однако, для нерегулярного волновода во многих случаях оказывается неустойчивым. Решение этих задач прямым методом сеток требует значительных вычислительных затрат [2].
В [3, 4] для решения краевых задач в случае продольно нерегулярных волноводов с вакуумным заполнением предложена эффективная процедура решения, удачно совмещающая метод преобразования координат, последующее сведение задачи к системе ОДУ на основе метода прямых, парциальные условия излучения на входном и выходном сечениях [2] и метод блочной матричной прогонки [5, 6]. В настоящей статье описанная в [3, 4] методика развита для случая продольно-нерегулярного волновода с диэлектрическими вставками. В качестве иллюстрации возможностей метода решена задача о подборе рефлектора круглого волновода в виде резонансной канавки, компенсирующей отражение симметричной #-волны от тонкого диэлектрического окна.
Уравнения Максвелла в преобразованной системе координат
Возбуждение волн в рассматриваемом нерегулярном отрезке волновода на рабочей частоте ю описывается однородными уравнениями Максвелла и соответствующими граничными условиями на внутренней идеально проводящей поверхности волновода. Для решения задачи воспользуемся известной методикой отображения внутренней области
нерегулярного волновода, заданного профиля b(z) на цилиндр единичного радиуса [3]. Введем следующее преобразование координат
r = pb(Z); ф = у; z = Z .
(1)
Безразмерные уравнения Максвелла и граничное условие на стенке волновода для векторов поля в преобразованной системе запишем в виде [3]
rot Bp = jWg • s(p, r)Ep; g 1 • rot Ep = - jWBp; [r0, Ep ]
P=1
= 0,
(2)
_1 + p2b' 0 -pbb'
g = 0 1 0
-pbb' 0 b2
Здесь b'=дb/дz, все геометрические параметры выражены в единицах А,0/2л, А,0=2лс/ю0 — опорная длина волны; Ж=ю/ю0.
В случае симметричных #-волн задача (2) приводится к скалярному уравнению
1 д2и е(р,z)Ж2 дГЬ' диЛ дГЬ'диЛ 1 дГ 1 + (Ь'р)2 диЛ
-и - -
P dzz
dz
к b 5p J 5p ^ b dz J b2 dp
5p
= 0.
Граничное условие на стенке волновода, и(1, z)=0 на оси и(0, z)=0. Компоненты симметричной #-волны выражаются через и следующим образом:
Bp = j
W
f ди b' ди Л _ f b' ди 1 + p2b'2 1 ди
к pдz b дpy
po
Л
b дz
p дP
z 0
; Ep = u(p,z)lp\j>0.
Связь компонент в исходной (r, ф, z) и преобразованной (p, у, Q системах: Br = Bp l b( z); Eф = E^ l b( z); Bz = B^ - Bp- b' (z )l b( z).
(3)
(4)
Парциальные условия излучения на концах отрезка нерегулярного волновода
В соответствии с методикой [1, 2, 4] представим искомое волновое поле в виде разложения по собственным ^0г-волнам регулярного волновода единичного радиуса
11 1 2 ey foz) = s ai(z) j1(mo p); ai(z) = —iи (z, p) j1(mo p)d p; hot = ij10ip)p^ p .
i % 0 0
На регулярных участках волновода
- jk:z - + jhz ' + ai e '
- kz - + k-z
(5)
Ai (z) =
ai e
+ ai e ' ' ;W > lb,i = 1,2,...p;
, k =
lie 1 + ai e 1 ; W < Ц^' l b, i > p;
W2 -(no^b)
Здесь р — максимальное количество распространяющихся волн.
Тогда условия на границах сопряжения рассматриваемого нерегулярного отрезка волновода с регулярными участками запишутся в виде.
Условие полного согласования при z=L. При z>L отсутствуют обратные волны а- = 0 .
ди(р Ь) у'к- 1 к- 1
-7"-= _Х -±-р^1(^0/р)Iи(рЬ)Л^рМр- X рЛ^ОгР)Iи(рЬ)Л^ОгР)йР . (6)
дг Р "01 0 />р По- о
Условие набегания слева Н0г-волн при г =0. При г <0 аг Ф 0, а+,фг) = 0 .
