Обобщенные потенциалы двойного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

8

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

Остается рассмотреть случай, когда N = Оп(G) и N — собственная подгруппа в Оп(M).

Пусть K = Опп* (G). Ясно, что N С K и K/N = E. Предположим, что K С M. Тогда K/N и Оп (M)/N — две неединичные, нормальные в M/N подгруппы взаимно простых порядков, поэтому Оп(M)/N С CG/N(K/N). Так как Оп(G/N) = E, то, согласно п. 4 леммы 2, имеем CG/N(K/N) С K/N, значит, E = Оп(M)/N С K/N — противоречие.

Следовательно, K С M. Теперь KM = G, G/K ~ M/M П K и ln(G/K) = ln(G) — 1 = ln(M/M П K) < ln(M), т.е. ln(G) — ln(M) ^ 1. Утверждение 1 теоремы 2 доказано.

2. Применим индукцию по порядку группы G. Согласно п. 4 леммы 6, класс (к) всех разрешимых групп —-длины ^ k является радикальной насыщенной формацией. По п. 1 лемм 8 и 9 в группе G существуют (к)-проекторы и £™(к)-инъекторы. Пусть подгруппа U одновременно является (к)-проектором и (к)-инъектором группы G. Если U ^ V ^ G, то U — (к)-проектор и £п(к)-инъектор подгруппы V, по индукции V G (к). Поэтому U = V и U — максимальная подгруппа группы G. Так как U — £п(к)-инъектор, то (к)-радикал (k) ^ U. Поскольку U — (к)-проектор, то U/G^n(k) является (к)-максимальной подгруппой в G/G^n(k), в частности G/G^n(k) G (к), т.е. ln(G/G^n(k)) > к. Согласно п. 1 теоремы 2, имеем ln(U/G^n(k)) = к, а ln(G/G^n(k)) = к + 1. С другой стороны, ln(G) = ln(G/GLn(k)) +к = 2к + 1 = ln(U) + i = к + i, где i g{0,1}. Но теперь 2к + 1 = к + i, к = i — 1 G {—1, 0}, получили противоречие. Теорема 2 доказана полностью.

Работа первого автора выполнена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (договоры Ф04МС-060, Ф05-341).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; New York, 1992.

2. Doerk K. Uber die nilpotente Länge maximaler Untergruppen bei endlichen auflösbaren Gruppen // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1994. 91. 19-21.

3. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; New York, 1967.

4. Hall P., Higman G. On the p-length of a p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. 1956. 3. 1-42.

5. Монахов В.С., Шпырко О.А. О нильпотентной п-длине конечных п-разрешимых групп // Дискретная математика. 2001. 13, вып. 3. 145-152.

6. Shemetkov L. Screens of products of formations // Dokl. Akad. Nauk. BSSR. 1981. 25. 677-680.

7. Schmid P. Every saturated formation is a local formation //J. Algebra. 1974. 30. 548-558.

Поступила в редакцию 04.02.2008

УДК 517.9

ОБОБЩЕННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО СЛОЯ

Т. А. Солдатова1

Рассмотрены обобщенные потенциалы двойного слоя. Изучены их граничные свойства на плоскости. Получены условия, при которых они продолжимы по непрерывности на границу области. Также получена формула для предельных значений таких потенциалов.

Ключевые слова: обобщенные потенциалы двойного слоя, краевые задачи, эллиптические уравнения на плоскости.

Generalized double layer potentials are considered. Their boundary properties on a plane are studied. Conditions when such potentials are continuously extended to the domain boundary are obtained. A formula for limit values of such potentials is also obtained.

1 Солдатова Татьяна Александровна — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tsoldato@yandex. ru.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

9

Key words: generalized double layer potentials, boundary value problems, elliptic equations on a plane.

