ОЦЕНКА КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ В ДЛИННЫХ ДУГАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 22. Выпуск 4.

УДК 511.32 1)01 10.22405/2226-8383-2021-22-4-198-222

Оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами в длинных дугах

3. X. Рахмонов

Рахмонов Зарулло Хусенович — доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистана, Институт математики им. А. Джураева (г. Душанбе). e-mail: [email protected]

Аннотация

При решении ряда аддитивных задач с почти равными слагаемыми наряду с оценкой коротких тригонометрических сумм с простыми числами вида

Як(а; х,у) = Л(п)е(апк),

х—у<п^х

в малых дугах, также нужны оценки этих сумм в больших дугах за исключением малой окрестности их центров, и асимптотическая формула в малой окрестности центра больших дуг-

В работе, воспользовавшись вторым моментом Ь-функций Дирихле на критической прямой для Ь\(а; х, у) в больших дугах Ш(^ь), т = уъх~2 ^, ^ = 1пхд за исключением малой окрестности их центров |а — ^| > (2пк2хк~2у2) \ при у ^ х1 2к-1+^к

2__+ 22+ (2Д - t) bl

= -, =, Сь = ,__,

4к — 5 + 2л/(2к — 2)(2к — 3) 2^](2к — 2)(2к — 3) — (2к — 3)

получена нетривиальная оценка вида

Як(а; х,у) < у^-А,

где А, Ь1, Ь — произвольные фиксированные положительные числа, а в малой окрестности центров больших дуг доказана асимптотическая формула.

Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма с простыми числами, большие дуги, плотпостпая теорема, Ь-функция Дирихле

Библиография: 22 названия. Для цитирования:

3. X. Рахмонов. Оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами в длинных дугах // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 198-222.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 4.

UDC 511.32 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-198-222

Estimates of short exponential sums with primes in major arcs

Z. Kh. Rakhmonov

Rakhmonov Zarullo Khusenovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: [email protected]

Abstract

For a number of additive problems with almost equal summands, in addition to the estimates for short exponential sums with primes of the form

Sk(a; x,y) = A(n)e(ank),

x—y<n^x

in minor arcs, we need to have an estimate of these sums in major arcs, except for a small neighborhood of their centers. We also need to have an asymptotic formula on a small neighborhood of the centers of major arcs.

In this paper, using the second moment of Dirichlet L-functions on the critical line, we obtained a nontrivial estimate of the form

Sk(a; x,y) < yL-A,

for Sk (a; x, y) in major arcs M(Lb), t = y5x-2L-bl, L = ln xq, except for a small neighborhood of their centers |a — 11 > (2nk2xk-2y2) , when y ^ x1 2k-1+^k LCk, where

2 2A + 22+ (— i) bi

Vk = -. , ck = -, ---,

4k — 5 + 2v/(2k — 2)(2k — 3) 2y^(2k — 2)(2k — 3) — (2k — 3)

and A,bii, b are arbitrary fixed positive numbers. Furthermore, and we also proved an asymptotic formula on a small neighborhood of the centers of major arcs.

Keywords: Short exponential sum with primes, major arcs, density theorem, Dirichlet L-function

Bibliography: 22 titles. For citation:

Z. Kh. Rakhmonov 2021, "Estimates of short exponential sums with primes in major arcs", Cheby-shevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 198-222.

1. Введение

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [-ж, 1 — ж], жт = 1 представимо в виде

а 1

а = - + Л, (а,д) = 1, 1 < д < т, Ш . д дт

Через M(P) обозначим те числа а, для которых q ^ Р, через m(P) обозначим оставшиеся а. M(P) и m(P) соответственно называются большими и малыми дугами.

Виноградов И.М. [1, 2] первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида

Sk(а; х,у)= Y. Л{п)е{апк),

х—у<п^х

при к = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную оценку в малых дугах m(exp(c(lnlnх)2)), т = хз при у > хз +£, основу которой, наряду с «решетом Виноградова», при к = 1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида

Jk(а; х, у, M,N) = ^ am ^ Ъпе(а(тп)к

М<т^2М U<n^2N

х—у<тп^х

где ат и Ьп - произвольные вещественные функции, |am| ^ тс(т), |6га| ^ тс(п), M, N, U ^ N - натуральные, х > xq, у - вещественные числа, с - абсолютная постоянная, не всё время одна и та же.

Затем Хейзелгроув С.Б. [3], Статулявычус В. [4], Пан Ч.Д и Пан Ч.Б. [5], Тао Ж. [6] для суммы S! (а; х,у), у ^ х®, получив нетривиальную оценку в малых дугах и изучив ее поведение в больших дугах, доказали асимптотическую формулу в тернарной проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями Ipi — N/Щ ^ H, H = Nсоответственно при

„ 63 279

в =--h е,--h е,

64 ' 308 '

2 5

3+ 8+

Лю Дж. и Тао Ж. [7] как в малых дугах, так и в больших дугах получив нетривиальную оценку суммы 62(0; х,у) при у ^ хи+£ доказали теорему, что достаточно большое натуральное число N можно представить в виде

N = Pi + Р2 + р1,

Рз

N

Y

^ н,

Рз

N

Y

^ н,

27 | _

H > N27 +£,

и в работе [8, 9] решили задачу Хуа [10] о представимости достаточно большого натурального числа в виде суммы пяти квадратов почти равных простых чисел и показали, что достаточно большое натуральное число N, N = 5(шоё 24) можно представить в виде

N = р\ + ... + р2,

Рз

9 I

< H, H ^ N20

Лю Дж. и Тао Ж. [11] воспользовавшись теоремой М. Ютилы [12] о четвёртом моменте Ь - функций Дирихле в критической прямой, получили нетривиальную оценку суммы Бк(а;х,у), к ^ 3 в больших дугах Ш(^С1), т = у2к-1х-к+1^-С3 при у ^ х1-2к-1 +£, где ^ = 1п хц. Кумчев А.В. [13] получил нетривиальную оценку суммы (а; х,у) в малых дугах ш(Р), т = хк-2к+3 Р-1 при у ^ х1- 2к+3 +£. Яо Я. [14], воспользовавшись этими оценками, обобщил теорему Хуа [10] в проблеме Варинга - Гольдбаха для кубов, то есть доказал, что всякое достаточно большое нечетное натуральное число N можно представить в виде

pi + р3 + • • • + pi = N,

31N

Рг — \1^

1 1 I ^

< Nз-51 +£.

В 2016 г. З.Х. Рахмонов и Ф.З. Рахмонов [15, 16], воспользовавшись методом оценки тригонометрических сумм с простыми числами И.М. Виноградова, получили нетривиальную оценку вида

У

х,у) ,

на малых дугах т (&32(Б+20))) т = у5х—2&—32(в+20) При у ^ х4&8В+15\ где В — абсолютная постоянная (см. также [17, 18, 19, 20].

Основным результатом этой работы является теорема о поведении суммы (а; х,у) в больших дугах ь), т = у2к—1х—к+1 &—Ъ\ где Ь, 61 — произвольные фиксированные положительные числа.

