К теории сингулярных интегральных уравнений на гладком контуре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

К ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ГЛАДКОМ КОНТУРЕ

Е.А. Абаполова,1) А.П. Солдатов2)

1)Старооскольский филиал Белгородского государственного университета, микр-н. Солнечный, 19, г. Старый Оскол, 309502, Россия, e-mail: [email protected] 2) Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, г. Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Изучаются вопросы фредгольмовой разрешимости классических сингулярных уравнений с ядром Коши на гладком контуре Г в пространствах Гельдера С^(Г) и С 1,^(Г). Рассмотрен также обобщенный оператор Коши с матричным ядром, играющий важную роль в приложениях.

Ключевые слова: сингулярные интегралы, фредгольмова разрешимость, гладкость решения.

Напомним [1, 2] элементы классической теории сингулярных интегральных уравнений

с ядром Коши на ориентируемом гладком контуре Г. Здесь комплексные функции с(£0) и к(£о,^) удовлетворяют условию Гельдера (кратко: условию Н) и решение ищется в аналогичном классе. В дальнейшем функции этого типа называем также Н—непрерывными. Хорошо известно, что сингулярный оператор

инвариантен в классе Н—непрерывных функций. Более того, если функция <р(п, £) зависит от параметра п, заданном на некотором множестве Е евклидового пространства, и непрерывна по Гельдеру на Е х Г, то функция ф(п^0), определяемая сингулярным интегралом

обладает этим же свойством. В частности, по отношению к Е = Г и ^(£0,£) = к(£0,£)^(£) правую часть (2) можно записать в форме ^(^0,^0), что и приводит к инвариантности оператора 5(к) в классе Н.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект 07-01-00299) и РФФИ-ГФЕН (Государственный фонд естественных наук Китая) 08-01-92208-ГФЕН

1 Фредгольмова разрешимость

(1)

(2)

to £ Г,

Если к(£,£) = 0, то в силу условия Н функция

Що, г) _ к(г0,г) - к(г0,г0)

£ — ^0 £ — ^0

имеет слабую особенность при £ ^ £0 и (1) переходит в уравнение Фредгольма. Удобно с самого начала охватить векторный случай, когда ^ и f являются /—вектор—функциями, а "коэффициенты"с и к уравнения (1) представляют собой / х/—матрицы—функции. Уравнение (1) часто записывают в операторной форме = f с N = с + Б (к), где с рассматривается как оператор умножения ^ ^ с<^. Это уравнение (и отвечающий ему оператор N) относят к нормальному типу, если матрицы—функции с(£) ± к(£, £) обратимы на Г, т.е. det[c(^) ± к(£, £)] = 0, £ € Г.

Рассмотрим билинейную форму

(^,0) = ^ (3) понимая под <^(£)0(£) скалярное произведение <^101 + ... + ^г0г двух /—векторов. По отношению к этой форме оператор

N = ст — Б (кт), (4)

где "Т"означает символ матричного транспонирования, называется союзным к N. Свойство союзности заключается в тождестве

(N^,0) = (<^,N'0), (5)

справедливом для всех Н—непрерывных функций ^ и 0. Заметим, что оператор N' принадлежит к нормальному типу одновременно с N.

Основные результаты фредгольмовой разрешимости уравнения (1) в классе Н — непрерывных функций можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1. Пусть функции с(£0) и к(£0, £) удовлетворяют условию Н и оператор N = с+Б(к) принадлежит к нормальному типу. Тогда справедливы следующие альтернативы Фредгольма.

(г) Однородные уравнения N^ = 0 и N'0 = 0 имеют конечное число линейно независимых решений, соответственно, ^1,..., ^п и 01,..., 0т;

(гг) неоднородное уравнение N^ = f разрешимо тогда и только тогда, когда (fj,0j) =

0,1 < < т;

(ггг) разность эз = п — т дается формулой

1

ж =------

2пг

с1е!(с(і) — сЫ;(с(£) + к(і, і))

(6)

где [ ]Г означает приращение непрерывной ветви логарифма в соответствии с заданной

ориентацией контура.

До сих пор речь шла о комплексных вектор—функциях. В общем случае оператор N не инвариантен в классе вещественных функций. Нетрудно описать критерий этой инвариантности: он заключается в равенстве Мр = Мір, справедливом для любой комплексной функции <£. В этой связи удобно с N связать оператор N по формуле

г

И<р = N<р,

(7)

где черта справа означает комплексное сопряжение. Тогда свойство инвариантности N в классе вещественных функций можно выразить равенством N = N.

