ОБОБЩЕННАЯ БИЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ НА ПРОСТРАНСТВЕ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

О. О. Белова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия olgaobelova@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2022-53-3

Обобщенная билинейная связность на пространстве центрированных плоскостей

Продолжается исследование пространства П центрированных плоскостей в проективном пространстве Р. В обобщенном расслоении задана билинейная связность, ассоциированная с пространством П . Объект обобщенной билинейной связности, ассоциированный с пространством центрированных плоскостей, содержит два простейших подтензора и подквазитензоры (четыре простейших и три простых). Поле объекта этой связности определяет объекты кручения, кривизны-кручения и кривизны, последние два из которых являются тензорами. Тензор кривизны содержит шесть простейших и четыре простых подтензора, а тензор кривизны-кручения — три простейших и два простых подтензора.

Рассмотрен канонический случай обобщенной билинейной связности.

Ключевые слова: проективное пространство, пространство центрированных плоскостей, обобщенная билинейная связность, кручение, кривизна

В настоящей работе используются метод внешних форм Э. Картана [1; 16] и теоретико-групповой метод Г. Ф. Лаптева [7; 9; 13; 15] для исследования пространства центрированных плоскостей одной размерности [10].

Поступила в редакцию 28.12.2021 г. © Белова О. О., 2022

Данные методы успешно применяются в физике [12].

Отнесем n -мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, Ai} (',... = 1,..., n ), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами

dA = в A + о iAi, dAt = в A + co^Aj + о tA , (1)

причем формы Пфаффа <ог, о., о' удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы GP(n) :

Do' = оо а о', Do = о] Ао .,

' ' j (2)

Do' =Ок А о', + S'.o, АОк +О.АО'.

j j к j к j

В пространстве Pn рассмотрим пространство П центрированных плоскостей размерности m.

Помещаем вершину A в центр m-мерной плоскости, а вершины Aa на плоскость. Здесь и в дальнейшем индексы принимают значения a, b, ... = 1,..., m ; a, fi,... = m +1,..., n . Центрированную плоскость будем обозначать P* .

Из формул (1) очевидны уравнения стационарности плоскости P* :

юа = о, соа = 0, о" = 0,

поэтому формы соа, юа, со" являются главными. Выбираем эти формы в качестве независимых.

Определение. Гладкое многообразие со структурными уравнениями

Dюa = юЪ л О + юа л о",

тл а В а , а а

Dю =с люр+ю люа , г\ а В I яЪ а с-а Ъ\ а

Dюa =юЪ л\5аюр-5рюа )-ю люа,

ri,,a с . „а с . / оа„ . <?а„ \ <?а„а » ,, i „я А „а Dab =аъ л®с -а А^^с аЪ + зЪ ас )-зЪ а АСа+СЪ Ааа,

г\ а У а , а а , с-а а , í а . а \ у

D^p = со р а со у +Юр Ааа +ópCoa а а + (орСу +0у Ср) ас

назовем обобщенным расслоением билинейных реперов и обозначим An2-2k+^kj, где к = m(n -m) (ср. [5; 8]).

Замечание. Символ к заключен в квадратные скобки, так как к форм аЯ являются и базисными, и слоевыми. Будем их называть базисно-слоевыми формами (см.: [8]).

В обобщенном расслоении An2 -2kj зададим билинейную

связность [5] способом Лаптева — Лумисте [4; 7] с помощью форм плоскостной С и нормальной а>а линейных связностей

и форм СЯ :

~а а f^a В г'Я „b í^ab р С а = Са - (арС - GabC - (арСЪ ,

~а а г^а а та с тас,а /оч

СЪ = сЬ -ГЪаС -ГЪсС -ГЪаСс , (3)

~а а та „У та „а таа„у Ср = Ср -ГруС -ГраС -ГруСа .

