Трехмерный аналог интеграла типа Коши с непрерывной по гёлдеру плотности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ С НЕПРЕРЫВНОЙ ПО ГЁЛДЕРУ ПЛОТНОСТИ

В.А. ПОЛУНИН, А.П. СОЛДАТОВ

Белгородский государственный университет e-mail: [email protected]

В теории эллиптических систем дифференциальных уравнений с частными производными типа Моисило - Теодореско имеют место обобщённые интегралы типа Коши с однородными ядрами. Изучение граничных таких интегралов является важным условием исследования краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений с частными производными указанного типа. В данной работе рассматривается трёхмерный аналог интеграла типа Коши. Ядро этого интеграла представляет собой функцию, которая однородна по одной из переменных, а по другим принадлежит классу Гельдера.

Ключевые слова: условие Гельдера, интеграл Коши, однородный, поверхность Ляпунова.

Пусть задана ограниченная область О ^ Е3 и ее границей служит гладкая замкнутая поверхность Г = £Ш. Пусть функция <?(>’, у; непрерывна по совокупности переменных х Е й, у £ Г, £ Е Ш!.3, £ ^ О, и при фиксированных х,у однородна степени — 2 и нечетна:

Рассмотрим интеграл

Ф(*) = /г <?(х.у;у-х)<р(у>Ц,. х Є И, (1.2)

где Й£п,. означает элемент площади на Г. Очевидно, этот интеграл определяет непрерывную в В функцию ф. Основная цель данной статьи - показать, что в предположении соответствующей гладкости относительно плотности (р, ядра (} и поверхности Г функция ф непрерывно продолжима на граничную поверхность Г.

Все рассмотрения будут вестись в рамках классов Гельдера Су. Напомним, что для заданной на множестве Е функции <р ее норма Гельдера определяется равенством

Wlv.fi- — ISKlO.fi- ' LSKJv.fi-»

где положено

Мо.Е = sup|<p(x)|, [<p]v.E = supk Л _~^ , 0 < V < 1.

хЄЕ х*у >1

При [<р] 1.^ < 00 говорят также, что функция <р удовлетворяет условию Липшица. Если множество Е является замкнутой областью, то можно ввести класс £’1у(Е) непрерывно дифференцируемых функций <р условиями <р,<р' £ СУ(Е), где штрих означает любую из частных производных.

Условимся отображение а множества ^ 1К° на Е~ называть липшицевым, если оно является гомеоморфным и вместе со своим обратным удовлетворяет условию Липшица. Другими словами, существует такая постоянная М > О, что выполняется неравенство

і < |дОО-яСЮ1 < м

М \х-у\

(1.3)

для любых х,у £ Ег ,х Ф у. Очевидно, липшицевы отображения осуществляют изоморфизм (р -» <р ° а пространства СУ(Е2) на

Обозначим С,'(й ХГ;Я°) класс всех непрерывных функций (?(х,у;%) со свойством однородности (1), которые при фиксированном £ принадлежат С,г(1> X Г), причем

,(0) | |^р * = зир|

№1=1

Ь’.ОхГ

< со.

(1.4)

Пусть дополнительно функция принадлежит классу Ст по переменной ( и ее частные производные

дкд

Ч, &2> 1

к+ к2 + к3 < т принадлежат классу X Г) равномерно по

порядка |к

|^| = 1 В результате получим пространство Сч'( нормой

х Г; И і с соответствующей

|(пг) _

I V

= 1

|й|<т

(1.5)

В дальнейшем предполагается что Г является поверхностью Ляпунова и принадлежит классу С1у. Последнее означает следующее: для любого зг0 £ Г существует гомеоморфное отображение 3’ = р(£) = (Уг (0> Уз (О, Уз(£)) единичного круга В = {г £ К-, |г| < 1} на некоторую окрестность поверхности Г в точке уа, которое принадлежит классу С1л'(В) и 3 Х2 —матрица Якоби Оу которого имеет ранг 2 в каждой точке, т.е. касательные векторы

і = 1,2,

(1.6)

линейно независимы.