Рассмотрим действие операции (7) на оператор Б (к). Обозначим е(£) € С единичный касательный вектор к контуру Г в точке £, направленный в соответствии с ориентацией этого контура. Тогда комплексный дифференциал (И = е(£) |^£|, где |(£| означает элемент длины дуги. Подставляя это выражение в (1), в соответствии с (7) приходим к равенству

нетрудно видеть, что для гладкого контура Г так определенная функция ш непрерывна на Г х Г. Следующая лемма показывает, что принадлежность ее классу Н всегда имеет место для ляпуновского контура. Напомним, что контур Г ляпуновский, если функция е(£) удовлетворяет условию Н.

Лемма 1. Пусть функция ф(£) комплексной переменной £ = 0 непрерывно дифференцируема, четна и однородна степени нуль. Тогда для любого ляпуновского контура Г заданная на Г х Г функция к(£0,£) = ф(£0 — £); £0 = £, доопределенная значением ф[е(£)] для £ = £0, удовлетворяет условию Н.

Доказательство. Достаточно убедится, что функция к удовлетворяет условию Н на Г0 х Г0 для каждой дуги Г0 С Г. По условию найдется такое параметрическое уравнение £ = 7(5), 0 < в < 1, этой дуги, что производная 7'(в) всюду отлична от нуля и Н— непрерывна на [0,1]. В силу однородности Q можем записать

это свойство очевидно.

Согласно этой лемме для ляпуновского контура Г функция ш в (8) принадлежит классу

для любого оператора N вида (1) оператор М = N + N обладает свойством М = М, обеспечивающем его инвариантность в классе вещественных вектор- функций. Однако союзный оператор М' уже не обладает этим свойством. В этой связи удобнее пользоваться билинейной формой

дет союзным к N относительно формы (9), т.е. справедливо аналогичное (5) тождество

(8)

где положено

к[7Ы, 7(з)] = ^[Фо, з)], Фо, з)

7(з) - 7Ы

Поэтому остается убедиться, что функция д удовлетворяет условию Н на [0,1] х [0,1]. Поскольку

Н(Г х Г) и,следовательно, операция (7) не выводит из класса операторов (1). Поэтому

связанной с (3) соотношением (<£,0) = (<^,е0). В частности, оператор Nv = е^е 1 бу-

(М<р,ф) = (<р, Утверждается, что операции N —> и N ^ N коммутируют друг

с другом, т.е. Nv = (Л0^ В самом деле, по определению союзного оператора

(Мір, ф) = = (ір,М^ф).

С другой стороны,

(N^,0) = (ІУ<^,0) = (<£, (ІУ^0),

что и доказывает равенство Nv = (X)7. В частности, оператор ^ + Х)7 = Nv + Nv имеет тот же вид, что и N + N.

Теорема 2. Пусть контур Г ляпуновский и оператор М = N + N принадлежит к нормальному типу. Тогда по отношению к М и М17 утверждения (г)—(ггг) теоремы 1 справедливы в классе вещественных I —вектор—функций.

Доказательство. Утверждения (г)—(ггг) сохраняют свою силу и по отношению к паре М, М7. Пусть X есть конечномерное пространство кег N = = 0} размерности п и

Хк его подпространство (над полем К) вещественных функций. Соотношение М<р = МТр означает, что пространство X инвариантно относительно операции гр —> Тр комплексного сопряжения. Над полем К это пространство имеет размерность 2п и имеет место разложение в прямую сумму X = Хк ф гХк. Следовательно, в X можно выбрать базис ^,... , грп из вещественных вектор—функций.

Поскольку М7 также обладает свойством М7 = М7, в пространстве У = кег М7 можно также выбрать базис из вещественных функций 01,... , 0т. Тем самым утверждение (г) теоремы 1 для М установлено по отношению к вещественным функциям.

Рассмотрим далее неоднородное уравнение М^ = f с вещественной правой частью. Если (^0^-) = 0,^' = 1,... ,т, то в силу теоремы 1 оно имеет комплексное решение ^1. Но тогда вместе с ним его решением будет и вещественная функция ^ = (^1 + ^1)/2, поскольку М^ = (М^1 + М^1)/2 = f. Следовательно, имеет место и предложение (гг) теоремы 1.

Если функция к(£0,£) обращается в нуль при £ = £0, то в силу ее Н—непрерывности ядро

к(£0,£)/(£ — £0) имеет слабую особенность и (1) является уравнением Фредгольма второ-

го рода. В этом случае принадлежность уравнения (1) к нормальному типу сводится к обратимости матрицы—функции с и величина ж в (6) равна нулю. Соответственно утверждения (г)—(ггг) теоремы 1 представляют собой классические альтернативы Фредгольма.

В общем случае доказательство этих утверждений сводится к рассмотренному выше случаю путем регуляризации уравнения (1), которое и рассмотрим в настоящем разделе.