ди(Р,0) = X ук~р/1(^0гР)1и(Р,0)^1(^0/Р)йР +
дг / <р П0/ 0
к■ 1
+ X Р/1(^0/Р)Iи(Р,0)/1(Ц0/Р)йР_ 2]X кгаГР/1 (МюгР)
/ > рП0/ 0 г
(7)
Заметим, что условия (6), (7) можно ставить непосредственно на концах нерегулярного отрезка, что позволяет значительно уменьшить расчетную область особенно вблизи границы полосы прозрачности.
Мощность, переносимая симметричной Н-волной через поперечное сечение:
Ь
= геа11
0
Е х В
1 1
гйг = imag \ — I Ж 0
(
* Л
1 ди Ь'ди и--и
Р дг ЬдР
й Р >■.
(8)
Мощность прямой и обратной распространяющихся парциальных волн Р-г на регулярных участках (Ь=0):
р± = imag Ж
Ж 0
1 ди
±* Л
Р дг
й р ^; и± = 2
(
] йи к, йг
\
(9)
Метод блочной матричной прогонки
В соответствии с методикой [5] выберем на интервале {0<р<1} равномерную сетку = {р у = , "г = 1/ т, ] = 0...т} (можно неравномерную) и обозначим
и = {и(рьг),...u(pm_1,г)} = {и1(г),...ит-1(г)}, и0 = ит = 0 .
Аппроксимируем уравнение (3) конечно-разностной схемой второго порядка точности. После приведения к векторно-матричной форме, получаем систему ОДУ вида
й ( йи Л й , Ч йи
— I Е(г)— I + —(2(г)и) + в(г) — + в(г)и = 0. (10)
йг ^ йг) йг йг
Матрицы G и 2 имеют следующие ненулевые коэффициенты:
= в(г,Р1)Ж2 с1/2 + с1+У2 = (Ь'Л' 1 с1+12 =1 + (Ь'Ру )2
Р1 ь2н; \Ь) 2Пг ь2пг2 7 ру
'Ь'У 1 Су_1/2 . =8(гРу )Ж2 Су_1/2 + Су+1/2 . = (Ь'У 1 Су+1/2 .
*у,у-1 I Ь ) 2"г Ь2 "У*у,у Р у Ь2 Пг2 у+1 IЬ ) 2"г Ь2 ПТ
Ь' Ь' Ь' . 2 ,
^=_Ь2Пт; ^=; ^=_ ь^п; ; у=2-т _1.
Матрица Е содержит только ненулевые диагональные элементы, равные 1/ру, у'=1... т-1.
Для решения краевой задачи для системы (10) введем сетку по г = {2к = (к - , = Ь / п, к = 1...п +1} , обозначим ик = И(гк) и построим конечно-разностную схему второго порядка точности:
Ек-1/2 -0,5Иг (бк-1 + дк)]ик-1 + [-Ек-1/2 -Ек+1/2 + Ъг2Ок]мк + Ек+1/2 + 0,5Л2 (к+1 + ек)
-к+1 р. и = 0.
(11)
Парциальные граничные условия излучения (6), (7) при замене интеграла по методу трапеций приводятся к матричному виду
' ' (12)
—+Р и = у ;-
аг
Г\Ь ^П + 1 п .
-р и = 0;
= ->
Рй =
■7 0
Е-¡Г~/1(^0,РкК-Л^Р/) + Е 0/РкК-Л^Р/)
г=р+1 %
г=1 "0/
К
г=1 А0/
^ кЬ
Ет^Ою,Рк)Рк-/1(^0/Р/) + Е "Г""^0/рк)Рк-/1(^0/Р/)
/=р + 1 %
у0 = -2 у Е к/1 (Ц0Г Рк ), N — количество учитываемых собственных волн.
г
Для (12) используем аппроксимацию второго порядка точности [6]:
(-3м1 + 4и 2 - и3) + 2\р0м1 = 2к2у0 ;(3ы п+1 - 4и п + ип-1) + 2к£Ьи п+1 = 0 .
