О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЁВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 22. Выпуск 5.

УДК 511.32 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-200-224

О средних значениях функций Чебышёва и их приложениях

3. X. Рахмонов, О. О. Нозиров

Рахмонов Зарулло Хусенович — доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистана, Институт математики им. А. Джураева (г. Душанбе). e-mail: [email protected]

Нозиров Опокхон Окилхонович — Институт математики им. А. Джураева (г. Душанбе). e-mail: [email protected]

Аннотация

В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для средних значений функций Чебышёва по всем характерам модуля q имеет место оценка

t(x; q) = max \ф(у, хЖ^ + x1/2qL2, L = ln xq.

А--' у<х

Xmod q

При решении ряда задач теории простых чисел достаточно, чтобы для t(x; q) имелась оценка, близкая к этой оценке. Лучшие оценки для t(x; q) ранее принадлежали Г. Монтгомери, Р. Вону и 3. X. Рахмонову. В работе получена новая оценка вида

t(x; q) = V max y,X)\lxL28 + ж4q2L31 + ж2qL32,

^—^ y<x

Xmod q

с помощью которой для линейной тригонометрической суммы с простыми числами при а — q < ~q2-' (а,я) = 1-, найдена более точная оценка

S(a,x)Ixq-2 L33 + ж 5 L32 + ж 2 q 2 L33,

а также изучено распределение чисел Харди-Литтлвуда вида р + п2 в коротких арифметических прогрессиях в случае, когда разность прогрессии является степенью простого числа.

Ключевые слова: характер Дирихле, функция Чебышёва, тригонометрические суммы с простыми числами, числа Харди-Литтлвуда

Библиография: 30 названия. Для цитирования:

3. X. Рахмонов, О. О. Нозиров. О средних значениях функции Чебышёва и их приложениях // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 5, с. 200-224.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 5.

UDC 511.32 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-200-224

On the mean values of the Chebyshev function and their

applications

Z. Kh. Rakhmonov, O.O. Nozirov

Rakhmonov Zarullo Khusenovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: [email protected]

Nozirov Opokkhon Okilkhonovich — A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: [email protected]

Abstract

Assuming the validity of the extended Riemann hypothesis for the average values of Chebyshev functions over all characters modulo q, the following estimate holds

t(x; q) = max ^(y, x)№x + x1/2qL2, L = lnxq.

A•—' y<x

Xmod q

When solving a number of problems in prime number theory, it is sufficient that t(x; q) admits an estimate close to this one. The best known estimates for t(x; q) previously belonged to G. Montgomery, R. Vaughn, and Z. Kh. Rakhmonov. In this paper we obtain a new estimate of the form

t(x; q) = V max [t^(y,x)llxL28 + x4q1L31 + x2qL32,

A•—' y<x

Xmod q

using which for a linear exponential sum with primes we prove a stronger estimate

S(a,x)Ixq-2 L33 + x 5 L32 + x 2 q1L33,

when

a — -

q

i q

2 :

< (a, q) = 1. We also study the distribution of Hardy-Littlewood numbers of

the form p+n2 in short arithmetic progressions in the case when the difference of the progression is a power of the prime number.

Keywords: Dirichlet character, Chebishev function, exponential sums with primes, Hardy-Littlewood numbers

Bibliography: 30 titles. For citation:

Z. Kh. Rakhmonov, О. O. Nozirov, 2021, "On the means values of the Chebyshev function and their applications" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 5, pp. 200-224.

1. Введение

Для характера Дирихле % по модулю q функция Чебышева определяется равенством

п^у

где Л(п) — функция Мангольдта. В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для средних значений функций Чебышёва по всем характерам модуля ц имеет место оценка

t(x; q) = V^ max fy(y,x)l¿x + x1/2qL2, L = lnxq. (1)

y<x

%mod q

При решении ряда задач теории простых чисел достаточно, чтобы для t(x; q) имелась оценка, близкая к оценке (1).

Средние значения функций Чебышёва впервые исследовал Ю. В. Линник [1,2,3,4] для вывода нетривиальной оценки линейной тригонометрической суммы с простыми числами S(а, х).

А. А. Карацуба [5] создал метод решения тернарных мультипликативных задач, с помощью которого оценил самый простой случай величины t(x; q). Следствием этой оценки является распределение чисел вида p(pi + а) в коротких арифметических прогрессиях.

Воспользовавшись методом большего решета Ю. В. Линника, Г. Монтгомери [6] доказал плотностные теоремы для нулей L-функции Дирихле, с помощью которых показал, что

t(x; q)í(x + х5q7 + х2q)L17. (2)

Этот результат уточнил Р. Вон [7]. Он с помощью представления

^ = (^ + F^ (1 - FG) + (L' + LF)G - F,

где — соответственно частные суммы для рядов Дирихле - --- и --, доказал, что

о 3 5 23 1 7

г(х; q)íxL3 + х33 q55%23 + х2 qL7. (3)

В 1989 году 3. X. Рахмонов [8] показал, что

5 1 1

1(х; q)l(x + х6 q2 + х2 q)x .

Это оценка сильнее (2) и слабее (3), но доказательство, в отличие от этих оценок, проводится элементарно и опирается на метод А. А. Карацубы решения мультипликативных тернарных задач [5].

Из оценок (1), (2) и (3) для 1(х; видно, что из трёх слагаемых, присутствующих в этих оценках, два крайних равны между собой с точностью конечной степени логарифма, и их, видимо, нельзя вообще улучшить относительно степеней х и q. Дальнейшего улучшения второго слагаемого добился 3. X. Рахмонов [9, 10]. Он доказал, что

q)í{^х + х4q1 + х1 ^ %34. (4)

В следующей теореме уточняем эту оценку.

Теорема 1. При х ^ 2 и q ^ 1 имеет, место оценка,

г(х; q)íxL28 + ж4д2%31 + ж2qL32.

В 1937 г. И. М. Виноградов [11] обнаружил, что суммы по простым числам могут быть составлены путём только сложения и вычитания из сравнительно небольшого числа других сумм, хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм,

не имеющих какого-либо отношения к теории Ь-рядов Дирихле. В частности, такой суммой оказалась линейная тригонометрическая сумма с простыми числами вида

5(а,х) = А(п)е(ап),

п^х

где а — вещественное число, и при условии

а

а--

1 / ч

< ^, Я^х, (а, д) = 1,

была найдена оценка:

- _ 1 4 11

Б(а,х)£(хд 2 +х5 + х2д2)х£, (5)

доказательство которой проводится элементарным методом.