Теорема 1. Пусть х ^ х0, к ^ 3 — фиксированное целое число, А, Ъ1, Ь — произвольные фиксированные положительные числа, 1 ^ д ^ ,

п 1 „,2к-1

а = - + Л, (а,д) = 1, |Л| < -, г = ^^. д дт хк—1

•Лп,к-2„2\-1 5

Тогда, при \ ^ (2пк2хк 2у2) и у ^ х8 & 1>5^+0>25Ь+18 справедливо равенство

вк(а; х,у) = -^ ^ е(—\ Г е(Хик)йи + О —А) , 1 V Ч ' ¿х—у

(а,д) = 1

_ 1 1__1

при X > (2пк2хк—2у2) и у ^ х 2к-1+^к где

2А + 22+ (2^—3 - 1) &1

'Пк = —-;-„ , Ск

4к - 5 + 2у/(2к - 2)(2к - 3)' 2^(2к - 2)(2к - 3) - (2к - 3)'

имеет место оценка

Бк(а; х,у) < у&—А.

Явные значения параметра % при к равным 3, 4, 5 и 6 имеют вид:

22

ш =-- и 0,1435935394, щ =-== и 0, 0910976998,

7 + 4лД 11 + 2л/30

22

щ =-— и 0, 0667409058, ш =-— и 0, 052668078.

15 + 4^/14 19 + 2^90

Эта теорема чуть слабее, чем вышеуказанная теорема Лю Дж. и Тао Ж. [11], и в её доказательстве используется теорема о втором моменте Ь - функций Дирихле на критической прямой [21, 22] (см. также [23, 24]).

а

2. Известные леммы

Лемма 1. Пусть действительная функция - f (и), и монотонная функция - д(и) удовлетворяют условиям: f' (и) — монот он на, |/'(и)1 ^ т1 > 0 и 1д(и)1 ^ М. Тогда, справедлива оценка:

[ь М

д(и)е(/(и))йи ^ —.

Доказательство см. [25]

Лемма 2. Пусть действительная функция - f (и), и монотонная функция - д(и) удовлетворяют условиям: f'(и) — монотонна, |/"(и)| ^ т2 > 0 и 1д(и)1 ^ М. Тогда, справедлива оценка:

[ь М

9(и)е(/(и))йи < .

За л/т2

Доказательство см. [25]

Лемма 3. Пусть 2 ^ Т0 ^ х, р = [3 + г^/ — нетривиальные нули функции Ь(в,х)- Тогда,

Ехр 2

— + Я(х,То), Я(х,То) ,

Р 10

ЫОО р 0

где Е0 = 1, есл,и х = Х0> Е0 = 0, если х = Х0-Доказательство см. [26]

Лемма 4. При подходящем, с> 0 функция Ь(в,х), ^ = а + И не имеет нулей в области

с

а ^ 1 - 5(q,t), S(q,t) =

max(ln q, ln3/4(\t\ + 3) ln3/4 ln(|í| + 3))'

для всех характеров X по mod q, за, исключением, быть может простого действительного нуля, у L-функции, определенной исключительным, характером xi-

Доказательство см. [27]

Лемма 5. Число нулей р функции L(s,x), X (mod q), для, которых Т ^ |71 ^ Т + 1, не превосходит, с ln qT.

Доказательство см. [28].

Лемма 6. Для любого е > 0 существует с = с(е) такое, что еели xi — действительный характер по модулю q и fii — действительный нуль L(s,xi), то

А < 1 -

Г

Доказательство см. [28].

35 .

Лемма 7. Пусть е сколь угодно малая положительная постоянная, и Т ios + ^ Н ^ Т, тогда справедливы оценки,

( (qH)a-s(l-u)(lnqH)9, для 1 < и < -^ (N(и,Т + Н,х) - N(и,Т,х)) « \ 3 4

X mod g [ (qH) и (l-u)+s, ¿ЛЯ - ^ U ^ 1,

Доказательство см. [22].

Лемма 8. Пусть а, к и q — натуральные ч,исла, (a,q) = 1, Vk(q) — число вычетов степени к по модулю q,

q (ahk\

т(х,а,к) = X(h)e(-^) , h=l \ Ч /

Тогда, имеет место неравенство

ln к

\т(х,а,к)\ < 2(т(q))

Доказательство Утверждение леммы следует из задач 8.а) и 8.р), стр. 103 учебника [29].

3. Доказательство теоремы 1

Доказательство теоремы разобьём на несколько этапов.

3.1. Сведение доказательства теоремы к оценке суммы Ш(а; х,у)

Из условия 1 ^ д ^ к ^ 3 — фиксированное целое число, следует, что

Ф) ^'

Применяя к сумме т(х,а,к) лемму 8, а затем последнюю оценку, найдем

("г

Н=1 4 4 '

\т(х,а, к)\ =

Пользуясь свойством ортогональности характеров, находим

1

^(0)

< (тШ Ы « ^. (1)

вк(а;х,у) = £ т(х,а,к) £ Л(п)х(п)е(Апк) + 0(&2). (2)

х тоё д х—у<п^х

Далее применяя преобразование Абеля в интегральной форме, имеем

гх

^ Л(п)х(п)е(Хпк) = - / ф(и, х)Ле(\ик) + е(Ахк)ф(х, х) - е(Х(х - у)к)ф(х - у, х).

х—у<п^х Х-У

Пользуясь леммой 3 при То = (ху—1 + |А|х^) найдем

^ Л(п)х(п)е( Апк) = -Г ¡Еои - ^ — | йе (Аик) + е(Ахк) | Еох - ^

х—у<п^х -)х-у \ М^Ю ^ ) ' ^™

- е(А(х - у)к) ¡Ео(х - у) - £ ^^

V ы^о р

¡■X

- Щи, То)2ткАик—1 е(Аик)йи + е(Ахк)П(х, То) - е(А(х - у)к)П(х - у, То).

■) х—у

Применяя к первому интегралу формулу интегрирования по частям, а также пользуясь оценкой для Щ(и; То, х) из леммы 3 и значением параметра То, найдем

£ Л(п)х(п)е(Апк)=Ео [* е(Аик)йи - £ 1(р,А) + 0[ -^у—) ,

х—у<п^х |7|<т0 \Ч2 & А+)

1(р,А)= [ и13-1е(Аик + — \ии)йи.

.¡х-у у 2п )

Подставляя найденную формулу в (2) и воспользовавшись оценкой (1), находим

т(хо,а,к) [х к „а тг т^ , лл о>-А

вк (а; х, у) = Т-(х^Г е(Аик )йи-№(а;х, у) - Е№(а;х, у)+0(у&—А), (3)

-1 х—у 1

IX—у

№ (а; х, у) = ^ т(х,а,к) ^ 1(р,А),

X тоё д

W1(a^,x, у) = ^ ^ т,х),

где Е\ = 1, если то модулю д существует действительный характер \1 такой, что Ь(в,Х1) имеет действительный нуль ^ 1 — с/ \nqrn Е\ = 0 в противном случае.

Оценка (а;х, у)Пользуясь тривиадьными оценками суммы т(х\,а,к) и интеграла 1(^1, X), найдем

W (a;x,y)I =

т(Х1,а,к) Г u*-1 е(Хук)du

< yxßl-1.