Классический метод доказательства существования решения краевых задач эллиптических уравнений состоит в сведении этих задач к интегральному уравнению (или к системам таких уравнений) на границе области, в которой рассматривается эллиптическое уравнение. Начало этому методу было положено Фредгольмом (для уравнений Лапласа). Дальнейшее развитие метод получил в трудах Гильберта, Пуанкаре и Пикара. Фундаментальный вклад для общих эллиптических уравнений второго порядка внесли Э. Э. Леви [1] (плоский случай) и Ж. Жиро [2] (многомерный случай). Список работ, выполненных в этом направлении до 50-х годов прошлого столетия, содержится в монографии К. Миранда [3]. Значительные результаты получены Я. В. Лопатинским [4]. Метод потенциалов был успешно применен С. Агмоном [5] и Г. Фикера [6] для эллиптических уравнений высокого порядка. Более полная библиография приведена в обзоре [7].

Другой классический подход связан с представлением решений широкого класса эллиптических уравнений через аналитические функции. Он позволяет свести рассматриваемую краевую задачу для эллиптического уравнения к краевой задаче для аналитических функций. С помощью интегралов типа Коши эти задачи в свою очередь редуцируются к интегральным (вообще говоря, сингулярным) уравнениям на границе области. Для эллиптических уравнений с вещественно-аналитическими коэффициентами этот подход был развит И. Н. Векуа [8], а для аналогичных систем уравнений — А. В. Бицадзе [9], Я. Е. Тов-масяном [10] и др.

Возможны также подходы, когда роль аналитических функциий играют их различные обобщения. Для эллиптических систем на плоскости этот метод развивался Б. В. Боярским [11], В. Л. Вендландом [12], Р. П. Гильбертом [13], А. П. Солдатовым [14].

Проиллюстрируем указанные методы на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа

д _ д2и д2и дх2 ду2

на плоскости. Она состоит в отыскании функции и, непрерывной в замкнутой области D, по заданным значениям на ее границе Г = dD:

u|r = f. (2)

Решение задачи ищется в виде потенциала двойного слоя

u(z) = - [ Mt)Mt-z)+Mt)Mt-z) mdtl (3)

n Jy |i — zl

с неизвестной плотностью y>(t) G C(Г). Здесь и ниже используются комплексные обозначения: z = x + iy G D, t = ti + it2 G Г, ldtl — элемент длины дуги на контуре Г и n = ni + in2 — единичная внешняя нормаль.

Хорошо известно, что если контур достаточно гладкий (например, принадлежит классу C2), то функция u(z), определенная интегралом (3), непрерывно продолжима на границу Г области D и для ее предельных значений справедлива формула

, л , , 1 [ ni(t)Re(t — to)+U2(t)Im(t — to)

lim u(z) = <p(t0) + - / --——-<p(t)\dt\. 4

z^toer nj г lt — to |2

Ядро интеграла k(to,t) в случае границы класса C2 является непрерывным относительно переменных to, t G Г. В результате задача Дирихле (1), (2) сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода

1

<p(to) + ~ [ k(to,t)<p(t)\dt\ = f(t0), to G Г, п J г

п 3 г

на границе области.

Метод теории функций применительно к уравнению Лапласа заключается в представлении гармонической функции и(г) через аналитическую функцию ф(г):

и = Ив ф. (5)

В результате задача (1), (2) сводится к краевой задаче

Ие ф\г = I (6)

для аналитических функций. Решение этой задачи ищется в виде интеграла типа Коши

Lf tfOÄ

J m Jr t-z w

Хорошо известно [15], что если функция ф(t) удовлетворяет условию Гельдера на контуре Г, то ф(г) непрерывно продолжима на Г и для ее предельных значений справедлива формула Сохоцкого-Племеля

lim (8)

z^t0er -i jг t — to

Интеграл в правой части сингулярный и понимается в смысле главного значения по Коши, т.е. как предел интегралов по кривой Г n{\t — to| ^ е} при е ^ 0.

В рамках данного подхода задача (6) редуцируется к сингулярным интегральным уравнениям относительно комплекснозначной функции ф(t) на Г.