Впервые сумму 5(а,х) аналитическим методом оценил Ю. В. Линник [1, 4] (см. также [12, 13]). Он с помощью идей Харди-Литтлвуда [14], применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха, и теоремы о густоте нулей Ь-рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки линейной тригонометрической суммы с простыми числами в следующей формулировке: пусть а- вещественное число, N > N > 0, а = | + где (а, д) = 1, 1 < д ^т = (1пх) т1000х_1 ^ |А| ^ (дт)-1, тогда справедлива оценка,

1000

^ А(п) ехр ^ е(ап)

п=2

< N (1nN)

1000

Г. Монтгомери [6], пользуясь своей оценкой средних значений функций Чебышева (2), доказал, что

Б^а,^£{хд 2 +х7д?4 +х%17. (6)

Он также доказал, что, если ] ^ х4, ] ^ д ^ хг] \ |а — а/д| ^ 2г](дх) \ (а, д) = 1, то

Б(а,х)£хг}-2 %17. (7)

Р. Вон [7], применяя свою оценку для средних значений функций Чебышёва (3), уточнил результат Г. Монтгомери. Он доказал, если |а — а/д| ^ д-2, (а, д) = 1, то имеет место оценка

Б (а,х)£(хд- 2 +х 7 д~ 8 +х 3д4 +х 2^2 )%4, (8)

и, если ]] ^ х4, ] ^ д ^ хг]-\ |а — а/д| ^ 2г](дх)-\ (а, д) = 1, то

Б(а, х)£хг]-4(9)

Отметим, что оценки (6), (7), (8) и (9), полученные аналитическим методом, слабее оценки (5), полученной И. М. Виноградовым элементарным методом. 3. X. Рахмонов [9, 10], воспользовавшись своей оценкой средних значений функций Чебышёва (4), вывел оценку в которой множитель х£ в (5) заменяется на конечную степень логарифма, то есть, если |а — а/д| ^ д-2, ( а, ) = 1

1 4 1 1 ОС

Б (а, х)£(хд-1 +х 5 + х 2д2. (10)

и, если 1 ^ ] ^ х5, ]] ^ д < хг]-1, |а — а/д| ^ 2г](дх)-1, (а, д) = 1, то справедлива оценка

Б(а,х)£х 2 % 35. (11)

Воспользовавшись теоремой 1, докажем оценку суммы 5(а, х), в которой в (10) уточняются степени логарифмов в слагаемых, точнее оценка (10) сначала уточняется в случае, когда а является рациональным числом (теорема 2), а затем для произвольного вещественного числа а (следствие 1).

Теорема 2. Пусть (а,д) = 1. Тогда справедлива, оценка,

1-Х(!-1 &29 + ж 5 &32 + Ж 2 д1 &

Следствие 1. Пусть

а

а--

Я

< ~2, (а,д) = 1, тогда имеет место оценка,

Б(а, х)£хд-2&33 + ж5&32 + ж2д2&33.

32

33

Следующее следствие является уточнением оценки (11).

Следствие 2. Пусть ц ^ ж2; ц ^ д ^ хг]-1, \а — ад-1\ ^ 2г/(дх)-1, (а,д) = 1, тогда справедлива оценка,

в(а,х)£хг-1 & 33.

Харди и Литтлвуд [15] сформулировали гипотезу о том, что все достаточно большие натуральные числа п разлагаются на сумму простого и степени натурального числа в виде

п = р + тк, к > 2.

Такие числа мы назовем числами Харди-Литтлвуда. Г. Бабаев [16] опроверг эту гипотезу, а именно показал, что существует бесконечное число натуральных чисел, не являющихся числом Харди-Литтлвуда. Отсюда, в частности, следует, что существуют I, 1 < I < д, для которых выполняется неравенство

Нк(д,1) > д, к > 2,

где (д,1) — наименьшее число Харди-Литтлвуда вида р + тк, лежащее в арифметической прогрессии дЬ + I, Ь = 0,1, 2,..., д целое. Поэтому, естественно, можно рассматривать следующие две задачи.

1. Оценить сверху величину Нк(д,1) как можно лучше.

2. Получить асимптотический закон распределения чисел Харди-Литтлвуда, лежащих в очень коротких арифметических прогрессиях.

В случае д - простое число и к > 2, эти две задачи исследовались в работах [8, 9, 10, 17], и была получена асимптотическая формула для числа решений сравнения:

р + тк = I (шоё д), р < х, т < ^х,

д£ шт ^х%&~8,хк5+5&~35,х, = 1п х,

откуда, в частности, следует, что

Н2(д,1)1д3 1п35 д.

Доказательство этого результата опирается на метод А. А. Карацубы для решения мультипликативных тернарных задач [5] и на теорему А. Вейля [18] об оценке в случае Р = 1 полных смешанных сумм вида

S(x,gJ,Pр) = ,

т=1 ^ '

где х — характер Дирихле по модулю рд(т) и f (т) — рациональные функции, и подразумевается, что т пробегает только значения, для которых д(т) и f(m) определены по модулю р^, а также д(т) отлична от нуля по модулю р;

Следующая теорема — обобщение и уточнение этого результата на случай, когда к = 2, и

Теорема 3. Пусть х ^ х0, р — нечётное простое число, (I, р) = 1, квадратичный

невычет по модулю р, р(р, I) — число решений сравнения п2 = ¿(mod р),

Н2(х; ра, l) = ^ Л(п).

п^х, т2<х п+т2 =1 (mod ра)

Тогда, для любого фиксированного А ^ 58 справедлива, асимптотическая формула

= ш i1—^+О (l™+SL32+^L 32+^L")) ■

где постоянная под знаком О зависит от, а.

Отметим, что эта формула становится нетривиальной, если

2 —68 ра£х 22 Lx 3 .

СЛЕ

дствие 3. Пусть q = р*, р — простое чиело, (I,р) = 1. Тогда

H2(q, l)£q3(lng)34.

При доказательстве теоремы 3 воспользуемся результатами работы Т. Cochrane [19] об оценке полных смешанных сумм S(x, g, f ), Р ^ 2. Отметим, что метод оценки полных сумм характеров вида S(x, g, 0, '[/3) разработал Д. Исмоилов [20] - [25], воспользовавшись явной формулой А. Г. Постникова [26]. Обозначения: х

• q натуральное число, q > q0, х(п) — характер Дирихле по модулю q\

• у(п) — функция Мёбиуса; s = а + it комплексное число; Mj, Nj и Uj - целые числа, Nj « Uj < 2Nj-,

Sjо,x)= e хп. ,x)= E

Uj <n<2Nj Mj <rn^2Mj

k T

Wk(S,x) = EGj(s,x)Sj(s,x), tk(q;M,N)= J \Wk(0, 5 + it,x)\ j+щ,

j=l X _t

En

— означает суммирование по всем примитивным характерам по модулям d, d\q;

• огйр(х) — наибольшая степень простого числа р, делящего целое число х, для многочлена / над Ъ, огйр(/) — наибольшая степень р, делящая все коэффициенты /, а для рациональной функции /1//2, оГ(1Р(/1//2) = огйр(/1) — оГ(1Р(/2).

2. Известные леммы

Лемма 1. [6]. Предположим, что М > 0 и N > 1. Тогда для любых значений Т ^ 2 справедливо неравенство

2

Е

,т п т

т

х т

М+N

^ anx(n)n-it

п=М+1

dt M+N

аЪ 1 ^(n + q\nT)KI2.

1 +

n= М

х > 2

^ т?(п)£х(1пх)г 2-1.

п<х

Лемма 3. [28]. Пусть Ъ> 0,Т > 1, тогда имеет место соотношение

± ¡ь+гТ\ ^(толй)' есл" а>1

( ab \

О -г , если 0 < a < 1.

\tq| \nay

То 11па|

Лемма 4. [29]. Пусть д > 1, тогда при Ке в = а ^ 0, 5 справедлива оценка,

Шз ,хЖд И)1-<т 1п ф|.

Лемма 5. [6, 29]. При T > 2 справедливы неравенства:

_и rT df

£ j тЩ0.Ь + И,х)14 ^ £q(ln qT)5,

fT о dt

j TlL(05 + tt,x)l2 iqln qT.

