CC BY
57
УДК 517.9
ЗАДАЧА РИМАНА - ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В КЛАССАХ ГЕЛЬДЕРА А.П. Солдатов, О.В. Чернова
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: Soldatov@bsu.edu.ru,vaschenko@bsu.edu.ru
Аннотация. Для эллиптической системы
д тд\ —
--]-у + аф + Ьф = к
в области D на плоскости с гладкой границей Г рассматривается задача Римана-Гильберта
Re Оф+\г = fi,
где определитель l х l— матрицы— функции G всюду отличен от нуля. В работе установлено, что в классе
__ _ _ Я Я
Cj(D) = {фе C^(D) П C\D)\L<j> € C^D)}, L=--J—
эта задача фредгольмова и ее индекс
ае = — aeo + 1, aeo = — (argdetG)L.
п г
Ключевые слова: эллиптические системы, задача Римана-Гильберта, фредгольмов оператор.
Пусть область Б на плоскости С ограничена гладким контуром Г £ С 1>^+0. Последнее означает, что производная гладкой параметризации кривой принадлежит См+£, е > 0. В области Б рассмотрим эллиптическую систему
(8 8\ -
\ду-]д~х)ф + аф + ьф=ь- (1)
где собственные значения постоянной матрицы € С1x1 лежат в верхней полу- плоскости, а I х1—матричные коэффициенты а,Ь £ Не ограничивая общности, матрицу .] здесь
можно считать треугольной. Решения этой системы представляют I —вектор-функции ф = (ф1... фг), они ищутся в классе
— — —88 СДО) = {фе С^И) П С1{Б)\Ьф £ С"ЧВД, ь=оу~^-
Для данной эллиптической системы рассмотрим задачу Римана—Гильберта
КеСф+|г = /1, (2)
где I х I— матрица- функция С £ См+0 и ее определитель всюду отличен от нуля.
Исходя из матричного обозначения zJ = х ■ 1 + у ■ 3, для г = х + іу Є С, введем интегральный оператор типа Коши
ZЄD
и сингулярный оператор Коши
(5^і)(іо) = — [(і - і0)71(Й^і(ХК і0 Є Г, (3)
пг
Г
где ^i E CJ(r)— вещественная /—вектор-функция. Согласно [1] интегральный оператор 1\ ограничен (Г) —> Cj(D) и справедлива формула Сохоцкого-Племеля
2(1i^i)+(to) = ^i(to) + (SJ^i)(to)j to E r- (4)
Пусть D содержится в круге |z| < R, рассмотрим линейный ограниченный оператор продолжения Р : C^(D) —> С^(С), для которого (Ptp)(z) = 0 при |z| > R и (Pip)(z) = ip(z) при z E D. С помощью этого оператора продолжения введем интегральный оператор по области
(h<p)(z) = J (t ~ z)j1(P<p)(t)dtidt2,
определенный для комплексных /—вектор-функций (/9 G C^(D).
Согласно [2] оператор /2 ограничен C^(D) —> Cl4i(D) и справедливо равенство
= <5)
В частности, оператор /2 компактен в пространстве CJ(D). Из этих же соображений следует, что пространство CJ относительно нормы
М = Мсм + \L^\cm
банахово.
Обратимся к сформулированной задаче Римана—Гильберта.
Лемма 1. Задача (1)—(2) в классе Cj(D) эквивалентным образом редуцируется к следующей системе сингулярных интегральных уравнений
2Re(G/2^2)(to) + 2Re[G(^i + Sj9^1)](to) — 2ImG(to)£ = 2/i(to)j to E r,
____ ___________________ (6)
ip2(z) + [a/2^2 + 6/2^2](-) + [ahyi + bliipi\(z) + i(a - b)£ = /2(z), z E D,
относительно некоторой вещественной l — вектор-функции pi E CJ(r), комплексной l — вектор-функции <£2 E C^(D) и постоянного вектора (eR1.
Доказательство основывается на теореме представления 2 из [2]. Напомним, что по предположению матрица J треугольна, так что условия этой теоремы выполнены. Таким образом, любая функция ф E CJ единственным образом представима в виде
ф = htpi + /2^2 + i£, z E D.
Подставляя это интегральное представление в (1)—(2) и пользуясь формулами (4) и (5), после элементарных преобразований приходим к системе (6).
Система (6) может быть записана в терминах классического сингулярного оператора Коши
(5р)(і0) = — [ - £0)_1СЙ, і0єг. (7)
пи г
В основе лежит следующий критерий компактности интегрального оператора вида
(А»(і0) = I іо Є Г (8)
Теорема 1. Пусть Г гладкий контур, &(іо,і) Є С"(Г х Г), 0 < V < 1, и &(£,£) = 0. Тогда для р Є С (Г) оператор (8) принадлежит классу СМ(Г), 0 < р < V, и справедлива оценка
|К|м < С|р|о|^|V,
где постоянная С > 0 зависит только от р, V и Г.