С каждой парой функций к1(£0,£), к2(£0,£) € Н(Г х Г) свяжем функцию (к1 * к2)(£0,£) по формуле

2 Регуляризация уравнения

При £1 = £ интеграл здесь сингулярный с особыми точками £1 и £. Поскольку

і = і (к )(і і) = 0. (10)

1 1 Г 1 1

(Іо — Іі)(І — Іо) І — Іі _Іо — І Іо — І1.

равенство (10) можем записать в форме

(кі * к2)(іі,і) = <?(іі,М) - <?(£і,Мі), <?(іі,М2) = — [ (11)

пи Г Іо — І2

Как отмечено в начале п. 1, функция д, определяемая сингулярным интегралом с параметром и = (£1,£) € ГхГ, принадлежит классу Н(ГхГхГ) и, следовательно, к1 *к2 € Н(ГхГ).

Регуляризация уравнения (1) основана на следующей формуле перестановки Пуанкаре-Бертрана [1] сингулярных интегралов:

1 г МиМЛо

пъ У Г Іо — Іі

1 Г

пиг І — Іо

, 1 [ (к1 * к2)(І1; і) ,

= Аі(^і,^і)А:2(іі,іі) Н------: ----т----7-------<*•

пи г І — І1

В обозначениях (2) это равенство можем переписать в операторной форме:

5(к1)$(к2) = а + Б(к1 * к2), а(І) = к1(і,і)к2(і,і). (12)

Обозначим К класс всех операторов N = с+5(к) с Н—непрерывными функциями с(Іо) и к(іо,і). Совокупность операторов 5(к) Є К , для которых к(і,і) = 0, обозначим Ко. В силу (11) оператор Б(к1 * к2) в правой части (12) принадлежит Ко, так что

NNо, NоN Є Ко при N Є К, N Є Ко- (13)

Удобно для оператора Б (к) с к =1 принять специальное обозначение Б = Б (1). Таким

образом,

ч/. ч _ 1 [

(Б^діо) — — ~——, іо^Г.

пъ JГ і — Іо

Полагая к1 = к2 =1 в формуле (12), с учетом (11) получим:

(Б2^)(і0) = ¥>(іо) + — [ ~'Щ—к(го) = — [ ~Г~~Г' (14)

пъ JГ і — Іо пъ JГ І — Іо

Заметим, что функция к постоянная на связных компонентах контура Г.

Полагая 2Р± = 1 ± Б, общий элемент N Є К можем записать в форме

N = аР+ + ЬР- + Nо Є Ко- (15)

В обозначениях (1) роль коэффициентов а и Ь здесь играют, соответственно, с(і) + к(І,І) и с(і) — к(І,І). Таким образом, принадлежность N к нормальному типу заключается в обратимости коэффициентов а и Ь, а формула (6) для оператора (15) переходит в

п det Ь 1п

- (16)

Г

det а

Для любых функций а^, Ь = 1, 2, справедливо соотношение

(а1Р + + ^Р )(а2Р + + Ь2Р ) — (а^Р + + Ь1Ь2Р ) Є Ко- (17)

В самом деле, очевидно, аБ — Ба Є Ко. Из (14) также видно, что Б2 — 1 Є Ко. Следовательно, операторы (Р±)2 — Р± и Р +Р- = Р-Р + принадлежат Ко, что совместно с (13) приводит к справедливости (17).

Соотношения (17) составляют по существу процедуру регуляризации уравнения N^ = /. Если оператор N в (15) принадлежит к нормальному типу и Я = а-1Р + + Ь-1Р-, то ЛN = 1 + К с некоторым К Є Ко. Решение ^ уравнения N^ = / является и решением

уравнения Фредгольма ^ = Rf. Однако обратное, вообще говоря, не верно, т.е. дан-

ная регуляризация не равносильна. Вопрос об условиях, обеспечивающих равносильную регуляризацию, требует отдельного рассмотрения и подробно изучался многими авторами [1. 2].

Если контур Г ляпуновский, то функция ш в соотношении (8) принадлежит классу Н(Г х Г) и применительно к Б это соотношение переходит в

Б + Б € К0, (18)

где учтено, что ш(£,£) = 1. В частности, аналогично (15) можем записать

N = ЬР+ + аР- + N1, N1 € К0,

и, следовательно, для оператора М = N + N имеем разложение

М = (а + Ь)Р + + (Ь + а)Р- + М0, М0 € К0.

Поэтому нормальный тип оператора М определяется обратимостью а + Ь и формула (16) для него переходит в

эз (М) = — [Ь^е^а + 6)]г-пг

3 Уравнение в классе СМ(Г)

. Предыдущие рассмотрения нетрудно перенести на случай, когда решения и правая часть уравнения (1) удовлетворяют условию Гельдера с фиксированным показателем 0 < ^ < 1. Класс таких функций, заданных на некотором множестве E, обозначим CM(E). Относительно нормы

\tp\n = sup \tp(t)\ + sup (19)

tee ti=t2 R —

это пространство банахово. Соответственно класс всех непрерывных и ограниченных функций обозначаем C(E) с sup —нормой, определяемой первым слагаемым в правой части (17). Заметим, что пространство Cv(E) вложено в CM(E) при ^ < v.