1 +

Лемма 6. ( [9], используя тождество Хис-Брауна [30]). Пусть ¡(п) — произвольная ком-плекснозначная функция, и1 ^ х, г ^ 1,

к г\

С = , Х(П)= Ъ »(П)■

k\(r -k)V

d\n, d^ui

Тогда имеет место тождество

\k-1rik

^К(п)1(п)=^(-1)к lCr^ß(mi) ••• Е тк lnn1 f(m1n1 • • • тктк)

п^.х к=1 mi^ui т^ ^ui ni пk

mi-'^mt ni—n^x

+ (-1)r E X(n1) ••• E Х(пг)^2^(m)f(n1 • • • nrm).

ni>ui nr >ui m

Лемма 7. [19]. Пусть fug рациональные функции надЪ, не являющиеся постоянными, р ............... нечетное простое число, x ~ характер Дирихле по модулю р3, aft— целое число, такое

что Р ^ t + 2.

(i) Если 5 ^ А, то S&(х,д, f,р3) = 0.

S5 (X,9,f, Р3 ) =

X(9(S*))е

f(S*)\ №

р

3

если Р — t — четное,

х(д($*))е ( —( —у ^рР 2 , если Р — t — нечетное,

*

rff+t-i

С(т) = 0 ^ mod р[^ , А* = 2r(C/g)'(5) (mod р), здесь Q квадратичная сумма, Гаусса.

3. Основные леммы об оценках сумм вида Ьк(д; М, N)

Лемма 8. Пусть Т > 2, Мг ...МкИг ...Ык = У, кг < к, к2 < к, кг + к2 2ГМ^ ... М^к ... = X. Тогда справедлива оценка:

г к(д; М, И)£(У2 + XМ% + У2Х-2^2% + д^2)^ +2к'-2гк-г.

Доказательство. Пусть

ki кг

Hi(s,х) = П (s,Х) (s,Х), H2(s,х) = Wk(s,x)H-\s,х).

a=1 t=1

Из определения функций Gja (s,х)И Sjt (s,x) следует, что

H (s ,x) = E

anx(n)

n<X

n

H2(s ,x)= E

bmX(m)

V = 22kYX-1,

m<V

ma

где 1ап1 < тг(п), |Ьт1 < Т2к-г(ш)■ Применяя неравенство Коши сначала для интеграла по t, затем для суммы по характерам найдём

// гТ 1

1к (д;М,И)=^2 У т1Нг(0.5 + И,х)Н2(0.5 + И,х)1 (д; М, М, И))2 , (12)

tk(q;M,N)= Е" I х J~

tk(q; M, N)= E"/_

y^ anx(n)

/ j ri0,5+it n<X П

y^ bnx(n)

/ J n0,5+it

dt

1 +

n V

d

1+| |

Оценим tк(q;M,N). Применяя последовательно леммы 1 и 2, получим

т2(п)

n X

tk(q;M,N)£ ^(n + qlnT) E T?(n)+qlnT E X + qL2)Lr'~1

n X

n X

2

Таким же способом найдём, что

t!'k(q; М, N)íy(n + qlnT)

n<V

n

0,5

Отсюда и из оценки суммы ^к), ввиду (12) следует утверждение леммы.

Лемма 9. Пусть Щ <Т, Т <Т0 и N ^ и < 2N, тогда справедливо неравенство:

ГТо

dn N1L / а \ 2 5(0.5 + it, X)lj т \L(0.5 + i(u + t),X)\ + + (yq ) L.

Доказательство. Воспользовавшись формулой Эйлера, теоремой Лагранжа о конечных разностях в форме sinp = sinp — sin0 = p cos dip, 0 ^ в ^ 1, а также, воспользовавшись тривиальной оценкой, найдём

(2N )iu — U

u

_ 2\sin(0, 5u(ln2N — lnU ))\

| u | u

= (ln2N — lnU)\ cos(0, 59u(ln2N — lnU))\ <

2 \ ( 2\ 2ln2 + 2

^ min ln2N — lnU, — ^ mini ln2, — ^ --Ц-.

" , \u\J " V , \u\J " 1 + \u|

(13)

Не ограничивая общности, будем считать, что и и 2N полуцелые числа. Применяя тождество Перрона (лемма 3) при Т = Т0и Ь = 0, 5 + (1п2^-1, имеем

1 rb+iTo (2N)U — Uu S(0.5 + it,x) — ^ L(0.5 + it + u,x)~-)-duÍRi(2N,To) + Ri(U,To), (14)

2ттг

'Ь-г To

u

<x

u ' 0J ¿^n0-5 \nj To^n0-5\n)

n=1 4 7 n=1 4 7

n

где N одно из полуцелых чисел 2N я и. Неравенства у > п ^ 2N и 11п | ^ 1п2 эквивалентны. Поэтому с учётом соотношения п0'5+ь = п1+(1п2М) 1 > п, имеем

N

Ri(N,To) = N

(

<

N 2

\т > (

1

ln2

\ т >

Е (n0,5+ |b( £) I)-1 + E (n0,5+ П) I)

f <n^2 N -1

nf? 4-1

n

<

J

E

>n>2N

1

n

1+(ln 2 N)-1 1 N

+N» £)

'-<n^2 N-1

-Л J

(15)

Обозначая две последние суммы через К11 и К12, оценим каждую из них отдельно. К11 является сходящимся числовым рядом, то есть Кц11. В К12 переменная суммирования п принимает значения целого числа, начиная от целого числа N1 до целого чиела 2N — 1, где

N1 =

( N + 0, 5 2

N 0, 5

+ 1, N — 0, 5

+ 1, N — 0, 5

2

n

2

п

неравенств N ^ п ^ N — 0, 5 и 0 ^ N — 0, 5 — п ^ N — 0, 5 — N1, имеем

N-0,5 , 2И-1 ,

^2=— еО» (ип))-г + Е о»ШГ=

п=^ п=М+0,5

N—0,5-N1 , , „т „ „ чч _г N-г,5 , , „ ^чч _г

, >1в И -05 — ,Л\ ' + —, ДЛ, + И + 0,5-'

п=0 п=0

N—0,5—N1 , , „ ^чч -г N —г,5 , , „ ^чч -г

£ (—О — ^ К + 0'5

п—п V V / / п—п V V

/ / ч ч N

п=0 п=0

Далее при 0 ^ п ^ N — 0, 5 — Иг и 0 ^ п ^ N — 1, 5, пользуясь соответственно соотношениями

-ыц- п±М) = V1 (п±М V >п + 0,5

/ п + 0, 54 ^ 1 / п + 0, 5\ V — N ) =к=г к\ N ) ' N

. / , п + 0, 5 \ ^ (—1)к—г (п + 0, 5\к

Ч^ — )

п + 0, 5^ _ ^ (—1)к—г(п + 0, 5у п + 0, 5

>

к=г находим

N—0,5—^ ы N —г,5 2М г2 ^ п + 1,5 ^ п + 0,5

п=0 п=0

Подставляя эту оценку и оценку для Ягг в формулу (15), получим

~N 2 / 1 Ч ~N1 %

Яг^П)^ [1 + N ^.

