CC BY
26
______ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVIII 1987
№ 4
УДК 533.6.11.3/5:532.582.5
ОБРАЩЕННАЯ ЗАДАЧА РЕЛЕЯ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ
В. А. Башкин, М. В. Егорова
Рассмотрена обращенная задача Релея для совершенного газа, обтекающего бесконечную изотермическую пластину. Система уравнений На-вье—Стокса, записанная в переменных подобия, численно проинтегрирована в широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи. При малых временах решение задачи представлено в виде функционального ряда с учетом двух членов разложения, а при больших временах получено асимптотическое решение для внутренней области течения (главные члены разложения).
В динамике вязкой несжимаемой жидкости существует ряд стационарных и нестационарных течений, когда задача автомодельна и решение уравнений Навье—Стокса сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из таких случаев является задача Релея — течение жидкости около бесконечной плоской пластины, мгновенно приведенной из состояния покоя в движение с постоянной скоростью.
Аналогичная задача может быть сформулирована для сжимаемой жидкости. Однако в этом случае вязкая диссипация энергии приводит к изменению не только температуры, но и плотности и давления в потоке; в результате этого индуцируется поперечное течение (движение среды перестает быть слоистым, как это имело место в несжимаемой жидкости), и задача становится неавтомодельной.
Задача Релея для совершенного газа рассматривалась в [1—3]; при этом наиболее полное исследование этой задачи было проведено в [3]. В указанных работах предполагалось, что число Маха мало, поверхность тела теплоизолирована, а число Прандтля Рг = 3/4. В силу малости числа М решение задачи раскладывалось в ряд по М2 и учитывались только главные члены разложения; полученная система уравнений решалась операционным методом. В [3] было также получено решение задачи при малых и больших временах движения.
В настоящей статье исследована обращенная задача Релея для совершенного газа: в момент времени £ = 0 мгновенно вся масса газа начинает двигаться с постоянной скоростью «<*>, а пластина принимает некоторое постоянное значение температуры. По сравнению с [1—3] задача рассмотрена в более общем виде (при менее жестких ограничени-
2 — «Ученые записки» № 4
17
ях), а ее численное решение получено в широком диапазоне изменения определяющих параметров. Кроме того, при малых временах- решение задачи представлено в виде функционального ряда с учетом двух членов разложения, а при больших временах получено асимптотическое решение для внутренней области течения с учетом главных членов разложения.
1. Если пренебречь второй (объемной) вязкостью, то обращенная задача Релея для совершенного газа будет описываться системой уравнений, записанной в безразмерном виде:
ди ,
---------Ь v
dt
д?
дГ'
ди
ду
d(?v)
ду
= 0;
dv
~д7
dv
ду
1 UV
+ V—- —
Р
др
ду
ду
+
dh
dt
dh
~ду
+ v- =
р
ду ) ^ 3 \ду J Jj р ду {
Зр
др
dt
ди di
d f dv ду V ду др_ ду
[i dh ~~~д^
+ v
+
Рг
(1)
с начальными и граничными условиями
при jy>0, Г 1 при у>0,
при у = 0, при у = 0,
р(0, у) = 1, v (0, у) = 0, u(t, 0= 0) = 0, h(t, 0)=hw = const, ^
u(t, -foo) = Moo, p (t, +oo) = h(t, +oo)=l, v(t, + oo) = 0.
Здесь плотность p, энтальпия h и динамическая вязкость jj. приведены к безразмерному виду путем деления на значения рос, facoy [Аоо, продольный и и поперечный v компоненты вектора скорости — на скорость звука йх; декартовы координаты х, у — на L = 'tx/ax-, время t—на t* = '>oo/al0; давление р — на p»^; ч — показатель адиабаты; vro = Цоо/роо; индекс „оо“ соответствует значениям величин в набегающем потоке.
Если теперь ввести переменные Дородницына
у
\-=t, Г(= jpdy,
О
а затем перейти к переменным подобия
а = 6, «(6, ^) = 2/Г/7(а, р),
то в результате этого после исключения давления с помощью уравнения состояния система уравнений (1) и (2) сводится к краевой задаче
и (0, у) =
.1 ^_2ар2-^ = а^-;
2 ^ ар да
д I ди \ . В ди ди
■5Г1№Ж) + Т1Г='^Г;
4 д ( др\ , р дР 1 д. 1 й(РЛ) ^
Р!* -7Г- + ----ГР---------------------
3 # \ ^ Г 2 ^ 2 2Т ар да
/_РН_ _ЙА\ , _р____________дк_ _ 2Су_-1) л _дР_
^ Рг ар / 2т йр 7 «эр
+
П = ^.