Определение (19) используем и для вектор—функций ^ = (^1,...,^;), понимая под |<^(t)| какую-либо фиксированную норму в С1. Например, можем положить |£| = max^ |£i|, £ G С1. Аналогичным образом норма (19) определяется и для матриц—функций.

Объединение классов См+£ по £ > 0 обозначим CM+0. В этом смысле класс H совпадает с обьединением C+0 = Ue>0C£. Удобно писать, что контур Г G C 1j^+0, если единичный вектор e(t) как функция на Г принадлежит классу CM+0(r). В этом случае для любой дуги Г0 С Г найдется такая ее параметризация t = 7(s), 0 < s < 1, что 7;(s) G CM+0[0,1]. Как видно из доказательства леммы 1, для рассматриваемых контуров функция Q(t —10) G CM+0(r x Г).

Аналогично п.2 обозначим K(CM+0) класс операторов c + S(k), где c G C^+^T) и k(t0,t) G C^+^Г x Г). Соответственно K0(CM+0) состоит из операторов S(k), для которых k G CM+0 и k(t, t) = 0.

Приведенные в [1] оценки сингулярных интегралов показывают, что для <^(t) G ^(Г) и k(t0, t) G Cv (Г x Г), 0 <^<v< 1, функция S (k)<£ G ^(Г), причем ее норма допускает оценку

|S(ВД„ < C|k|vMM,

где постоянная C > 0 не зависит от ^ и k. Таким образом, линейные операторы N G K(Cм+0) ограничены в пространстве CМ(Г). Аналогичные оценки можно провести и для интегралов, зависящих от параметра. В частности, если kj(t0,t) G C^+^Г x Г),^ = 1, 2, то этим свойством обладает и функция k1 * k2 в (11). Поэтому соотношения (13), (16) справедливы и по отношению к классам K(Cм+0) и K0(CM+0). Из этих же соображений для Г G C 1j^+0 функция и принадлежит C^+^Г x Г), так что в этом случае (18) имеет место по отношению к K0(Cм+0).

Следующая лемма, установленная в [3], показывает, что операторы S(k) G K0(CM+0) компактны в пространстве ^(Г).

Лемма 2. Пусть k G ^+0(Г x Г) и k(t,t) = 0. Тогда оператор S(k) ограничен C(Г) ^ C М(Г).

С помощью этой леммы теоремы 1 и 2 легко распространить на ^(Г).

Теорема 3. Пусть оператор N G K(CM+0) принадлежит к нормальному типу. Тогда любое решение уравнения N^ = f с правой частью f G ^(Г) также принадлежит, ^(Г). При дополнительном предположении Г G C1,м+0 аналогичное утверждение справедливо и по отношению к уравнению нормального типа = f теоремы 2.

Доказательство. Запишем N в форме (15) с a, b G CМ+0(Г) и N0 G K0(Cм+0) и рассмотрим оператор R = a-1P + + b-1P-. Как отмечено выше, (16) имеет место и по отношению к K0(CM+0) т.е. RN = 1 + K, K G K0(CM+0). Таким образом, если H- непрерывная функция ^ служит решением уравнения N^ = f с правой частью f G CМ(Г), то ^ + K^ = f1, с f1 = Rf G ^(Г). На основании леммы 2 отсюда и ^ = f1 — K^ G ^(Г). Пусть далее Г G C 1j^+0. Как отмечено выше, тогда (18) имеет место по отношению к K0(CM+0) и к оператору M можно применить предыдущие рассуждения.

Напомним [4], что ограниченный в банаховом пространстве X оператор N фредголь-мов, если его ядро ker N = {x G X, Nx = 0} конечномерно, образ im N замкнут и фактор-пространство X/im N также конечномерно. Размерности этих пространств обозначают, соответственно, dim N и codimN, а их разность dim N — codimN называется индексом ind N фредгольмового оператора N. Очевидно, конечномерность пространства X/im N равносильна существованию в X такого конечномерного подпространства Z той же размерности codimN, что X = Z ф imN.