Вычисляем внешние дифференциалы форм (3), используя структурные уравнения (2) и применяем теорему Картана — Лаптева в обобщенном случае, тогда

лг'а г^а ,,b . tf1яЪ оа оЪ\ г^а „у . г^а „Ъ , г^а,Ъ „у

Л(ар - GаЪСр + ((р - 0р 0 а )сЪ = Gар,уС + Gар,ЪС + (ар,уСЪ ,

Gb = ОааЬ,рСр + ОааЬсс + оаъррср , лоаър = оару+оара+(яра, (4) лгаЪс - заъ с с - за съ=па+пс+rab-;a,

л та та „с т-^ас оа„ та ,,р , та „с та,с ,,р

Л1 Ъа-1 ЪсС а + 1 Ъас с - оЪ Са=Г Ъя,ра + 1 Ъа,сС + 1 Ъа,рСОс ,

A~rac , jjc,, a j-^ac ß j-^ac e . r^ac,e , ß

AI ba+db aa=l ba,ß® + 1 + 1 ba,ß® e ,

л j-a ca ,, j-a „y . j-a „b . pa,b „y A1ßa -ßa =1ßaty®r + 1ßa,b® +1ßa,y®b ,

ina ra „a j-aa <a„ <a„ A1 ßy-1 ßa®y +1 ßy®a ~Oß®y ~Oy ®ß =

= 1 ßy,® + 1 ßy,a® + 1 ßy® , л -r-'aa oa a 7-aa u , j-»aa b , naa,b u

A1ßy-Sy®ß=rßyu® +1ßyb® +1ßy® ,

где в правых частях при базисных формах стоят пфаффовы производные, а оператор A действует по закону (см., напр., [14])

AG0!ß = dGaß + Gliß®^ - Gbß®ba - Gaay®7ß . Утверждение. Объект обобщенной билинейной связности

в .

1 ' _ </-~<a (~<a f~<ab r^a r^a r^ac r^a r^a r^aa i 1 = [Gaß, Gab, Gaß, 1 ba, 1 bc, 1 ba, 1 ßy, 1 ßa, 1 ßy } , ассоциированной с пространством центрированных плоскостей, содержит два простейших [6] подтензора Gab, G^ß простого [6]

подквазитензора связности [G^ß, G^b, G^ß }, четыре простейших подквазитензора Г£c , Г^, Г'ра, Ц, а также два простых подквазитензора , } и [1ßa, Ц, И }.

Находим внешние дифференциалы базисных форм ®a, ®a с учетом выражений (3):

тл a a ~a , ß ~a , ra ß y , ra ß a , L>® = ® А®а + ® А (О ß + Sßy®H А ® + SßaaH А ® +

. oaa ß ,,y , c<a a 6 c<ab а . + Sßy ® А ® a + Sab® А ® + Saß® А ® b ,

тл a b ~a , a a , oa b a , oa b c ,

D ® = ® A + ® A ®a + Sba ® А ® + Sbc® А ® +

ac b a +Sba ® А ®c ,

где компоненты кручения S находятся по формулам

^а _ г^а ^а _ т-<а f^a ^аа _ т^аа <?а _ s->a SPr _ 1 [Ру]' SPa ~ 1 Ра - GaP , S Ру ~ 1 Ру ' Sab _ С[аЬ] ,

(¡аЬ _ г^аЬ sa _ Г а па _ -pa sac _ Г ас SaP _ GaP , ^Ьа ~ 1 Ьа , sbc _ 1 [Ьс] ' ^Ьа ~ 1 Ьа •

Здесь и далее квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам или парам индексов, например

1а _ 1 ( 1а та \ сР[Ь,с ] _ 1 fgаЬ,с (~*ас,Ь\ 1 [РУ] _ 2 V РУ~Т УР) , Ga [Р,у] _ ^ \ GaP,y - Gay,P J •

Компоненты объекта кручения S удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм

ASРу + ^{Ру]^а - r^arf] = 0 , ASpa - ^РсЬ + СрсР = 0 ,

AsayУ-заасоР - о, asp - о, Asрpь - о,

ASL + SP®c - ГЪсСа - 3Ьса - 0 , AShc - 0 ,

ASP +ЗС - 0.

Утверждение. Объект кручения S является геометрическим объектом (квазитензором) лишь в совокупности с объ-

в

ектом билинейной связности Г.