Здесь и ниже |р|а, 0 < а < 1, означает норму в Са, а |р|о есть вир — норма. Доказательство. Существует такое р > 0 (стандартный радиус контура), что для любой точки а Є Г и 0 < 8 < р множество Г П {|£ — а| < 8} является гладкой дугой. При этом справедливы оценки
J |і — а|“-1^в4 < М8а, 0 < а < 1, (9)
ГП{|*-а|<й}
/ “ а|“"2^ - М{ 1п |,’ ° а = 1, (10)
ГП{|*-а|>й}
где постоянная М > 0 зависит только от Г и а.
В частности,
|^(іо)| < | ^ | V |р|о J |І — іоГ-1^* < Со | ^ IV |р|о. (11)
Зафиксируем точки і1, і2 Є Г и пусть 8 = |^1 — і2| < р/3. Запишем
&(іьі) &(і2,і)
^(^1) — ^(^2) = уг
р(^)^5^ — А1 + Д2,
где А1 и Д2 означают интегралы по, соответственно, Г! = Г П {|£ — ^| < 2$} и Г2 Г П {|£ — ^1| > 2£} Очевидно,
|А1| < |к|^|р|о [ — 1 +^— 1]^-
Jг1
Поскольку |£ — ^1| < 2$ влечет |£ — £2| < 3$, на основании (9) имеем:
|Ах| < М[(28)" + (38)"]|ф|р|о.
Что касается Д2, то запишем
ЦіЬі) — &(І2,І) ,,,, . [ (І1 — І2)^(І2,І)
Д2 = / ----’-------’-+ / ------------гт--
Уг2 і-іі ]Т2(1-Ь)(1-Ь2ук } 1
Тогда
А < |&|"|р|о
8" / |і — і^-^ + 8 |і — і1|-1|і — І2|"-1^5і
•М -М
Поскольку |і — ^1| > 28 влечет |і — і2| > |і — ^1| — 8 > |і — ^1| — |і — і 11/2, к выражению в квадратных скобках можем применить оценку (10). Тогда
|Д2| < \кШоМ\81'Ы^ + 21~1'81']
8
Объединяя обе оценки для Д1 и Д2, в результате получим:
ІЦіг) - ф(Ь2)\ / ^ , I I и * I / Р
—г------тт:,— < Сі\к\и\<р\0, іі-і2 <-,
|І1 — І23
с некоторой постоянной С1 > 0. Если |і 1 — І21 > р/3, то, очевидно, с учетом (11)
1-№0--Ш|£2^уСо|щИо.
|*1 — ^2 |^ \Р
Тем самым необходимая оценка теоремы установлена.
Из теоремы 1 следует, что для функций к € С^+°(Г х Г) со свойством к(£, £) = 0 оператор Кр, определяемый правой частью (8), ограничен С (Г) ^ СМ(Г) и, значит, компактен в СМ(Г). Класс таких операторов обозначим К°(СМ).
Лемма 2. Пусть Г € С 1>^+°; сингулярные операторы SJ и Б определяются (3) и (7) соответственно. Тогда операторы
SJ-S, -57+5бЗС0(С'1). (12)
Доказательство. Пусть для определенности Г Є С1,и с некоторым V > ^, е(і) = е1(і) + іе2(і) - единичный касательный вектор к Г в точке і, рассматриваемый в соответствии с выбранной ориентацией контура. Поскольку ^ = е(і)^і| и dtJ = ез(і)^і|, оператор К = Б з — Б можно записать в форме (8) по отношению к
= {і- і0)-/е.]{і) -(і- іо )~1е{і),
і — іо
т.е. с функцией &(іо, і) = (і — іо)(і — іо)-1ез(і) — е(і). Необходимо убедиться, что
Ціо, і) Є С"(Г х Г), Ці, і) = 0.
Очевидно, этот факт достаточно показать по отношению к любой дуге Го С Г.
Рассмотрим гладкую параметризацию 7 : [0,1] ^ Г класса С1,и[0,1] и положим і = 7(в), іо = 7(^о), 0 < 5 < 1. Тогда
% Ы,7(5)] = [7(в) — 7 Ы][7(5) — 7(5о)]-1[7/(в)]з — У(5)-
Пусть для краткости &(во, в) = к[7(во), 7(в)] и
в) = —2^1 = [ у(Г5 + (1_ г)50)с?г.
в — во Jо
Поскольку 7' € Си[0,1], функция д(во, в) € Си[0,1] х [0,1] и д(в, в) = 7'(в). В этих обозначениях
Ц^о, в) = д^о, ^З-1^ в)[7/(в)]^ - У(в)-Так как |д(во, в)| = 0 для 0 ^ во, в ^ 1, матрица—функция д-1(во, в) € С([0,1] х [0,1]). Таким образом, принадлежность Цво,в) классу Си очевидна. Равенство нулю функции &(во, в) при в = во следует непосредственно из ее определения.
