CC BY
6
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 4.
УДК 511. 344 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-4-264-298
Обобщение тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными
слагаемыми
3. X. Рахмонов, И. Аллаков, Б. X. Абраев
Рахмонов Зарулло Хусенович — доктор физико-математических наук, профессор, академик HAH Таджикистана, директор Института математики им. А. Джураева (г. Душанбе). e-mail: [email protected], [email protected]
Аллаков Исмаил — доктор физико-математических наук, профессор, Термезский государственный университет (Узбекистан, г. Термез). e-mail: [email protected]
Абраев Бахром Холтораевич — Термезский государственный университет (Узбекистан, г.Термез).
e-mail: [email protected]
Аннотация
Получена асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального N в виде Ъ\р\ + Ъ2р2 + Ьзрз = N с условиями
biPi - y
< Н, Н > (Ъ1Ъ2Ь3) з Nз (ln N)bU, bi < (ln ,
где &1, Ъ2 Ъ3, N - попарно взаимно простые натуральные числа, В^ — произвольные фиксированные положительные числа.
Ключевые слова: тернарная проблема Гольдбаха, почти равные слагаемые, короткая тригонометрическая сумма с простыми числами, малая окрестность центров больших дуг.
Библиография: 30 названий. Для цитирования:
3. X. Рахмонов, И. Аллаков, Б. X. Абраев. Обобщение тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми // Чебышёвский сборник, 2023, т. 24, вып. 4, с. 264-298.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 4.
UDC 511. 344 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-4-264-298
Generalization of Goldbach's ternary problem with almost equal
terms
Z. Kh. Rakhmonov, I. Allakov, B. Kh. Abraev
Rakhmonov Zarullo Khusenovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, director of the A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: [email protected]
Allakov Ismail — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Termez State University (Uzbekistan, Termez). e-mail: [email protected]
Abraev Bahrom Kholtoraevich — Termez State University (Uzbekistan, Termez). e-mail: [email protected]
Abstract
An asymptotic formula is obtained for the number of representations of a sufficiently large natural N in the form bipi + b2p2 + b3p3 = N with the conditions
biPi - y
< H, H > (b1b2b3) з Nз (ln N)bU, bi < (ln N)B°,
where b^ b2 b3, N are pairwise coprime natural numbers, Bi — arbitrary fixed positive numbers
Keywords: ternary Goldbach problem, almost equal terms, short exponential sum with primes, small neighborhood of centers of major arcs.
Bibliography: 30 titles. For citation:
Z. Kh. Rakhmonov, I. Allakov, B. Kh. Abraev, 2023, "Generalization of Goldbach's ternary problem with almost equal terms" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 4, pp. 264-298.
1. Введение
И.М. Виноградов [1, 2] в 1937 году построил метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. В частности, он впервые получил оценку линейной тригонометрической суммы с простыми числами, то есть при к = 1 нетривиальную оценку сумму вида
Бк(а,х) = ^ К(т)е(атк),
т^х
в малых дугах ш(^Х'), ^Х = 1п х и ему удалось вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечётного N в виде суммы трёх простых чисел, что является решением тернарной проблемы Гольдбаха.
Короткую линейную тригонометрическую сумму с простыми числами вида (а; х, у) впервые начал исследовать И.М. Виноградов [1]. Он, воспользовавшись своим методом оценки тригонометрических сумм с простыми числами, получил нетривиальную оценку в малых дугах ш(ехр(с(1п1пх)2)), т = хз при условии у > х2 +£.
К.В. Хазелгров [3] для суммы 6*1(0:; х,у) получил нетривиальную оценку в малых дугах ) и асимптотическую формулу с остаточным членом в больших дугах при
^ о „63
у ^ хв, в =--+ е.
у ' 64
Пользуясь этими результатами, ему удалось решить тернарную задачу Гольдбаха с почти равными слагаемыми, конкретно для количества решений диофантова уравнения вида
Pi + Р2 + Рз = N,
N
Рг - J
^ н, н ^ №, (1)
нашёл асимптотическую формулу.
Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо [4] на базе метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М. Виноградова и новых теорем о плотности нулей L-рядов Дирихле в узких прямоугольниках критической полосы разработали новый метод, с помощью которого доказали для суммы вида S(а; х, у) нетривиальную оценку в малых дугах m(Lj') и формулу с остаточным членом в больших дугах M(Lj') при условии
п п 2
У ^ , в = - + е.
3
В 1991 г. Т. Жан [5], используя метод Пан Чен-дона и Пан Чен-бьяо и оценку М. Ютилы [6] о четвёртом моменте L-функций Дирихле, заменил показатель в на
5
8+
Наилучший результат в этой задаче принадлежит Ж. Чаохуа [7]. Он доказал, что диофантово уравнение (1) разрешимо с показателем
в = — + е. 12
A. Baker [8] доказал: если А1; A3 — ненулевые действительные числа, не одного знака, причём хотя бы одно из отношений Xi/Xj иррационально, тогда для любого натурального п существует бесконечно много прост,ых чисел pi, 'р2, р3, удовлетворяющих неравенству
\Xipi + Х2Р2 + Хзрз| ^ (lnр)-п, р = шах(р1,р2,рз).
В процессе доказательства этого результата он воспользовавшись круговым методом и поведением линейных тригонометрических сумм с простыми числами вида
§i(bia,N) = ^ e(biap),
p^N
как в больших так и в малых дугах, при выполнении определенных условий исследовал разрешимость уравнения
biPi + b2P2 + ЬзРз = N, (2)
в простых числах pi, Р2, рз, bi, 62, Ьз и N — целые числа (см. также [9]).
Основным результатом этой работы является теорема 1 об асимптотической формуле для количества решений диофантова уравнения (2) при условии, что слагаемые biPi почти равны, а коэффициенты bi, b^ Ьз не превосходят произвольной фиксированной положительной степени логарифма от числа N.
Теорема 1. Пусть Ъ\, Ъ2 Ъ3, N ^ попарно взаимно простые натуральные числа, N > Щ, В\, В2, В3 — произвольные фиксированные положительные числа, Ы ^ (1п N)в% 1^,Н) -число решений диофантова уравнения
Ь\Р\ + Ь2Р2 + ЬзРз = N,
ь N Ь%Р% - —
^ Н,
в простых числах р\, р2 и р3. Тогда при Н ^ (Ь 1Ь2Ь3) 3Nз (1nN)60 справедлива асимптотиче-скал формула:
м =3<8Р(Ь 1, Ь2, Ьз, N) Н2 '
( , ) 6162^3 (1пN)3 + ^б^бзОп^4,
1 N тг Л 1
во(Ь1,62, ь,,*)=П п 0 - •
Р 4 ^ ' 7 р1 Ъ^зЪзИ 4 1 1 7
С помощью кругового метода Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова для аддитивных задач с почти равными слагаемыми и почти пропорциональными слагаемыми [10, 11, 12, 13, 14] доказательство теорема 1 сведено к трём следующим задачам:
• вывод асимптотической формулы для коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами вида
Б1(Ьа;х, у) = ^ Л(п)е(Ьап),
х-у<п^х
в малых окрестностях центра больших дуг С1);
• нахождение нетривиальных оценок сумм 31(Ьа;х, у) в больших дугах Ж(^'Х;1), кроме малых окрестностей их центров;
• получение нетривиальных оценок сумм 51(6а;х,у) в малых дугах ш(^Х?1).
Эти задачи решены в теоремах 2 и 3.
Теорема 2. Пусть х ^ х0, А, В; ^ и с2 абсолютные постоянные числа, с2 ^ с1; Ь — натуральное число, Ь ^ ,
- 1 ц2
а = - + А, (а, д) = 1, |А| < —, 1 Н, к = ^, т= У
Тогда, при у ^ х 8 ЬН^Х'25А+81 справедливо равенство
31(Ьа;х,у) = ¡Ш-^е (ьА (х - |)) +0•
Н &)) ж
Теорема 2 доказывается методом работы [16], где, воспользовавшись вторым моментом ¿-функций Дирихле на критической прямой для суммы
Бк(а;х, у) = ^ Л(п)е(апк)
х-у<п^х
в больших дугах М(^Х), т = у5х 2^х Ьх, за исключением малой окрестности их центров
" 1__1
1а - 11 > (2пк2х у2) , при у ^ х 2к-1+^к
22
'Пк = —-:-„ „ч , Ск =
+22+( ^ - 061
- 5 + 2^/(2к - 2)(2к - 3)' 2^/(2к - 2)(2к - 3) - (2к - 3)'
получена нетривиальная оценка вида
У
Бк(а; х,у) <
где А, Ь — произвольные фиксированные положительные числа, а в малой окрестности центров больших дуг доказана асимптотическая формула (см. также [10, 13]).
2 8 А+52
Теорема 3. Пусть х ^ хо, А — абсолютная постоянная, у ^ Ьх з^Хз , Ь — натуральное число,
о = - + ^, (а,д) = 1, Ь^А+82 < д < ^^Х"82, Щ < 1. Тогда справедлива оценка
У
ЗДо; х,у) - ^.
Теорема 3 доказывается методом работы [17], где нетривиальная оценка суммы 63 (о; х,у) , Г/о32(А+20)^ . 4 г/}8А + 151 V5 гю-32(А+20) "
в малых дугах ш(^х ) при у ^ х в ^Х и т = Х получена методом оценок
сумм с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работ [18, 19, 20, 21]. Основными утверждениями, позволившими получить оценку 61(60:; х,у), являются нетривиальные оценки двойных сумм на малых дугах, соответственно имеющих "длинную" сплошную сумму и, имеющих близкие по порядку суммы, составляющие двойную сумму.
Обозначения. N > Щ - натуральное число, е — произвольное положительное число, не превосходящее 0.00001 огйр(п) — наибольшая степень прост ого числа р, делящего целое число п, то есть рогЛ^(п")\\щ = 1пх,
6 (а, д) = V , уп(А; х,у) = / е (а (х - | + ум)) ¿и.