(13)
Введем вектор неизвестных х = (г/1, и2,..., и "+1} и запишем систему конечно-
разностных уравнений (11) и (13) в виде Ах = а . Вследствие приведенной техники построения конечно-разностной схемы сильно разреженная матрица А имеет удобную для последующей обработки блочно-ленточную структуру. Для решения таких систем линейных уравнений с блочно ленточной матрицей была разработана экономичная реализация прямого метода Гаусса с выбором главного элемента — метод блочной матричной прогонки [5]. Идея алгоритма заключается в реализации метода на упакованном массиве из односвязных динамических стеков, в который помещаются только не нулевые элементы. Следует заметить, что данная методика может быть обобщена на случай трехмерных скалярных и векторных систем. Алгоритм метода Гаусса с выбором главного элемента обеспечивает устойчивость конечно-разностной схемы (11), (13) даже если не выполняется условие преобладания диагонального элемента, необходимое для реализации классического метода прогонки и итерационных процедур. Отпадает также во многих случаях необходимость использования методов регуляризации.
Разработана программа, позволяющая рассчитывать электродинамику симметричных Н-волн в нерегулярном волноводе с диэлектрическим заполнением.
Расчет параметров компенсирующего рефлектора
Иллюстрацию возможностей программы приведем на примере решения задачи о выборе толщины диэлектрического окна. Диэлектрические окна в вакуумных СВЧ устройствах (например, в черенковском генераторе) используются для изоляции вакуума от воздушной среды. Очень важно сделать это окно таким, чтобы СВЧ волна проходила через него без затухания.
Постановка задачи
На вход падает симметричная Н-волна (рис. 1). Она частично отражается от диэлектрической вставки, частично поглощается (если в — комплексное), частично проходит. Компенсирующий рефлектор выполнен в виде канавки с параметрами Нк, Д, Zk=Z2-Zl [3, 4].
Щ Щ Ч Щ
Рис. 1. Геометрия диэлектрического окна с компенсирующим рефлектором
С помощью разработанной программы, реализующей описанную выше модель (2)-(13) рассчитывался коэффициент отражения К=1-Р. (Ь)/Р1+(0) (Р1+ и Р. мощности падающей и проходящих волн (8), (9)) диэлектрического окна с рефлектором.
т
0.5
0
/
л /\ 21
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Щ
Рис. 2. Зависимость коэффициента отражения от толщины диэлектрического окна без рефлектора
Ь=5: 1 — е=5; 2 — е=10; 3 — е=20
На рис. 2 представлена зависимость коэффициента отражения диэлектрического окна без рефлектора Кв от толщины диэлектрического окна Dв=Zв2-Zв1 для различных в. Видно, что коэффициент отражения при реальных Дв«0,5-1 достигает значительной величины, однако зависимость имеет периодический характер. При определенных значениях величина отражения Кв становится ничтожно малой. Как показывает анализ, период соответствует
половине длины волны в диэлектрике Л^01 = 2п/ЛЖ2в -(|0г- /Ь)2 , что полностью согласуется
с теорией длинных линий, согласно которой диэлектрическое окно толщиной в половину длины волны представляет резонансный полуволновой трансформатор, и, как следствие, оно обладает свойством полного прохождения волны (без ее отражения).
На рис. 3 представлена рассчитанная зависимость толщины диэлектрика, соответствующая первому минимуму Кв. Как видно, при небольших значениях в<3 толщина диэлектрика, соответствующая первому минимуму достигает больших значений, которые неприемлемы при практической реализации.
Реализация тонкого диэлектрического окна в этом случае может быть осуществлена с помощью рефлектора в виде компенсирующей канавки, положение и форма которой представлены на рис. 1. При определенных размерах, положении канавки и толщине диэлектрика возможен резонансный эффект, приводящий к резкому уменьшению
коэффициента отражения. Рис. 4. иллюстрирует эту ситуацию. Как видно, между диэлектриком и канавкой устанавливается полволны, т.е. система диэлектрик-канавка эквивалентна полуволновому трансформатору.
ЛЬ 3,5
2,5
1,5
V1
5
------------
23456789 10
£
Рис. 3. Зависимость изменения ширины окна Рис. 4. Положение диэлектрика и канавки при от диэлектрической проницаемости для различного минимальном отражении: 1-3 — амплитуды радиуса волновода: 1 — Ь=4; 2 — Ь=5; 3 — Ь=6; 4 — возбуждаемых волн в разложении (5) Ь=7; 5 — Ь=8
В таблице приведены варианты параметров окон, найденные в процессе минимизации коэффициента отражения с компенсирующим рефлектором К8+к для используемых на практике значений их толщин. Здесь Ь\2=2\-282, крутизна канавки Ак=0,8.