Подставим эту оценку в (14), а затем в интеграле ■] перенесём контур интегрирования на прямую Кег = 0, тогда получим

1 Гт° (2NVй — П™

3(0.5 + И, х) ----Ц0.5 + г(г + и),х)<1и+

2 к г J—т0 и

1 р0 (2N)и—*То — П~и—гТо

+ --)-—-Ь(0.5 + и + 1(1 — Т),х)Ли+

2ттг ]ь и — 110

1 1'Ь (2 ^и+То — Ц'и+гТ0

+ — ----—-Ь(0.5 + и + 1(г + Т0),х)(1и + о

2кг 70 и + 1±0

(^)

Воспользовавшись при оценке первого интеграла неравенством (13), а для оценки двух отставших интегралов оценкой 11(0.5 +и + г(Ь + Т0),хШ (^Т))0'5 и 1» чТ0 (лемма 4), найдем

Р(0, + ,,хжЛ^ + Ш + и,*^ + 0 (£)'* + ^I

1 ,„ , ч 1

т, [То , \ Л| (и N1 % ( гл

1 и]т5'++м)'х)|тш + -ТГ ЧЮ %■

Лемма 10. Пусть Мг...МkNг ...^ = ¥,¥ <у, у <х, Nг > N2 > ... > Nк, Т > N д < Т. Тогда справедливы, оценки

и(д^^)*((—) 1 + ^ %(2(к—г)2+4)

((N1)

1к(д; М, N)1[ ( ^ ) + &(2(к-0>5)2+1).

Доказательство. Имеем

Шк (в ,х) = Н (в ,х)Б1 (8 ,х)в2(8 ,х), к к Н(8,х) = (8,х) П^,х)= Е

г=3

а(п)х(п)

j=1 г=3 У0<п<У1

ап = ^ Кт1) ■■■ Е ^(тк) Е ■■■ Е 1, |ап1 ^ Т2к-2(п),

М1<т1^2М1 Мк <тк ^2Мк ия<пя ^2Мяик <пк ^2Мк

Уо = М1 ■■■ Мкиз ■■■ик, = 22к-2М1 ■ ■ ■ МкЩ

V

N^2

х

найдём

1к (д; М, N) ^ (Ик (с,; М, N (д; М, N)) ^

£

Уо<п<У1

а( п) х( п)

(

1+| |

4( д;М^)= Г

х }-Т

4 (д; М, N) = Е" / т 1Б1(05 +{х)Б2(05 + г I, х) |2

(

1+

Оценим ^к(д; М, N). Применяя последовательно лемму 1, соотношение |ап| ^ Т2к-2(п), а затем

- V

лемму 2, соотношение У11-, имеем

1 N1^'

¿к (д;М^ )£ £ (п + д1пТ)

Уо<п<У1

п

о.5

'I £

Уо<п^У1

т2^) + д1пТ £ ^^ I

Уо<п<У1

п

т(1пУ1)(2к-2)2-1 + д1пТ(1пУ1)(2к-2)2е(+ &(2к-2)2-

\N1N2 )

Перейдём к оценке ^к(д; М, N). Применим к суммам 51 (0^5 + гЬ, х) и

" 1

Б2(05 + гЬ, х) лемму 9, полагая в ней То = Т. Имея в виду, что То > max(Nj■ , д), находим

Sj(05 + И,х)1 I ^ф^ + ^и + + 3 = 1, 2■

- Т

1 + | и|

Воспользовавшись этим соотношением, неравенством (а + Ь)4£а4 + Ъ4, применяя к внутреннему

и

и

4(д; М, N

х

Т

- Т

Т ( и - Т 1 + | и|

(

I

'' IТ ( (т . . ... (и \4 М

а

п

4

lL3 L" £ £ I + +х)!4 г^ ^+^5 =

= 2L3 ? "L L<rw*+t(" г+R ^+<L '

Так как |и| > |i|, то

| и\ + Ш |u + t\ 1,

1 + |и| > 1 + ^^ > 1 + ^^ > ¿(1 + | и + i|),

поэтому

¿¿(д;М,М)&* £"/ / 1Ь(0.5 + г(и + ^,Х)|4 ,+^+,1 + ^ =

^ Зщ<т 3|*|<М<Т Х + |и + Ц х + |и|

= ^ / / щ0.5 + гу,Х)14 + &5 = I

X ^1*1<т ■ЦА<У"-А<Т 1 + м 1 + |и|

г2т щ0.5 + ю , х)|4 + д^5.

х 3-2Т 1 + 1^1

Пользуясь леммой 5, получим утверждение леммы. Второе утверждение леммы доказывается аналогично, только вместо четвёртого момента Ь-рядов Дирихле применяется их второй момент.

4. Доказательство теоремы 1

Пусть Xd ~ примитивный характер по модулю d, х - индуцированный Xd характер по модулю д, d\g, тогда ф(у,х) = Ф(у, Xd) + 0(L2), отсюда

t(x;q)= V max + Ф(х,Хо)1 V" max фу,х) +х + ^(g)L2. (16)

' у<х ' у<х

X=X0 X

Полагая в лемме 6, и = у J, г = 4 и f(n) = x(n), найдём

4

Ф(у ,х) = Y,(-1)k°" Фк (У ,х), (17)

к=1

■к (у ,х) = Е ^) ••• Е ^(™к) Е ••• Е InnXmn ■■■ШкПк).

mi^M mk Su nimi •••mkni-nk Sу

Разобьём в фк(у, х) области изменения каждого mi, ■ ■ ■ , тк, ni, ■ ■ ■ ,Пк на те более L интервалов вида Mj < mj ss 2Mj, Nj < nj ss 2Nj, j = 1, 2, ■■■ ,k. Получим не более L2к сумм вида

Фк (у, X, M, N ) = v(mi) ■■■ Е тк) Е ■ ■ ■ Е X(mini ■■■тк Пк )lnni =

Ml<mlS2Ml Mk<mk S2Мк Nl<nlS2Nl Nk <nk S2Nk

mini-mt nk si у

2Ni

Kmi) ■■■ E тк) E ■■■ E x(mini ■■■ткщ)dlnu.

i Mi<miS2Mi Mk<mkS.2Mk max(u,Ni)<niS2Ni Nk<nkS.2Nk

mini^-mknk SSx

Через Ui = max(u, N1) обозначим такое число и, при котором модуль подынтегральной функции, принимает максимальное значение, тогда

ф(у, x, M, N)\lL tyk(У, x, M,N)I , (18)

где

Фk (у, x, M, N )= E V-(mi) ••• ^(mk) E •" E x(mini •••mk nk),

M1<m1^2M1 Mk<mk <:2Mk U1<n1^2N1 Uk<nk^2Nk

mini---mk nk^y

где Nj < Uj < 2Nj, j = 1,2,...,k. He ограничивая общности, будем считать, что Mi ... MkNi ... Nk < у и у полуцелое число. От ограничения mini... mk nk ^ у освобождаемся при помощи леммы 3 при T = (xq)i0:

A(y.x.M.N) = ± riT п E x(mmmA E x¥ v-ds+

2n Jo5-T j=iM,<rn,<2M, mi U,<n,<2N ni S

1 __ 1 _. 1 __ 1

+ o | E m-1 — Em1 E n-2 • • • E k _y_

vM1<m1^2M1 Mk<mk <2Mk U1<m^2N1 Uk<nk^2Nk T

mi ni . . . mk nk <

ln-y-- > = (l + —) > -,

mini ...mk nk у — 0,5 \ 2y — 1) 2y

mi ni . . . mk nk >

m1n1...mk nk

mini ...mk nk ^ y+°5 (i+l_ \ > 1, " V 2y) 2y,

получим

1 с0.5+iT . s / „ | k _1 _1

i>k(v,x,M,N) = — Wk(s,x) U~ds + О I E mj 1 E nj 1

К -1°. 5-гТ \ j=iMj <mj <2Mj Nj <n5 <2Nj

1 rT Vs ( y2 \ ~ 1 rT dt y2

= 2й L-iT Wk^x) ^ + o( (хЦци) J-T\Wk(0-5 + ^x)\TTW\ + ^.