т=1 ^ 9 У V V 2
2. Вспомагательные леммы
Лемма 1. [22]. Пусть Хд ~ примитивный характер по модулю д. Тогда,
( тп^
т(Хд)ХдН = ^ Хд(т)е ( ,
т=1 \ Ч /
где
я
т
т(Хд)= ^ Хд(m)e{^^), |т(Хя)| = ^
т=1 \ Ч /
Лемма 2. [23]. Пусть 2 ^ Т0 ^ х, р = [3 + г^/ — нетривиальные нули функции Ь(,з,х)-Тогда
Ехр х^2
Р То
где Ео = 1, если х = Хо! Ео = 0; если х = Хо-
Лемма 3. [22]. Для любого е > 0 существует с = с(е) такое, что если XI — действительный характер по модулю д и А — действительный нуль Ь(в,х)> то
А - 1 - ^.
Лемма 4. [24]. Пусть действительная функция — ¡'(и), и монотонная функция — д(и) удовлетворяют условиям: ¡'(и) — монотонна, |/'(и)| ^ т\ > и |д(и)1 — М. Тогда, справедлива оценка:
[ь М
д(и)е(¡(и))ди « —. Уа т1
Лемма 5. [25]. При подходящем, с > 0 функция Ь(в,х) з = ©дта + И не имеет нулей в области
© ата ^ 1 — 5(д, £), 5(д, £) =-^-^-,
тах(1п д, 1п3/4(\Ц + 3) 1п3/4 1п(\Ц + 3))
для всех характеров X по тоёд, за, исключением, быть может простого действительного нуля, А У Ь-функции, определенной исключительным, характером хь
Лемма 6. Пусть е сколь угодна, малая положительная постоянная, А — произвольное фиксированное положительные число, Т 22 +£ — Н — Т и д — 1пАТ, тогда справедливы оценки
Лк(и,Т + Н,х) — N (и, Т, х)) « (дН) < 1-и)(1п дН)33,
щоёд
где с = 2, 4, если \ — а — § или | — а — 1; и с = если | < а < Эта лемма доказывается методом работы [26]
Лемма 7. [27]. При х ^ 2 имеем
^ (п) «х (1пх)гк- , к = 1,2.
п—х
а
а) для суммы
имеем неравенство
б) а для суммы
имеем неравенство
а
а = а + —, (а, д) = 1, 1 -д-К, |0| - 1, д д2
9+Я , 1 ч
у, = Е тп[и, 1аЩ), 4 < д, и> 0
Уд « И + д1п д,
у = у —
0<Т-0,5Я ^11
V « д1п д.
Лемма 9. [18]. Пусть f (п) — произвольная комплекснозначная функция, и\ ^ x,r ^ 1,
= Щг - kV., Х(П)= ^ ^(П)-
d\n, d^ui
Тогда имеет место тождество:
ЕЛН/(n) = £(-1)* ^ Е '"Е )Е '"Еln nif (mini тк тк ) +
п^х к=1 mi т^ п\ п^
mi-mt ni^-n^^x
+ (-1)Г Е ni) '"Е ^(Пг)^2^(m)f(щ ••• nrт).
ni'^ui nr ^ui m
mi-'^mt ni^-nk ^х
Лемма 10. [29]. Пусть у ^ хi2+£, тогда справедлива, асимптотическая формула
3. Поведение специальных коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами в больших дугах
В этом пункте докажем теорему 2 о поведении тригонометрической суммы
S1(ba; х,у) = Е А(п)е(Ьап),
х—у<п^х
в больших дугах M(L£1), т = у2х~1 L"XC2 , где Ci, С2 — произвольные фиксированные положительные числа.
3.1. Доказательство теоремы 2
Не ограничивая общности, будем считать, что
у = ж 8 bhLX2'25A+81. (3)
Для удобства с помощью обозначений qi = ^ и &i = ——- чисел q и b представим в виде
(b, q) (b, q)
b = bi(b,q), q = <?1 (M), 1 ^ ^ ^ <?, (6b<?i) = 1.
Пользуясь свойством ортогональности характеров, затем леммой 1, находим
Si(ba; ж,у) = Е е(^) Е K(n)e (ЬХп) Е Шх(п) + 0(L2) =
fc=1 х—у<п^х х mod g1
1 f ab\k\ 2
£ £ W^) £
r-v> ъ A sí- /-> — 1 N / /у>_<» iп
M — > . А(п)х(п)е(ЬХп) + 0(L2) =
) ч /
X mod ql k=\ х—у<п^х
1 " ' ' ' —.....)e(
-Г-) E )r (x) E Л(п)х(п)е(ЬХп) + 0(L£) (4)
X mod gl х—у<п^х
Применяя преобразование Абеля в интегральной форме, имеем:
гх
Е А(п)х(п)е(ЬХп) = — ф(и, х)йе(ЬХи) + е(ЬАх)ф(х, х) — е(ЪХ(х — у))ф(х — у, х).
х-у<п—х х—У
1
Пользуясь леммой 2 при То = (ху-1 + | 6А|х) найдём
^ Л(п)х(п)е(ЬАп) = — [ I Е0и — ^ — I йе(ЬАи) +
х-у<п-х -'х-У у Ы-Т0 Р /
+ е(ЬАх) | Еох — ^ - I — е(ЬА(х — у)) I Ео(х — у) — ^
\ ЫОо V V М<Т> Р
х
— Щи, То)2тЪАе(ЬАи)йи + е(ЪАх)П(х, То) — е(ЪА(х — у))П(х — у, То).
х-
Применяя к первому интегралу формулу интегрирования по частям и, пользуясь оценкой для Щ(и, То) из леммы 2, находим
^^ 1-х ^^ гх ир-1 ( у \
22 Л(п)х(п)е(ЬАп) =Ео е( Ь Аи)йи -&( Ь Аи)йи + О 1 у А 1 =
х-у<п-х ->х-у \1\-Т0-'х-у Р КУ2 ^х + )
©птгЪ Ау / / у\\ ^ I у
=Е„ ^е(ьх(Х - D) - £ ,(РМ)+0
Lx
ЫОЪ \qi L
fx ' i и *е i охч + — ши
1(р,ЪХ) = иР 1е\ЬХи + — 1пиЛ du. Jx-y v J
Отсюда и из (4) для Si(ba;x, у), найдём следующее выражение:
Si (ba;x, у) = е (ЬХ (x - |)) - W(ba;x,y) - EW(ba;x, у)+0(у^-Л), (5)
W(ba; x, у) = ^ x(abi)r(x) ^ 1(Р,ЬХ),
-(Ql) X mod qi |7|^То
P=fl
W (6 a; x, y) = x (af ^) т,ЬХ), -( )
где Е = 1, если по модулю q\ существует действительный характер xi такой, что L(s,xi) имеет действительный нуль А,
А > 1 - ,
Inq
и Е = 0 в противном случае.
3.2. Оценка IWi(Ъа; х,у) |
Воспользовавшись тривиальными оценками суммы r(xi) и интеграла 1(/3\,Х), найдём
T(xi) Г иf1-1
|Wi(ba;x, y)l =
-(Q1) Jx-y A
( Х и) d и
< yxf1-1.
Согласно лемме 3, имея в виду, что q\ < q ^ LX1, при е = (2ci) 1, имеем
х?1-1 = exp ((ßi - 1)LX)) < exp (-S^L) < exp (-= exp(-(е)^Х). Следовательно
(6a; х, y)l « у exp (-c(e)vLX) « (6)
3.3. Преобразование (ba; ж,у)| Переходя к оценкам, имеем
|Ж(Ьа;х,у)| < Е K(;t)l|W(bA,x)|, W(b\,x) = Е |ДР,^А)| , (7)
х mod gi |7|^То
P=ßl
ß x
такой, что L(s, xi) имеет действительный нуль ß ^ 1 — ^ • Сумму (а; х, y)| оценим в случае А ^ 0. Случай А ^ 0, сводится к случаю А ^ 0 с помощью соотношения
W( bX,x) = Е \l(p, ЬА) = E f uß-1e (-ЬАи - ^7lnu) du ЫОО ЫОЪ Jx-y \ 27Г '
P=ß1 P=ß1
= £ |I(p, -bА)| = £ |I(p, -bА)| = W(—bА, x),
М<То Ы^То
P=ß1 P=ß1
Воспользовавшись леммой 4, при М = х^-1, f(u) = ЬАи + lnu и mi = min f(u), оценим тригонометрический интеграл /( р,ЬА). Найдём
х^-1 _ xß ы , 7 _ 7 + 27тkbАu
| ДА А)| ^ min |/'(u)| = min |х/'(u)|, f (u) = 6А + ^ = 27u .
Отсюда и из тривиальной оценки
X
|/(р,ЬА)| uP-1du < ух^-1,
J X — у
получим
| длм)!**» mi^ х, —^)
х min | х
Эту оценку, пользуясь соотношением
х 1
|х f '(u)| = |7 + 27mu|-— ^ —17 + 27 kb А^,
2 7 u 2 7
представим в виде
11(р,Ъ А^^х13 minf -\ ?ьх , V (8)
1 л \х min |7 + 27кЬА^ J v ;
( x)
(h/^p(Q1) « lnln получим
(Ьа;х, 2/)|< £ W(^,x) « ^ Е W^x). (9)
X mod q1 ^ X mod q1
Все нетривиальные нули р = А+17 фикции Ь(,в, х) с условием |7| — То разобьём на множества
Бх = |р : —То — 7 < —2тгЬАх — ^ ,
х х
Б2 = <р : —2тгЪАх — - — 7 — —2тгЪА(х — у) + - } , I У У)
х
Б3 = {р : —2тгЬА(х — у) + -<7 — То
( Р, А)
множеству через Ш^(ЬА,х) ] = 1, 2, 3, представим сумму У\Г(ЬА,х) в (7) в виде:
^(ЪА, х) = шъ\, х) + Ш2(ЬА, х) + Ш3(х, ЬА). (10)
3.3.1. Преобразование ( ЬА,х)
Ко всем членам неравенства, с помощью которых определяется множество прибавляя слагаемое 2тгЬАи, х — у < и — х, получим
Бх = | р : —То + 2тгЬАи — 7 + 2тгЬАи < —2тгЬАх + 2тгЬАи — ^ .