х

-(Q) Jx-y ßl

Согласно лемме 6, имея в виду, что q ^ Lb, при е = (2Ь)-1 имеем

^-1 = exp ((ßi - 1)L)) < exp(-^Lj < exp (-Щ)^ = exp{-c(e)VL). Следовательно,

lWi(a;x, у)| < yexp(-c(e)VL) < yL-A. (4)

Преобразование |W(a;x, y)|. Переходя к оценкам, имеем

|W (а; х, у)| < -L £ | r(x,a,k)\W (Л,х), W (Х,Х) = £ I T(P,2)I, ^

х mod д |7|^То

P=ßl

ß1 Х1

такой, что L(s, xi) имеет действительный нуль ßi ^ 1 - с/ lng. Сумму |W(а;х, у)| будем оценивать только в случае Л ^ 0. Случай Л ^ 0, сводится к случаю Л ^ 0 с помощью соотношения

W(Л,х)= Е \7(^Л)\ = Е Г uß-1e (-Лик - ±~7lnu)du

ЫОо |7|<То Jx-y V 2 J

P=ßi P=ßi

= E II(p, -Л)| = E IT(p, -л)1 = W(Х, -Л),

itkto |7|<tO

P=ßi P=ßi

Оценивая интеграл I(p, Л), воспользовавшись леммой 1, при М = xß-\ f (и) = Лик + lnu и Ш1 = min f'(u), найдем

1т-t \м / xß-1 xß , k_i 7 7 + 2nk2uk

I!(P, Л)| ^-, ,,. ,. =-,—--—г, f (u) = кЛuK 1 +--— = --.

1 VF' n min | f' (u) I min Ixf'(u)I'JKJ 2ttu 2ttu

Интеграл I(p, Л) оценим также и при помощи леммы 2, полагая М = xß-1, Ш2 = min f"(u).

Имеем

,м xß-1 xß „.., . 2тгк(к - 1)2uk-7

I I(P, Л)! ^ / • ,1 = , • , 2т , f'(u) = —--

л/mm I f''(u)I л/mm Ix2 f''(u)I 22u2

Следовательно, с учётом следующей тривиальной оценки

ix-y

имеем

f X

II(P,2)I uß-1du < yxß-1,

J x—y

11( P, 2)I ^xß mini y,-, * Л| , , 1 = |

\x' min Ixf'(u)I' )

Эту оценку пользуясь соотношениями

lxf(u)l = |7 + 2тгкХик^ |7 + 2тгкХик^ ^|7 + 2тгкХик|,

2тги 2тгх 2тг

2 ,, _ 12жк(к - 1)Хик - 7|ж2 12жк(к - 1)Хик - 71

|ж 1 (u)l = W ^ ,

представим в виде

|/(р,Х)1^ х3 mini V-,-,-1 ,, , , 1 |. (6)

'V Л min |7 + 2ъкХикУ ^2ък(к - 1)Хик - 71) ''

Подставляя эту оценку и (1) в (5), получим

IW (a; x,y)I^L Е W (Х,Х).

* х mod q

3.2. Доказательство теоремы в случае Л ^ (2жк2хк-2у2Л) 1

В этом пункте будем считать, что для параметра у выполняется условие

ж8L^о,25^18 ^ у ^ xl-A-o,5b-s_ (8)

Все нули р = р + г^ функции L(s, х) с условием I7I ^ То разобьём та множества Di, D2 и D3 следующим образом:

Di = : -То ^^ < -2тткХхк - ^ ,

D2 = (р : -2тткХхк - - ^7 < -2тткХ(х - у)к + -1 , I У У)

D3 = ^р : -2тткХ(х - у)к + <То} .

Обозначая через Wj(X,x\ j = 1, 2, 3 сумму модулей интеграла I(p, X) то нулям р, принадлежащим множеству Dj, представим сумму W(Х,х) в (5) в виде:

w (\,х) = Wi(X,x) + W2(\,x) + W3(x,\). (9)

Оценка Wi(X,x)- Прибавляя слагаемое 2икХик, х - у < и ^ ж ко всем трем членам

Di

Di = : -То + 2тткХик ^7 + 2тткХик < -2тткХхк + 2тткХик - ^ ,

В отрезке х — у<и ^ х функция 2тткХик монотонно возрастает, поэтому для правой границы множество Их, имеем

—2тт кХхк + 2ттк Хик — - < -

Следовательно, если р принадлежит множеству Их, то выполняется неравенство 7 + 2тткХик < — поэтому для монотонной возрастающей функции 7 + 2тткХик в отрезке х — у ^ и ^ х справедливо соотношение

шт + 2-ккХикI = — шах(7 + 2тткХик) = — 2-ккХхк ^ —, если р Е

Отсюда с учетом второй оценки (6), находим

_г3

"7

^^ «Е ■

peD-

Все нули в множестве

Di = : ^ < -j - 2тткХхк <То - 2тткХхк j

разобьем на классы Dii, ..., Dir, г « Тох iy следующим образом: в класс Din отнесем те нули р, для которых выполняются условия:

пх к (п + 1)х — < - 2тткХхк ^ --—.

Поэтому

Wi(X,y) « V V -Х>3 , Л , < - V V — < — max У^х3 < — max V х3.

^ - 2жкХхк X ^ ^ п х i^n^r X \ТкТо ^

n=ipeDln 1 n=ipeDln peDln 1 0т-^<^т

Оценка W3(x,X)- Прибавляя слагаемое 2nkXu\ х - у < и ^ ж ко всем трем членам неравенства, с помощью которых определяется множество D3, получим

D3 = : 2тткХик - 2тгкХ(х - у)к + ^<4 + 2тткХик <То + 2тткХикj .

В отрезке х - у < и ^ х функция 2тгкХик монотонно возрастает, поэтому для левой границы множество D3, имеем

2тгкХик - 2тгкХ(х - у)к + - ^

У У

Следовательно, если р принадлежит множеству D3, то выполняется неравенство 7 + 2тткХик > поэтому для монотонной возрастающей функции 7 + 2тткХик в отрезке х - у ^ и ^ х справедливо соотношение

min Ij + 2-ккХик| = min(7 + 2тткХик) = j + 2тткХ(х - у)к ^ —, если р Е D3. Отсюда с учетом второй оценки (6), находим

х3

Щз(х,Х) « Е 7 + 2.кХ{х — у)к ■

Все нули в множестве

03 = |р : ^ ^7 + 2тгкХ(х — у)к <П + 2тгкХ(х — у)к^ , разобьем на классы ..., г ^ Т0х-1у следующим образом:

в класс отнесем те

нули р, для которых выполняются условия:

пх , .к (п + 1)х

— < ^ + 2тг кХ(х — у) ^-, если 1 ^ п ^ г.

Поэтому

г р г р с/>

W3(x,\) « У У —-^ < - У У — < — У^

7 + 2тгкХ(х — у)к x п x \ткт0

п=1 peD3n ' 1 v п=\ peD3n 1 ^ 0 т-1

Оценка W2(X, x)- Представляя множество D2 в виде

D2 = \р : Т — 2тгкХ(хк — (х — у)к) + — < —7 <тЛ , Т = 2жкХхк + - ^ То,

х

^ —1 ^ , Т1 = 2ик\х~ + имея в виду, что при X ^ (2ик2хк-2у2) 1 для длины множество выполняется неравенство

2ттк\(хк — (х — у)к) + — < 2ттк2\хк-1у + — < (2к + 2)Х, и воспользовавшись тривиальной оценкой интеграла 1(р, X), то есть первой оценкой (6), имеем

W2(X, X) < У 11(р, х? < (2к + 2)у шах У хР «У- тах У х?.

^ х ^ х |Т|^То ^ х |Т|^То ^

1 1 0 Т-11 1 0 Т-1^Т Подставляя полученные оценки для W1(X,x)■1 W3(x,X) и W3(x,X) в (9), а затем (7), найдем

^ ( а; х, у)\«У-^2 та^уАт,х\, (10)

у/я.х 1Т|^То У/

V, (Т, и)= £ £ х^, и < Т.