В случае произвольных эллиптических уравнений и систем на плоскости возникает необходимость рассматривать интегралы, обобщающие потенциал двойного слоя (3) и интеграл типа Коши (7). Эти интегралы можно записать в форме

ф(х) = j Q(t,t — zMt)\dt\, (9)

где ядро Q(t,£) переменных t G Г и £ G C, £ = 0, непрерывное и однородное степени —1 по £. Другими словами,

Q(t,X£) = X-1Q(t, £), X > 0. (10)

Например, для интеграла (3) можем положить Q(t,£) = ; а дЛЯ интеграла типа Коши (7)

функция Q(t,£) = где е = е\ + ie2 есть единичный касательный вектор на Г. Он связан с вектором

n(t) внешней нормали равенством in(t) = e(t). В частности,

+ =Rc 1 e(t)

tt ICI2 7Г £

что согласуется с общим представлением (5).

По аналогии с формулами (4) и (8) возникает вопрос, когда аналогичным свойством обладает интеграл (9). Для достаточно широкого класса функций Q этот вопрос изучался многими авторами в цитированных выше работах. Однако в общем случае его положительное решение возможно только при дополнительном условии Гельдера на плотность ф (как и в случае классических интегралов типа Коши). В то же время для частных случаев Q, как, например, для потенциалов двойного слоя (4), достаточно потребовать только непрерывности ф. Выяснению дополнительных условий на Q, обеспечивающих это свойство для интегралов (9), и посвящена данная работа.

Напомним определения классов Гельдера. Если функция ф(х) непрерывна на компакте K С C, то ее модуль \ф(^)\ ограничен и достигает максимального значения. Таким образом, в пространстве C(K) непрерывных функций определена норма

\ф\о,к = тах^(z)l (11)

zGK

которая называется равномерной или sup-нормой.

Далее, функция ф удовлетворяет условию Гельдера с показателем 0 < ß < 1, если существует такая постоянная C > 0, что \ф^1 ) — ф^2)\ ^ C\zi — Z2для любых zi, Z2 G K. Наименьшая постоянная C в этом неравенстве совпадает, очевидно, с верхней гранью

\v\»,K = sup '^'-у. (12)

Z1=Z2 \Z1 — z2T

При л = 1 аналогичное условие называется условием Липшица. Класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем обозначается С^(К), в этом классе величина \р\ = \р\о + [р]^ определяет норму.

Касательный вектор е(Ь) как функция точки Ь непрерывен на гладком контуре Г. По определению этот контур является ляпуновским, если е(Ь) € С^(Г) для некоторого Хорошо известно, что для каждого гладкого контура Г найдется такое положительное число р, что для любой точки а € Г пересечение Г(а) = ГПВ(а), В (а) = {\z—а\ ^ р}, состоит из одной гладкой дуги, причем это свойство сохраняется и для любого числа ро < р. Это число называется стандартным радиусом контура. Поскольку функция е(Ь) равномерно непрерывна на Г, в дальнейшем стандартный радиус подчиняется дополнительному требованию

\е(Ь1) - е(Ь2)\ < 1/4 при - \ < р. (13)

Лемма 1. Пусть Ь(а) и Ь*(а) означают соответственно пересечение касательной и нормали к Г в точке а с кругом В (а), а сектор Б (а) состоит из точек z € В (а), для которых угол между вектором z — а и касательной Ь(а) не превосходит п/4. Тогда Г(а) Q Б (а) и справедливы неравенства

2\Ь — z\ ^ \Ь — а\ + ^ — а\, Ь € Г(а), z € Ь*(а), (14а)

Ь — Ь2\ < ¡(ЬМ) < 2 \¿1 — ¿2 \, € Г(а), (146)

где ¡(¿1, ¿2) _ длина дуги, заключенной между точками Ь1 и Ь2.

Доказательство. Рассмотрим натуральную параметризацию Ь = 7(8), где —а ^ в ^ в, дуги Г(а), подчиненную условиям 7(0) = а, 7'(0) = е(а). По определению этой параметризации \7'(в)\ = 1. Положим

7(в 1 ) 7(в 2 ) 1

1,^2) =-= / + «2(1 - и)]йи, -а ^ «1, ^ (3.

в1 — в2 о

В силу (13) и неравенства \ \ Zl \ — \Z2 \ \ ^ \ Zl — Z2 \ можем написать

\ \ д\ — 1 \ < \ д — е(а)\ < / \ 7'[в1 и + в2(1 — и)] — 7'(0) \йи < 1/4.