Функция 2ттЪ Аи в интервале х — у<и — х монотонно возрастает, поэтому для правой границы множества имеем
—2тгЬАх + 2тт Ь Аи — - — —
Следовательно, если р £ Их, то выполняется неравенство 7+2ттЬАи < — поэтому в интервале х — у — и — х для монотонно возрастающей функции 7 + 2ттЬАи справедливо соотношение
х
тт 17 + 2тгЪАи1 = — тах(7 + 2тгЬАи) = —7 — 2тгЪАх ^ —, если р £
Отсюда и из второй оценки (8), найдём
Шх(ЪА, х) « ^
Все нетривиальные нули в множестве
х13
—7 — 2ж Ь Ах
Бх = |р : —То — 7 < —2тгЬАх — х | = |р : х — —7 — 2тгЬАх <То — 2тгЬАх| ,
разобьём на классы Иц, ..., ВХг, г « Тох-1у, в класс 0\п отнесём те нули р, для которых выполняется условие:
ЪЪ,х
пН < —7 — 2тгЪАх — (п + 1)Н, Н =-, 1 — п — г.
ЯхУ
Следовательно
А>х)« £ £ —¡—¡¡Ш — Н£ £ ? —
п=х реВщ п=х реВщ
^■х V ^ 3 ^■х V ^ 3
— —— тах > х3 — —— тах > х3. Н Ы/п—г ^ Н \т\—т0 ^
3.3.2. Преобразование W3(х,ЬХ)
Ко всем членам неравенства, с помощью которых определяется множество D3, прибавляя слагаемое 2тгЬХи, х — у < и — х, получим
D3 = 2тгЬХи — 2тгЬХ(х — у) + х <7 + 2тгЬХи — То + 2тгЬХиj .
Функция 2ттЬХи в отрезке х — у < и — х монотонно возрастает, поэтому на левой границе множества D3, имеет место неравенство
2ттbХи — 2ттbХ(х — у) + - ^
У У
Отсюда следует, что если р е D3, то имеет место неравенство 7 + 2тгЬХи > Следовательно в отрезке х — у — и — х для монотонно возрастающей функции 7 + 2ттЬХи справедливо неравенство
х
min I7 + 2жЪХь\ = min(7 + 2тгЪХи) =7 + 2тгЬХ(х — у) ^ —, щи р е D3. Отсюда и из второй оценки (8), находим
ж—^ Tß
7 + 2жЬХ(т - у)
Все нетривиальные нули в множестве
Б3 = |р : х —7 + 2иЬА(х — у) <То + 2тгЬА(х — у)| ,
разобьём на классы 03х, ..., 03г, г « ТоНв масс И3п отнесём те нули р, для которых выполняется условие:
пН < 7 + 2тгЬА(х — у) — (п + 1)Н, Н =-, 1 — п — г.
ЯхУ
Следовательно
Tß 1 JL^ „_, Tß о>
Jü -L x * X * ш ^L
W3(xM) «ЕЕ -^-v — iEE — — L max V xf.
3.3.3. Преобразование W2( bХ,x)
Представляя множество D2 в виде
x x
D2 = {p : —2^тbХx - - — 7 — -2кЪХЬ - у) + - } = l У У)
2 x x
= lp : Т1 - 2тгЬХу--— -7 — ТЛ , Т1 = 2■жbХx + - — Т0,
{ У ) У
1 у2
и имея в виду, что для длины множества D2 при |Х| — -, т = —и С2 — С1, выполняется
q1T xLx
неравенство
2x 2ттЬу 2x 2тт bhx LT;2 2x bxh
2ттЬХу + — —-y- + — =---X" + — «-= H,
У ЦТ У qw h у q1y
( p, Х)
оценкой (8), получим
ШЬХ^) — У" I I(pM)\«V-Yxf — ^ max V xf max V xf.
x ^ x |T| —To ^ x |T|—To ^
peD2 peD2 1 1 0t-н—-J—T 1 1 0T-н—J—T
3.4. Сведение оценки W(Ъа; х,у) к минимизации A1 и A2
Подставляя полученные оценки для Wi( bX, %), Ws(x,bX) и Ws(x,bX) в (10), а потом в (9), а затем, воспользовавшись соотношением
in lx / lx + л = (+ Л yLX
y/qi \ Н х) y/qi \ bh J х x '
находим
| W(6a;®, y)l «^ (Ц + W(6A,X) « ^f2 |max (Т,Н), (11)
Vn (Т, Н)= E E .
X mod qi T-H<j^T
Сумму Vqi = Vqi (Т,Н) оценим, воспользовавшись теоремой о плотности нулей L-рядов Дирихле в узких прямоугольниках критической полосы. Имеем
v?i = Е Е (lx f xudu+Л= lx Г хи е Е du + Е Е i
х mod qi Т-H<j^T ^ 0 ' 0 х mod qi Т-H<j^T х mod qi T-H<j^T
fj^-u
= Lx J1 xu E (N (u, Т, x) -N (u, Т — Н, x)) du + E (N (Т,Х) — N (Т -Н,Х)) .
0 x mod qi X mod qi
Нетривиальные нули p = P + i7 расположены симметрично относительно критической прямой Ggma = 0.5. Воспользовавшись этим свойством нулей, правую часть последнего равенства представим в виде
Vqi (Т, Н) < LX Г Е (N(u, Т, х) — N(u, Т — Н,Х)) du+
X mod qi
+ (/L- + 1) E (N(Т, x) —N(Т — Н,х)) <
X mod qi
< LX max ж" E (N(u^,x) — N(u,Т — Н,Х)) +
X mod qi
+ (/L- + Л E (N(Т, x) —N(Т — Н,х)) <
X mod qi
< 2Lx max xu E (N (щТ,Х) —N (u, Т — Н,х)) .
X mod qi
Согласно лемме 5 функция L(u + it, x) не имеет нулей в области
сэ
u ^ 1 — 5(qi, t), 6(qi, t) =
max (in qi, (ln(i + 3) in ln(i + 3))
для всех характеров xmodgi, за исключением, быть может простого действительного нуля Pi v L-функции, определенной исключительным характером Х1- Поэтому, имея в виду, что S(q1,Т) ^ S(q1,Т0), найдём
Vqi (Т,Н) < 2LX max хи Е (N(^Т,Х) — N(^Т — Н,Х)).
X mod qi
Подставляя правую часть этого неравенства в (11), имеем
\W (a; x, у) \ « max max xu V (N (u,T,x) -N (и,Т - H,x)).
x |T|—To 0,5—u—1-& ^
X mod i
1 У2
Из определения параметра T0, условия \Х\ —-, т = —и (3), находим
q1T xLx2
Т. — Т1У)3 = Ш3. (xQf + bJlMx) LЛ+3 — (rnf (xQf + bx_\ LЛ+3
Hз — (bxh)3 = (bxh)3\yq1+ b<l1 ^J Lx — (bxh)3\yq1+ q\T I Lx
(?3V + Q^yLxA „Л+3 — ( + yL£2 ) л+3 — ,
\b3x2h3 + b2xh3 jLx — V b3x2 + b2xh0,5) Lx — 1
Таким образом, в последней сумме по x mod q1 выполняется уеловие x ^ Тз, и к этой сумме можно применить теорему о плотности нулей в узких прямоугольных критической полосы (лемму 6). Согласно этой лемме, имеем
11 L3 , 11 L36 /hhr )c(1-u)
\W(a; x, y)\« ^ max xu(qHc(1-u)(ln qH)33 « ^^ max xu — =
x 0,5—u—1S x 0,5—u—1S \ У J
= bhL36 (—) max xu (JM™ « A + A + A3, (12)
x V у J 0,5—u—1-& \bhxJ
1,4
V У J 0,5—u— fJ 1V~y' ~ \bhxJ
„„ /hhr\ 1,4 / 11 \ 2,4u
A = bhL36[ — max ¡1(4), Д(u)=xu[-§-) > 0,
5 8
* = '2^5 Ыи), Л(и) = xu( > 0,
3 ^ ^ 6
o36 ( bhx
1,4
V У J § —u—1-5'
3 = bhLx34 - max ¡1(4).
3.5. Оценка A-^
Воспользовавшись условиями q1 — h, h = LcCf, 1 — b — и (3), имеем
Л(и) = ш (to* + 2,4ln (JL)) = 2,4h(") ^ (¿Т) > 0,
то есть /\(и) монотонно возрастающая функция, поэтому пользуясь опять условием (3), имеем
2
4
4 = bkL?>(1А Л (2) = у 85 x-30L^1"-28,8 « VL-Л.
3.6. Оценка А3
Пользуясь, как в случае оценки Ах, монотонностью функции /\(и), а затем условиями Ь — , Ъ = ■хЦ2 и (3), находим
22 г
/ ЪЪт\ 1,4 ( х 8 ЪЪ</> 2,25А+81\ 5д
А = ¡г(1 — 5)=у! - х-о,и^3б-54А-1944 « ух-о,и
1 у2
Воспользовавшись условиями |А| ^-, т = —г, Ь ^ ^Х3, Н = ^ХХ1 и (3), имеем
дгт хН х
То = (X + ЪАх) д1 ¿X + кХ^) < (Х^ + ^ Я™
\У ) \У д\у2) х V У У2 )
Пользуясь этим неравенством оценим снизу параметр 5 = 5(д, То). Имеем
%, То) = -7-^-3Т > -т---зу >
шахМпд, (1п(То + 3)1п1п(То + 3))М шах Шп^Х , (^Х 1п&х )М
Поэтому
Аз < у ехр(—0,1 б^х) ■ ^Х36 < у ехр(-0,1 с^Х'24) ■ ^х36 < 3.7. Оценка А2
Воспользовавшись условиями д\ ^ Н, Н = 1 ^ Ь ^ и (3), имеем
Ц(„) = Л(„) (шх + 8 ю (£X)) = 8Л(<.) >п (¿8) » 8Л(»)(х^) > 0
то есть /2 (и) монотонно возрастающая фуНКцИЯ? поэтому ПОЛЬзуЯСЬ условием (3), имеем
4
'ЪНх \ § л36„ / 5 \ (х§ ЪН^Х'25А+81\4
= 3 ^2 (= „ ' ^ , уХ;л
Подставляя найденные оценки для сумм А1, А и А3 в (12), находим
|Ш(Ьа; х, у)| <
Из полученной оценки и оценки (6), имея в виду (5), получим утверждение теоремы.