Убедимся, что в условиях теоремы 3 оператор N фредгольмов в банаховом пространстве CМ(Г) и его индекс indN = ffi(N). В самом деле, из этой теоремы следует, что функции <^1,..., <£>п и 01,..., 0т, фигурирующие в теореме 1, принадлежат CМ(Г) и условия ортогональности (f, 0j) = 0, 1 < j < m, необходимы и достаточны для разрешимости уравнения N^ = f .В частности, образ im N есть замкнутое подпространство ^(Г). Рассмотрим линейное отображение L : ^(Г) ^ Ст по формуле (Lf)i = (f,0j), 1 < i < m. Образ im L этого отображения совпадает со всем Cm. В противном случае найдется такой вектор П = (п1, • • •, Пт G Ст, что n1(Lf )1 + ■ ■ ■ + nm(Lf )m = 0 для всех f G CM. По отношению к

0 = п101 + ■ ■ ■ + Пт0т это означает, что (f, 0) = 0 для всех f G Cм, что возможно только для 0 = 0. Но тогда п = 0, что невозможно.

Итак, im L = Cm и, следовательно, для базисных векторов e1 = (1, 0,..., 0),.. ., em = (0, 0,..., 1) G Cm найдутся такие f1,...,fm G ^(Г), что Lf = e,1 < i < m, или, что равносильно, (fi,0j) = Sij, где $ означает символ Кронекера. Очевидно, система функций f1,... , fm линейно независима, она называется биортогональной к системе 01,..., 0т. Нетрудно видеть, что подпространство Z, натянутое на функции биортогональной системы, дополняет imN до прямой суммы ^(Г) = ZфimN. В частности, codimN = m. Таким

13 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2010. №5(76). Выпуск 18

образом, оператор N фредгольмов и его индекс indN = п — т = ).

4 Гладкость решений

Сингулярные уравнения (1) можно рассматривать и для непрерывно-дифференцируемых функций. Введем в классе С 1(Г) операцию дифференцирования

(ВД(()= ц ф) - У«). (20)

в—з£г 5 — Ь

По определению класс С 1,м(Г) состоит из всех функций <^, для которых ^,Б^ € См(Г). Аналогичный смысл имеет класс и С 1>^+°. Относительно нормы

= Мм + |Б^и

пространство С 1,м(Г) банахово и, очевидно, оператор вложения С1,м С См компактен.

Операции частного дифференцирования Д1к и Б2к можно можно ввести по отношению

к функции к(Ь0,Ь) € С 1(Г х Г) двух переменных, полагая

(ВД(*„,()= Шп кМ~к^)

в0——£о,во£г 50

0

и действуя аналогично по второй переменной. Заметим, что по отношению к функции а(Ь) = к(Ь,Ь) одной переменной имеет место равенство

(Яа)(*) = [р1 + ВДМ). (21)

Нетрудно указать достаточные условия, при выполнении которых оператор, ограниченный в См(Г), будет обладать аналогичным свойством по отношению к пространству С 1,м(Г). Они заключаются в следующем: для ^ € С1,м(Г) функция N^ непрерывно дифференцируема и

Б^ = №Б^ + NV, (22)

где операторы ^ ограничены в См и зависят только от N. Если дополнительно операторы N и N компактны в См, то оператор N будет компактен и в С1,м.

Следующая теорема показывает, что при определенных предположениях оператор Б(к) обладает свойством (22).

Теорема 4. Если к € С 1,м+0(Г х Г), то

ББ (к) = Б (к)Б + Б (к1), к1 = (А + #2)к. (23)

Доказательство проведем сначала для случая к =1, когда (23) переходит в равенство

ББ = ББ. (24)

Рассмотрим интеграл типа Коши

•»~ыш

с функцией € С 1,м(Г).

Хорошо известно [1], что для Н—непрерывной функции ^ аналитическая функция ф(г) непрерывна продолжима на Г с обеих сторон контура и для ее односторонних предельных значений ф±(Ь0), Ь0 € Г, справедливы формулы Сохоцкого - Племеля

2ф±(*0) = ±^(*0) + (Б^)(*0). (25)

Рассмотрим производную

№ = Л 1 Ф)М

2пг ,/г (Ь — г)2 С учетом очевидного тождества

(Ь — г)2 — г

ее можно записать в форме

+

{Рч>Ш

Ь — г

= ± Г (щтш

2пг Уг Ь — г

В частности, функция ф' непрерывна продолжима на Г с обеих сторон и

2(ф')±(Ь0) = ±(Б<р)(*0) + (ББ^)(*0).

Определение (20) производной на контуре Г согласуется с дифференцированием аналитических функций. Поэтому функции ф± непрерывно дифференцируемы и Бф± = (ф;)±. Совместно с (25) и предыдущим равенством отсюда следует (24).