X шоа д Т-и<~(^Т

Для оценки Vq (Т, и) воспользуемся плотностной теоремой в узких прямоугольниках критической полосы для нулей .¿-рядов Дирихле по модулю ц и теоремой о границе этих нулей . Имеем

1

и

Vq(Т, U)=L I хи £ (N(и, Т, x) — N(и, Т — U,x))du + £ (N(T,x) — N(Т — H,x)) <

0 х mod q x mod q

< 2L rnXk— У (N(и, Т, x) — N(и, Т — U,x)).

X mod q

Согласно лемме 4 функция L(u + it, x) не имеет нулей в области

i

и ^ 1 — 6(q, t), S(q, t) =

max (in q, (ln(i + 3) lnln(i + 3))

для всех характеров x mod q, за исключением, быть может, простого действительного нуля Pi v L-функции, определенной исключительным характером xi- Поэтому имея в виду, что 5(q,Т) ^ 5(q,Т0), найдем

Vg (Т,и) < 2L max хи V (N(и,Т,x) — N(и,Т — U,x)), S = S(q,То). (11)

S —'

X mod q

Подставляя правую часть этого неравенства при U = | в (10), найдем

IW (а; х, у)1< max max хи У (N (и,Т,x) — n(и,Т — ) . (12)

1 v' yfq-\T\^To ^ mod V У J'

Из соотношения ITI < То = (ху-i + 1\1хк) q2L^+3, 0 < Л < (2жк2хк-2у2) и условия (8), имеем

Т

1

(жу-1)3 \х2 j \х

Отсюда следует, что в сумме по % mod q в (12) выполняется условие | ^ Т з, то есть к этой сумме можно применить лемму 7. Полагая в этой лемме е = имеем

IW(а;х, y)I« Ai + A2, (13)

ю / \ 4—4-ц

. у Li2 и qx\ 3-2«

Al = -- max хи —

vfqx о,5^иФ75 \ у

yL3 и f u

v2 =- max хи —

^fqx о,75^и^1-й \y

(l-n)+e

Оценка Al. Имеем

ql,5xLi2 ( qx\«-1,Б

П =- max h(u), fi(u)=xu[ —) > 0,

fi(u) = fi(u) I lnx + --I =--ln

(u - 1, 5)2 (u - 1, 5)2 qX-u2+3'u-i,25 '

Из условий у ^ x5Ll,5A+°,25b+l8 ж q ^ Lb, а также из соотношения

max (-и2 + 3u - 1, 25) = (-и2 + 3u - 1, 25) I „ „K = —,

о,5^и^о,75У ' J У ' Ли=о,75 16

следует, что

ln-У iok ^ ln ^^-7-^ lnx 16 L 1,5^+18-о,75Ь > lnx § > 0,

дх-и2+3и-1,25 Lbx 16

то есть /[(и) > 0 и /[(и) возрастающая функция. Воспользовавшись этим свойством, а затем соотношением у ^ х5^[,5А+0,25Ь+[8^ имеем

4 2 2 xql'5Ll2 з/qx\-4 /жМLl8\ 3 /ж^о'25Ь+18\3 ,

5 "ЧV) НН(—) «vL

Ai =-ж4 — = У-

A2

2=

у3 eL3 / пТ. \ «

2

"(?) 2

. max /2(и), /2(и) =хи[^\ > 0, S = S(q, То).

q2'5-eX3-e о,75^и^1-5 " """ ' \у

У

,2(,) = ,2(М Iln* + | = ^ln ф.

Из условий у ^ х5L 1$а+02ЬЪ+1'8 ъ у ^ l^ а также из соотношения

max (-и2 + 1) = (-и2 + 1) I „ „к = т7,

У

следует, что

y х fee 1,5++0,256+18 3 ,

> \n —-7-^ \n х L М^18-0,75^ > 0,

qx1-u^ Lbx 16

то есть ¡2(и) > 0 и /2(и) возрастающая функция. Воспользовавшись этим свойством, имеем

,3-е ¿¿-3 Т2? ^Т2??„,Т?л

y3-eL^ 1-S {qx\1-5 _ хI-3 хi-"°+£L3

= ,2,5-е„3-ех I — ) = У • 05. 25 . 25 ,. < У 5 X

■72,5-е™3—£ \ ,, 0 5+ —__е

4 х \ y / 0'5+ 1-5 у 1-5

25

q 1-5 y1-5 1 у1

i ^лЛ 5 4+0 25А+18

х 8

с/>\,5А+0,256+18 \ 1-г = yj^3 I х 8 L_х f (&,е) jg-1,5+-0,256-18

f( S, e) =

¿ + ¿2 + (1 - 5)e _ 5

^dT^ 8'

5

Отсюда имея в виду, что y ^ х8L 1>5^+°>25Ь+18) получим

A «y^xf{д'£) 1-й L3. Далее при е = воспользовавшись соотношением

Kö e)2Ö + (1 - Ö)£ = -Ö- + 3 (е -Ö-__<-*-

1(0, £) 1 -5 8 + 8\£ 3 3(1 - S)) " 8,

находим

A « yx-0'125&L3 « yL3 exp (-0,125ÖL).

— 1 5

Пользуясь условиями Л ^ (2ik2xk-2y2) и y ^ х8L 1,5^+0,256+18? имеем

Т0 = (Х + ЛхЛ ^ LА+3 Х + LА+0'5Ь+3 < x2LА+0'5Ь+3 < х,

\y J \y 2ik2y2 J y2

Воспользовавшись этим неравенством, оценим снизу параметр 5 = ö(q,10):

ö(Q,П) =-7-^-3Y >-7---3Y > C1L-0'76.

max[\n q, (\n(T0 + 3)\n\n(T0 + 3)) 4 max[b\n L, (L \n L)33 J

Поэтому

A « yL3 exp (-0,125C1L0'24) « yL-A. Подставляя эту оценку и оценку полученной для суммы A в (13), получим

IW(а; х, y)l «yL-А. Из этой оценки и (4) ввиду (3) получим первое утверждение теоремы.

3.3. Доказательство теоремы в случае Л > (2пк2хк 2у2)

[

Вводим параметр Н = 2жк2Ххк [у, который при Х > (2ттк2хк 2у2) удовлетворяет условию

Н > (14)

Все нули р = 0 + г^ функции Ь(,в,х) с условием ^ Т0 разобьём та множества А, А и А следующим образом:

'р : —10 ^7

А = {р : —Т0 < —2тткХхк — Н} , А = {р: —2тткХхк — Н ^7 < —2тткХ(х — у)к + н} А = {р : —2тткХ(х — у)к + Н < Т0} .

Обозначая через Ш^(Х,х\ .] = 1, 2, 3 сумму модулей интеграла 1(р, Х) то нулям р, принадлежащим множеству А', предстоим сумму Ш(Х,х) в виде

Ш (Х,х) = Ш (Х,х) + Ш2(Х,х) + Шз(х,Х). (15)

Оценка Ш (Х, х)- Прибавляя слагаемое 2икХик, х — у < и ^ ж ко всем трем членам неравенства, с помощью которых определяется множество А) получим

А = {р : —Т0 + 2тткХик + 2тгкХик < —2жкХхк + 2тгкХик — н} ,

В отрезке х — у<и ^ х функция 2тткХик монотонно возрастает, поэтому для правой границы множества А, имеем

—2тткХхк + 2тгкХик — Н < —Н.

Следовательно, если р принадлежит множеству А, т0 выполняется неравенство

7 + 2тткХик < —Н,

поэтому для монотонной возрастающей функции 7 + 2ккХик в отрезке х — у ^и ^ х справедливо соотношение

шт + 2тткХик| = — шах(^у + 2тткХик) = — 2тткХхк ^ Н, если р Е А, Отсюда с учетом оценки (6), находим

^—л х™

Ш(Х,х) .