Учитывая дифференциальные уравнения (4) в структурных уравнениях форм связности (3), получим

гл ~а ~Ь ~а , ~Р ~а , тР Р у , тР Р Ь , Doa _ 3 а ЛЗЬ + За Л 3Р + ТаРу] Л 3 + ТаРЬ3 Л3 +

+ ТааРЬу с Р л с у + TPa с Ь л с с + ТаРРс Ь л ]Р+ тру с Р л® у,

Dot _з Л за + КаЪРусР Л су+ щсасс Л са +

+ ЯЬРр са Л с Р + Rice с с л с e + R%a с С Л с Р + Я^ с » Л ® f,

D3afs _ зул зр + яу соу л с а + Яруасу л са +

+ ярат су Л с Р+ ЯрраЬ с а Л с Ь + ярЬу с а Л с у + яруЬ с у Л с а,

причем компоненты кривизны-кручения T имеют вид

Ta _ Ga _ rb Ga _ G M TaPr _ Ga[P,y] —r a[PGby] _ Ga[pr m/]'

rpa rc s~ia ra \

Tapb _ Ga[P,b] _ r a[PGcb] _ Ga\pr yb]) '

rjiab _ r^ab rc s^ab rcbs->a ca rb ob ra

TaPy _ GaP,y _ Gay,P _ r aPGcy + r ayGcP + ày r aP_°ar yP _

_ С M J^ab . ^ Mb r a GaPr My + Gayr mP'

a _f^a re ^a r~*P r^a (5)

T abc ~ Ga[b,c]~ 1 a[bGec]~ Ga[bA Pc] '

rpac _ ^ rec a re ^ac r^yc ra ^y rac

TabP - 2Ga[b,P] aPGeb ~ abGeP GaP yb~Gab yP +

, ¡?a rc oc ra oc a +àPr ab _àar Pb _àbGaP'

rnabc r~<aYb,c л rerb r~<aci r^Mtb rac л ca r c b pac n

TaPy _ Ga [P,y] _ r a [PGey ] _ Ga [Pr m/] _ ^P1 ay ] + àa r |Py] •

Компоненты объекта кривизны R

jya _ T'a T~"d ya

Rbce _r b[c,e] _ r b[cr de]'

Ra _ ra ra + re ra re ra

Rbca ~ bc,a ba,c ba ec bc ea

Rad _ ra,d rad + red ra re rad àd ra bca ~ bc,a ba,c ba ec bc ea c ba

j\a _ ra T^c ra

RbaP _r b[a,P] _r b[ar cP] '

pac _ rc,b fac rdc ra rd rac

RbaP _ r ba,P _ r bP,a + r bPr da _ r bar dP '

acd a c'd e c ad

RbaP _ r b [a,P ] _ r b [ar eP ] '

pa _ 7-■a ra ry

RPab - 1 P[a,b] 1 y[a1 Pb] '

na _ ra _ ra + ra rM _ ra rM

RPya ~ * Py,a~ PaMy Pa ~ Ma Py '

Rab _ ra,b _ rab + ra rMb _ rab rM _ àb ra RPay _ r Pay _ r Py,a + r Ma1 Py _ 1 My1 Pa _àar Py '

па _ га г< гГ

ЯРуа _ 1 Р[у,ц] + 1 71[у1 Ра] ,

паа _ 1Р,а 1<а + 1Га 1<а 1Г

ЯРуа _1 Р[у,а] -1 Ру, а +1 гу1 Ра-1 га1 Ру,

пааЬ _ гР га,Ь т трa iгЬ 1

ЯРуа _1 Р [у,а] +1 гч1 Ра] удовлетворяют дифференциальным сравнениям (см. [2; 3; 11])