4. Оценка специальных коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами в малых дугах
Оценим сначала специальные короткие линейные двойные тригонометрические суммы с "близкими" по порядку суммами, которые возникают при оценке специальных коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами вида 3\(Ьа;х, у) в малых дугах.
4.1. Оценка специальных коротких линейных двойных тригонометрических сумм с "близкими" по порядку суммами
Лемма 11. Пусть ¡(т) и д(п) - произвольные комплекснозначные функции, Ъ — натуральное число, с — абсолютная постоянная, |/(т)| ^ тг(т), |<?(п)| ^ т^(п), у < х^1—1,
____а д
Ш = Е /(т) Е д(п)е(Ьатп), а = —|—^, (а, 0) = 1, Н ^ 1.
М<т<2М М<га<2М ^ ^
х-у<тп<Х
Тогда при
^^>4с+2г2+2к2+4к—2 < ^ < -4с-2г2-2к2—4к+2
х ^ Ч ^ х х ,
с/> 2с+г2+к2+2к-1 < ^ <У_ с£-4с—2г2 — 2к2—4к+2
(13)
У
справедлива оценка
|ш |<
Доказательство. Далее, для удобства, не ограничивая общности, будем считать, что МИ х х. Возводя сумму Ш в квадрат, применяя неравенство Коши и лемму 7, получим
|Ш|2 « Е I/(т)|2 Е
М<т<2М М<т<2М
( п) ( ат п)
М<п<2М х—у<тп<х
<
« Е Тг (т) Е Е 9(п{)д(п2)е(Ьат(п2 - п1)) «
М<т42М
М<т42М М<га<2М
х—у<тп1,тп2^х
«М^Х—г Е д(п\)д(п2) Е (Ьат(п2 -п{)).
М<т^2М х-у<тп1,тп2 ^х
п1 п2
условия пг < п2,т = п2, пг > п2, и воспользовавшись соотношением
Е £ ^(п)|2 « Е Е^2(п) < Е ^)«у^хк(к+2),
х—у<Ь<х
М<т<2М М<п<2М х—у<тп<х
гК
х—у<Кх тп=1,
~ М<т<2М
а также, имея в виду, что модули сумм соответственно с условиями щ < п и щ > п2 равны, получим
|Ш|2 « М^
г2 — 1
х
д(п{) Е З(п2) Е е(ьат(п2 -пг))
Е....... ^ ^
М<п1^2М о<п2—п1^2М—п1 М<т^2М
х—у<тп1,тп2^х
+ у М ^х2+к2+2к—1.
Положим £ = п2 — пг и пг = п, тогда правая часть последнего неравенства принимает вид
|Ш|2 « М^Х2+ уМ^£2+к2+2к—\
Шг = Е Тк (п) Е Тк (п + *)
М<п^2М о<г<2М—п
Е е(Ьо&т)
М<т<2М <т<
П — —+ С
(14)
Из условия —^ < т < находим
х х х -
* <--п <---- = — <-?-.
т т т т М
п
« е ^(п) Е ^(п+*)ш1п(И, и).
ЛТ^^^-ОМ п ^^ У \ II II/
2
Применяя дважды неравенство Коши и лемму 7, найдём
2
И? £ (^п + ()т!„ (£,
М<п—2М \0<А 4 11 И//
У^у- V ш1п (У- — V«
Ы<п—2Ы 0<—^ 4 11 117
« ^^2"2 V Ш1П ^ —^ « Ш1П Г^ — ^
« М ^ \\У « М ^ \\atw) ■
4.1.1. Оценка И2 при > 0.5д
Разбивая интервал изменения £ на « интервалов в ида д — Н — д + д , д < д, применяя утверждение а) леммы 8, найдём
т2 ^ У2^2к2-2 ЬУ (у
(I+"-0 «(Ж2+Щ ^2-1
И2 У ^2к2-2 . [
И « М дМ 1 лт ' " 1 1 ЛЖ2 /^Х
Подставляя эту оценку в (14) и воспользовавшись соотношением МИ х х, а также неравенством 4к2 — 24к + 69 > 2 к2 + 2к, а затем условиями (13), получим
|И|4 « М2-2И2 + у2М2+2к2+4к-2 «
« М2^2-2 + ^Х2к2-1 +у2М2+2к2+4к-2 «
« ^+ -у3^ ^ 2+2к2-3 + ^м^ 2+2к2+4к-2 « « У4 (- + у + ^) ^ 2+2к2+4к-2 « у4^Х-4с.
4.1.2. Оценка И2 при — 0.5<?
Применяя утверждение б) 8, найдём
И2 « ^^ ■ д!ид « ^^2к2-1. 1 МХ М Х
Подставляя эту оценку в (14) и, воспользовавшись соотношением МИ х ж,а затем условиями (13), получим
|И|4 « М2-2И2 + у2М2+2к2+4к-2 «
« м2 я*2-2 ■ ^Х2к2-1 + у2М2+2к2+4к-2 «
Х М Х Х
22
« у2хд^т2г2+2к2-3 + ^^Х2г2+2к2+4к-2 «
« У4(Хф + ^2+2к2+4к-2 « у4^
Лемма доказана.
Теперь, пользуясь этой леммой, найдём нетривиальную оценку тригонометрической суммы
(Ьа;х, у) = £ А(п)е(Ьап),
х—у<п^х
в малых дугах т (т = у2х-1 ^Х~4А-82, где А — произвольное фиксированное положительное число.
4.2. Доказательство теоремы 3
Имеем
_^ а д
31(Ьа;х, у) = > А(п)е(Ьап), а =—|—^, (а, д) = 1, |0| К 1.
а а2
х-у<п^х
В лемме 9 возьмём г = 3, и1 = хз и /(п) = е(Ьап). Имеем
3
\kfik (
(Ьа;х, у) = ^(-1)ксз Я 1(Ьа;х, у, к), (15)
к=1
Б1 (Ьа;х,у,к) = £ р(т1) ■■■ £ р(тк )£ 1п п1 е(Ьат1п1 ■■■тк пк).
тх^их тк ^.их п\ Пк
х-у<т\^-т\гих •••ПкКх
Разобьём в в1(Ьа; х, у, к) области изменения каждого т1, ■ ■ ■ , тк, п1, ■ ■ ■ ,пк на те более интервалов вида Mj < т^ К 2Му, < п^ К 2 N7, j = 1, ■ ■ ■ ,к. Получим
££2
31(Ьа;х,у,к) = ^ ^(М,И), (16)
§к ( М,И) = р(т1) ■■■ £ р(тк) £ ■■■ £ 1п п1 е(Ъат1Щ ■■■тк пк ) =
М1<т1К2М1 Мк<ткК2Мк М1 <п1К2М1 Мк<пк К2Мк х—у<т1^-тк П1^"ПкК.х
2И1
= £ ^■(т1) ■■■ £ р(тк) £ ■■■ £ е(6ат1п1 ■■■ткпк)( 1пи.
1 М1<т,1^2М1 Мк <тк<,2Мк тах(и,М1)<п1^2М1 Мк<ПкК2Мк
х—у<т1^-тк П1 •••ПкК.х
Через и1 = тах(и, N1) обозначим такое число и, при котором модуль подынтегральной функции принимает максимальное значение, тогда
|§*(М,И)|< &х1§к(М,И)|, (17)
где
§к( М,И) =£ ^(т^ ■■■^2,р(тк) £ ■■■ £ е(Ьат1 щ ■■■ткпк), N К и^ < 2И.
М1<т1^2М1 Мк<ткК2Мк и1<п1 К2М1 ик<пк^2Мк х-у<т1"^ткП1^"Пк К-х
Подставляя (17) в (16), а затем и (15), получим
3
Б1(Ъа;х, у) < ^ £ тах |§л(М,И)|, (18)
Суммы ( М,И), к = 1, 2, 3 оцениваются почти одинаково. Остановимся па оценке суммы §э(М, Ж) и, не ограничивая общности, будем считать, что выполняются условия: 1
ж 1 > Мх ^ М2 ^ М3, N1 ^ ^ М1М2М3Ж1Ж2Ж3 х х. (19)
Оценка §1(М, N). Рассмотрим следующие возможные случаи значений параметра N1:
1. N > 4Ьхд-1;
2. Ьху-1 ^х2А+39 < N1 - 46хд-1;
3. N1 - Ъху-1&2А+3д, NNN3 - Ьху-1^х2Б+37, М1М2 - уЬ-1^-4Л-74;
4. N1 - Ьху-1^2А+39, NlN2Nз - Ьху-1^2А+37, М1М2 > уЬ-1^-4А-74-,
5. N1 - Ьху-1^2А+39, Ьху-1^£А+37 < NlN2Nз - уЬ-1^х-4А-74-,
6. N1 - Ьху-1^1А+39, NlN2Nз > уЬ-1^-4Л-74.
Для рассмотрения случаев 1 и 2 сумму §3(М^) несколько преобразуем. Для этого, вводя обозначения
/ (т) = Е Мт0 Е ^(т2) Е М™^ Е Е 1, 1 /(т)| - r5(m),
Мх<т1 -2М1 М2<т2-2М2 М3<т3-2М3 и2<п2-2И2 и3<п3-2М3
т\т2т3п2п3=т
разбивая интервал суммирования М1М2М2^2^3 < т - 25М1М2М2^^ на интервалы вида М < т - 2 М
Ш = Е /(т) Е е(атп),
М<т-2М и1<п-2М1
х-у<тп-х
и представим эти суммы в виде
Ш = Е /(т) Е е(6 атп),
М<т-2М х 1-у1<п-х 1
х1 = шт(—, 2^) , у1 = шт(—, 2^ - шах( — - —,иЛ - —. (20)
т т т т т
Из условия МN1 < х и 4М^ < х — у следует, что
/у> /у> _ /II /у>
«ЛУ «ЛУ Ц , , «А/ , _ , ч
< ——^ -М - —. (21)
5 N 4 N1 N
В Ш, суммируя внутреннюю сумму по п, воспользовавшись условиями (20) и (21), найдём
Ш « У^ Т5(т)шт(г—п") « У^ Т5(т)шт(1, —1—-) . ^ 5у 7 \М' ||а6т||/ \х ||а6т||/
М<т-2М 11 117 _г_ <т< 4 11 117
^ М1 <т- м1
Применяя неравенство Коши, затем лемму 7, найдём
' У N1 1 \2
|ШI2 « Е Г52(п) Е ш1п^
т 2т т - 2.т. ^
х
||а6т||)
<
«у^24 Е шт(^ «^24 Е шт(^ .