рео!

Все нули в множестве

А = {р : Н < —7 — 2тгкХхк <П — 2тгкХхк}

\Р : Н ^ —-у

разобьем на классы АХ, ..., Аг, t < Т0Н-[ следующим образом: А п

пули р, для которых выполняются условия:

пН < — ч — 2тгкХхк < (п + 1)Н, если 1 ^ п ^ I.

Поэтому имеем

Ш[(Х,х) < У У -^^ < У У < Ъ шах Ух3 <

[\ -,л.) — ^ — 2жкХхк ^ ^ пН Н ^

п=[ реИгп п=[ реИгп реИгп

^ Ъ шах У^ х3 < Л ^ л шах У^ х3. Н \т\<г0 ^ Ххк-[у \Т\<Т0 ^

1 ^ 0т-н<1<Т у 1 ^ 0 Т-Ххк-1у<1^Т

Оценка Ш3(Х,х)- Прибавляя слагаемое 2икХи\ х — у < и ^ ж ко всем трем членам

Аз

Бз = |р : 2тгкХик — 2тткХ(х — у)к + Н < ^ + 2тгкХик + 2тгкХик}.

В отрезке х — у < и ^ х функция 2тгкХик монотонно возрастает, поэтому для левой границы Аз

2ъкХик — 2ъкХ(х — у)к + Н ^ Н.

Следовательно, если р принадлежит множеству Оз, то выполняется неравенство

7 + 2тткХик > Н,

поэтому для монотонной возрастающей функции 7 + 2тгкХик в отрезке х — у ^ и ^ х справедливо соотношение

шт + 2тгкХик| = шт(7 + 2тгкХик)=7 + 2тгкХ(х — у)к ^ Н, если р Е Аз.

Все нули в множестве

Аз = {р : Н < ^ + 2тткХ(х — у)к + 2тткХ(х — у)к} ,

разобьем на классы Аз[, ..., В^, £ < Т0Н-[ следующим образом: в класс Азп отнесем те нули р, для которых выполняются условия

пН <-! + 2тгкХ(х — у)к < (п + 1)Н, если 1 ^ п ^ I.

Поэтому имеем

г х3 г х3 Ъ

Шз(Х,х) <у у --тг < V У" ^ < Ъ шах У X3 <

•п -,л.> ^ + 2тгкХ(х — у)к ^ ^ пН Н ^

п=[реОз„ 1 К у' п=[реОз„ реОзп

^ Ъ шах У^ х3 < л Ъ л шах У^ х3. Н |Т|^То т-Н^Т Ххк У \Т№Т-Хх^у<^Т

Оценка Ш2(Х,х)- Вводя обозначения

Т[ = 2тгкХхк + Н, Н[ = 2тгкХ(хк — (х — у)к) + 2Н, Т2 =Т[ + 2тгк(к — 1)Хик,

где х — у < и ^ х, представим множество А2 в следующих видах:

А2 = [р : Т[ — Н[ < —7 < Т[} = |р : Т2 — Н[ < 2тгк(к — 1)Хик — ^ < Т^ . (16)

Воспользовавшись неравенством

(х — у)к ^хк — кхк-[у, (17)

являющиеся следствием теоремы Лаграижа о конечных разностях, а затем значением параметра Н = 2ттк2\хк-1у, имеем

Т2 — Hi = 2ък(к — 1)\ик + 2ъкХ(х — у)к — H ^ 2жк2Х(х — у)к — H ^

^ 2ък2Х [хк — кхк^у) —H = 2^1 — (к +1)У) ък2Ххк > ък2\хк,

Поэтому, если р е D2, то пользуясь третьей оценкой (6), найдем

I1(.Р,Х)\ « ^ - ^-^ -

\/2ттк(к — 1) \ик — 7 л/Т — Н1 л/'кк2\хк Отсюда, затем из представления множества ^2 в виде (16), получим

хР 1

W2(x,x) = Е I[(р,х)1« Е тщх=к = тщх=к Е х^.(18)

Пользуясь неравенством (17), оценим сверху Н1 — длину множества ^2 и снизу её нижнюю Т1 — Н1

Н1 = 2тгк\(хк — (х — у)к) + 4ттк2\хк-1у < 6ттк2\хк-1 у, Т1 — Н1 = 2тгк\(х — у)к — 2тгк2\хк-1у ^ 2жк\хк — .

Отсюда и из

Т1 = 2ттк\хк (

1 + ~х ) слвДУ611) чт0 в (18) границы суммы по 7, то есть Т — Н1

и Т1 являются величинами порядка Ххк, а её дли на Н1 является величиной порядка \хк-1у. Разобьём интервал суммирования Т1 — Н1 ^7 ^ Т1 на те более 6тгк2 интервалов вида

ж \хк — \хк 1у <7 — жХх ичен:

правую часть (18) представим в виде

где постоянная ж принимает значение из интервала 2ттк — < ж — 2ттк + ^jf^j, и

X) Е х^.

Для удобства не ограничивая общности будем считать, что ж = 1. Подставляя эту оценку, оценки W1(X,x) и W3(X,х) в (15) и имея в виду, что \хк < То, а затем и X > (2ттк2хк-2у2) ,

имеем

W(X,x) « —. 1 (1 +—, L I max У^ х13 « —L max У^ .

Jx^K \ГхХХк~2у)\T\<Tn \T\<Tn

T-Xxk-1y<j-T v y T-Xxk-1y<j-T

Подставляя эту оценку в (7), получим

22

|W(а;х, у)1 « . = max У^ У^ = , max V0(Т,\хк iу),

VX<?X 1 К 0Х mod q Т-Xxk-1y<1-T V Мх I I- 0

где сумма Vq(Т, U) определена в (10), и в формуле (11) полагая U = \хk-lу, найдем

L 3 / \

^(а;х,у)\«^== ma\ max Ы^Т^) — Щи,Т — Хх^у^)) , (19)

VM-*\т\-тохmod/ '

к

где 5 = 5(д, Т0). Далее будем считать, что для параметра у выполняется условие

X1-^^^^к ЪСк <У< ХЪ-А-05-[0. ^

Из определения параметра Т0, условия Х > (2лк2хк-2у2) 1 и (20), имеем т < Т0 = лДЪА+з + л/дЪА+3 <

< / \ и 1 \ и \ а аи л л + \ о ои и и<

( Ххк—1у)3^ (\хк—1 у)3 Хзхзк—4у4 Х2х2к-3у3

{2ттк2)3 y2LA+0'5b+3 {2ттк2)2 yLA+0'5b+3 х2 X

следует, что в сумме по % mod q в (19) выполняется условие \хк—1у ^ Тз, то есть можно применить лемму 7. Полагая в этой лемме

/ щ 2к - 5 + щ \

£ = mm{8J-T),-5-6), (21)

имеем

IW (а;х, у) I « Bi + B2, (22) ?12

Bl = L max хи (а\хк ly) 3 2u , л/\дхк о,5<,и<л,75 V J

L3 ( к_ л Ч1 (1—и)+е

B2 = . max хи qXx" ly Г .