Поскольку предыдущие рассуждения справедливы для любой матрицы /, собственные значения которой не вещественны, они проходят и по отношению к оператору 57 в (12). Теорема 1 и леммы 1,2 приводят теперь к следующему основному результату. Теорема 2. Задача (1)—(2) фредголъмова в классе С^{0) и ее индекс эз дает,ся (формулой
эз = — эз0 + /, эз0 = — (а^с1е1 С)| , (13)
п г
где приращение непрерывной ветви аргумента берется в направлении, оставляющем область Б слева.
Доказательство. Систему (6) можно переписать в следующей операторной форме: (К11^1)(£о) + (К12^2)(^о) + С1(^о)С = ,/"1 (^о), ^о € г
(14)
(К21^1)(^) + ^2(^)(1 + К22) + С2(^)С = ^ € Б-
В силу того,что функция <р 1 вещественна, 2Ке[С57(/?1] = GSJtpl — для оператора
К11 получим выражение
(Л-п^Х^о) = [С,((/?1 + 5.7 <£1) + С((/?1 — 57<^1)](^о) •
Операторы К12, К21, К22 и функции С1,С2 здесь определяются равенствами
(К12^2)(£о) = Ж^^оХ
(К2і<рі)^) = (аііфі + ЬІхірх)^), {К 22^2)(-) = (а/2^2(і) + Ь12<р 2(*)(-),
Сі(іо) = -21шС(^о), С2(г) = і(а - 6)(г)
Оператор системы (14) действует С^(Г) х С*1 (И) х В1 ^ С®(Г) х С*1 (И), где нижний индекс К указывает на то, что элементы соответствующего пространства являются вещественными вектор-функциями. Саму систему можно записать в краткой форме А^ + = f с операторными матрицами
А=(Еі 1+Ж22) ■ с=(с2
Оператор К11 здесь естественным образом продолжается на комплексные вектор-функции по правилу Кцірі = КцЩ.
Поэтому оператор данной системы можно рассматривать в пространствах комплексных векторов, при этом его свойство фредгольмовости и индекс останутся неизменными (если размерности понимать над соответствующими полями R и C). Таким образом, достаточно убедится,что оператор N фредгольмов в пространстве CR(r) x CM(D) комплексных вектор-функций и его индекс дается первым слагаемым ж0 формулы (13).
Ясно, что операторы К22 и KV2 компактны, соответственно, в пространствах C^(D) —> C^l(D) и C^l(D) —> (7м(Г). На основании леммы 2 можем записать Кп = G( 1 + S) + G( 1 — S) + GK\ + GK2, где операторы Kj є 3C0(C'M).
Таким образом, с точностью до компактного слагаемого оператор N совпадает с
ЛГ _ / G(l + S)+G(l-S) 0
N0 Ч 1
Фигурирующую здесь матрицу можно представить в виде произведения
G(1 + S) + G(1 — S’) 0 \ / 1 0
О і ) v K21 і
Согласно классической теории сингулярных уравнений [З] оператор, определяемый первым сомножителем фредгольмов и его индекс равен — ж0. Что касается оператора, отвечающего второму сомножителю, то он, очевидно, обратим.
Таким образом, на основании известных свойств [4] фредгольмовых операторов оператор N фредгольмов и его индекс равен — ж0, что завершает доказательство теоремы.
Литература
1. А.П. Солдатов. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. 1.Гладкий случай. // Изв. АН СССР"(сер.матем.) 1991. Т.55, N0.5.0.1070-1100.
2. О.В. Ващенко. Интегральное представление решений эллиптических систем первого порядка в классах Гельдера. // Материалы III Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус. 2005.-С.11-14.
3. Н.И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд., М., Наука, 1968.
4. Р. Пале. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе.-М.:Мир, 1970.
THE RIEMANN-HILBERT PROBLEM FOR ELLIPTIC SYSTEM OF THE FIRST ORDER ON THE PLAIN IN HOLDER CLASSES A.P. Soldatov, O.V. Chernova
Belgorod State University,
Pobedy str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: Soldatov@bsu.edu.ru,vaschenko@bsu.edu.ru
Abstract.The Riemann-Hilbert problem
is considered in domain D which is bounded by smooth contour r, where detG(t) = 0, t € r. It is proved that this problem is Fredholm solvable in the class
_ _ _ я я
Cj(D) = {фе CJ\D) П С\Б)\Ьф € CJ\D)}, L = --J—
end it’s index
ж = —Жо + l, *o
1
(arg det G)|r.
Keywords: elliptic systems, Riemann-Hilbert problem, Fredholm operator.