АЯЬсе - 0 , АЯЬса - 2КЛ + ЯЫ0!ас}с1 - 0 , ARhP - 0 ,

ARbaf + ЯЬс[асР] + ЯЬ[аР]сс - 0 ,

ARPp - 2Rhapad - ЯЫРса - 0 ,

АЯРР - 0, ARpPaь - 0,

АЯру а + 2ЩаЬ^у - ЯрРусЬ - 0 , АЯрЬу - 0 ,

АЯруа - Яр[уаса] + Яр[уа]с - 0,

Аяра - щус - ярас - 0, Аяруа - 0,

из которых видно, что объект кривизны является тензором, содержащим шесть простейших подтензоров ЯЫсе, ЯЬР, RPp, ЯраЬ,

Яру , ЯрУа и четыре прГСТЬГС подтензора [Rtca, Rtcd, RbP} ,

{пас nacd пас \ (па па паЬ \ (паа пааЬ паа ) Rhap, Rpp, Rdp] , у^-руа, Rfa Ь, Rfaу] , \RPrM, RPаy, RpЬц] •

Продолжение дифференциальных уравнений (41)—(43) приводит к сравнениям по модулю базисных форм соа, соа, :

Арр,у- (зу°рр,Ь++

+(зр0Ру+За0Рр -Зрар)фм +{оаару Opf^ ъ - 0,

АСрР,Ь - Ср,Ьср + СрЬср + {С<рСр,Ь + SaGpP + SbG<pP- 0 ,

Авар,у -(5у 5с ^ар + 5 5а <ср + 5р «ас',у - 5р5; Ьау ) ®„ +

+<р-5С51 )®у+оаруфС - 0, ЛОааЬрр -ОСъУР +(5УрОСъ -5рОУъ)®у+ вассос -0 ,

ЛС<аЪ,с + (5авсЬ + 5Ьвас + ^аЬ )®е - 0 ,

*в%р-((Р, +5Ур5СваеЪ +5Ур510<е) - 0 ,

лварр- ваар,с®у+(5рвар-5а«$ )®а+«ру^с- ^

Лв<р,с + (55«ар - ^«Тр )®е - 0 , АО<Ь:Су + (5^5« + 55вСуЪ - 5<5е;0$ - 5Ц5СавСЪр)) - 0.

Компоненты объекта кривизны-кручения удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм:

АТ<Ру + 5[рТау]Ъам + Та<Ру]аЬ - 0 , АТааръ + 2<р - Тр - 0, (6)

АТру - Тур - Т<р ®а - 0: АТСъс - 0, АТЬр-0, АТр - 0.

Теорема. Объект кривизны-кручения обобщенной билинейной связности является тензором, содержащим три простейших подтензора Т<ъс, Т^р, Тр и два простых подтензора

{гра грас гра ) {грас граЪс граЪ \ ТаЪс, 1аЪр,1аръ] , \ТаЪр, 1ару,1ару] ■

Доказательство следует из дифференциальных сравнений (6).

Рассмотрим канонический случай, когда компоненты Оа и О^р обращаются в нуль. Имеем со" = а" - О'01рар , а левые

части уравнений (42) и (43) тождественно равны нулю, тогда уравнения (4i) упростятся:

0 а а 0 а 0 а b 0 ab

ЛОар-5"аа = Оар,гаг + Оар,ъ а + Оар,га[.

Утверждение. В каноническом случае квазитензор О обобщенной билинейной связности редуцируется к квазитен-

0 а

зору О ар, при этом объект связности упрощается: B0 0 а

f _ffi ¡л ¡л т-*а г^а т^ае т--а т--а 1аал 1 = {ОаР, 0, 0, 1 ъа, 1 Ъе, 1 Ъа, 1 Ру, 1 Ра, 1 Ру } •

При условии что 0"ъ = 0 , Оар = 0 , выражения (5) для компонент тензора кривизны-кручения примут вид

0 а 0 а ъ 0 а 0 у а

ъа

1 ару = Оа[р,у]- 1 а[р ОЪу]- Оа[Р 1 у ,

0 а 0 а е 0 а 0 у а

TарЪ = Оар,Ъ + ГаЬ Оер - ОаР ГуЪ ,

0 аЪ 0 аЪ ,0 а 0 „

т r< I теЪ ^ . а 1Ъ яЪ та ^ таЪ

1 ару =-Оау,Р + 1 ау ОеР + Оу1 ар -Оа1 ур -ОаР 1 у , (7)