Подставляя полученную оценку в (18), а затем в (17), получим

1 4 (Т (и , 2 т9

ф(у ,х)1у-1 %9 Е/_ т№к (0.5 +г Ьх)1 ^ + (Х^.

Отсюда и из формулы (16), имеем

4

г(х, д)£х1 V тах г к (д; М, N )+х + ^(д)%2, (19)

у^х

к=г

1к (д;М^ ) = Е"/Т (0.5 +г 1,х)1-

T 1 +

хч •

Оценим Ьк(д; М, N отдельно для каждого к = 1, 2, 3, 4. Не ограничивая общности, будем считать, что для Ьк(д; М, N выполняются следующие условия:

Мг >М2 > ... >Мк, (20)

^ > N > ... >N1^, (21)

1

Мг ...Мк^ ..^к = У, У < У, М) < У1. (22)

2. Оценка tг(g;М,N). Воспользовавшись вторым утверждением леммы 10, имеем

Ь^М^)£ [{Мгд)1 + г,5£(уМ + (1%)%г,5 < (у 10д2 + д%)%г,5.

3. Оценка t2(g;М,N). Применяя первое утверждение леммы 10, находим

г2(д; М, ([МгМ2д)2 + д^ %6 < (у1д1 + д%)%6 < (у 10д2 + д%)%6.

4. Оценка tз(g;М,N). Рассмотрим три возможных случая:

1. МгМ2М3 < У2;

2 3

2. У5 < МгМ2М3 < У3;

3. У3 < МгМ2М3.

2

Случай 1. МгМ2Мз < У5. Ввиду условий (21) и (22), находим, что

(

Следовательно, по первому утверждению леммы 10, имеем

Щ , 2 У \ 3 2

NгN2 ^ NгN2 ■ „ 3 = Ш^Щ)3 = - >У2.

г г 2 У—N ( г 2 3) \МгМ2М3 >

í 3(д2 + д^ %г2 < ^(у3<?) 2 + д^ %г2£ [у 10д1 + д%) %г2.

2 3

Случай 2. У б < МгМ2М3 <У б . Применяя лемму 8 при X = 8МгМ2М33, имеем ¿3( д;М^)£ (у 1 +(МгМ2М3)2 д\% + У1 (МгМ2М3)—М% + д%2) %8 <

< (У1 + 2У 1од2% + д%2) %8£ (у2 + У10д2% + д%2) %8.

3

Случай 3. У5 < МгМ2М3. Из соотношений (22), (20) и условия рассматриваемого случая находим, что

у1 ^ МгМ2 > МгМ2 ■ 3/д „ = (МгМ2М3)2 > У2.

3 Мг М2 М3

Поэтому, полагая в лемме 8 X = МгМ2, имеем

*3(д; М, N)1 (у2 + (МгМ2)2^% + У(МгМ2)—2^% + <

< (У2 + УМ% + У 10^2% + д%2) %Ч (у1 + У10д2% + д%2) %9.

5. Оценка Ь4(д; М, N). Рассмотрим семь возможных случаев:

1. М1М2М3М4 < V1;

2. V5 < М1М2М3М4 < V5, Ж1Ж2 < V2;

3. V5 < м1м2м3м4 < V5; ж1ж2 > V2

2 3

4. V5 < М1М2М3М4 < V3;

3 4 3

5. V5 < М1М2М3М4 < V4, М1М2М3 < V5;

3 3 3

6. V3 < М1М2М3М4 < V5, М1М2М3 > V5;

4

7. М1М2М3М4 > V4.

Случай 1. М1М2М3М4 < V1. Из соотношений (21), (22) и условия рассматриваемого случая, имеем

NN ^ шщщш 2 = (-V-)2 ^ V2.

1 1 1 2 3 4 Vм1м2м3м4y

Поэтому согласно первому утверждению леммы 10, имеем

1

2 ■ 022 ^1 , -«Л а>22 ^ /^О) \ &22

*4(Ч;М,И+ &22 < (V^д2 + д&)&22 < (у 1Ц2 + )

Случай 2. Vб < М1М2М3М4 < Vб ; Ж1Ж2 < V2. Из соотношений (21), (22) и условия рассматриваемого случая, имеем

3

N л , , 3 / V \ 4 9 2

^3 > = ^^ 4 > (ММММ) ' > ^2 •

3

N^N3 < N^2 ■ л/^1^2 = (N1^2)3 < (V5) 2 =V3.

Поэтому, полагая в лемме 8 X = $N1 ^N3, находим

и(д; М, N£1 (У 2 + (N^N3)2^2& + V2 М & + &16 <

< (V2 + V1М& + &16 < (уу1 + у1М& + &16.

Случай 3. Vб < М1М2М3М4 < V2; N1^ > Vк сумме ) первое

утверждение леммы 10, получим

у + д^ %22 ^ (У 1Ц2 + &22 < (у 10^2 + ^22

&22.

2 3

Случай 4. V5 < М1М2М3М4 < V5. Применяя лемму 8 при X = 16М1М2М3М4, имеем и(д;^)1(у2 + V1М% + &15 < [уу1 + у1Ц2% + д&^ %15.

3 4 3

Случай 5. V5 < М1М2М3М4 < V5; М1М2М3 < V5. Из соотношений (20) и условия рассматриваемого случая, найдем

Мл , . 3 / 3\ 4 9 2

М1М2М3 ^ М1М2М3 4 = = (М1М2М3М) 4 ^ V б 4 = V 20 > V2.

уМ1^М3М4 ^ '

Поэтому, воспользовавшись леммой 8 при X = 8MiM2M3, находим

t4(q; M, N)l (Y1 + Y^qIL + qL2) Li6 < (yl + y^qIL + qL2) Li6.

3 3 3

Случай 6. Y5 < MiM2M3M4 < Yб; MiM2M3 > Yб. Из соотношений (22), (20) и условия рассматриваемого случая, найдём

1 M3 , ч I / 3 \ I I

у-1 >MiM2 im-MM- = (MiM2M3) 1 >(Y3) =Y 1.

Поэтому в лемме 8, полагая X = 4MiM^, и имея в виду, что Yг£X£yi, имеем

t4(q; M, N)l (YI + yML + Y1ML + qL2) Li91 (yl + y^1L + qL2) Li9.

4

Случай 7. MiM2M3M4 > Y5. Из соотношений (22), (20) и условия рассматриваемого случая, найдем

1 M3M4 , N1 г

уI ^ MiM2 ^ MiM2 . 3 ' , = (MiM2M3M4)I > Y5.