Отметим попутно, что элемент площади на Г дается равенством с1бу = |[сіС0,с2(0]|^ій^ гДе [-] означает векторное произведение. Другими словами, интеграл от функции <р £ £Г(Г) по поверхности ^ Г вычисляется по формуле

(1.7)

Убедимся, что параметризация у является липшицевым отображением В на }'( получим

їіО.О + (¿2 - *2)<72(Х О.

(1.8)

где в обозначениях (1.6)

Чі О. О = /о сі I

Следовательно,

' -у

*-<Г|

|ЯіРі(Д.£) + ЛзРгО^Н

где положено

ЛІ — О-І *1;

■в|, Рі(А,5) = ^(«,5 +

*1)

Вектор Л меняется на единичной окружности А и вектор-функции р, непрерывны на компакте П х В. Следовательно, непрерывна и функция |Я1р1(Я,5) + Л2Рг(.^, я)|. Поскольку эта функция нигде в нуль не обращается, она ограничена сверху и снизу положительными постоянными, что приводит к оценкам (1.3) для отображения у.

По определению липшицево преобразование у = а(у) пространства 1К.3 на себя выпрямляет поверхность Г в точке а, если существует такая плоскость Р, проходящая через точку а = а-1 (а), что Р совпадает с Г = а-1 (Г) в некоторой окрестности V этой точки, т. е. Р П V = Г Л V.

Лемма 1.

(a) Пусть Г Е С1г и а Г. Тогда существует липшицево преобразование а, выпрямляющее Г в окрестности а, которое вместе со своим обратным непрерывно дифференг(ируемо, причем матрицы Якоби 0(«-1) принадлежат классу СУ(М.3).

(b) Пусть липшицево преобразование у = «(ж) вместе со своим обратным непрерывно дифферен1(ируемо, причем матрицы Якоби В(а ±1') принадлежат классу

; ,1;. .т > Тогда справедлива формула замены переменных

1г

ІХ)£І5х, Г

а

(19)

с некоторой функцией }(х) Е С11 (Г). Эта функция определяется равенством

/00 = |[(£>«)е1(х), (£>а)е2(х)]|, (1.10)

где векторы е1,е2 лежат в касательной плоскости Р в точке х к поверхности Г, имеют единичную длину и ортогональны друг другу.

(с) В условиях (Ъ) существует такая постоянная О < 6 < 1, что вектор-фунщии <?; (х,у) Е X К3), { = 1,2,3, определяемые аналогично (1.8) по а, и

равномерно по ]я — у| <5 выполнена оценка

(1.11)

где М фигурирует в (1.3).

Доказательство.

(а) Пусть а = (и1раг,а3) £ Г и гомеоморфное отображение у = у((:) круга В = {|г| < 1} £ Е2 на окрестность точки а поверхности Г принадлежит классу С1 "(В), причем 3x2- матрица Якоби Бу имеет ранг 2 в каждой точке Г е В и а = р(0). Тогда, один из ее миноров, например, ¿г,}, 1 < 1,] ^ 2, отличен от

нуля. Поэтому по теореме об обратной функции существует отображение Г = 5(3*1,Уг) окрестности С точки а на некоторый круг |г] < £, класса С1,У(С), которое является обратным к з1, = ^(г), г = 1,2. Полагая / = у3 ° 5, получим вещественную функцию f £ С1л'(<7), график которой совпадает с Г в окрестности точки а.

Пусть гладкая функция х тождественно равна 1 в окрестности точки («1,а?) и нулю вне некоторого компакта, содержащегося в С. Тогда функция

Уі.Уг)х(Уі.Уг) є с

и ее график совпадает с Г в окрестности точки а. Рассмотрим преобразование

V = л-! V) по формуле

ли ли № ^ ^ ли ли ^

Нетрудно видеть, что это преобразование удовлетворяет всем требованиям леммы.