л/д\хк о,75^1—S(д,Т0) V )

Оценка Bl. Имеем

У1 l 12 ( 1 з\ / \

Bi =-— n rmax^exP( fi(u)), fi(u) =и Ьж + -— + ~)ln (q\xk—ly ,

х2 о,54и^о,75 - 1, 5 2 J V /

„ ln С а\хк—1у) „ 2ln( а Ххк~ ly)

Покажем, что fl (0, 5) > 0. Действительно воспользовавшись условиями 0 ^ А ^ i, т =

xk-iJ-b1 и У ^ х1 2к--+% LCk, имеем

, N [гСк—2„ \ /^2к—3<^>Ь1\ ( т2к-3 с/>Ъ 1 \

- Л(0, 5) = ln ( q\хк—2у) < ln( ^-У )=ln( U l^ 2к 2 *2к-2L- =

V ' V Т J \ У2к 2 ) \х 2к-1+„к L(2к—2)ск)

= ln(х~2к++кLbl—(2к—2)СЛ = —11 + Пк L + (b 1 - (2к - 2)Ск) ln L < 0.

V J 2к - 1 + щ

к— l — к— l — Далее для оценки Bi рассмотрим два случая: q\хк ly < х -6 и q\xк ly ^ х -6.

Случай qХхк—ly < х -6. Имеем

16 16 9

Л (и) > л (0, 75)=lnx--ln(qXx,i—1 у) > 1пж--1пж -6 = 0,

9 9

то есть f' (и) положительна и f\ (и) возрастающая функция в интервале 0, 5 ^ и ^ 0, 75. Воспользовавшись этим свойством, а затем соотношением (20), имеем

112 L12 112 L12 {3 1 \ / \ 1 1 1

Bl = exp (fc(0, 75)) = iLL- expl 3ln^ + -ln(qXxk—1 у)) = (дХхк— ly) 6 ж 4y 2 L12 <

х- х- \4 6 J \ /

11 1 (х~ 2к-1+-пк с/>ск \ 2 10к+Б-к-21 < хЙуТ%12 = У х-^ 32(2к-1+-к) % 12-0'5Ск « -А,

Случай дХхк-1у ^ хте. Ради удобства вводя обозначение

у = х1-»2%с, (23)

будем искать наибольшее значение параметра у и наименьшее значение параметра с, для которого выполняется оценка

В « у%-А. (24)

1 у2к-1 ^ 1 7 1

Воспользовавшись условиями 0 ^ X ^ —, т = ху_ 1^ъ1 и У ^ х 2к 1+-к %Ск, имеем

хк-11. /х\2к-2 . 1 л2к-2 , 1+-к дXxk-1y < = (^ < (х2к-1+-к%-Ск) = х 2к~ 1+-к-(2к-2)ск.

Следовательно

16

/1 (0, 5) = \пх — \n(qXxk-1 у) > 0, Ц(0, 7Ь) = \пх--Ы^^1 у) < 0,

9

3 (\п(дXxk-1y)\ 2

и точка ио =--I --- I , где ¡1(ио) = 0 принадлежит интервалу интегрирования,

2 V \п х I

также в этом интервале выполняется условие /''(и) < 0. Следовательно, в интервале 0, 5 ^ и ^ 0, 75 график функции /(и) является выпуклым вверх, поэтому

^ у-2%12 . у-2%12 / , ( 1 3\ / к_1 ч\

В1 =-1— ехР (п(ио)) =-1— ехР I ио \пх + -— + - \ \nigXx У)) =

х2 х2 V \ио— 1, 5 2/ 4 Ч

- ¥ е,р ((2—(^)1) ^ х+(— (^)2+2) -

ху 2 %12 ехр^3\п ^х^у^ — 2 {\n(gXxk-1y)\nx^ ^ =ху^%12 ехр (д (gXxfc-1y)) , (25)

где д(1 ) = 2 \п ^ — 2 (\п £ \п х)2. Из условий

к-1 а 1 у2к-1

д^ ^ ^х 1е, X , т = ,

дт хК 1У1

и формулы (23) следует, что

9 хк-17. х2к-2 Ь1

х 16 ^gXxk-1y < = х 2fc-2 =хи%ь, и = (2к — 2)у2, ь = 61 — (2к — 2)с. (26)

и 1 9

Поэтому имея в виду, что £ = дXxk-1y ^ х 16, получим

. 3 (\пх)1 9\пЬ — 4\пх

д'(1) = — -—— =-1-1-— > 0,

2 Щпг) 1 2фпг) 2 (3(Ш) 2 +2(\пх) 1)

( )

сд(дXxk-1y) < д(хи^).

Отсюда с учётом соотношения

1 +__« ъ1—-

У 2 =х 2 + 4к—4 % 4к—4 ,

правую часть (25) оценим следующим образом:

1 ю И Ю Ъ1 —-

В < ху 2 %12 ехр (д (ха%'°)) = ух2+4к-4%12-4^ ехр (д (ха%'°)) =

1 I И Ю Ъ1 — -и / 3 1 \

= ух 1+4к—4%12-4к—4 ехЫ 3\п(хи%'и) — 2(\п(хи^)%) 11 =

ъ1—- + 3- 1 + и + 3и / , о ,

ю °1—г I 3-и 1 , u I 3и / , „ . i\

= yL12- +3=Г .х 2 + 4fc-4+f exp (-2 («L2 + vL ln L)2 ) =

ю 01 i - 3г 3и и i 1 / _ / fin L\ 2 \

= yL12-+s-4+3-х3U+4fc-4 + 2 exp( -2^/UL[ 1 +) ) . (27)

Воспользуемся при Щ * 0,1 формулой

(1+1)2 = 1 + 2+ка), ка, в) = — (1 ^,

2 8(1+0 ¿)2

которая получается разложением функции /(1) = (1 + £) 2 в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Коши вида

4-. ( +П!

п! (т + 1)!

п=1

№ =1+ Е 2(2 1 .. ^ (П ^ г + Rm(t, 9), Rm(t, 9) = - 6Г1Г+1,

1 1 1 3

0 <9< 1, f{t) = -{1 + t )-2 , fit) = --(1 + t )-2 ,

¿2(1 _ Q)

при m = 1. Остаточный член Ri{t, 9) =--3 будем рассматривать как функцию от

8{1 + 9tT) 2 " "

dRi{t, 9) {{3 - 9)t + 2)t2 > 0

de

Следовательно,

16{1 + 9t) 2

t2 „ _ t _ N , t t2

minR{t, 9) = R{t, 0) = - -, {1+t)2 = 1 + - + R{t) > 1 + - - -

Поэтому

г- rJ vin L\1 vin L v2 in2 L\

- 2^L {' + ~ûLr) * V + ^L - -sûnw)

Г r> i2 ln2 <~/'> г

= inx-2^ + ln L- v« + u 3 L * inx-2^ + ln L- v« + 1.