о

f 1 /0

Таким образом,

I q| ^ 3/4 (15)

\ д — е(а) \ < 1/4. (16)

В частности, для точек tj = 7(в^) € Г(а) имеем неравенство 21 — Ь2\ = 2\д\\в 1 — в2\ ^ \в 1 — в2\ = ¡(Ь1 ,Ь2), что доказывает оценку (146) в одну сторону. Противоположная оценка очевидна:

|7(si) - 7(S2)| = |si - ^

/ 7/[s1u + s2(1 — u)]du 0

^ |si — S2|-

Пусть t = 7(s) E Г(а) и 9 означает угол между векторами t—a и e(a) или, что равносильно, угол между единичными векторами u = (t — a)/\t — a| и e(a). Соотношение Г(а) Q S(a) сводится к доказательству неравенства cos Очевидно, 2sin(9/2) = ^ — e(a)^ Выразим вектор u через функцию q(si,s2):u =

¥~а\ = ifi' ^ = основании (15), (16) отсюда получаем

, _ , _ |g~|g|e| . |g-e| + |l-|g|| 2\q — е| 2(1/4) _ 2 ' e|" \q\ " l?l " l?l " 3/4 -3"

Следовательно, sin(0/2) ^ 1/3. Поэтому cos в = 2 cos2 | — 1 >

Остается доказать неравенство (14a). Пусть t E S(a), z E L*(a), т.е. вектор z — a ортогонален L(a). Тогда из определения S(a) получаем, что угол между z — a и t — a не меньше чем п/4. Значит,

|i - z\2 ^ 11- а\2 + \z- а\2 - -a\\z- a\.

2

и

Правая часть этого неравенства не меньше чем (\Ь — а\ + \z — а\)2/4, поэтому

2\Ь — z\ ^ (\Ь — а\ + Г — а\).

Предположим теперь, что функция Q(t, £) удовлетворяет условию Гельдера на Г равномерно по ^ = 1 и условию Липшица на единичной окружности ^ = 1 равномерно по Ь € Г. Другими словами, существует такая постоянная С > 0, что

№(Ь,0\ < С, Ь € Г, \е\ = 1; |Q(tl,e) — Q(t2,Z)\ < С\Ь1 — Ь2Г, ^ € Г, \е\ = 1; \Q(t, е) — Q(t, п)\ < С \е — п\, Ь € Г, \е\ = \п\ = 1.

(17а) (176) (17с)

Теорема 1. Пусть гладкий контур Г удовлетворяет условию Ляпунова с показателем 0 < л < 1 и выполнены условия (17). Тогда в предположении

Q[t,e(t)]= Q[t, —е(Ь)]=0, Ь € Г,

(18)

верхняя грань

М = вир / ШЬ,Ь — z)\\dt\ гев.! г

(19)

конечна и зависит только от постоянной С, постоянной Гельдера [е]^, длины I и стандартного радиуса р контура Г.

Доказательство. В силу (10) и (17а), (176)

т,0\ < с К"1, ь € Г;

ть,о — q(t2,o\ < с\Ь1—Ь2пег1, ^ € г.

(20а) (206)

Оценку (17с) также можно распространить на произвольные £, П Если ^ = 1, а п € С произвольно, то можем записать

1 „,. П

= гт<3(Мо), Щ =

\п\

так что на основании (17а), (17с) получаем

Iо - г,)| = т,о ± жг,г?о) - т]0)\ ^ с к -г?0| +

1

\п\

Очевидно,

1

1 - Т-Г

<

\е — п\

Таким образом,

В общем случае имеем

\е — по \ =

е —

\п\

< \е — п\ + \п\

1

< 2\е — п\.