В общем случае пусть ^ € С 1,м(Г) и

1,*о) = — I

пг ,/г Ь — Ь0

В силу уже доказанного свойства (24) имеем:

№(/,)((„(о) = I [ 5а<ММд = I / + (2б)

пг У г Ь — Ь0 пг У г Ь — Ь0

С другой стороны, пусть к € С1,и(Г х Г) с некоторым ^ < V < 1 и последовательность точек Ь1п € Г сходится к Ь1. Тогда

Цип,10)1 [ (01к)(г1,г) _ 1_ [ дп(г)<р(г)<и

*1п — ^1 пг Уг Ь — *0 пг Jг Ь — ^0

где

к(Ь1га,Ь0) — к(Ь1,Ь0) /п мл

9га (*) = ------------------------------------Т-7-(Ак)(*1,*)-

Нга — Ь1

Нетрудно видеть, что последовательность функций дп равномерно ограничена в Си (Г) и стремится к нулю при п ^ то по вир —норме. Утверждается, что ^ 0 по норме пространства См(Г).

В самом деле, обозначим [р], второе слагаемое в правой части (19). Заметим, что при ^ = 0 величина [р]0 представляет собой колебание функции р на множестве Е. Для р € Си (Е) и любого г > 0 имеем:

\<р(х) - <р(у)| < / [ср\иг1'~^, |ж - у| < г,

|х — у|м \ |рЬг м, |х — у| > г.

Следовательно,

[р], < тах([р]^г^-м, [рЬг-м).

Выберем г по условию [р]^ г^ = [р]0, тогда предыдущая оценка примет вид

[р], < [р]0-'‘/''.

Применительно к р = п € С^(Г) это неравенство означает, что [дга]м ^ 0 при п ^ то и, значит, последовательность ^ 0 в См(Г).

С учетом ограниченности оператора Б в См отсюда следует, что правая часть (27) стремится к нулю при п ^ то. Поэтому в пределе приходим к равенству

адх*ь*0) = Л I

пг Jг Ь — ^0

Объединяя его с (26), получим равенство

[р! + £>2)0)](*ь*о) = — [ к' ^ <р(г)(И + — [ (в<р)(г)(И,

пг Jг Ь — ^0 пг Jг Ь — ^0

которое совместно с (26) при Ь1 = Ь0 переходит в (23).

Заметим, что если к(Ь,Ь) = 0, то в силу (21) аналогичным свойством обладает и функций к1.

Обозначим К0(С 1>м+0) класс всех операторов N = Б (к) € К0(См+0), обладающих свойством (22) с некотороми №, N1 € К0(См+0). Из этого определения, в частности, вытекает, что операторы N € К0(См+0) компактны в пространстве С 1,м(Г). Согласно теореме 4 операторы Б (к) € К0(См+0), для которых к € С1,м+0(Г х Г), принадлежат этому классу. Однако как показывает следующая лемма, усиливающая соотношение (18), данному классу принадлежат и более общие операторы.

Лемма 3. Если Г € С 1’м+0 , то Б + Б € ^(С 1>м+0).

Доказательство. Применительно к Б операция (7) дает оператор дифференцирования

Фт)= нт -?(«>.

К 8—г,з&г * — *

Поскольку

,. 5 — Ь е (Ь)

11111 =—= =-------,

«->*, «€Г 5 — I е(£)

эти операции связаны соотношением

Бр = йБр, й = е/е. (28)

Поскольку применение (7) к (24) дает равенство ББ = ББ, отсюда ББ = й-1БйБ и, следовательно, Б (Б + Б?) = (Б + й-1Бй)Б. По условию функция й € См+0(Г) и, значит, Б — й-1Бй € К0(См+0). Совместно с (18) отсюда Б(Б + Б?) = ^Б, N0 € К0(См+0), что

завершает доказательство леммы.

Обозначим К(С 1>м+0) класс операторов вида (15), где а,Ь € С 1>м+0(Г х Г) и N0 € К0(С 1>м+0).

Лемма 4. Соотношения (13), (17) справедливы и по отношению к классам К(С 1>м+0) и К0(С 1>м+0).

Доказательство. Если операторы Nj•, ] = 1, 2, обладают свойством (22) с некоторыми N°, к = 0,1, то это верно и по отношению к их произведению N1^. В самом деле,

б^^ = (№б + N1)^ = №№б + N1^ + №N1.

Совместно с (13) отсюда следует справедливость аналогичного свойства и по отношению к классам К(С1,м+0) и К0(С 1>м+0).

Если а € С 1,м+0(Г), то в силу теоремы 4 оператор аБ — Ба € К0(С 1>м+0). С учетом (14) аналогичное включение справедливо и для оператора Б2 — 1. В свою очередь отсюда вытекает соотношение (17) для рассматриваемых классов.

Сформулируем теперь аналог теоремы 3 для непрерывно дифференцируемых функций.