(Ь) Не ограничивая общности можно считать, что поверхность Г представлена

< 1, класса С1л\ фигурирующим в (а). а~л " ”

параметрически уравнением у = у(1)

Тогда у = а-1 ° у служит параметризацией Г того же типа. Пусть определяются

по аналогично (1.6). Тогда по определению (1.7)

/г ч>(х)Аь = /М414>[К0]|[с1(0,ег№]1№1.

/г *>[а001/00*гу = *>1У(Оии'(0]|[г,(1),г,(0]|Л|.

Поэтому коэффициент / в (1.10) определяется равенством

В точке у = }'(с = Рі і?! + Рі.гег, і

векторы (1.6) являются линейными комбинациями 1,2, векторов е1,е2 с определителем с!е1;р Ф 0. Очевидно,

[Сі,<

'1.1^1 +Рі.2«2-Р2.1®1 + Рг.2

Поскольку с,- = ду/ дГг связаны с соотношением с,

О а вычислена в точке у (Г), можем также записать

І^Хр)[е1гег\. і";, где матрица Якоби

[сис2] = [рх.і(Ра)ві + р12(Оа)е2ір21 (О«)«! + р22( = (<1е1р)[(Ла)е1( (Яа)е2].

«] =

Так как |[ег, е2]| = в результате для } получим выражение (1.10).

Остается убедиться, что / £ СУ(Г). В силу (1.10) достаточно выбрать

Є С1'(Г). Они выбираются по г1(сг с помощью

единичные векторы Єї \

стандартной процедуры ортогонализации. Положим

■ : : ■ ■ ■■ : Эти функции ортогональны и принадлежат

классу СУ(В). Ясно, что этим свойством обладают и единичные векторы ¿£/|Ь*|. С помощью параметризации у они определяют вектор- функции е1 на Г, т.е.

°у = £Р[ /1 £|[ |. Поскольку параметризация у является липшицевым отображением, функции Е С'(Г), что завершает доказательство.

(с) При фиксированном £ можем записать

га

где учтено, что I

где

при

дх^ (х). Полагая х — у = £, имеем:

;. Отсюда но основании (1.3) имеем оценку КІ

м

< |(£>а)(х)£| < М

Следовательно,

при \х

<5 =

І£і

2М

Теорема 1. Пусть Г Е С1у, ф € С1'(р X Г, Я2) и <р Е (Г), О < /I < V. Тогда функция ф, определяемая интегралом (1.2), непрерывно продолжима на Г, принадлежит классу (В) и допускает оценку

I -

(1.12)

где постоянная А > 0 зависит только от //, V и Г.

Доказательство. Докажем сначала, что для каждой точки а Е О существует такая ее окрестность V, что оценка (1.12) выполнена по отношению к7 П Д т.е.

I < С 101(2}1

\n.Dr\V — '-аіхіу I

(д.Г-

(1.13)

где постоянная Са зависит только от /і, V, Г и п.

Случаи п Е О и а Е Г рассмотрим отдельно.

1) Пусть а Е О. В качестве V выберем замкнутый шар с центром в точке а, содержащийся в И. Тогда расстояние 6 от этого шара до границы Г = дБ положительно. Будем считать, что Я есть диаметр области О. Тогда

<5 < |х — з'| < И при х Е У.у Е Г.

(114)

Рассмотрим шаровой слой С = (5 < |£| < Я} в пространстве К3. Если функция (¿(О;) непрерывно дифференцируема по £ и удовлетворяет условию однородности (1.1), то в обозначениях (1.5) имеем оценку

1т.С

< Сл

.(Ч

lv ‘

где постоянная > 0 зависит только от 6 и й.

С учетом (1.14) отсюда следует, что функция @о(л', принадлежит СУ(У X Г) и ее Су - норма оценивается через норму для функции ф на V имеем оценку

|(1) о

. В результате

\v.V —

І

lv І

0.Г-

и тем более оценку (1.13).

2) Пусть а € Г. Согласно лемме 1(а) существует липшицево преобразование а, для которого (Da)-1 € CV(K.3), выпрямляющее Г в точке а. Другими словами, если а = сг(п) и Г = к(Г), то поверхность Г Е С1" является плоской в окрестности точки а.