Mi M2 M3 M4

I ~ ~ 1

Следовательно, по лемме 8 при X = 4MiM^, и имея в виду, что Yб£X£yI, находим:

¿4(9; M, N)l (YI + YМL + Y10qIL + qL2) Li9l (yI + y^qIL + qL2) Li9. 6. Таким образом, для всех k = 1, 2, 3, 4 доказано, что

maxtk(q; M, N)lmax fy1 Li9 + y^1 L22 + qL23 ) = xILi9 + x 1ML22 + qL23.

y^X y^X \ )

Подставляя эти оценки в (19), получим утверждение теоремы.

5. Доказательство теоремы 2 и её следствий

Пользуясь свойством ортогональности характеров, имеем

а \ 1 ^ , ^ ,, ч . „2\

S fax) = Ш ^ x(a)rm(x, x) + 0(L2)

\q J lf(q) х mod q

r(x) = it,x(h)e (*-), \t(x)\lVt. h=i

Отсюда, из соотношения q£(p(q) In L и теоремы 1, имеем

з(-,х)£^~ Е тах Шу,х)1 + Г2£Ь^Г 1(х;д)+ %2£ ^ ) дуах ^

1х д—2 % 29 + х 4 %32 + х М %33.

Для доказательства следствия 1, вводя обозначение а — | = А, рассмотрим два возможных случая:|А| а 2х—г и 2х—г < |А| а q—2■

Случай 1: |А| s 2x . Пользуясь преобразованием Абеля, сумму S(a,x) выразим через

сумму S (|,и), и S x. Имеем

2s (-■»)

S(a,x) = — I S[-,u1 2niAe (uА)du + e(Ax)S^-,^.

2

Переходя к оценкам, и воспользовавшись условием рассматриваемого случая, находим

|S (a^^dA^ + 1)max

uSx

s{>)

ix q - 2 L29 + x 5 L32 + x -q- L

32

?33

Случай 2: 2х~1 < |А| ^ д-2. Имеем < 2- Согласно теореме Дирихле о приближении вещественных чисел рациональными числами, для любого т ^ 1 существуют целые взаимно простые числа Ь и г, 1 ^ г ^ т, такие что

а--

1

s —.

Возьмем т = х, тогда

а--

x

x

г s —.

(23)

Предположим, что г = д, тогда (23) принимает вид |А| ^ ^ и, как в случае 1, получим для 5(а, х) нужную оценку Пусть теперь г = q, тогда

а b

|а г —!

1

^ —.

Отсюда и из < 2 имеем

1>|А| =

i^q г) + (г а

а b

— — a--

q

то есть ^ S 2. Поэтому (23) принимает вид:

а--

2

s -, x

x

i;<r S -■ 2

>- — ^ = -

^ rx

(1 — S)

2

Следовательно, как в случае 1, имеем

5 (а,х)£хг - 2 &29 +х 5 & 32 + х 2 г1 & 33!хд -1 & 33 + х 5 &32.

Следствие 2 непосредственно вытекает из следствия 1.

1

6. Доказательство теоремы 3

Разбивая сумму H2(x; ра, I) на три части и имея в в иду, что ра > y/x, имеем H2(x; ра, 1)= ^ Л(п) ^ 1 + Hi(x;ра, 1) + H^(x;ра, I),

n<x m2<x, (m2-l,p) = i

(n,P) = i n= l-m2 (mod pa)

Hi(x; ра, 1)= Е Л(п) Е 1 < 2(Px + ^ Lx2,

n<x mI4x

(n,p)>i mI=l-n (mod pa)

H'2(x; ра, l)= E Л(п) E 1 = 0.

n<x m<:^x, mI—l= 0 (mod p)

(n,p) = i m?—l=—n (mod pa)

Далее, пользуясь свойством ортогональности характеров, найдём

H2(x;pa, l) = -р- Е ^(x,x)V2(^Vx,x,l,Pa)+^(px + Л LX) ,

—(Р ) xmod pa W р / /

V2 (u,x,i,pa) = Y,x(i — m).

x

H(x; ра, I) = G2(x; ра, I) + R2(x; ра, I) + О ( + ^ LX^J , (24)

G (x.pa A Ф(x,x0)V2 (VX, x0,l,pa) G(x;р , 0 =--рГ)-,

R(x;ра,I) = E Ф(x,x)V2(V%,x,l,Pa).

-(р ) X=Xo

В этой формуле G2(x;ра, l) даёт предполагаемый главный член H2(x;ра, l),& R2(x;ра, I) входит в его остаточный член.

Вычислим главный член. Из теоремы Ш. Балле - Пуссена получим

Ф(x,x0) = Е Л(п) + 0(LX) =x + 0(x exp(—c^LX)).

n<X

Рассмотрим теперь

v2(vx,x0,i, ра)= E 1 — E 1 = [vx — E E 1 =

y/x — n

(mI —I,p)=p mI=l (mod p) n=m (mod P)

= [vx] — E E 1 = V] — E

i^n^p m^^X i^n^p

nI=l (mod p) m=n (mod p) nI=l (mod p)

= [vx — E (f + 0(1)) = x1 (1 — ) +0(1),

i^n^p \ р / \ р /

nI= (mod p)

где р(р, I) — число решений сравнения n2 = ¿(mod р), 1 ^ n ^ р. Поэтому

G(x;ра, I) = (1 — ^ +0 {exp(—c^X))) . (25)

Оценим остаточный член R(x;ра, I). Переходя к ПрИМИТИВНЫМ характерам, имеем

1 а

R (x; ра, = Е Ф(x,x)V2 (^^¿,х,1,р3),

-(ра) 3=i , в

3=i xmod pP

а)

3=i xmod pP

где * означает, что суммирование ведётся по примитивным характерам. Обозначая через а1, 1 ^ а1 ^ а такое целое число, которое удовлетворяет условию ра1-1 ^ < а затеМ) разбивая сумму по @ на две части 1 ^ @ ^ а1 — 1 и а1 ^ @ ^ а, представим К2(х; ра, I) в виде суммы двух сумм Д21 и ^22- Оценим сначала ^21- Имеем

1 «i-i

R2i = ф«) Е Е* ■(x,X)V2 (^ХЛ Р13 )£

¡^т^ Е max*■^x^ Е* |v2(v-,x,l,p3)I

Р('Ра) 3=1 л в

3=1 xmod ve

3=1 xmodрв «1-1

3=1 xmod рв

знак * в сумме по Р означает, что максимум берётся по всем примитивным характерам по модулю р3. Воспользовавшись при р3 S Lf, 1 S Р S ai — 1 классической оценкой (см. [28] стр. 152)

ф(x,X)lx exp ciVL^) ,

получим

«1-1

R2li--«)exp (—d^Lx) ^ |V2 (Vx,X,l, Р3 )| =

3=1 x modрв

x

exp (—C1VL^) ^ |V2(Vx,X,l,Р«1-1 )|.