х г ~ 2т V х '||а6т||У х 5г V х ||ат||/
;<™-N1 ............^ <™- 25Т
N
N
N
N
1
1
1
1
N
Случай 1. N1 > 4Ьхд . Из условия рассматриваемого случая, имеем
2Ьх п г N < 05(1.
Применим утверждение б) леммы 8, затем воспользовавшись условием д К у2х Ях найдём
1 г, ,2
|2 « у^х4 £ « у^х4д 1пд «уд^х5 « у^х5 ■ —¿да
тК0,5д 11 11 хЯх
22 у2 У у2
2„-1 с/>-4А-82
х
с/>2А+14 г/>2А+43 « с/>2А+14 '
Случай 2. Ъху-1^хА+39 < N1 К 4Ьхд-1. Из условия рассматриваемого случая, имеем
2Ь х
- > 0. 5у■
Разбивая интервал изменения т на « Ъх(дИ)-1 интервалов вида д К Ь К д + я', я' < Я, применяя утверждение а) леммы 8, воспользовавшись условиями рассматриваемого случая, а именно условием
N1 > Ъху-1^х2А+39, д > ья4А+82,
найдем
12 « уя? ■ V тт ( V* ) « У* + д1пд] «
11 " х дN1 = \ х ||ат|| / д^ \ х )
ъ=д
25
«К 7, + « ^ ■
Случай 3. N1 К Ъху-1ЯхА+39, NNN3 К Ъху-1Ях2А+37, М1М2 К уЪ-1Я~4А-74. Из (19) и условия рассматриваемого случая, находим
2 2
ММ > <М1М2М3) 3 » (й^^) ' > (ф*) 3
= Ь_х^2А+37 ,( У \ 3 > ^ 2А+37
^^^ ю 1 о . I ^ ^^ ^ ■
У х V Ьх3 я2А+37) > у х
В сумме §3( М^) вводя обозначения т1т2 = п и т3п1п2п3 = т, а затем разбивая интервал суммирования по т и п соответственно та интервалы вида М < т К 2М и N < п К 2N, получим конечное число сумм вида
№ = £ /(т) £ д(п)е(Ьатп), |/(т)| К т4(т), |<?(п)| К т2(т).
М<т<2М М<пК2М
х-у<тпКх
Для этой суммы выполняются неравенства
бху-1Ях2А+37 < N К УЪ-1Я~4А-74, Ь^х4В+74 < д К У-ЯХ4А-74, (22)
2
х
являющиеся условиями (13) леммы 11 при г = 4, к = 2, с = А + 7, и согласно которой получим
№ «^Ш ■
Случай 4. N1 - Ъху-15%А+39, ^^^ - Ьху-15х2А+37, М1М2 > уЬ-1^-4А-74. Из (19) и условия рассматриваемого случая, находим
М1 > Ум1М2 > у 1 б-1 ^х-24-37 = ^•( 2 у8АЛ з > ^5^+41,
У \Ъх з А+) у
^ 1 У х1 Ъ54А+82 у М1 -х 3 = ----х- - у
ъ^4А+82 у ^Ь5Х4А+82'
В сумме §3( М^) вводя обозначения т1 = п и т2т3п1п2п3 = т, а затем разбивая интервал суммирования по т и п соответственно та интервалы вида М < т - 2М и N < п - 2N, получим конечное число сумм вида
Ш = Е /(т) Е ^(п)е(Ьатп), |/(т)| - т5(т).
М<т<2М М<п-2М
х—у<тп-х
Для этой суммы выполняется следующие два неравенства
2
Ьху-1 5х2А+41 <N - уЪ-15~4А-82, Ъ^А+82 < д - У-5~4А-82,
которые являются условиями (13) леммы 11 при г = 5, к = 1, с = А + 7. Согласно этой лемме имеем
Ш < У
сяА+7-5х
Случай 5. N1 - Ьху-15х2А+39, Ьху-15х2А+37 < ^^^ - у&-15х-4А-74. Сумму §3(М^) преобразуем. Для этого, вводя обозначения т1т2т3 = т и п1п2п3 = п, а затем разбит п М < т - 2 М N < п - 2N, получим конечное число сумм вида
Ш = Е /(т) Е д(п)е(Ьатп), |/(т)| - т3(т), |д(п)| - т3(т).
М<т<2М М<п-2М
х—y<mn<х
Для этой суммы выполняются соотношения (22), являющиеся при г = 3, к = 3, с = А + 7
условиями (13) леммы 11, согласно которой получим
Ш .
Случай 6. N1 - Ьху-1 5х2^+39, N1N2N3 > уЬ-15~4Л-74. Из (19) и условия рассматриваемого случая, находим
NN > (N1N2N3) I > (_У-_^ 3 = -^+37 (_И_^ § >
т*2 / ^^^3) ^Vх и352'8А+51'8У " У х ,
(2 8А+152 \ 3 ^^^) - ^
Сумму §3(М, ^ преобразуем, для этого вводя обозначения п1п2 = п и т2т2т3п3 = т, и
т п М < т - 2 М
и N < п - 2^ получим конечное число сумм вида
Ш = Е /(т) Е д(п)е(Ьатп), |/(т)| - т4(т), |д(п)| - т2(т).
М<т<2М М<п-2М
х—y<mn<х
Для этой суммы выполняются соотношения (22) являющиеся при г = 4, к = 2, с = А + 7 условиями (13) леммы 11, согласно которой имеем
W < У
с/}А+Т ^х
Отсюда и из всех оценок, полученных в предыдущих случаях найдём
|§3( М,м)| < у^~А-1.
Из полученных оценок ( М,И), к = 1, 2, 3, ввиду неравенства (18), получим утверждение теоремы 3.
5. Асимптотическая формула в обобщении тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми
Докажем сначала две вспомогательные леммы, которыми воспользуемся при доказательстве теоремы 1.
Лемма 12. Пусть Ъ — натуральное число, N — достаточно большое натуральное число, §1(Ьа; Ы, Н) = £ е(Ьар), Б1 (Ьа;х, у) = £ А(п)е(Ьап).
|бр!-f |<Я х-у<п<х
Тогда при V ЬN (1п 2 < Н < N1-30; имеет место соотношение
1 / N Н 2Н\ ( Н2 \ §1№ж ^Н) = (а»; _ + _ + 0 (^т^ .
Доказательство. Отрезок суммирования | Ър — ^^ | < Н в сумме §1(6а; N, Н) заменим на интервал вида х — у <р < х. Имеем
§1(Ьа^,Н )= £ е(Ьар)+0(1).
К_К <N+Н 3 Ь Ь 3Ь + Ь
Логарифмируя неравенство Згг, — Ц: < р < ж + тт) и воспользовавшись формулой
^^ Н\ N / 3Н\ , N
1п — ± — = 1п — + 1п 1 ±- = 1п — + О — .
^3 6 Ь 3Ь V N ) 3Ь \N)
ту тт N Н
получим, что при ^ — < р < ^ + выполняется соотношение
1пр = 1п ^ + О ( ^
Пользуясь этой формулой сумму §1(6а; N, Н), выражаем через сумму вида 31(Ьа; х, у). Имеем 1 „ N Н 2Н\ ^ 1пр „ л '
§1(Ьа; N Н) = Ьа; ^ + Н 2Н) — £ е(Ъарк) + О (1
1п& V 3Ь ь Ь) К_КN+Н 1пЦ ^ 1пцу
3 Ь Ь < < 3Ь + ь к>2
Обозначая последнюю сумму через В,1 и, оценивая тривиально числом слагаемых, и воспользовавшись формулой
(1 ±и)^ = 1 + 0(и2), ^ < 0, 5,
имеем
1 , . 1
„ V- , , N((N Н\1 ^ Н\ 1 Л Н . N Н
Й1 ^+. 1«+ Н) — и — V + 1 «751^ « Ш-Нп^
3 ъ ъ <р - зъ + ъ к'^2
Лемма 13. Пусть р — нечётное простое число, pordp(NЛ|||N, тогда для сум,мм Романуд-жана
рк
2
^ ÍNa\
срк(^= >,
(а,р) = 1
справедлива формула
{<р(рк), если к - огдр^);
роЫр(м)^(рк-оЫр(м)), если к ^ 0) + 1.
Доказательство. При к - о г йр( N) утверждение леммы тривиально следует из определения суммы Рамануджана
срк ( N )= Е 1 = ^(Р к).