Теорема 5. Пусть оператор N € К(С 1>м+0) принадлежит к нормальному типу. Тогда любое решение р € См(Г) уравнения Nр = f с правой частью f € С 1,м(Г) также принадлежит классу С 1,м(Г). При дополнительном предположении Г € С1,м+0 аналогичное утверждение справедливо и по отношению к уравнению нормального типа Мр = f теоремы 2.

Доказательство. Запишем N в форме (15) с а, Ь € С 1’м+0(Г), N0 € К)(С 1’м+0) и положим К = а-1Р + + Ь-1Р-. Тогда на основании леммы 4 оператор RN = 1 + К с К € К0(С 1>м+0). Поэтому, заменяя f на Rf, утверждение достаточно установить по отношению к уравнению Nр = f с N =1 + К.

Оператор К компактен как в См(Г), так и в С 1,м(Г). Последний оператор, рассматриваемый в С 1,м(Г), обозначим К1. По теореме Рисса [5] операторы N = 1 + К и N1 = 1 + К1 фредгольмовы и их индексы равны нулю. Это же верно и по отношению к союзному оператору N' = 1 + К'. В частности, в обозначениях теоремы 1 числа п = dimN и т = dimN/ = codimN совпадают.

Поскольку пространство кег N1 содержится в кег N, его размерность п1 = dimN1 < п. Рассуждения, приведенные в конце п. 3, показывают, что систему функций Д,...,/П, биортогональную к базису 01,... , фп пространства кег^, можно выбрать и в С 1,м(Г). Так как образ imN1 содержится в imN, пространство Z, натянутое на векторы Д,..., /п, не пересекается с Z, так что п1 = codimN1 > п.

Таким образом, кег N1 = кег N и С1,м = Z ф imN1. В частности, условия ортогональности ^) = 0, 1 < ] < т, необходимы и достаточны для разрешимости уравнения Nр = f в классе С1,м(Г), поэтому его решение р € См(Г) с правой частью f € С 1,м(Г) в действительности принадлежит классу С 1,м(Г).

Вторая часть теоремы с учетом леммы 3 является следствием первой ее части.

Теорема 5 показывает, что оператор N фредгольмов в банаховом пространстве С 1,м(Г) и его индекс indN = ). Аналогичное утверждение справедливо и по отношению к

оператору М.

5 Обобщенный оператор Коши

Пусть матрица 7 Є С1х1 обратима и ее собственные значения не лежат на вещественной оси. Тогда для любого ненулевого комплексного числа г = х + іу, х, у Є К, матрица

2^ = х ■ 1 + у ■ 7 (29)

обратима. Здесь и ниже 1 означает единичную / х /-матрицу. Аналогичную запись используем и для матричного дифференциала ^2^ = ^х ■ 1 + ^у ■ 7 на контуре Г. В терминах касательного вектора е(і) можно записать = eJ (і)|^і|.

Естественным обобщением 5 служит сингулярный оператор

(5^р)(і о) = — [ (і- і0 Є Г, (ЗО)

пі ]г

который, очевидно, можем переписать в форме

5^ = Б (к), к(іо,і) = (і - іо)(і - і))-^ (і)е-1(і).

Если Г Є С 1>^+0, то в силу леммы 1 функция к(і0, і) Є С ^+0(Г х Г), к (і, і) = 1, так что

£/ - Б Є Ко(См+0) (31)

Поэтому оператор 5 в представлении (15) можем заменить на 5^. В действительности аналогично лемме 5 это соотношение можно усилить.

Лемма 5. Если Г Є С 1>^+0; то 5^ — 5 Є К0(С 1>^+0).

Доказательство. Введем на Г операцию дифференцирования по формуле

(Бр)(^ = , Іїп^ г(і - і0)-1[р(і) - Р(і0)]- (32)

С—С0,*€і

Поскольку

Ііт (в - і)(5 - і)-1 = е(і)е-1(і),

.з—«Єі

эта операция связана с (18) равенством

Ар = ф) = е-1(і)е(і) Є С^+0(Г). (33)

Утверждается, что аналогично (22) имеет место равенство

А ^ ^ А. (34)

В самом деле, как и при доказательстве леммы 3 рассмотрим вне Г вектор—функцию

ф(z) = -^J(t-z)j1dtJlp(t). (35)

В предположении Н-непрерывности р эта функция непрерывно продолжима на Г с обеих сторон контура и справедлива формула Сохоцкого-Племеля

2ф±(і0) = ±^р(^0) + (5^ р)(і0), (36)

где матрица а зависит только от 3 и обладает свойством а2 = 1.

В случае, когда собственные значения матрицы 3 лежат в верхней полуплоскости, этот факт был установлен в [6] с а = 1. Если собственные значения 3 лежат в нижней полуплоскости, то это утверждение справедливо с а = —1. Для доказательства достаточно заметить, что в обозначениях (29) комплексно сопряженная матрица ^7 = ^ и, значит,

Ф(л) = !{г - 2)^1(И1^).