0 а

T аЪе = 0 ,

0 ае 0 а т яа г^е яе т-а ое

1 аЪр =0р! аЪ - Оа1 рЪ - 0ъ ОаР ,

ТаЪе а^е ] , О 1ае ]

ТаРу = -ОрРаг ] + °а ]. Утверждение. Тензор кривизны-кручения в каноническом

0а

случае не равен нулю, но содержит нулевые компоненты T аЪе •

Теорема. Каноническая обобщенная билинейная связность без кривизны-кручения характеризуется следующими свойствами:

1) альтернированные билинейные пфаффовы производные

0 a 0a

Ga[ß,y] квазитензора связности Gaß образованы альтернаци-

0 a a

ями сверток самого квазитензора Gby и подобъектов 1ьсх ,

1y квазитензоров [1, 1 , 1 } и 1, Ц, Ц } билинейной связности;

0

2) пфаффовы производные Gaß,b квазитензора связности

0 a 0a

Gaß образованы свертками самого квазитензора Gaß и компонент простейших квазитензоров и 1'ßa ;

0 ab

3) пфаффовы производные Gay,ß квазитензора связности

0a

Gaß являются алгебраической суммой сверток самого квази-0

~ j--ac |—т a a

тензора Gaß с простейшими квазитензорами 1 ba и 1ßy и компонент 1haß и 1yß.

Доказательство. При обращении в нуль тензора кривизны-кручения T из выражений (7) находим

0 a b 0 a 0 u a

Ga[ß,y] = 1a[ß Gby] + Ga[ß 1y,

0a 0a c 0y a

Gaß,b =-Gcß 1ab + Gaß 1yb ,

0 ab 0 a b 0u j-fab . ja i 'b sb r a G ay,ß = Gcß 1 ay- G aß 1 y + Öy1 aß- öa1 yß .

Список литературы

1. АкивисМ.А., Розенфельд Б.А. Эли Картан (1869—1951). М., 2014.

2. Белова О. О. Плоскостная обобщенная аффинная связность, ассоциированная с пространством центрированных плоскостей // Геометрия многообразий и их приложения : тр. науч. конф. с иностр. участием. Улан-Удэ, 2010. С. 8—13.

3. Белова О. О. Нормальная обобщенная аффинная связность, ассоциированная с пространством центрированных плоскостей // ДГМФ. Калининград, 2010. № 41. С. 7—12.

4. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.

5. Кулешов А. В. Обобщенные связности на комплексе центрированных плоскостей в проективном пространстве // ДГМФ. Калининград, 2010. № 41. С. 75—85.

6. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

7. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // ДГМФ. Калининград, 2006. № 37. С. 179—187.

8. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.

9. AkivisM.A., ShelekhovA.M. Cartan — Laptev method in the theory of multidimensional three-webs // J. Math. Sci. 2011. Vol. 177, № 522.

10. Belova O. O. Connections in fiberings associated with Grassman manifold and the space of centered planes // J. Math. Sci. 2009. Vol. 162, № 5. P. 605—632.

11. Belova O. Generalized affine connections associated with the space of centered planes // Mathematics. 2021. Vol. 9, № 7. Art. № 782. https://doi.org/10.3390/math9070782.

12. Katanaev M. O. Geometric Methods in Mathematical Physics. 2016. arXiv:1311.0733v3.

13. Mansouri A.-R. An extension of Cartan's method of equivalence to immersions:! Necessary conditions // Differential Geometry and its Applications. 2009. Vol. 27, № 5. P. 635—646.

14. Polyakova K. V. Parallel displacements on the surface of a projective space // J. Math. Sci. 2009. Vol. 162, № 5. P. 675—709.

15. Rahula M. The G.F. Laptev method: fundamental objects of mappings // J. Math. Sci. 2011. Vol. 174, № 675.

16. Scholz E. H. Weyl's and E. Cartan's proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s. University Wuppertal, 2010.