д/1
р = 0: и = /7 = 0; Ь = кф = сопэ1:; -* оо: и -»■ Моо; Г -»- 0; к -* 1; р-
, )
(4)
После перехода к переменным подобия задача остается неавтомодельной, но она удобна для численного анализа и представляет собой двумерную задачу, во многом аналогичную той, с какой приходится иметь дело в теории пограничного слоя.
Краевая задача (3), (4) решалась численно с помощью стандартной программы, использующей модифицированную схему Келлера. Поскольку независимая переменная р изменяется на полубесконечном интервале, то при численном анализе вместо граничных условий на бесконечности использовались асимптотические соотношения между искомыми функциями при конечном, но достаточно большом значении переменной р. Для этого искомые функции раскладывались в асимптотический ряд, коэффициенты-функции которого определялись в результате интегрирования линеаризованных уравнений.
2. При малых и больших временах развития течения решение задачи может быть представлено в виде функциональных рядов и сведено к численному анализу системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
При а—>-+0 решение задачи ищется в виде функционального ряда
/(«, Р) =/«.№) +«/!«>)+ •••■ (5)
где /(а, р) —любая из искомых функций, входящих в систему уравнений (3). Если разложения (5) подставить в (3) и (4) и собрать члены при одинаковых степенях а, то получим дифференциальные уравнения и граничные условия соответствующего порядка. Для краткости приведем только уравнения и граничные условия, определяющие решение нулевого порядка:
<Эро
:0 -+ р0 = сог^ = 1,
ар
д /„ I Р ди0 _ А
V0 ар ] 2 ар
ар
8 а др0) _|_ р др0 _ = 1 ал0
з ар \'и ар ; ' ар " ? ар
д ( Ръ дН0 \ . р ал0 , п ( ди0
_а_/_(хо__ало_\ __р—ал^ = _ ( 1}
ар \ Рг ар ) 2Т ар 41 'ги \ ар
ио (0) = Р (0) = (оо) = 0, А0(0) = А*;
«0(ос) = Моо, А0(оо) = р0(оо) = 1.
Численное решение задачи было получено с учетом двух членов разложения; при интегрировании систем уравнений нулевого и первого порядка в качестве внешних граничных условий использовались асимптотические соотношения между искомыми функциями.
При больших временах движения (а-»-+оо) происходит определенное расслоение течения, поэтому решение системы уравнений (3) должно находиться методом сращиваемых внешних и внутренних асимптотических разложений. Ограничимся здесь рассмотрением главных членов внутреннего разложения, поскольку они определяют основные характеристики течения вблизи обтекаемой поверхности.
Для внутренней области течения имеют место разложения
где /(а, р) —любая из искомых функций [кроме /7(<а, р)], входящихв систему уравнений (3).
После подстановки (6) в (3) для определения главных членов разложения получается система уравнений:
Система уравнений (7) является вырожденной — ее порядок понизился на единицу по сравнению с исходной системой уравнений; кроме того, распределение плотности определяется из второго уравнения импульсов, а функция .Ро(р) —из уравнения неразрывности. Решение системы уравнений (7) должно удовлетворять граничным условиям на поверхности пластины и условиям сращивания с решением для внешней области течения. В результате для системы (7) получим следующие граничные условия:
Вследствие этого задача определения внутреннего решения сводится к интегрированию системы уравнений
Р) = — Л,(Р) + -, /(«, Р)=/о(Р)+-,
а
(6)
(Ро Ро М0У + И0 —
(р«А)' = о,
(7)
•о
—---------— Ро К Го = — (т — 0 Ро Уо «о2.
7
ио Ф) — Ро (0) = и0(оо) = Моа,
(8)
Решение уравнений для ро и записывается в явном виде
(Ро Л) иоУ 2 и° —7
с граничными условиями (8).
В заключение отметим, что проведенный авторами полный анализ асимптотического решения задачи и сравнение его с результатами численного интегрирования системы уравнений (3) будут изложены в отдельной статье.
3. Система уравнений (3) с граничными условиями (4) была проинтегрирована в диапазоне изменения числа М«, от 0,1 до 10,0 и относительной энтальпии hw от 1до9; при расчетах принимались следующие значения величин, характеризующих теплофизические свойства среды: число Прандтля Рг = 0,7; показатель адиабаты у=1,4; показатель степени в степенном законе изменения динамической вязкости от температуры £0 = 0,76.