Поэтому на основании предыдущего утверждения ‘2ф± = ^Тр+Б^Тр. Переходя к комплексно сопряженному равенству, получим (36) с а = —1.

В общем случае выберем матрицу В € С1х1 так, чтобы матрица 30 = В-13В была блочно диагональна: 30 = diag(3+, 30), где собственные значения матрицы 3+ (30) лежат в верхней (нижней) полуплоскости. Тогда согласно (35)

В~1ф(л) = ^ z)~JldtJoB~lLp{i).

В результате приходим к справедливости (36) с матрицей а = В diag(1, —1)В-1.

Функция ф(г) непрерывно дифференцируема в С \ Г и ее частные производные выражаются по формулам

Ш = Ф>' ф,{:) = 2^ /г(* “ *2<г^((>-

В частности, в каждой точке г0 € Г существует предел

1т (г — 2о)-1[ф(г) — ф^)] = ф'^),

так что в соответствии с определением (32)

(Ь — г)-2р(Ь) = —Б^(Ь — г)-1(Бр)(Ь).

В результате приходим к равенству

0'(~) =

Далее для завершения доказательства (34) остается повторить соответствующие рассуждения теоремы 4.

С учетом (33) равенство (34) можем переписать в форме ББJ = (й-1Б^)Б, откуда Б(Б — БJ) = (Б — d-1БJй)Б. В силу (30) оператор Б — d-1БJй принадлежит К0(см+0), что в соответствии с определением класса К0(С 1>м+0) завершает доказательство леммы.

В качестве иллюстрации рассмотрим уравнение Б,е а(р + БJр) = f в классе См(Г) вещественных /—вектор—функций, играющее важную роль в приложениях [7]. В силу леммы 5 оператор М этого уравнения можно представить в форме

2М = а(1 + ^)+а(1+^) = 2(аР+ + аР- + ЛГ0), Щ е Х0(Си1+0). (37)

Как и в случае теоремы 2 союзное уравнение целесообразно рассматривать относительно формы (9). Отметим, что оператор $У, союзный к 5^ относительно этой формы, дается равенством

57 = -д5> д-1, д(і) = е J т (і), (38)

где, напомним, Т есть символ матричного транспонирования.

В самом деле, для стандартного скалярного произведения в С1 имеем:

[(і - ^-^СОрСОЖ^) = р(і)[(і - ^-Тд(і)ф(і0)].

Поэтому в соответствии с (30)

" 1 "

— (і - *оЬ е^)ф)\(И\ пі ,/ г

ф(і0)М ^і,

откуда следует (38).

Применяя к оператору (37) теорему 4, приходим к следующему результату.

Теорема 5. Пусть Г € С 1,м+0 и матрица—функция а € См+0(Г) обратима. Тогда справедливы следующие утверждения.

(г) Однородные уравнения Ке а(1 + БJ)р = 0 и Ке (1 — дБ^д-1)атф = 0) имеют в классе См+0(Г) конечное число линейно независимых решений, соответственно, р1,..., рп и ф1, . . . ,Фт.

(гг) Неоднородное уравнение Ке а(1 + БJ)р = f разрешимо тогда и только тогда, когда (Лф-) = 0, 1 < < т.

(ггг) Разность ж = п — т дается формулой

ж= --[аг§с1е1 а]Г. п

(гг>) Если дополнительно а € С 1,м+0(Г), то любое решение р € См(Г) уравнения Ке а(1 + БJ)р = f с правой частью f € С 1,м(Г) принадлежит С 1,м(Г).

г

г

Литература

1. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.- М., Наука, 1968.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.:Наука, 1977.

3. Солдатов А.П., Чернова О.В., Задача Римана — Гильберта для эллиптической системы первого порядка, Научные ведомости БелУ, 2010.

4. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе.- М.: Мир, 1970

5. Рудин У. Функциональный анализ. М. Мир, 1975.

6. Солдатов А.П., Граничные свойства интегралов типа Коши // Дифференц.уравн. 1990. Т.26, N0.1. С.131-136.

7. Абаполова Е.А., Солдатов А.П., Система Ламе теории упругости в плоской орто-тропной среде// Вестник СамГУ-естественнонаучная серия, 2007, №6 (56), С. 260268.

TO THE THEORY OF SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS ON SMOOTH CONTOURS

E.A. Abapolova,1) A.P. Soldatov2)

1 Stary Oskol Branch of Belgorod State University, mikr-n. Solnechny, 19, Stary Oskol, 309502, Russia, e-mail: [email protected]

2) Belgorod State University Pobedy str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The Fredholm solvability for singular integral equations of the classical type is considered.

Keywords: singular integrals, Fredholm solvability, smooth solutions.