-u 2 L

Подставляя эту оценку в правую часть (27), получим

| г | 3г 3и | u ' + 4 fc-4

_±L_ +( + 3

1 О__Г I 3г 3u I u I 1 Q 1— _ г

B1 CyL12 4 fc—4 + 4 fc—4 + 2 x 2 + 4fc—4 + 2 -x~^uL Vй =

= yxi 2+ifc—4 )u-2Vu+ 2 L12-4Ê—4 4 +f - tu> . (28)

Воспользовавшись соотношением (26) показатели х и Ъв правой части последнего неравенства выражаем через рс. Обозначая эти показатели через ж(р) и ш(ц, с), имеем

ж(р) = 0 + (2к — 2)р2 — 2^(2к — 2) р + 1 = 2 ((6к — 5)М2 — 4^2^—2 р + ^ ,

и(ц, с) =12 + ( + ^--(bi - (2к - 2)с) =

+ ^ + 3__L

4к - 4 \4к - 4 2 M^2k-2,

= 12+(3 — ,1 ) Ь[ — (— ^ЕЛ с

\2 1 V 2 р )

Величина ж = ж(р) является квадратичным многочленом относительно р, с двумя положительными корнями, большим из них является число

2Л2к — 2 + Л2 к — 3 1

Рк = —

6к — 5 2^2к — 2 — V 2 к — 3'

квадрат которого имеет вид

2 1 2 Рк = 2к — 1 + щ, 71к = 4к — 5 + 2^(2к — 2)(2к — 3)' ^

Следовательно, наибольшее значение параметра р, при втором ж = ж(р) — показатель х в оценке (28) равен, нулю является число ^к, а с) — показатель Ъ при р = рк принимает вид

ш(^к, с) = 12+(^2= - bl - (V(2к - 2)(2к - 3) - 2к ?3

bi - (у(2к - 2)(2к - 3) - с,

= к

2А + 24+ (2~Ш - 0 bi

к=

2л/(2к - 2)(2к - 3) - (2к - 3)'

имеет место равенство ш(цк, ск) = —А, то есть оценка (28) превращается в оценку (24). Отсюда, из представлений параметра у в виде (23) и параметра рк в виде (29) следует, что оценка (24) имеет место при

1- 1 2

у 2к-1+Лк ,

4к — 5 + 2л/(2к — 2)(2к — 3)' Оценка В2. Имеем

/ , \ -- / , \ 2 (1—и)+е

■ (дХх М 2 max f2(и), ¡2(и) = хи (дХхк—1уГ , 5 = 5(д,То).

х 2 V / о,75^и^1—S V /

В B2 функция f2(11) и её производная второго порядка положительны:

f2(и)= f2(u)(lnx - -2 ln [дХхк—1у)У fZ(u) = f2(u)^(lnx - -2 ln (д\хк—1у)^ +

+4 ln K-V)) > ^ ^(у 0,

то есть график функции ¡2(и) является выпуклым вниз, поэтому

1

1 /1 У 2 / \ -1

В <Xxk-1y) 2 (¡2(0, 75) + ¡2(1 — 5))

/у> 2 ^ /

х 2

2/2%2. (х3 (дXxk-ly)1 + +х1- (^у)-1++е)

1 х 2

Воспользовавшись условием рассматриваемого случая

1 Л 1 хк-1%Ь1

<X ^ — =

2кк2хк-2у2 ^ дт ду2к-1 '

имеем

6+е /х Ч-1 + 1- +е \

В «^ | х 3Г ..2,-2 ) + х1-Й (х) I = ^ ^£)

2

х 2 \ V У^ * )

2

2к 2, 3 \ ¿+е / 6+62+(1-)е 4 1- +е

х2^ 2+2(1+6е) Ь1

А= 1 х 2,-2+ 3 ^ I +

2<5+(1-<5 )е

У^-^и+бе у у у

1 _ 3 _ Ь,+6е \ 2^+1+2(к-1)е ! Ь+62+(1-)е \ 1- +е

х "4&+2+24(&-1)е % 2&+1+12(&-1)е

" +

2<5+(1-<5 )е

У

/

где

1__1__\ 2*6+1+2(*-1)е / 1__1_ \ 1- +е

х-^^: х§(к, е )%Н(к,е) I + I х 2к-1+^к к ^ (, ,е)%'

„ , 2к — 5 + 3 щ — 24( к — 1)е

д(k, е) =

2(2к — 1 + ^к)(2к + 1 + 12(к — 1)е)'

1+6

Н(к, = 2к + 1 + 12(к — 1)е — Ск,

М e) = J(1—^ + 1

2 ¿ + (1 — 5)е 2к — 1 + щ'

1

Отсюда имея в виду, что у ^ х 2к 1+-к %Ск и > 0, получим

Л 2к+1+12(к-1)е ,2Д+(1-6)е

А(к, е) «{хд(к'е6 +х(,е) 1- . (30)

Воспользовавшись явным значением параметра е, то есть формулой (21), условиями щ > 0, и к ^ 3, находим

2к + 1 + 12(к — 1)е _ 2к — 5 / щ Ч 2к — 2

д(к, £' 6 = — ~Щ2к—1 + щ) + V — 8( к — 1)) 2к — 1 + щ ^

2к — 5 2к — 5 1 1 1

<--<--=---1--^--,

12(2к — 1 + щ) 12(2к — 1) 12 6к — 3 60'

= —5 + , 28+ (1 — 6)£ Л < — + + £ -

1 — 6 (1 — 5)(2к — 1 + щ 6 (2к — 1 + щ)

х

х

1

= -2S __ ( е - 2к - 5 + п s) < -2,,

5 5(2к - 1 + щ)\ 2 J 5

С помощью этих двух неравенств и соотношения

(2к + 1 , пп лЛ \ h - (2к + 1)ск + (6 - 12(к - 1)ск)е

h(k,+ 2(к - 1)е^) =

66 оценку (30) представим в виде

А(к, е) < ж-60——-; fe 6( ( >к> + х-0'40 < —-А-2 + exp (-0, )

Пользуясь условиями

имеем

1 ь2к-1 I- 1

А < —, Т= : л r/)h , У^х1 2к-1+% —*, qr xk-l—i у

То ^ЪВ. + х2к21—Ь^ la+3 « LÄ+bi+3 < жÄWLA+bi+3-(2k~l)Ск < 0,1х Воспользовавшись этим неравенством, оценим снизу параметр S = ö(q,То):

S(Q, То) =-?-^-3V >-?---3V > ciL-0'7,

maxi In q, (ln(To + 3)lnln(To + 3)) 3J maxi bin L, (L ln L) M

Поэтому

В < у&2 ■ А(к, е) < у&2 -А-2 + ехр (-0,4сг&0'24)) < у&-А.

Подставляя эту оценку и оценку для В\ в (22), получим

^(а;х, у)1< у&-А. (31)

Воспользовавшись оценкой (1), леммой 1 об оценке интеграла по величине первой производной, условиями А > (2ттк2хк-2у2) и (20), имеем

т(Х0,а,к) Г e(XUk)du

— 1 у2— „ А

« — -y-^ « У— « у—-А. уfq Ахк 1 ^jqx

V(Q) Jx-y

Подставляя эту оценку, также оценки (31) и (4) в (3), получим второе утверждение теоремы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. М. Избранные труды — М.: изд-во АН СССР. 1952.

2. Виноградов И. \!.. Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Труды МИЛИ СССР. 1984. Т. 77. С. 4 - 30.

3. Haselgrove С. В. Some theorems in the analitic theory of number //J. London Math.Soc. 1951. V. 26. P. 273 - 277.

4. Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс. Ученые труды университета. Сер. мат., физ. и хим. п. 1955. № 2. С. 5 -23.

5. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math. 1990. V. 2. P. 138 - 147.

6. Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica. New ser. 1991. V. 7, No 3. P. 135 - 170.

7. Liu J., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals //I. Mh Math, 1999, 127: 27 - 41. doi.org/10.1007/s006050050020

8. Liu J, Zhan T. Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals // Acta Mathematica Sinica. English Series. Oct., 2000. V. 16, No 4. P. 669-690.

9. Liu J., Lu G., Zhan T. Exponential sums over primes in short intervals // Science in China: Series A Mathematics. 2006. V. 49, No 5. P. 611 - 619. D01:10.1007/sll425-006-0611-x

10. Hua L. K. Some results in the additive prime number theory // Quart. J. Math. 1938. V. 9, No 1. P. 68 - 80.

11. Liu J., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals II // In Analytic Number Theory: Proceedings of a Conference in Honor of Heini Halberstam. 1996. Birkhauser. P. 571 - 606.