-fj)-1ПРЕДСТАВЛЕНО ДЛЯ ВОЗМОЖНОЙ ПУБЛИКАЦИИ В ОТКРЫТОМ ДОСТУПЕ В СООТВЕТСТВИИ С УСЛОВИЯМИ

¿2^Ив^гИЦЕНЗИИ CREATIVE COMMONS ATTRIBUTION (СС BY)(HTTP://CREATIVECOMMONS 0RG/LICENSES/BW4 0/)

MSC 2010: 58A05, 53A20, 53A35

O. O. Belova Immanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia olgaobelova@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2021-53-3

Generalized bilinear connection on the space of centered planes

Submitted on December 28, 2021

We continue to study the space of centered planes in projective space Pn. In this paper, we use E. Cartan's method of external forms and the group-theoretical method of G. F. Laptev to study the space of centered planes of the same dimension. These methods are successfully applied in physics.

In a generalized bundle, a bilinear connection associated with a space is given. The connection object contains two simplest subtensors and subquasi-tensors (four simplest and three simple subquasi-tensors). The object field of this connection defines the objects of torsion, curvature-torsion, and curvature. The curvature tensor contains six simplest and four simple subtensors, and curvature-torsion tensor contains three simplest and two simple subtensors.

The canonical case of a generalized bilinear connection is considered.

Keywords: projective space, space of centered planes, generalized bilinear connection, torsion, curvature

References

1.Akivis, M.A., Rosenfeld, B.A.: Eli Cartan (1869—1951). Moscow (2014).

2. Belova, O.O.: Plane generalized affine connection associated with space of centered planes. Geometry of manifolds and its applications, Proceedings of scientific. conf. with int. participation. Ulan-Ude, 8—13 (2010).

3. Belova, O.O.: Normal generalized affine connection associated with space of centered planes. DGMF. Kaliningrad, 41, 7—12 (2010).

4. Evtushik, L.E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N.M., Shirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. J. Soviet Math., 14:6, 1573—1719 (1980).

5. Kuleshov, A.V.: Generalized connections on the complex of centered planes in projective space. DGMF. Kaliningrad, 41, 75—85 (2010).

6. Shevchenko, Yu. I.: Clothings of centreprojective manifolds. Kaliningrad (2000).

7. Shevchenko, Yu.I.: Laptev's and Lumiste's tricks for specifying a connection in a principal bundle. DGMF. Kaliningrad, 37, 179—187 (2006).

8. Shevchenko, Yu.I.: Connections Associated with the Distribution of Planes in Projective Space. Kaliningrad (2009).

9. Akivis, M. A., Shelekhov, A. M.: Cartan — Laptev method in the theory of multidimensional three-webs. J. Math. Sci., 177:522 (2011).

10. Belova, O. O.: Connections in fiberings associated with Grassman manifold and the space of centered planes. J. Math. Sci., 162:5, 605—632 (2009).

11. Belova, O.: Generalized affine connections associated with the space of centered planes // Maths., 9:7, 782 (2021). https://doi.org/10.3390/ math9070782.

12. Katanaev, M. O.: Geometric Methods in Mathematical Physics (2016). arXiv:1311.0733v3.

13. Mansouri, A.-R.: An extension of Cartan's method of equivalence to immersions: I. Necessary conditions. Differential Geometry and its Applications, 27:5, 635—646 (2009).

14. Polyakova, K. V.: Parallel displacements on the surface of a projective space. J. Math. Sci., 162:5, 675—709 (2009).

15. Rahula, M.: The G.F. Laptev method: fundamental objects of mappings. J. Math. Sci., 174:675 (2011).

16. Scholz, E.: H. Weyl's and E. Cartan's proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s. University Wuppertal (2010).

7=T iJJ ■SUBMITTED FOR POSSIBLE OPEN ACCESS PUBLICATION UNOERTHE TERMS AND CONDITIONS OF THE CREATIVE COMMONS ATTRIBUTION (CC BY) LICENSE [HT TP://C RE ATI VECO M M ON S0RG/LIC ENSES/BY/4.0/)