CC BY
16
2003
Доклады БГУИР
октябрь-декабрь
№ 4
УДК 621.385.6.01
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОФИЛЯ ВОЛНОВОДА ТРАНСФОРМАТОРА МОД С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА Г-ФУНКЦИЙ
А.А. КУРАЕВ, И В. ЛУЩИЦКАЯ, Т.Л. ПОПКОВА, С И. ЯРОМЕНОК
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 19 апреля 2003
В статье предложены дискретно определенные на интервале интегрирования Т-функции, обладающие специальными свойствами, позволяющими решать задачи расчета нерегулярных волноводов при большом числе узловых точек. Приведены примеры расчета и оптимизации профиля трансформатора мод Н01 в Н02 на основе аппарата Т-функций.
Ключевые слова: Т-функции, нерегулярный волновод, оптимизация профиля волновода, трансформатор мод.
Введение
Наиболее эффективной процедурой при расчете нерегулярных волноводов как с вычислительной стороны, так и в отношении физической интерпретации представляется метод, основанный на отображении произвольно-нерегулярной внутренней поверхности волновода на регулярный цилиндр, коаксиал и т. д. с круговым или прямоугольным сечением [1]. Решение этой задачи традиционными методами не является затруднительным, если рассматриваются только распространяющиеся волны. Но для закритических волн численное решение граничной (двухточечной) задачи с использованием пошаговых методов типа Рунге-Кутта или Хемминга невозможно из-за их быстрой расходимости. В этом случае необходимо строить аналитические решения на системе заданных узловых точек, удовлетворяющие граничным условиям краевой задачи и представляющие собой разложение искомых функций в базисе специальных функций, обеспечивающих разрешимость получающейся системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Такие специальные дискретно определенные Т-функции введены и описаны ниже.
Г-функции
Будем предполагать, что эти функции определены на системе N равноотстоящих точек т: .. интервала LN. Интервал LN определим следующим образом:
Ьм = 2п = 2Жп(п / N). (1)
(п / N)
Кроме того, tm = mh, h = L / N = 28т (п / Ы) . (2)
Определим системы базисных функций ^го порядка первого рода ^д^^) и второго рода tsNk(ktm) следующим образом:
tCNk(ktm) = COS
f 2nk ^
lm
V ln J
tSNk(ktm) = sin
f 2nk Л
m
V LN J
, k=-2, -1 ,0, 1, 2... k — целое число (3)
(4)
Введем также комплексную ^мгфункцию:
teNk (ktm) = tCNk (ktm) + jtSNk (ktm) ■
В пределе N -x, AtN — 0,tm — t, имеем
(п / N) (п / N)
lim tcNk(ktm) = lim cos( . , ,,Tiktm) = COSkt,}}m tsNk(ktm) = N— sin( . , ,,Tiktm) = sinkt' N—x N—x sin( п/N) N—x N—x Sin( п/N)
lim teNk(ktm) = cos(kt) + jsinkt = eJ , lim L = 2nlim
jkt
sm( n/N)
N—x
N
(п/N)
= 2п.
Таким образом, в пределе для непрерывного аргумента t ^-функции переходят в обычные тригонометрические функции. Однако аргументы в Г-функциях и тригонометрических функциях к-го порядка различны. Это различие и реализует основное свойство Г-функций на дискретном множестве точек т приводящее к аналитическим решениям: производные от этих функций на множестве tm с точностью до коэффициента равны самим функциям. Действительно:
^'ш(Шт) = , ts'Nк(кtm) = ^еш(Шт), te'Nk(ktm) = ]^вш(кГ ),
tc"m(ktd ) = -R2kt€Nk(ktm), ts"Nk(ktd ) = -R2ktsNk(ktm), te"Nk(ktd ) = -R2kteNk(ktm) ,
(5)
Як = Бт(пк/ N)/мп(п/N).
Заметим, что тригонометрические функции на дискретной сетке аргумента такими свойствами не обладают.
Взаимодействие H0i волн в гофрированном волноводе с круговым сечением
Воспользуемся общей теорией нерегулярных волноводов, развитой в [1]. В рассматриваемом случае система дифференциальных уравнений для амплитуд связанных
волн H01 (A1), ..., H0i (Л. ) имеет вид (источники внутри отрезка волновода отсутствуют)
d2 Л; dT2
-I
j=i
j*i
- +
1 -
vMq J
± -1 ц f I dg.