а=1
(а,р) = 1
При к ^ огйр(N) + 1, пользуясь представлением N1 = Np-ordp(N), а затем подстановкой
а = а1 + а2рк-огЛр(И),
где а1 к а2 независимо пробегают значения а1 = 1,2,..., рк-огаР(м^ а2 = 0,1,... ,рогар(м) — 1
получим
( —)= =Р Р >Г 1 ^1(а1 +а2Рк-оЫг(м))
срк ( ■'■У) ¿^ е\пк-огйр(И) ) е\ пк-огйр(И)
а=1 7 а=1 а2=0 \ 1 (а,р) = 1 (а,р) = 1
pk-°rdp(N)
а=1 7
(а,р)=1
5.1. Доказательство теоремы 1
Для удобства вводим следующие обозначения:
( N Н \ N
5 = 4 — + Н, = 1п — 5 « « 5. (23)
V 3 Ь3 Ь/ 3 Ьг
Не ограничивая общности будем считать, что выполняются следующие условия
Н = (6162^3)4N1560, 61 < 62 < 63, (24)
1
а также пусть ж = т , где
12Н 2 5 С2 = Ъ2Ъ25 94 С2 = 94 + 21П Ь1 +21П 62
( N + 3 Н) Ъ3^с2, 5 = , С2 = 94+ 1П 5
^ , 5С2 = б^94, С2 = 94 +-^-2. (25)
Имеем
1—ж
/(^Н) = ^ F(а;N,Н^(—а^да,
где
£( а) = £( а^Н^Д §1( М^Н), §1( bkа;N,Н)= ^ е( 6*ар).
»=1 N |-я
Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—ж, 1 — ж] представим в виде
а 1
а = - +А, (а, д) = 1, 1 -д- т, |А| - —. (26)
В этом представлении 0 - а - д — 1, причём а = 0 лишь при д = 1. Через М обозначим те а, для которых
9- Н, Н = = С1 = 94 + 21п61 +2п1^2 + 1П63, (27)
в представлении (26), через т - обозначим оставшиеся а. Множество М состоит из непересекающихся отрезков. Разобьём множество М на множества М1 и М2
М = { а : а е М,
а
а--
-
5 3) щт1 Г
™ ™ 7М253 а 1 1
М = {а : а е М, 1 2 1 < а — - - — }
2 I Н 631 д <?т/
1 ' (28)
Обозначим через /(М1), /(М2) и /(т) соответственно интегралы по мпожествам М1, М2 и т. Будем иметь
I(N,Н)=I(Жl) + I(Ж2)+I(m). (29)
В последней формуле первый член, то есть /(М1), доставляет главный член асимптотической формулы для /(N, Н), а /(М2) и /(т) входят в его остаточный член.
5.2. Преобразование интеграла I(М1)
По определению интеграла /(М1) имеем:
/q-1
£(а;^НУ^—а^да = ^ Е Т(а, ч), (30)
т» а=0
М1 (ад)=1
/(а, д) = е ^^ J ^а + А;N,Н^ e(—АN)<1А. (31)
| А | - 5 3Н-1
Применяя лемму 12 к суммам §1(Ъ1а; N, Н), % = 1; 2; 3, и пользуясь формулой (23), получим
1 Л N Н 2Н\ / Н2
^Ч Ьга;ыг + Н, Ц-) +0{ъ
§1(Ьга; N Н) = ( Ьга; ^ + Н 2Н ) + 0 ■ (32)
А теперь к суммам 51 ^Ьга; + ^, , г = 1,2, 3 применим теорему 2, полагая
N I Н 2Н 1,4,5,4,5,3 г/?192 гоо\
х = —— + —, у = ——, = 01 02 Ь3& . (33)
3 Ъг Ъг, У Ъг , 123 V /
Проверим выполнение условий теоремы. Воспользовавшись значениями параметров к ж А, затем соотношением (24), имеем
5 , 5
^3 • 0^203^ • 1
^ + ^ 8 Ъ3к&2,25Л+81 = + ^ 8 ь1 • Ъ\Ъ2Ъ3&94 • (ъ\ь!Ь3г&192^ 4 N5 = 3 3 Й)
3 8
(Ь1Ь2Ь3) ^ 3 &60 ^(1+3Н\8b25ib25ibЧiN - ±<¿>466 < (Ь1Ь2Ь3) 4N 33 &60 = Н 2 Ь3 3IV N1 1 2 3 < 2 Ь3 2 Ь3'
Таким образом условие теоремы 2 выполняется, следовательно согласно этой теореме, и формуле (23), находим
/ N Н 2Н\ -п2жЛН /ЛN^ / Н&-192 \ ^ . . М (ОТ
^ Ьга; — + -, — = Вг(<?)--—е — + о ,45;45;3 , ВДд) = )( '{ ■
V 3 ^ к к) Ж ЪгЛ \3) уЬг Ъ^Ъ^Щ ] Л
Из этой формулы и (32), имея в виду, что Н < NЬ-4,5Ь-4,5Ь-3&-192, найдём о/, т т\ Щд) &п2тт ЛН ^ ^ -193
§■<teiv• > = вШ-ЦЛТ-* Ы + »«■ »» « <34>
Воспользовавшись формулой (34), а также соотношением (23), и имея виду, что
^,,-п2тт ЛН ( ЛN
Л(9)-пыте {-
)
Н Н
< ^ I §1 (а^Н )|« —, (35)
найдем
§■(6,а; N. Н)§,(Ъа; N. Н) = (Ц> ) + »") Ы^ N Н) =
&1(д) -п2жЛН /ЛЩ (@2(я) -п2жЛН /ЛN^ _ \ /Н2&-194\
=Ы IЫ + *12)+^ ^^)
_ В1(д)@2(д) -п22жЛН /•¿ЛК\ \
= Ъ1Ъ2&1&1 Ж^Л^6 V"; + \ ь^ь^ь3) ■
Умножая полученное неравенство на §1 (Ь3а~, N, Н), и имея в виду, что ^(а) = П §1 (ка] N, Н),
г=1
а затем воспользовавшись формулами (34) и (35), находим
^ , Шд)Шд) -п22жЛН (2 ЛN^ р Д7 ^
^(а) = ^Ут{ — ) • §1(&3а; ^ ) + »2 =
В1(д)В2(д)В3(д) -п32жЛН » Н3 &-195
= Ь1Ь2Ь3^1&1^3 е(ш) + »2, »2 ^ ■
Подставляя значение функции ^(а), то есть правую часть последней формулы в (31), найдём л ( aN\ Г (Шд)&2(д)&3(д) &п32тгАН \ . л „
|X|<Vb1bIbзL 3Н-1
( а11 \ в1(д)в2(д)в3(д) (Н)+ « =е {—) Ь^^53 • 7(Н) +
7(Н)= Г ®п32:Ш<Х, «3 « М2 «Н25-192
|А|-^М1Ьз5 3Я-1
п3А3 ' 3 2 НЬ-1 Ь56563 '
( а, )
значением параметров Ни А соответственно из формул (27) и (33), получим
п-к а=0
(ад)=1
£ £ ЩЩ^ • ■> (Н) + «.)
7 (Н) Е &1(<1)&2(д)&3(д) сд (—М4, (36)
616253515153
д-п
Н2 Н2
«4 « « ^Ж5188 • да^ = ■
где Сд(—N) — сумма Рамануджана. Заменяя сумму по д в (36) близким к ней бесконечным
Н
Е В1(д)В2(д)В3(д)ся(—N) = ®С(Ъъ 62,63, N) — Д(6Ь 62,63, N), д-п
те
0С( 61,62,63, N) = Е В1(д)В2(д)В3(д) сд (—^ (37)
9=1
Д(61,62,63, N) = Е &1(д)&2(д)&3(д) сд (—N),
получим
(38)
) = (<8С(61, 62, 63, N) — Д(61, 62, 63, N)) 7(Н) + / Н2 Ч ( 1) 616263515153 + V blb2bзк4) ,
5.3. Вычисление интеграла 3(Н)
Воспользовавшись чётностью подинтегральной функции и сделав замену переменных найдём
Vb1bIbзк3н-1 3 2 3
вп32тгАН ,, 8 Н2 /" ©п3и ,
-аи.
т,тт, Г вп32ттАН „
7 (Н) =2 у —^зА3~аА =
^ 7 и3
и
от 5, и пользуясь соотношением
те
[ ®п3и , 1
- аи «
У и3 (6162)1,5 63591
2ж^Ь1ЫЬз 5 3
получим
\
■ (Н) = 8Н 2
к
-п3и1 [ -п3и ,
—5—аи — —5—аи
и3 и3
\0 2ж^ь1кь3&3 )
Воспользовавшись формулой ( см. [30] стр. 174 )
оо
—ппти , ктт 1 \ п_ 1 п 1 п(п — 1) 1
. -йи =- . .
J ип 2п(п —1)1
0
пп~1 — 1! (п — 2)п~1 + у > — 4)п~1 + ...
т = 1 п = 3
8Н2 3к / Н2 \ +0 (Н2\
(((9) =3Н +4
■ (Н) =---+ 0 -- = 3Н2 + 0 — . (39)
( ) ■ 8 ^ (Ъ1Ъ2)1,5Ь3&9) V
5.4. Исследование особого ряда —(Ь1,Ь2,Ь3,Ы)
Функции 1 = 1, 2, 3 в формуле (37), являвшиеся произведениями мультипликативных
функций
\ / / \\ -1 д \ .. Я
и( (¿о) ■ И Ш>))
сами являются мультипликативными, мультипликативной является и сумма Рамануджана Сд(—N). Найдём значение этих функций при д = ри. Согласно лемме 13, имеем
<^(ри), если V < огйр^);
ср* (—N =<'"'' , , " ^ " (40)
[ р°гар(м)и(ри)), если у ^ огар(м) + 1.
Отсюда, в частности, следует, что
ср» (—N) = 0, если V ^ огйр(М) + 2. (41)
Воспользовавшись соотношениями
пУ
М Ть~г)) \ Ри, если V < огйр( Ьг);
вг(р„)= ^-у/ , (Ьг,р-) = {
т( —Р^У ' [ роЫр(.Ь^, если и ^ ОГйр(Ьг),
найдём точное значение функции В%(ру). Имеем
и(1)
и (р"-ога(.ьЛ) |--, если V = огй„(Ьг) + 1;
В (ри) = итр-= < Р — 1 '
у ' \ 0, если V ^ отйр(Ьг) + 2.