L

Arithmetica. 1991. V. 57. Is. 2. P. 93-114.

13. Kumchev A. V. On Wevl sums over primes in short intervals // "Arithmetic in Shangrila"— Proceedings of the 6th China-Japan Seminar on Number Theory. Series on Number Theory and Its Applications. 2012. V. 9. Singapore: World Scientific. P. 116-131.

14. Yao Y. Sums of nine almost equal prime cubes // Frontiers of Mathematics in China. October 2014. V. 9. Is. 5. P. 1131 - 1140. DOI:10.1007/sll464-014-0384-4.

15. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3. Оценка коротких кубических тригонометрических сумм в малых дугах // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2016. Т. 59. № 7-8. С. 273 - 277.

16. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3. Короткие кубические суммы простыми числами // Труды МИАН. 2016. Т. 296. С. 220 - 242.

17. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56, № 11. С. 853 - 860.

18. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами // Доклады Российской Академии наук. 2014. Т. 459, № 2. С. 156 - 157.

19. Рахмонов 3. X., Замонов Б. М. Короткие кубические двойные тригонометрические суммы, с «длинным» сплошным суммированием // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2014. № 4(157). С. 7 - 23.

20. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф.З, Замонов Б. М. Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, вып. 1. С. 217 - 231.

L

(1980), 203-215.

22. Zhan Т. On the Mean Square of Dirichlet L-Functions // Acta Mathematica Sinica. New Series. 1992. Vol. 8, No 2. pp. 204-224.

23. Рахмонов 3. X., Собнров А. А., Фознлова П. M. Поведение коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами в малой окрестности центра больших дуг // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2020. Т. 63. № 5-6. С. 279-288.

24. Рахмонов 3. X., Собиров А. А., Фозилова П. М. Оценка коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами в большие дуги // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2020. Т. 63. № 7-8. С.

25. Архипов Г. П., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм — Москва. Наука, 1987.

26. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел — М.: Наука, 1981.

27. Прахар К. Распределение простых чисел — М.: Мир, 1967.

28. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел — М.: Наука, 1983, 2-ое изд.

29. Виноградов И. М. Основы теории чисел — М.: Наука, 1981. 9-ое изд.

REFERENCES

1. Vinogradov, I. М., 1952, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow.

2. Vinogradov, I. M., к Karatsuba, A. A., 1986, "The method of trigonometric sums in number theory", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 168, pp. 3-30.

3. Haselgrove С. В., 1951, "Some theorems in the analitic theory of number", J. London Math. Soc., vol. 26, pp. 273-277.

4. Statulevicius, V., 1955, "On the representation of odd numbers as the sum of three almost equal prime numbers Univ. Mokslo Darbai. Mat. Fiz. Chem. Mokslu Ser, vol. 3, pp. 5-23.

5. Pan Chengdong, Pan Chengbiao, 1990, "On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III)", Chinese Ann. of Math., vol. 2. pp. 138-147.

6. Zhan, Т., 1991, "On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes", Acta Math Sinica. New ser., vol. 7, Is. 3. pp. 135 - 170.

7. Liu, J., к Zhan, Т., 1999, "Estimation of exponential sums over primes in short intervals I", Monatshefte fur Mathematik, vol. 127, Is. 1, pp. 27-41.

8. Liu, J., к Zhan, Т., 2000, "Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals", Acta Mathematica Sinica. English Series, vol. 16, Is. 4. pp. 669-690.

9. Liu J., к Lu, G., Zhan, Т., 2006, "Exponential sums over primes in short intervals", Science in China: Series A Mathematics, vol. 49, Is. 5, pp. 611-619. doi:10.1007/sll425-006-0611-x

10. Hua, L. K., 1938, "Some results in the additive prime number theory", Quart. J. Math., vol. 9, Is. 1, pp. 68-80.

11. Liu J., k Zhan T., 1996, "Estimation of exponential sums over primes in short intervals II", In Analytic Number Theory: Proceedings of a Conference in Honor of Heini Halberstam, Birkhauser, pp. 571 - 606.

12. Jutila, M., 1991, "Mean value etstimates for exponential sums with applications to ¿-functions", Acta Arithmetica, vol. 57, Is. 2. pp. 93-114.

13. Kumchev, A. V., 2012, "On Wevl sums over primes in short intervals", "Arithmetic in Shangrila"—Proceedings of the 6th China-Japan Seminar on Number Theory. Series on Number Theory and Its Applications, vol. 9, Singapore: World Scientific, pp. 116-131.

14. Yao, Y., 2014, "Sums of nine almost equal prime cubes", Frontiers of Mathematics in China, vol. 9, Is. 5. pp. 1131-1140. doi: 10.1007/sl 1464-014-0384-4.

15. Rakhmonov, Z. Kh., k Rakhmonov, F. Z., 2016, "Estimation of short cubic exponential sums with prime numbers in minor arcs", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 59,

no 7-8, pp. 273-277, (in Russian).

16. Rakhmonov, Z. Kh,,k Rakhmonov, F. Z., 2017, "Short Cubic Exponential Sums over Primes", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 296, pp. 211-233. doi.org/10.1134/S0081543817010175

17. Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2013, "The sum of short double trigonometric sums", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 56, no 11, pp. 853-860, (in Russian).

18. Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2014, "Sum of short exponential sums over prime numbers", Doklady Mathematics, vol. 90, No 3, pp. 699-700. doi.org/10.1134/S1064562414070138.

19. Rakhmonov, Z. Kh., k Zamonov, B. M., 2014, "Short cubic double exponential sums, with a long continuous summation", Izvestiya Akademii nauk Respubliki Tajikistan. Otdeleniye fiziko-matematicheskikh, khimAcheskikh, geologicheskikh i tekhnicheskikh nauk, № 4(157), pp. 7-23, (in Russian).

20. Rakhmonov, Z. Kh., k Rakhmonov, F. Z., Zamonov, B.M., 2016, "Estimates of short cubic double exponential sums with a long continuous summation", Chebyshevskii Sbornik, vol. 17, Is. 1, pp. 217-231.

21. Rane, V. V., 1980, "On the mean square value of Dirichlet L-series", J. London Math. Soc., vol. s2-21, Is. 2, pp. 203-215, doi-org.eres.qnl.qa/10.1112/jlms/s2-21.2.203.

22. Zhan T., 1992, "On the Mean Square of Dirichlet L-Functions", Acta Mathematica Sinica. New Series, vol. 8, No 2, pp. 204-224.

23. Rakhmonov, Z. Kh., k Sobirov A. A., Fozilova P. M., 2020, "Behavior of short cubic exponential sums with primes in a small neighborhood of the center of major arcs", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 63, no 5-6, pp. 279-288, (in Russian).

24. Rakhmonov, Z. Kh., k Sobirov A. A., Fozilova P. M., 2020, "Estimate of short cubic exponential sums with primes in major arcs", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 63, no 7-8, pp.405-415, (in Russian).

25. Arkhipov G. I. k Chubarikov V. N. k Karatsuba A. A. 2004. Trigonometric sums in number theory and analysis, Berlin-New-York: Walter de Gruvter, 554 p.

26. Davenport H., 1967, Multiplicative Number Theory, Markham Publishing Company, Chigago.

27. Prachar К., 1957, Primzahlverteilung, Springer-Verlag.

28. Karatsuba А. A., 1993, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, Berlin, xiv+222 pp.

29. Vinogradov I. M., 2003 Elements of Number Theory, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-49530-2.

Получено 17.08.2021 г. Принято в печать 6.12.2021 г.