g2 3* Vg dT
Л.. -
(6)
1 dg <4 )dA_+
g dT .j dT
f 1 g V
g dT
j 5) -1 d!g Y( 6)
g dT
2 ' ij
= 0, i = 1,2,
Здесь О = (2п / X)., . — расстояние вдоль оси волновода, 0 < Т < Ь0, X — длина
волны в свободном пространстве; g(T)=Ъ(z)/Ъ1кр, Ъ(.) — радиус внутренней поверхности нерегулярного волновода, Ъ1кр — критический радиус для волны Н01, Ъ1ёд = X • /2п, (г = 1, 2, 3...) — корни производной функции Бесселя 1-го рода нулевого
порядка (((щ )= 0);
n — x
Y(4) = j
'ij ..2
i* j
2J0 )
J0 ( j )
Y^5) = ij
i* j
tftf ,(tf2 + í2 )
(tf -Vi j)2
2 J0 ) j =
J0 ( j Y j 2
tftf j 2 Jq (tf) . J0 ( j ) '
В случае, когда а) вход и выход отрезка нерегулярного волновода согласованы; б) на
входе и выходе выполняются условия 0) = —^(Ь0) = 0; в) сигнал подается только с
—Т —Т
левого конца и только на волне Н01, граничные условия в системе (6) имеют вид [1]
(7)
0) = ^1 -
2
Ц
V 1У
g 02 A( 0 ) = - j 1
2
V 1У
sl л (lq ),
причем при
Í Л2 У
g2 > 1
Л. Л
1 -
/g = -]л
У V U У
2
g2 -1. Здесь go = g(0), Sl = g(Lo).
Исходный профиль волновода зададим следующим образом: g(T) = 1 + А + H ■ sin2(a(T/L0) + a3(T/L0)3 + a5(T/L0)5 ).
Далее представим Л1,Л2,Л3,...Л1 в виде разложения в ряды по Г-функциям:
(8)
N
k = - N
ktm
Ai(tm) = Z с te\ — \' N = N1 + N2 +1, i = 1,2... (обычно Nj = N2).
(9)
Здесь N - число точек на интервале [0; Ь0]; г= Ь0 / Ьы, где Ьы — период 1-функций.
Подставляя (9) в (6) с учетом (5) (для всех точек tm, исключая первую и последнюю переходим к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которой множество {с*} представляет собой вектор неизвестных, а стоящие в квадратных скобках выражения -матричные элементы СЛАУ. В крайних точках (^ и N используется уравнение (7), выражающее граничные условия задачи.
После решения СЛАУ искомые распределения комплексных амплитуд волн А1 (т ), ...,
А (т ) определяются по формулам (9).
Результаты расчета
Точность расчетов по уровню относительной погрешности баланса мощностей волн ¿=1,5 % во всех нижеприведенных вариантах обеспечивалась при числе узловых точек N в пределах 101-121. Расчет проводился для трансформатора моды Н01 в моду Н02 на нерегулярном волноводе. Трансформирующий участок представляет собой нерегулярный волновод с оптимизированным профилем. На рисунке а приведен оптимизированный профиль g(T). Трансформация мод в этом варианте практически полная. Существенную роль в преобразовании Н01 в Н02 волну играет закритическая волна Н03 , как это видно из рисунка б, где приведены распределения "парциональных" потоков мощностей волн Н01, Н02, Н03, ..., Н01 через поперечные сечения трансформатора в положительном направлении Т
п - —А*
(или е), Pi = — У0 ( ^)3т( А ——). Отрицательные значения Р1 соответствуют обратным (по Т)
2 —t " " В Г —g 0
парциальным потокам мощности. В сечениях 1, где -= 0 и волны энергетически не
—Т
2
2
связаны, р приобретают смысл реальных потоков мощностей волн И01 и / = ^ /
г=1
представляют собой полную мощность, переносимую через эти сечения (т. е. разность потоков мощности, идущих вправо и влево через это сечение). Контроль точности расчетов осуществлялся по сохранению суммарного потока мощности / вдоль интервала Г в точках,
Рис. 1. Результаты полной оптимизации профиля волновода: а — оптимизрованный профиль g (T); б — распределение "парцильных" потоков мощностей волн
Наконец, следует указать и на эффективность использования аппарата Г-функций. Прямое интегрирование системы ДУ (6) при граничных условиях (7) пошаговыми методами Рунге-Кутта и Хемминга оказалось невозможным при учете закритических волн из-за расходимости этих методов (из-за малых ошибок появляются быстро возрастающие решения). Использование же в качестве базисов представления искомого решения традиционных систем функций — тригонометрических, ортогональных полиномов, атомарных функций, не обладающих свойствами Г-функций, приводит к плохо обусловленным СЛАУ и при числе узловых точек порядка 100 их решение из-за накопления ошибок не дает нужного результата.
OPTIMIZATION WAVEGUIDE PROFILE OF MODES TRANSFORMER WITH USE T-FUNCTIONS TOOLS
A A. KURAYEV, I V. LUSHCHYTSKAYA, T L. POPKOVA, S I. YAROMENOK
Abstract
Discretely defined on the integration interval the T-functions, which permit to solution irregular waveguide problems at most the nodal points, are proposed. The examples of calculation and optimization of the profile of transformer of mode Hoi to mode H02 on the base of T-functions tools are presented in this paper.
Литература
1. Кураев А.А. Мощные приборы СВЧ. Методы анализа и оптимизации параметров. М., 1986.