В(ри) = = 1, если V < огйр(Ьг); (42)
(43)
Для вычисления значения &1(д)В2(д)В3(д)ся(—Ж) при д = ри с помощью формул (40), (41), (42) и (43), множество всех простых чисел V в зависимости от простых чисел, являющися делителями числа bi г = 1, 2, 3, с учётом условия
( Ьг, Ь3) = 1, (Ьг, N = 1, 1 < г < 3 < 3, (44)
разобьём на взаимно непересекающиеся подмножества следующим образом
V =Р(Ъг) и V(Ъ2) и V(Ьз) и V(5Ь &2, Ьа), (45)
где V(Ьг) — множество простых чисел, являющиеся делителями числа Ь^ V( Ь1, 62, &а) — множество простых чисел, не являющиеся делителями чисел Ьг, 62 и 63. Из условия (= 1, 1 ^ г ^ 3 следует, что
V(Ьг) ПР(Ж)= 0, (46)
здесь V(Ж) — множество простых чисел, являющиеся делителями числа N. Такое равенство для множество V(Ьг, 62, Ьа) не выполняется, то есть оно может иметь с V(Ж) непустое пересечение.
5.4.1. Вычисление «г(ри)«(ри)Вк(ри)ср*(-N) при р € V(Ы)
Если р € V(6^), то из определения этого множества и из формулы (46), имеем
ОГйр(Ьг) ^ 1, ОГйр(Ьу ) = 0, огйр(Ьк) = 0, ОГйр(Ж) = 0, а из формул (42), (43) и (40), находим, что
^)
Щр) = 1, В- ) = В ) = , ср, (-Ж) = №)
Поэтому
1
-, если V = 1;
№)В№)Ср.(-N> = 4 - 1)2' ' (47)
0, если V ^ 2.
5.4.2. Вычисление «¿(^)В(ри)Вк(ри)Ср*(-N) при р € V(Ьг, 62, Ьа) Если р € Р((Ьг,Ь2,Ьа), то согласно определению, имеем
ог йр( Ь1) = ог ёр( 62) = ог йр( Ьа) = 0,
и из формул (42), (43) и (40), находим, что
и(гу) ( и(р), если (Ж, и) = 1;
) = В2(^) = ) = , Ср(-Ю = ^ ( '
Р(Р ) I ^>(р), если (Ж,р) = р.
Поэтому
)«2(ри )Ва(ри) су (-Ж) =
, если V = 1 и (Ж,р) = 1;
(Р - 1)а 1
если и = 1 и (Ж, р) = р;
(р - 1)
0, если и ^ 2.
(48)
5.4.3. Точная формула для особого ряда — С(Ъ1, Ь2, Ъ3, Щ
Таким образом из найденных формул (47) и (48) следует, что
)В2(рУ)В3(рУ)Сру(—^=0, при V ^ 2, (49)
/ 1
--—3, если (Ь1Ь2Ь3М, р) = 1;
(Р — 1)3
1 2, если ( N,р) = р и (Ь1Ь2Ь3,р) = 1, ^ ^
Bi (pv )&2(pv )&3(pv) Cpv (-N) =
(р - 1)2
или (bi,p) = р и (bjbk,р) = 1.
Следовательно
GG(N, bi, b2, b3) = J2 Bi(q)B2( д)Ва((?)cg(-N) = П(1 + Bi(p)B2(p)B3(p)cp(-N)) =
q=1 p
= П {^(p-w) П i1 -=
= П (1 + (P^) П (1 - pdp+э). <51>
5.5. Оценка остаточного члена R(N)
Из формул (37), (49) и (50) следует, что R(N, b1, b2, b3) состоит из суммы слагаемых B1(q)B2(q)B3(q)cq(—N), имеющих вид
Bi(q)B2(q)B3(q) cq (—N) = П ^^ П Tp-^,
plq plq
(P,bib2b3 N) = 1 (p,bib2b3N)=p
r(N ^ ^ 63) = ЕЛ) П т^Л^ П -1
( - 1)3 ( - 1)2 q>h plq U J plq U J
(p,bib2b3N)=1 (p,bib2b3N)=p
Переходя к оценкам, найдём
R(N bu b2, b3) < E Л) П ^ = Z Ф П 1
wn (p_ 1)2 a2 Ц / ^2
q>h Plq ' q>h 4 Plq [1 - ^J
<
где ш(д) — число различных простых делителей числа q, и воспользовавшись известным неравенством
сш 1пq
Ш^) < т—:-
1п 1п
получим
Ж—и2(п) ъ—, _2+си 1п4 1 1 1
^ ЬиЬ2, Ьг) < ^ ^, „ м < - « ^ = -я■ (52>
5.6. Вывод асимптотической формулы для I(Мг)
Подставляя значение ■](Н) и ФО(Ж) соответственно из формул (39) и (51), а также оценку (52) в (38), найдём
^ = L3 hN) + ° (^ ) (3Я2 + Ч?)) + Чда) _
_ 30G(N) H2 / Я2 Ч
6iM3LiL2L3 + Vbib2b3L4) ' К )
5.7. Оценка интеграла I(М2)
Имеем
3
/(ЗД = / Ц§1(Ьа;Ж,Н)е(-аЖ)йа. М 1=1
Переходя к оценкам, а затем воспользовавшись неравенством Коши для интегралов, находим
1 о
I(M2) < max |§i(b:ia;N,H)l J ^ |§i(&ia;N,H)|da _
о i=1
i
1 \ 2
_ max |§,(b3a
аеШ2
(b3a;N,H)| Ц ^J l§i(^a; N,H)|2daJ _ / \ 2
2
max |§i(b3a;N,H)| П
i=i
E i
Vl-i-4 H l
_ max |§i(b3a-N,H)\П (N + H) (N - H)) § •
Применяя к двум последним множителям правой части полученной формулы, с учётом соотношения
2H > 2(6,ы,^N3L60 _ 4N + H) 3 L8'4+52 • >
b3 3 V 3 b3 hj + 3Я ^ 3
N
/ N ^ 3 8A+5, f N H\ 12 +
> 4aS + Hi) L8"+52 П+ fej
лемму 10, найдём
(N H 4 (N H 4 H
Следовательно
H
J(M2, « ' max |§i(63a; N,H)|. (54)
7
N H\3 ( N H\ 12+
Применяя к сумме §1(Ьаа; Ж, Н) лемму 12, выражаем её через сумму вида 51 (Ьза; х, у), и имея в виду, что Н < Ж(Ъ 1&2)-2&-4, получим
§i(b3a;N,H) * ^ 1
„ . L N H 2H
Sl[ha;Ws + б3, ^
„ , , N H 2H
Sl{ha;N + H,
h 2
+ 63NL * H
+ /__7. (55)
Оцепим §i(b3a;N, H) для а из множества M2. Если а £ M2, то согласно (28), (27) и (25), имеем
а , \ ( \ 1 Vh^L3 1
а = - +А, (а, q) = 1, 1 < |А| - —,
q H b31 qr
q - h =Lci = 626_63L94, т = 7 12H_ ^ , LC2 = 626_L94.
4 1 2 3 ' ( N + 3H)b31 2
К сумме 51 (^аа; -щ + ||, применим теорему 2, полагая
N н 2 Н 11
6 = 6а. х = ^ + н, ■ &Л = Ч Ч
Проверим выполнение условий теоремы. Воспользовавшись значениями параметров к и А, затем соотношением Н ^ (Ь 1626а)4Жз&60, имеем
5 5 9
(£ + Н) 8 ^2'25^+81 = -1 (1 + 3Н) 8 4 ■ &2Фа^94 ■ (6* 6| &а) 4 Ж5 =
= (Ь 1Ма)2&60 Л +3Н^ -*4&^ < (ь 1^2^а)3&60 <
2 Ьа 3IV ^ 1 2 а < 2 6а < 2 6а.
Таким образом условие теоремы 2 выполняется, следовательно согласно этой теореме, находим
„Г Ж Н 2Н \ (¿Д) «" (^) /ЛЖ \ „ / Н \
8ЛЬаа; ЗЖз+На■ 27) =, (^) 1Л Ы + Ч^»да) *
* А-1 + -—*
H H
bsVhhL3 3'
Подставляя эту оценку в (55), найдём
H
ы*"3^ )i* 63 vra L 4 ■
Подставляя п0лу4енную 0ц6НКу дЛЯ |§3(а; ß3N, H)|, а £ M2, в (54), получим
H H H2
i(M2) * vraSL • WSL * ■ (56)
5.8. Оценка интеграла I(m)
Имеем
I(m) = j §1(b^N, H)§1(b2CT,N,H)§1 (b3(x-,N,H)е(-сШ)с1а.
Переходя к оценкам, и поступая аналогично как при оценке /(M2), имеем
Н
1(ш) < • max|§i(Ьаа;^,Я)|. (57)
у b1b2L
Пользуясь соотношением (55) сумму §1(b3a; N, Н), выражая через сумму вида S3(a; х, у), имеем
§i(b3a;N,H) « ^
N Н 2Н\
3Ьз Ьз' Ьз J
Оценим §i(Ьза; N, Н) для a из множества ш. Если a £ ш, то
Н
+ -л. (58)
а 1
а = - + Л, (а, q) = 1, |Л| ^—, h<q ^ т,
h =LC1 = bib2b3L94, т = „ , L2 = b&L94.
1 2 3 ' (N + 3Н)1 2
12Н 2 3Н )Ь
К сумме 51 (ь3а; Щ + ||, ^^ применим теорему 3, полагая
N Н 2Н 1п Ь1 + 1п Ь2
Ь = Ь3, х = ^3 + V У = А = 3+ 21п& ■
Проверим выполнение условий теоремы. Пользовавшись соотношением Н = (Ъ\Ъ2Ъ3) зМ3&60
А
2 , 2 , 2
Ч £+Н)3 L ^=С -3) «N2 L - • ¿3 (1+3Н)3=£ (1+3Н)3 < к
b3L4A+82 = b2b2b3L94 = L ci = h, 2
ж)' . .
L-4A-82 = ,ЛГ12Нт>. (b2b2b3L94)-1 = fAT 12Н2 = r.