Положим х = я (д ), у = тогда согласно лемме 1(Ь) интеграл (1.2) при

этой подстановке перейдет в

ф[а(х)] = /f Ç[ar(x),ar(y); а(у) - a(jcy\q>[aÇy)]f(y)dsp х Е D. (1.15)

В силу двустороннего неравенства (1.3), которому удовлетворяет липшицево преобразование а справедливы оценки

\v,E —

h'.Е'

IvJ —

h'.F'

где Е с о, Е = а{£) и постоянная С зависит только от М. Поэтому (1.13) достаточно установить по отношению к функциям ф(£) = ф[«(л )] и /(у)(¡5[а(у)] по отношению к, соответственно, 5 П V, V = «(V) и Г. Таким образом, опуская волну в обозначениях (1.15), оценку (1.13) достаточно установить для интеграла

Iг

СП

«(у), «(у) - «(*)]<р(у)/(у)<Цг.

(116)

где поверхность Г е С1’’1 является плоской в окрестности точки а. Последнее означает, что для некоторого гА > 0 и плоскости Р пересечение Р П {]у - а| < совпадает с Г Г> {\у — а| < Зафиксируем О < гй < ^ и в качестве V выберем шар |т — а| < г0, так что V П О является полушаром, лежащим с одной стороны от Р.

Число Г! выберем столь малым, что по отношению к а выполнено утверждение леммы 1(с) С 6 = 2гг.

Пусть фо(х) и ф 1 (х) отвечают в (1.16) интегралам по, соответственно, |у — а| < и |у — а| > г4. Расстояние между множествами {|х — а| < гв} и Г Л {|у — а| > равно гг — гс, так что с учетом (1.3)

|сг(

сц

г1-Го м 1

Поэтому оценка (1.13) для функции фхСх) устанавливается совершенно так же, как в случае 1).

Таким образом, эту оценку требуется установить для функции

ф000 = /г <?[а(х)»а(у);я(у) ~ в(х)]^0(у)«Цг* * е °о.

(117)

Г0 = Г П {|у — а| < г^}, Б0 = V П £) и <р0(у) = /(у)<р(у) Напомним, что ^ ср иВ0 является полушаром шара V = {]* — а | < г0], лежащим с одной стороны от Р.

В обозначениях леммы 1 (с) можем записать

«(

+

І2)Ч2\

^У) + (У;

где вектор -функции чДх,у) 6 ^(Е3 X Е3) и при \х — у| < Згц удовлетворяют оценке (1.11). Положим

(1.18)

Утверждается, что (?0 Е С¥(О0 X Г0;.

и выполняется соответствующая оценка

.(2)

|(2) 1т ■

(119)

В самом деле, в силу (1.13) вектор-функция (¿оС^У) дважды непрерывно дифференцируема по £ и, очевидно, удовлетворяет условию (1.1).

При этом частные производные <3(?о/ ^ являются линейными комбинациями частных производных д(?/ дс коэффициентами, принадлежащими СУ([Ш.3 х К.3). Аналогичным образом определяются частные производные второго порядка. Поэтому, при ]£| = 1 функции дк(}0/д$к, |к| < 2 принадлежат X IV)

равномерно по |^| = 1. Здесь учтено, что при |£| = 1 в силу (1.1) вектор 4=21 принадлежит шаровому слою 50 < | гу | < 5д 1 с некоторым малым и в этом слое функция (?[й(х), а(у)уг}] удовлетворяет по ц условию Липшица. В результате в соответствии с определениями (1.4), (1.5) приходим к оценке (1.19).

В обозначениях (1.18) интеграл (1.16) можем переписать в форме

к

і,У;У~

ІНу, х Є Ой.

(1.20)

Требуется доказать, что

1Фо1с<*.00 — П( Тогда с учетом (1.19) и очевидной оценки

1<Ро 1^.г0 -

|<2)| IV I

1^Г0‘

(1.21)

для функции <р0 = }<р, вытекающей из леммы 1 (Ь), отсюда будет следовать оценка (1.13) для функции ф0.