Р('Ра)

X modра1 x= x0

Далее, применяя неравенство Коши, а затем воспользовавшись условием р«1-1 S Lf, получим

i

_ _ 2

x ' '

R21i~x«)exp(—С1^Щ L(p"1-1) Е |V2(V-,X,l,Р|3)|2) I

X modра1

i 3

"^expi—с 1^) (p«1-1V^ ( ^ + 2 ¡^exp (—с 1^) . (26)

)

R22

1 «

R22 = £ ф(x, X)V2(Vx, X, I, Р3) S

3=«i xmodрв

1 «

s т^й^ E max** |v2(v-,x,l,р3)| E* |ф(x,x)|,

^(Р ) 3=«1 xmod рв xmod рв

знак * в сумме по @ означает, что максимум берётся по всем примитивным характерам по модулю р3. Воспользовавшись теоремой 1, имеем

3

R22^JP«-) Е (x-0'5Lx28 + x-0'7P2 Lx31 +x-1p3Lx32) max* X, I, P3 )|. (27)

V\p ) a— V xmodр*

3=«i

Оценку неполных сумм V2^^y/x,x,hР3) сведём к оценке полных смешанных сумм вида

рв

( т)

S(x,9,f,P3) = ^2x(9(m))el —, д(т) = 1 — т2, }(т) = кт.

m=1 \ р /

Имеем равенство

^(^хЛУ) = -1Е Е е (-h^)s(x,gJ,Pl3) =

h=1 т^у/х

г ^ 1 ^ sin ^ / h(1 + [y5]) \

pf № + -f Е е [--S(x,9, f,pf).

, Dili —W

h=1 pP

Переходя к оценкам, найдём

7 0.5(^—i) / ^ р3 " ¿i V р3

|F2(V^,x,l,p3)l < ^ IS(x,g,f,P3)l f VP + 2 E (sin

h=i ^ P '

Так как pf — нечётное число, то воспользовавшись последовательно неравенствами sin-^a ^ 2а щи 0 ^ а < 0.5 и h ^ ln 2h+1, найдём

0.5(p^-i) . h i 0.5(p^-i) .2h i 0.5(p^-i)

2 Е (sin < 2 Е i2!) < -3 Е (ln(2h + 1) - ln(2h - 1)) = p3 lnpf.

h=i ^ p ' h=i ' h=i

Следовательно,

|V2 (Vc,X,l,Pf3)I + ln P13) max IS(x, g, f,Pf)l

\Pf )

Подставляя эту оценку в формулу (27), имеем

\ /„rx „

(28)

Ъ2£ № + + —1 (Ч +lnPf) max* S(x,gJ,Pf)

¥(Pa) я_ V ж ж x \ Pf /xmodp^,

f="l V 7 1<h<p^

знак * в сумме по @ означает, что максимум берётся по всем примитивным характерам по модулю рР. Далее представим сумму в(х,д, р3) в виде

p¡3

S(X,g,f,Pf) = Y,Ss, Ss =Ss(x,gJ,Pf)= E x(g(rn))e(£Pfpj. (29)

S=1 m=1 \ p /

m=S(mod p)

Пусть а — наименьший из первообразных корней по модулю р3. Определим число г из соотношения ар—г = 1 + гр, (г,р) = 1, и пусть с = с(х, а) единственное целое, 0 < с а р3—г(р — 1)

к

x(ak) = е

-М _ J ск \ \pf-1(p - 1)J

x

x ( , ) = 1

t = tp(x,g, f) = оrdp(rgf' + cg'). Через A(x, g, f) обозначим множества корней сравнения

С( m) := р—(rg(m)f'(x) + cg'(m)) = 0 (mod р),

для которых слагаемые в S(х,д, f, Pß) определены, то есть

л = A(x,g,f ):= {¿е F : С (S) = 0(mod р), д(5) ф 0(mod р)}.

Теперь определим множество Л в случае, когда д = д(т) = I — т2 и f = f(m) = hm, в зависимости относительно параметров h, си г, и имея в виду, что

tp(x, д, f) = ordp(r(m2 — l)h + 2cm) = min (ord( rh), ord(2c),or d( l h)) = min (or d(h), 0) = 0,

получим, что множество Л имеет вид

Л = {¿е Fp : r(ö2 — l)h + 2cö = 0 (mod р), Ö2 — 1ф 0 (mod р)}, (30)

то есть Л — множество решений квадратичного сравнения по модулю р и состоит из не более чем двух решений. Рассмотрим два возможных случая. (h, ) =

вида 2cö ф 0 (mod р), и оно имеет одно решение ö = р.

2. Случай (h,p) = 1. Умножая обе части сравнения в (30) на число rh, (rh,p) = 1 и выделяя полный квадрат, имеем

(г hö + с)2 ф с2 + I r2h2 (mod р), 1 О ^ р — 1.

—

тичного сравнения не обращается в нуль по модулю р, то есть

с2 ф —Ir2h2 (mod р).

Отсюда следует, что в (30) квадратичное сравнение

2 + 2h2

• имеет два простые решения, если число с2 +1r2h2 — квадратичный вычет.

Следовательно, если квадратичное сравнение в (30) разрешимо, то все корни простые, и их не более двух. Поэтому согласно лемме 7 правая часть (29) состоит из не более двух слагаемых вида Ss(х,д, f,Pß) соответствующих этим корням, для которых имеет место равенство

|Ss (x,g,f, Pß )l = P2.

Подставляя эту оценку в формулу (28), получим

x3 I а / <^28 9?31 ,n0.5ß ,r.ß „1.5ß

р ß x 2 I V^ Lx + L + -_ <^32 + P_ «;32 + P_ y>33

D22l / „,\ I / , I n KR + ..n о + _.n s Lx + ..n 7Lx + .. Lx

I it (L

р(ра) l \P°-5ß x°.2 x°.5 x07 x x x

/ f.^28 £¿>32 „0.5а „а „1.5а N ß_x_ Lx + Lx + P_ c/>32 + _P_ c/>32 + P_ c/>33

'фа) уpO.bai + x0.3 + x0.5 Lx + X0ЛLx + X L ,

Далее, воспользовавшись выбором числа а\, получим

х§ / „0.5« па „1.5« \ р (Х 2 (¿-0.5А+28 + Р_ + _ «;32 + Р_ ¿¿.33 \

Ф«) V " + Х0.5 ^ + х0.? ^ + Х ^ )'

Отсюда, из (26) и (25) ввиду (24) следует утверждение теоремы 3.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линник Ю. В. Избранные труды — Ленинград. Наука, 1980.

2. Линник Ю. В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Мат.сборник,

1946, Т. 19, Вып. I, С. 3 - 8.

3. Линник Ю. В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории чисел // Докл. АН СССР, 1945, Т. 49, № 1, С. 3 - 7.

4. Линник Ю. В. О густоте нулей L - рядов // Изв. АН СССР.сер. матем.1946. Т. 10, № 1, С. 35 - 46.

5. Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Доклады АН СССР. 1970. Т. 192. № 4. С. 724 - 727.

6. Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел — М.: изд-во Мир, 1974.

7. Vaughan R. Mean value theorems in prime number theory //J. London Math. Soc. (2), 10(1975), 153 - 162.

8. Рахмонов 3. X. Распределение чисел Харди Литтвлуда в арифметических прогрессиях // Известия АН СССР. Серия математическая. 1989. Т. 52, № 1. С. 211 - 224.

9. Рахмонов 3. X. Теорема о среднем значении ф(x,x') и ее приложения // Известия Российской Академии наук. Серия математическая. 1993. Т. 57, № 4. С. 55 - 71.

10. Рахмонов 3. X. Средние значения функции Чебышева // Доклады Российской Академии наук. 1993. Т. 331. № 3. С. 281 - 282.

11. Виноградов И. М. Избранные труды — М: изд-во АН СССР. 1952.

12. Чудаков И. Г. On Goldbach-Vinogradov's theorem // Annals of Mathematics. Second Series.

1947. T. 48. C. 515 - 545.

L

гос.изд-во технико-теоретической литературы. 204 с.