3^ + | (М + 3Н)Ь3 У 1 у ( N + 3Н)Ь3&с2
Таким образом условие теоремы 3 выполняется и согласно этой теореме, находим
/ N Н 2НЧ Н Н
М Ь3а; — + —,— —
3Ь3 Ь' Ь3 ) Ъ3&А у/Ьф2Ь3&3' Подставляя полученную оценку в (58), а затем в (57), получим
) Н Н = Н2
ДШ) - • = Ъ1Ъ2Ъ3&5 ■ 1 }
5.9. Асимптотическая формула для I(М,Н)
Подставляя найденные оценки для /(М1), /(М2) и /(ш) соответственно из формул (53), (56) и (59) в (29), а затем воспользовавшись формулой (23) и соотношением
1 1 П Л 1п 3 \ = 1 0 / 1п 1п N \
АД +1пМ — 1п 3 к) = 1п3 N + V (1п N) V ,
i=1
получим
L1L2L3 (ln N)3^V ln N - ln 3k/ ln3N \ (ln N)4,
uN Н) = 30G(51, b2, b3,N) Н2 + ^ / Н2 \ = 3GG(bh b2, b:i,N) Н2 + ( , ) 61&2b3L1L2L3 + V b^L4) b^^nN)3 +
/ Н2 lnlnN \
+ v bMt (ln n )V.
Теорема 1 доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Виноградов И. М. Избранные труды — М: Изд-во АН СССР, 1952 г.
2. Виноградов И. \!.. Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Труды МИЛИ СССР. 1984. Т. 77. С. 4 - 30.
3. Haselgrove С. В. Some theorems in the analitic theory of number //J. London Math. Soc. 1951. V. 26. P. 273 - 277.
4. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math. 1990. V. 2. P. 138 - 147.
5. Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica. New ser. 1991. V. 7, No 3. P. 135 - 170.
6. Jutila M. Mean value etstimates for exponential sums with applications to L-functions // Acta Arithmetica. 1991. V. 57. Is. 2. P. 93 - 114.
7. Jia Chao-hua. Three primes theorem in a short interval (VII) // Acta Mathematica Sinica. New ser. 1994. V. 10, No 4. P. 369 - 387.
8. Baker A. On some diophantine inequalities involving primes //J. Reine Angew. Math. 1967. V. 228. P. 166 - 181.
9. Аллаков И. Оценка тригонометрических сумм и их приложения к решению некоторых аддитивных задач теории чисел — Термез. Изд. «Сурхан нашр». 2021. 160 с.
10. Рахмонов 3. X. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2003. Т. 74, вып. 4. С. 564 - 572.
11. Рахмонов 3. X., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2008. Т. 51. № 2. С. 83 - 86.
12. Рахмонов 3. X., Азамов А. 3. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2011. Т. 54. № 3. С. 34 - 42.
13. Рахмонов 3. X. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2014. Т. 95, вып. 3. С. 445 - 456.
14. Рахмонов 3. X., Назрублоев И. Н., Рахимов А. О. Короткие суммы Г. Вейля и их приложения // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 1(53). С. 232 - 247.
15. Рахмонов 3. X. Обобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24, вып.....С. ... - ....
16. Рахмонов 3. X. Оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами в длинных дугах // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22, вып. 4(81). С. 199 - 223.
17. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3. Короткие кубические суммы простыми числами // Труды Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2016. Т. 296. С. 220 - 242. https://doi.org/10.1134/S0371968517010174,
18. Рахмонов 3. X. Теорема о среднем значении ф(х,х) и ее приложения // Известия РАН. Сер. матем. 1993. Т. 57, № 4. С. 55 - 71.
19. Рахмонов Ф 3. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. № 3. С. 56 - 60.
20. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами // Доклады Академии наук. 2014. Т. 459, № 2. С. 156 - 157.
21. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3. Тригонометрические суммы с функцией Мёбиуса // Че-бышевский сборник. 2019. Т. 20, выи 4. С. 281 - 305.
22. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел — М.:, Наука, 1983.
23. Дэвенпорт X. Мультипликативная теория чисел — М.: Наука. 1971 г.
24. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. И. Теория кратных тригонометрических сумм — М.: Наука. 1987 г. 368 с.
25. Прахар К. Распределение простых чисел — М.: Мир. 1967 г.
26. Рахмонов 3. X. Оценка плотности нулей дзета функции Римана // УМН. 1994. Т. 49, Вып. 1. С. 161 - 162.
27. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, № 7. 391 - 393.
28. Виноградов И. М. Особые варианты методов тригонометрических сумм — М.: Наука. 1976 г.
29. Huxley М. N. On the differences between consecutive primes // Inventiones mathematicae. 1972. V. 15. P. 16 i 171).
30. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа — М.: Физматгиз. Изд. 2-е. Перев. с англ. 1963. 342 с.
REFERENCES
1. Vinogradov, I. М., 1952, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow.
2. Vinogradov, I. M., k, Karatsuba, A. A., 1986, "The method of trigonometric sums in number theory", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 168, pp. 3-30.
3. Haselgrove С. В., 1951, "Some theorems in the analitic theory of number", J. London Math. Soc., vol. 26, pp. 273-277.
4. Pan Chengdong, Pan Chengbiao, 1990, "On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III)", Chinese Ann. of Math., vol. 2, pp. 138-147.
5. Zhan, Т., 1991, "On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes", Acta Math Sinica. New ser., vol. 7, Is. 3, pp. 135 - 170.
6. Jutila, M., 1991, "Mean value etstimates for exponential sums with applications to ¿-functions", Acta Arithmetica, vol. 57, Is. 2, pp. 93 - 114.
7. Jia Chao-hua, 1994, "Three primes theorem in a short interval (VII)//, Acta Mathematica Sinica. New ser., vol. 10, No 4, pp. 369 - 387.
8. Baker A., 1967, "On some diophantine inequalities involving primes", J. Reine Angew. Math., vol. 228, pp. 166 - 181.
9. Allakov I., 2021, Otsenka trigonom,etricheskikh summ i ikh prilozheniya k resheniyu neko-torykh additivnykh zadach teorii chisel. (Russian) /Estimation of exponential sums and their applications to the solution of some additive problems in number theory], Termez. Ed. "Surkhan nashr".
10. Rakhmonov Z. Kh., 2003, "Estermann's ternary problem with almost equal summands", Mathematical Notes, vol. 74, Is. 4, pp. 534-542.
11. Rakhmonov Z. Kh., k, Mirzoabdugafurov K. I., 2008, "Waring's problem for cubes with almost equal summands", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no 2, pp. 83-86, (in Russian).
12. Rakhmonov Z. Kh., k, Azamov A. Z., 2011, "An asymptotic formula in Waring's problem for fourth powers with almost equal summands", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 54, no 3, pp. 34-42, (in Russian).
13. Rakhmonov, Z. Kh., 2014, "The Estermann cubic problem with almost equal summands", Mathematical Notes, vol. 95, Is. 3-4, pp. 407-417. doi.org/10.1134/S0001434614030122.
14. Rakhmonov Z. Kh., k, Nazrubloev N. N., Rakhimov A.O., 2015, "Short Wevl sums and their applications", Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, Is. 1, pp. 232-247, (in Russian).
15. Rakhmonov, Z. Kh., 2023, "Generalization of Waring's problem for nine almost proportional cubes", Chebyshevskii Sbornik, vol. 24, Is. ..., pp. ... - ..., (in Russian).
16. Rakhmonov, Z. Kh., 2021, "Estimates of short exponential sums with primes in major arcs", Chebyshevskii Sbornik, vol. 22, Is. 4(81), pp. 199 - 223, (in Russian).
17. Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2017, "Short Cubic Exponential Sums over Primes", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 296, pp. 211 - 233. doi.org/10.1134/S0081543817010175
18. Rakhmonov, Z. Kh., 1994, "Theorem on the mean value of ^(x, %) and its applications", Russian Academy of Sciences. Izvestiya MathemMics, vol. 43, Is. 1, pp. 49 - 64. doi.org/10.1070/IM1994v043n01ABEH001558
19. Rahmonov, F. Z., 2011, "Estimate of quadratic trigonometric sums with prime numbers", Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., no. 3, pp. 56 - 60.
20. Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2014, "Sum of short exponential sums over prime numbers", Doklady Mathematics, vol. 90, No 3, pp. 699-700. doi.org/10.1134/S1064562414070138.
21. Rakhmonov Z. Kh., Rahmonov F. Z., 2019, "Short cubic exponential sums with Mobius function", Chebyshevskii Sb., vol. 20. № 4(72). pp. 281 - 305, doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-281-305.
22. Karatsuba A. A., 1993, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, Berlin, xiv+222 pp.
23. Davenport Н., 1967, Multiplicative Number Theory, Markham Publishing Company, Chigago.
24. Arkhipov G. I. & Chubarikov V. N. & Karatsuba A. A. 2004. Trigonometric sums in number theory and analysis, Berlin-New-York: Walter de Gruvter, 554 p.
25. Prachar K., 1957, Primzahlverteilung, Springer-Verlag.
26. Rakhmonov Z. Kh., 1994, "Estimate of the density of the zeros of the Riemann zeta function", Russian Math. Surveys, vol. 49, is. 2, pp. 168-169.
27. Vinogradov, I. M., 1976, Osobye varianty metoda t,rigonom,etricheskikh summ (Russian) [Special variants of the method of trigonometric sums], Izdat. "Nauka", Moscow. 119 p.
28. Mardjhanashvili, К. K., 1939, "An estimate for an arithmetic sum", Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, no 7, pp. 391-393.
29. Huxley M. N., 1972, "On the differences between consecutive primes", Inventiones mathematicae, vol. 15, pp. 164 - 170.
30. Whittaker G. EWatson T. N., 1915, A Course of Modern Analysis. Part 1. The processes of analysis. Part 2. The transcendental functions, Cambridge, Cambridge University Press, 620.
Получено: 20.06.2023 Принято в печать: 11.12.2023