1

на основании чего из предыдущего неравенства получаем

!<?(*,О-<?(*,»7)1 + 7,1

\п\; \е\2 •

(20с)

1

и

1

п

Обратимся теперь к оценке (19). Пусть г € О и а € Г есть ближайшая к г точка, так что \Ь — г\ ^ | а — г\ для всех Ь € Г. Поэтому в силу (20а)

[ т,1-г)\\М\^С [ при \г-а\>р/2. (21)

Jг Jг \Ь — г\ р

Пусть теперь \г — а\ ^ р/2. В этом случае рассматриваемый интеграл разобьем на четыре слагаемых, связанные с дугой Г(а) и с касательным к ней отрезком Ь(а), фигурирующим в лемме 1. Напомним, что Г(а) задается натуральной параметризацией Ь = 7(8), —а ^ в ^ в, где 7(0) = а и 7'(0) = е(а). Удобнее вместо Ь(а) рассмотреть здесь "сдвинутый" отрезок Ьо(а), который задается линейной параметризацией 7о(в) = а + У(0)в, —а ^ в ^ в. Тогда

\Q(t,t - z)\\dt\ =/ \Q(t,t - z)\\dt\ +/ [\Q(t,t - z)\-\Q(a,t - z)\]\dt\ +

J Г\Г(а) J Г(а)

(/ -i ) \Q(a,t - z)\\dt\ +/ \Q(a,t - z)\\dt\ = До + A1 +A2 + A3. \Jr(a) JL0(a)J JL o(a)

'Г(а) ¿Ь0(а)] ^ Ьо(а)

По предположению \г — а\ ^ р/2, поэтому если Ь € Г \ Г(а), то \Ь — г\ ^ \Ь — а\ — \г — а\ ^ р/2, так что в силу (20а)

г 2С1

|Ао|=/ -г) <-. (220)

Jг\г(a) Р

Для второго слагаемого Д1, согласно (206), получаем оценку

|Ai КС/

Jr(a) \ t - z \

Поскольку точка а реализует расстояние от г до Г, в обозначениях леммы 1 точка г € Ь*(а), так что на основании (14а) имеем 2 \Ь — г\ ^ \Ь — а\ + \г — а\ ^ \Ь — а\ и, значит,

\ Ai \ < 2С / \t - a\»-1 \dt\. Jr(a)

Г(а)

Пользуясь параметризацией 7 и неравенством \7(в) — 7(0) \ ^ \в \/2 леммы 1, получаем оценку для интеграла

/ \ Ь — а\— \М\ = / \ 7(в) — 7(0)\—dв < 21-» ( Г + / )

^Г(а) ■>-а \Уо Уо )

С помощью неравенства (146) находим а = 1[7(0),7(а)] ^ 2\7(0) — 7(а) \ ^ 2р и аналогично в ^ 2р. Таким образом, окончательно

Г 2Р

\ Д1 \ < 22-Ч в»-Чв. (221)

о

Третье слагаемое Д2 также перепишем с помощью параметризаций 7 и 70 соответственно дуги Г(а) и отрезка Ьо(а):

г в

Д2 = [ \ Я(а,ф) — г) \ — \ д(а,7о (в) — г) \ ^в.

Следовательно, с учетом (20с) имеем

г ß

\ Д2 \ < С i J —(

g | |70(S) ~ Z)\

. h(s)-z)\

'hlt)-.)!2'^ (23)

На основании (14a), (146)

l7o(s) ~ z)\ < l7o(g) ~z)\ + \z-a\ < |s| + \z-a\ < |7(s)-z)n (l/2)(|7(s)-z)| + |z-ap |s|+2|*-ap

—а

Оценим остальные множители в интеграле (23). В силу (14а)

1в

С другой стороны,

7(в) — 7о(в) = 7(в) — 7(0) — в7'(0) = в / [7'(ив) — 7'(0)]йи.

о

По определению единичного касательного вектора е(Ь) на Г можем написать е[7(в)] = 7'(в). По условию е(Ь) € С^(Г), так что в обозначениях (12)

\7'(в) — 7'(0)\ = \е[7(в)] — е[7(0)]\ < [е],7(в) — 7(0),. С учетом (146) отсюда получаем \ 7'(в) — 7'(0) \ ^ [е],\в\^ и, значит,

"1 \ в \ 1+, /о 1 + М '

Подставляя полученные неравенства в (23), приходим к оценке

1?М - Ю«К И>| / ЖГА.ЧФ-

|А2' < 60тЬ. С *48СИ" Г (2Ь)

Обратимся к оценке последнего слагаемого Д3. Напомним, что точка z лежит на отрезке Ь*(а), ортогональном Ь(а). Следовательно, единичные векторы е(а) и е*(а) = (z — а)/\z — а\ ортогональны. В частности,

\ в1е + в2е* \ 2 = в2 + в2 (24)

для любых вещественных чисел в1,в2. В принятых обозначениях

г в

\ Q[a,вe(a)+a — z] \ йв = \ Q[a,вe(a) — \ z — а \ е* (а)] \ йв.