14. Hardy G. H., Littlwood I. E. Some problems of partitio numerorum III. On the expression of number as a sum of primes // Acta Math. 1923. V. 44. pp. 1^70.

15. Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to theory of numbers — Oxford at the clarendon press. 1954.

16. Бабаев Г. Замечание к работе Дэвенпорта и Хейлброна // УМН. 1958. Т. 13. В. 6(84). С. 63 - 64.

17. Рахмонов 3. X. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Труды МИЛИ. 1994. Т. 207. С. 286 - 296.

18. Weil A. On Some Exponential Sums // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1948. vol. 34, Is. 5, pp. 204 - 207. doi: 10.1073/pnas.34.5.204.

19. Cochrane T. Exponential sums modulo prime powers // Acta Arithmetica. 2002. vol. 101. pp. 131 - 149. doi:10.4064/aal01-2-5

20. Исмоилов Д. Оценка суммы характеров от многочленов // Доклады АН Тадж. ССР. 1986. Т. 29. № 10. С. 567 - 571.

21. Исмоилов Д. Оценка суммы характеров от рациональных функций // Доклады АН Тадж. ССР. 1986. Т. 29. № 11. С. 635 - 639.

22. Исмоилов Д. Об оценках снизу сумм характеров о т многочленов по составному модулю // Доклады АН Тадж. ССР. 1990. Т. 33. № 8. С. 501 - 505.

23. Исмоилов Д. Оценки полных сумм характеров от многочленов // Труды МИЛИ. 1991. Т. 200. С. 171 - 186.1

24. Ismoilov D. A lower bound estimate for complete sums of characters of polynomials and rational functions // Acta Math. Sinica, New Series. 1993. Vol. 9. pp. 90-99.

25. Исмоилов Д. Оценки полных тригонометрических сумм // Труды МИЛН. 1994. Т. 207. С. 153 — 171.

26. Постников А.Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Известия АН СССР. Серия математическая. 1955. Т. 19. № 1. С. 11 — 16.

27. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // Доклады АН СССР. 1939. Т. 22. № 7. С. 391 - 393.

28. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 2-ое изд, М.: Наука, 1983.

29. Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.

30. Heath-Brown D. R. Prime numbers in short intervals and a generalized Vaughan identity // Canad. J. Math. 34, 1982, 1365 - 1377.

REFERENCES

1. Linnik, U. V., 1980, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Leningrad, Nauka.

2. Linnik, U. V., 1946, "A new proof of the Goldbach-Vinogradow theorem", Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., vol. 19(61), Is. 1, pp. 3-8.

3. Linnik, U. V., 1945, "On the possibility of a unique method in certain problems of 'additive' and 'distributive' prime number theory", Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 49, Is. 1, pp. 3-7.

L

[Izvestia Akad. Nauk SSSRJ, vol. 10, Is. 1, pp. 35-46.

5. Karatsuba A. A., 1970, "The distribution of products of shifted prime numbers in arithmetic progressions", Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 192, Is. 4, pp. 724-727.

6. Montgomery, H., 1971, Topics in Multiplicative Number Theory, vol. 227. Springer-Verlag, Berlin-New York.

7. Vaughan, R. O., 1975, "Mean value theorems in prime number theory", J.London Math. Soc., vol. s2-10, Is. 2, pp. 153-162, https://doi.Org/10.1112/jlms/s2-10.2.153

8. Rakhmonov, Z. Kh., 1990, "The distribution of Hardv-Littlewood numbers in arithmetic progressions", Mathematics of the USSR-Izvestiya, vol. 34, Is. 1, pp. 213-228, http://dx.doi.org/10.1070/IM1990v034n01ABEH000621.

9. Rakhmonov, Z. Kh., 1994, "Theorem on the mean value of ^(x, x) and its applications", Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, vol. 43, Is. 1, pp. 49-64. doi.org/10.1070 /IM1994v043n01ABEH001558.

10. Rakhmonov, Z. Kh., 1994, "Mean values of the Chebvshev function", Russ. Acad. Sci., Dokl., Math., vol. 48, Is. 1, pp. 85-87. http://www.zentralblatt-math.org/zmath/search/?an=Zbl 0818.11030

11. Vinogradov, I. M., 1952, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow.

12. Tchudakoff N., 1947, "On Goldbach-Vinogradov's theorem", Annals of Mathematics. Second Series, vol. 1947, pp. 515-545.

13. Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of Dirichlet L-fu,nctions, OGIZ, Moscow-Leningrad.

14. Hardy G.H., Littlwood I.E., 1923, "Some problems of partitio numerorum III. On the expression of number as a sum of primes", Acta Math., vol. 44, pp. 1-70.

15. Hardy, G. H., & Wright, E. M., 1954, An introduction to theory of numbers, 3rd ed. Oxford, at the Clarendon Press.

16. Babaev, G., 1958, "Remark on a paper of Davenport and Heilbronn", Uspehi Mat. Nauk, vol. 13, Is. 6(84), pp. 63-64.

17. Rakhmonov, Z. Kh., 1995, "On the distribution of the values of Dirichlet characters and their applications", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 207, pp. 263-272.

18. Weil, A., 1948, "On Some Exponential Sums", Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., vol. 34, Is. 5, pp. 204 - 207. doi: 10.1073/pnas.34.5.204.

19. Cochrane, T. 2002, "Exponential sums modulo prime powers", Acta Arithmetica, vol. 101. pp. 131 - 149. doi:10.4064/aal01-2-5.

20. Ismoilov D, 1986, "Estimate of a character sum of polynomials", Dokl. Acad. Nauk Tadjhik SSR, vol. 29, no 10, pp. 567-571. (Russian).

21. Ismoilov D., 1986, "Estimate of a character sum of rational functions", Dokl. Acad. Nauk Tadjhik SSR. vol. 29, no 11, pp. 635-639. (Russian).

22. Ismoilov D., 1990, "Lower bounds on character sums of polynomials with respect to a composite modulus", Dokl. Acad. Nauk Tadzhik SSR, vol. 33, no 8, pp. 501-505. (Russian).

23. Ismoilov D., 1991, "Estimates of complete character sums of polynomials", Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 200, pp. 171-186, (Russian); English transl. in Proc. Steklov Inst. Math. 200 (1993), 189-203.

24. Ismoilov D., 1993, "A lower bound estimate for complete sums of characters of polynomials and rational functions", Acta Math. Sinica, New Series, vol. 9, pp. 90-99.

25. Ismoilov D., 1991, "Estimates for complete trigonometric sums", Number Theory and Analysis, Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 207, pp. 153-171, (Russian); English transl. in Proc. Steklov Inst. Math. 207 (1995), 137-153.

26. Postnikov A. G., 1955, "On a character sum modulo a prime power of a prime", Izv. Acad. Nauk SSR, ser. Mathem., vol. 19, no 1, pp. 11 - 16. (Russian)

27. Mardjhanashvili К. K., "An estimate for an arithmetic sum", Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, Is. 7, pp. 391-393.

28. Karatsuba A. A., 1993, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, Berlin, xiv+222 pp.

29. Prachar K., 1957, Primzahlverteilung, Springer-Verlag.

30. Heath-Brown D. R., 1982, "Prime numbers in short intervals and a generalized Vaughan identity", Canad. J. Math., vol. 34, pp. 1365-1377.

Получено 6.09.2021 г. Принято в печать 21.12.2021 г.