Таблица 1. Варианты расчета оптимизированных параметров
Ь 8 А К8 К8+к ¿12 ьк Нк
4 0,42 0,017 9,553 2,258 1,340
6 2 0,5 0,09 0,001 3,279 1,259 1,253
8 0,07 0,007 3,648 2,974 4,199
10 0,06 0,004 3,457 2,891 5,929
4 0,72 0,01 9,723 2,062 1,475
6 3 0,5 0,25 0,001 3,377 1,195 1,678
8 0,2 0,02 3,116 0,896 2,269
10 0,18 0,07 3,102 0,803 2,381
4 0,67 0,017 9,377 2,154 1,514
6 2 1 0,19 0,001 3,064 1,097 1,303
8 0,15 0,005 3,326 3,067 6,087
10 0,13 0,01 3,112 2,992 6,938
4 0,85 0,017 9,58 1,928 1,484
6 3 1 0,39 0,001 3,096 0,917 1,486
8 0,32 0,01 3,224 3,193 9,495
10 0,29 0,02 3,023 3,068 12,719
Анализ приведенных в таблице результатов показывает, что компенсирующий рефлектор позволяет уменьшить отражение в сотни раз, благодаря чему можно выбрать необходимую толщину диэлектрика. При увеличении Ь до 8-10 сохранение минимального отражения волны достигается при значительном увеличении высоты канавки Нк При больших Ь расстояние между канавкой и диэлектриком практически не изменяется.
Была исследована зависимость коэффициента отражения диэлектрической вставки с канавкой от частоты при толщине диэлектрического окна равной 0,8. График полосы частот представлен на рис. 5. Полоса частот расширяется с увеличением радиуса волновода Ь.
Г ,0*1
0.05
V |\ 1 2 _____
\\ \ 3 г ¿■"^Г : 1
0,95 0,975 1 1.025 1,05
W
Рис. 5. Зависимость коэффициента отражения от частоты: 1 — b=4; 2 — b=5; 3 — b=6
Заключение
Разработан эффективный метод, позволяющий рассчитывать электродинамику симметричных Н-волн в нерегулярном волноводе с диэлектрическим заполнением. Получена зависимость от диэлектрической проницаемости изменения толщины диэлектрического окна круглого волновода при которой возможно полное прохождение Н01-волны вследствие резонансного эффекта для различных значений радиуса волновода. При небольших значениях в резонансная толщина диэлектрического окна неприемлемо велика.
Найдены параметры рефлектора в виде канавки, расположенной вблизи диэлектрического окна произвольной толщины, при которых реализуется резонансный эффект, приводящий к резкому уменьшению коэффициента отражения рабочей Н01-волны.
THE DIELECTRIC DIAPHRAGM MATCHING IN A ROUND WAVEGUIDE ON MODE H01 WITH THE HELP OF GROOVE - REFLECTOR
A.A. KURAEV, O.I. NARANOVICH, A.K. SINITSYN
Abstract
The effective method of calculation of irregular wave-guides with partial dielectric filling is offered. The effective procedure of the decision successfully combining a method of transformation of coordinates, the subsequent data to system the ODE is developed on the basis of a method of straight lines, partial waves conditions of radiation on entrance and target sections and a method of block matrix run for a case of a longitudinal irregular wave guide with dielectric inserts. Results of the decision of a task about selection of a reflector of a round wave-guide as a resonant flute are resulted.
Литература
1. Ильинский А. С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М., 1983.
2. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Лавренова А.В. // Радиотехника. 2004. № 12. С. 20-31.
3. Батура М.П., Кураев А.А, Синицын А.К. Основы теории, расчета и оптимизации современных электронных приборов СВЧ. Минск, 2007.
4. Наранович О.И., Синицын А.К. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2007. №10. С. 57-63.
5. Наранович О.И., Синицын А.К. // Докл. БГУИР. 2007. Т. 5, № 3. С. 18-23.
6. Синицын А.К. // Докл. БГУИР. 2007. Т. 5, № 1. С. 57.