■)—а

гв гв

Д3 =

"а

Замена в = \ z — а\в' с учетом свойства однородности (10) приводит к равенству

г в'

Д3 = \ Q[a,вe(a) — е* (а)] \ йв,

"а'

где а' = а/ \ z — а \ и в' = в/ \ z — а \ .В силу (20а), (24)

С

|<3[а,зе(а) — е*(а)]| ^

для любых в. При \ в\ ^ 1 с учетом условия (18) теоремы и (20с) эту оценку можно усилить:

\Q[а,ве(а) — е*(а)] \ = \Q[a,ве(а) — е*(а)] — Q[a,ве(а)]\ ^ С Следовательно,

2 +

угт

зс в2 в2

Лз^/ -¡£=<18+1 С.

Совместно с (21) и (22о)—(222) отсюда приходим к искомой оценке.

С помощью теоремы 1 легко получить критерий существования предела ф+(а) = Ф^) инте-

грала (9).

Теорема 2. Пусть р € С (Г) и функция

д^) = I Q(t,t — z)\йЬ\ (25)

в

2

продолжима по непрерывности на границу Г области О, т.е. предел д+(а) существует в каждой точке а е Г. Тогда в условиях теоремы 1 аналогичным свойством обладает и функция ф, определяемая интегралом (9).

Доказательство. Предположим сначала, что ^>(а) = 0. Тогда для заданного е > 0 существует такое ¿о > 0, что | ф(Ь)| ^ е/М при | Ь — а| ^ ¿о, где М фигурирует в (19). Не ограничивая общности, можно считать, что ¿о не превосходит стандартного радиуса р. Тогда Го = Г П{ | г — а| ^ ¿о} является гладкой дугой, а Со = О П {! — a| ^ ¿о} состоит из одной связной компоненты. Интеграл (9) разобьем на сумму фо + фъ где фо отвечает интегралу по Го. Поскольку функция Ь — г) непрерывна, когда Ь меняется на Г \ Го, а г меняется в окрестности точки а (например, при ^ — a| ^ ¿о/2), то предел ф+(а) существует. Следовательно, по критерию Коши найдется такое ¿1 ^ ¿о, что

|ф1 (г1) — ф1 (г2)| ^ е при гьг2 е С1,

где С1 = О П {г — a| ^ ¿1}.

С другой стороны, в силу (19) и выбора Го имеем оценку

так что

|фо(г1) — фо(г2)| ^ 2е при г1,г2 е Со.

Таким образом, |ф(г1) — ф(г2)| ^ 3е при |гj — a| ^ ¿1, ] = 1,2, что по критерию Коши и означает существование предела функции ф(г) в граничной точке а е Г.

В общем случае в соответствии с (25) представим интеграл (9) в форме

ф(г) = ФМа) + ! — гМЬ) — <р(а)Ш (26)

Тогда в отношении второго слагаемого в (26) находимся в условиях рассмотренного выше случая, а существование предела при г ^ а первого слагаемого дано по условию.

Нетрудно вычислить и предел ф+(а) в теореме 2. Рассмотрим сначала подробнее подынтегральное выражение (9) в случае, когда точка г принадлежит Г.

Лемма 2. Пусть гладкий контур Г удовлетворяет условию Ляпунова с показателем 0 < ц < 1 и выполнены условия (17), (18). Тогда функция

к(Ьо ,Ь) = ^ — гоШ, Ь — Ьо) е С"(Г х Г) (27)

и обращается в нуль при Ь = Ьо. В частности, справедлива оценка №(1,1 — Ьо)| ^ [к]^^ — ¿о.