Развитие профилей искомых функций во времени при числе М<Х) = 5 показано на рис. 1 для достаточно сильно охлажденной стенки (температурный фактор TW/T0=0,1S7, где — температура торможения невозмущенного потока). В переменных подобия профили продольного компонента скорости и энтальпии с течением времени изменяются относительно слабо, существенным изменениям подвергаются профили поперечного компонента скорости и плотности. При этом в слое, соответствующем максимуму температуры, плотность достигает наименьшего значения, а скорость поперечного течения примерно равна нулю: от этого сечения происходит растекание газа в сторону стенки и от нее.
Влияние числа М.х на профили искомых функций для фиксированного момента времени (а = 5) показано на рис. 2. С увеличением числа М профиль продольного компонента скорости становится менее наполненным по сравнению с профилем скорости для несжимаемой жидкости (решение Релея), а температуруы газа в области возмущенного течения возрастают; это, в свою очередь, обусловливает усиление интенсивности
М к ^) Л ^ f
Р P.
------решение Релея
(несжимаемая жидкость)
ос-Г
поперечного течения и неравномерности распределения плотности в потоке.
Влияние температуры стенки на профили искомых функций для фиксированных значений числа МК1 = 5 и времени а = 5 показано на рис. 3. Увеличение ки, приводит к возрастанию температуры газа в пристеночных слоях, что содействует возрастанию интенсивности поперечного течения и усилению неравномерности в распределении плотности. Профиль продольного компонента скорости с увеличением изменяется незначительно.
Для прикладных целей представляет интерес изменение по времени характеристик потока на поверхности пластины. На рис. 4 приведены зависимости плотности от времени для сильно охлажденной стенки (йм>=1) и различных значений числа М; при определенном значении времени (а~4ч-5) плотность достигает максимума, а затем уменьшается, стремясь к асимптотическому значению: р (0, оо) == 1 [см. фор-
мулу (9)]. На этом рисунке штриховой линией нанесено решение задачи в виде функционального ряда с учетом двух членов разложения; с увеличением числа М применимость этого решения для определения плотности распространяется на все большие относительные времена. Давление на поверхности пластины ведет себя аналогично плотности в силу изотермичности стенки.
Рис. З
Характер изменения плотности на поверхности пластины с течением времени существенным образом зависит от параметра Для сравнительно «холодной» стенки (/гю<2) он является немонотонным: плотность сначала возрастает, достигает локального максимума, а затем уменьшается, стремясь к своему асимптотическому значению: р(0, + оо)= К^\. Для сильно нагретой стенки (к№>2) плотность с течением времени монотонно уменьшается до своего асимптотического значения (рис. 5).
Представляет интерес также рассмотреть поведение напряжения трения и теплового потока на поверхности пластины; если указанные величины приведены к безразмерному виду путем деления на рю и Роо^оо^оо соответственно, то безразмерное напряжение трения тш и тепловой поток qw будут определяться формулами
_ 1 ( дм \ _ 1 / р[х дк \
к",~ Уа д$ )р=о' Уа V Рг др /р=о*
На рис. 6 и 7 показано изменение величин и у/ адт в зависи-
мости от а для фиксированных значений числа Маха при й№=1; с течением времени указанные величины уменьшаются, стремясь к своим асимптотическим значениям. Решение задачи в виде функционального ряда показано штриховой линией; с увеличением числа М область применимости этого решения для, определения указанных величин сокращается.
Рассмотренная в рамках полных уравнений Навье-^Стокса обращенная задача Релея позволяет лучше понять особенности развития вязких течений сжимаемого газа. Результаты расчетов могут быть использованы для качественной и количественной оценки характеристик течения около тонких тел, например, около полубесконечной пластины.
ЛИТЕРАТУРА
1. М. D. van Dyke. Impulsive motion of an infinite plate in a viscous compressible fluid. — J. Appl. Math. Phys. (ZAMP), vol. 3, 1952.
2. Howarth L. Some aspects of Rayleigh’s problem for a compressible fluid. — Quart. J. Mech. Appl. Math., 1951, N 4.
3. H a n i n M. An Rayleigh’s problem for compressible fluids. — Quart.
J. Mech. Appl. Math., 1960, vol. 13, N 2.
Рукопись поступила 1/1V 1986 г.