Если ^0(х, у; £) не зависит от .V, то оценка (1.21) установлена в работе [1]. В общем случае воспользуемся следующим свойством нормы Гельдера [2]: если функция /СО Е С''(£) и 0 < /у < V, то функция двух переменных

Г. у) =

№)-/Ы

доопределенная нулем при .т = у, принадлежит классу С'!~^(Е X Е) с оценкой

(122)

норм гельдера, где С некоторая постоянная.

Применим этот факт к интегралу (1.20). Запишем

’.У, У - *']

'.у;у-*0МуУ«у +

+ /г [<?о(*".у;у - *') - <?0(*". у;у - *")]<р(у)<Ц, = Д2 + Дг

1 О

Слагаемое Дх соответствует случаю, когда (?о(х,у; О не зависит от х, так что имеем оценку

Что касается Д 7, то запишем

(1.23)

',х”, у; у - х')Ф(у)<Ц

(124)

с ядром

с\х",у;

¡х'-х'ЧР ■

На основании оценки (1.22) и определений (1.4), (1.5) функция принадлежит классу Су~^(О0 X /?0 X Г, Я12-1) с соответствующей оценкой

|(2)

IV-#!

|(2) 1у ■

(1.25)

Рассматривая х\хг в (1.24) как параметр, снова оказываемся в случае когда ядро в (1.20) не зависит от х (с заменой V на, соответственно V — ц и 0 < £ < V — /1.) В частности имеем оценку

Яо\?-ц\<Р\е> о < € < V ~ [Л.

Совместно с (1.25) отсюда

Объединяя ее с (1.23), приходим к справедливости оценки (1.13) для функции ф0

Тем самым оценка (1.13) для исходного интеграла (1.1) в случае а £ Г установлена.

Итак, для каждой точки а Е D найдется такая ее открытая окрестность

V = ^(а), что выполнена оценка (1.13). В силу компактности D из открытого покрытия 3[V(а), а Е D] можно выбрать конечное подпокрытие Vt = Vt(d) 1 < г. < п. В силу компактности найдется такое г > 0, что при х,у Е D и \х — у| < г пара точек х, у принадлежит одному из Поэтому для этих х, у в силу (1.13) имеем оценку

С другой стороны, при |х — у| > г имеем очевидную оценку

Фоф-фоОО < 2ІФІО

Поскольку каждая точках Е D принадлежит некоторому V}, в силу (1.17)

I 0,£J —

iWi I v I

и

Совместно с предыдущими двумя оценками отсюда следует, что ф Е С^(I выполнена оценка (1.12).

Остается заметить, что если ф Е С^(Е) на некотором множестве Е, то ф непрерывно продолжается на его замыкание Е с сохранением С** - нормы. Применительно к функции ф(х), х Е 1>, это означает, что ф непрерывно продолжима на границу Г области О и выполнена оценка (1.12).

Список литературы

1. Полунин В.А. Граничные свойства трехмерного аналога интеграла типа Коши // В.А. Полунин. - Материалы международного Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" и VI Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". - Нальчик-Эльбрус, 2008. - 247с.

2. Солдатов А.П. Элементы функционального анализа и теории функций: Учеб. пособие // А.П. Солдатов. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2005. - 140с.

THREE-DIMENSIONAL ANALOGUE OF CAUCHY-TYPE INTEGRAL WITH HOLDER-CONTINUOUS DENSITY

V.A. POLUNIN, A.P SOLDATOV

Belgorod State University e-mail: [email protected]

The three-dimensional analogue of generalized Cauchy type integral $(x) = Jr Q(x, y; y - x) tp(y)ds;ir, EJ, is considered. Here T is a Lyapunov boundary of the domain D E 5- and the kernel Q(?t is odd and homogeneous of degree two with respect to the variable £ E Si3. These integrals occur in elliptic boundary problems (especially for elliptic systems of first order). It is shown that under some smoothness assumptions the function 1.x), x £ D. is Holder continuous up to the boundary T = i?D.

Key words: Holder condition, Cauchy integral, homogeneous, Lyapunov surface.