Доказательство. Достаточно показать, что утверждение леммы справедливо для любой гладкой дуги Го, содержащейся в Г. Другими словами, надо доказать, что функция к(Ьо,Ь) принадлежит С^(Го х Го) и обращается в нуль при Ь = Ьо. Пусть I есть длина дуги Го и 7(8), 0 ^ в ^ I, есть ее натуральная параметризация.

Как и при доказательстве леммы 1, положим

фо,8) = = [ ^[зи + 8о(1-и)}(1и, 0^80,8^1. (28)

в — во о

Функция д(во,в), доопределенная значением д(в,в) = 7'(в) при во = в, непрерывна в квадрате [0,1] х [0,1] и нигде в нуль не обращается. Поэтому по теореме Вейерштрасса найдется такая постоянная А ^ 1, что А-1 ^ д ^ А, или в развернутой форме

1

— <

А

7(в) — 7(во)

в — во

^ А. (29)

Следовательно, если некоторая функция ф(Ь) задана на Го и ф(в) = ф[7(в)] удовлетворяет условию Гельдера с показателем ц, то этим свойством в силу (29) обладает и ф на Го с оценкой ее полунормы (12):

[ФГ < А»[ф]^.

На основании (29) это утверждение верно и в обратную сторону. Аналогичное свойство справедливо и для функций ф(Ьо,Ь) и ф(во, в) двух переменных. Поэтому достаточно убедиться, что функция к(во, в) = к [7(во),7(в)] принадлежит Си([0,1] х [0,1]) и обращается в нуль при в = во.

По условию функция е(Ь) € Си(Г). Так как е[7 (в)] = У (в), то на основании сказанного выше функция 7'(в) € Си[0,1]. В силу (28) это верно и по отношению к функции д(во,в) в квадрате [0,1] х [0,1], так как

\ д(во ,в) — д(в'о,в') \ ^ / \ У[вп + во (1 — и)] — У [в'и + во(1 — и)] \ du ^

о

< [7'/ \ ви + во(1 — и) — в'и — во(1 — и)\ иdu < [7']Д \в — во \ + \ в' — в'о\)".

о

Согласно (27), (28), с учетом свойства однородности (10) имеем

k(so,s) = \7(s) - 7(so)\q[y(s),7(s) - 7(so)] = Q

7(s),

7(s) -7(s0)

|7(s) -7(so)|

(30)

Тогда с учетом (28) функция к(во,в) разбивается на две функции в квадрате [0,1] х [0,1]:

Фо,в)

k(so,s) = <

k+(so ,s) = Q k-(so ,s) = Q

7(s),

7(s), -

\ q(so,s) \ _ q(so,s)

\ q(so,s) \ _

, s, so e Д+ = {(so, s)\ (s - so) ^ 0}; , s, so e Д- = {(so, s)\ -(s - so) ^ 0}.

Рассмотрим функцию k+(so,s) и докажем, что она удовлетворяет условию Гельдера с показателем ß во всем квадрате. Для этого достаточно показать, что условие Гельдера по одной переменной выполняется равномерно по другой. Обозначим p(so,s) = • Тогда

k+(so, s) = Q[y(s),p(so, s)].

Проверим, что для функции k+(so,s) условие Гельдера по первой переменной выполняется равномерно по второй. В силу (17) имеем

\ k+(so,s) - k+(so,s) \ = \ Q[7(s),p(so,s)] - Q[7(s),p(so,s)]\ < < С\p(so,s) - p(s'o,s)\ < С[p]»\s - so\». На основании (17), (29) по второй переменной получаем

\ k+(so,s) - k+(so,s')\ = \ Q[7(s),p(so,s)] - Q[7(s'),p(so,s')] \ <

< \ Q[7(s),p(so,s)] - Q[7(s'),p(so,s)]\ + \ Q[7(s'),p(so,s)] - Q[7(s'),p(so,s')]\ < < С \ 7(s) - 7(s')\» + С \ p(so, s) - p(so, s')\ < CA»\s - s'\» + С[p]»\s - s'\» = С(A» + [p]»)\s - s'\».

Таким образом, k(so,s) e С»(Д+), и аналогичным образом проверяется, что k(so,s) e С»(Д-). Из выражения (30) видно, что

lim k(so,s) = \q(s,s)\Q[7(s), ±q(s,s)].

s^-so±o

Вспоминая, что q(s,s) = 7'(s) = e[7(s)], на основании (19) отсюда заключаем, что k(s,s) = 0. Итак, функция k(so, s) принадлежит классу С» в каждом треугольнике и обращается в нуль на их общей стороне s = so. Отсюда легко следует, что k(so,s) принадлежит классу С» во всем квадрате [0,1] х [0,1]. В самом деле, если точки (si,s) и (s2,s) принадлежат различным треугольникам Д±, то s лежит между si и s2 (пусть si ^ s ^ s2) и, следовательно,

\ k(si, s) - k(so, s) \ ^ \ k(si,s) - k(s, s)\ + \ k(si, s) - k(s, s)\ ^

< [k]»( \si - s \» + \ s2 - s \») < 2[k]»\si - s2 \».

Аналогичное неравенство имеет место и по второй переменной, так что k(so, s) Е C^([0, l] х [0, l]), что завершает доказательство леммы.

Из леммы 2 следует, что интеграл

Ф*(to) = J Q(t,t - to)<fi(t)\dt\, to Е Г, (31)

существует и определяет непрерывную функцию ф*(to) на контуре Г. Убедимся, что в условиях теоремы 2

Ф+Cto) = q+(toMto )+Ф*(^). (32)

В самом деле, зафиксируем точку to = a Е Г и воспользуемся равенством (26). Из него следует, что (32) достаточно установить в предположении ф(а) = 0, в этом случае оно сводится к равенству ф+(а) = ф*(а). Это равенство очевидно, если функция ф(Ь) обращается в нуль в окрестности точки a. В общем случае выберем последовательность функций фп Е C(Г), которые обладают указанным свойством и равномерно сходятся к ф. Пусть фп и ф*п определяются по фп аналогично (10) и (31). В силу теоремы 1 для sup-нормы (11) функции фп — ф имеем оценку

\фп — ф\о,о ^ м\фп — ф\о,г. (33)

Из леммы 2 следует, что аналогичная оценка справедлива и для фп — ф*, т.е. существует такая постоянная M* > 0, что

\ф*п — ф*\о,г < M*\фп — ф\о,г.

Согласно теореме 2, функции фп и ф непрерывно продолжимы на D, т.е. принадлежат классу C(D). Поэтому оценка (33) справедлива и для граничных значений этих функций:

\ф+ — ф+ \o,D < M\фп — ф\о,Г.

Записывая теперь равенство ф+ = фп и переходя к пределу при n что в силу предыдущих оценок

возможно, получим аналогичное равенство и для ф.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Levi Е.Е. Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1907. 24. 275-317.

2. Giraud G. Nouvelles methode pour traiter certaines problemes relatifs aux equations du type elliptique //J. Math. 1939. 18. 111-143.

3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.

4. Лопатинский Я.В. Теории общих граничных задач. Киев: Наукова думка, 1989.

5. Agmon S. Multiple layer potentials and the Dirichlet problem for higher order elliptic equation in the plane. I // Communs Pure and Appl. Math. 1957. 10, N 2. 179-239.

6. Fichera G. Linear elliptic equations of higher order in two independent variables and singular integral equations, with applications to anisotropic inhomogeneous elasticity // Proc. Symp. "Part. Diff. Equations and Contin. Mech." (Madison, Wisconsin, 1960). The Univ. of Wisconsin Press, 1961.

7. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 27. М.: ВИНИТИ, 1987. 1-228.

8. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1948.

9. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

10. Товмасян Я.Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1966. 1. 3-23; 2. 163-171.

11. Боярский Б.В. Теория обобщенного аналитического вектора // Ann. pol. math. 1966. 17, N 3. 281-320.

12. Wendland W.L. Elliptic systems in the plane. London: Pitman, 1979.

13. Gilbert R.P. Constructive methods for elliptic equations // Lect. Notes. Vol. 365. Springer, 1974.

14. Солдатов А.П. Метод теории функций в краевых задачах. I: Гладкий случай // Изв. АН СССР. 1991. 55, № 5. 1070-1100.

15. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

Поступила в редакцию 28.03.2008