CC BY
27
формировать разнообразные системы обработки многомерных данных и проводить оценку эффективности обнаружения аномалий различного вида.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Прэтт, У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтг.-М. :Мир, 1982.-Т. 1.-312с.
2.Прикладная теория случайных процессов и полей / К. К. Васильев, Я. П. Драган, В. А. Казаков и др.; под ред. К. К. Васильева, В. А. Омель-ченко. - Ульяновск : УлГТУ, 1995. - 256 с.
3.Васильев, К. К. Обнаружение точечных аномалий на фоне мешающих изображений / К. К. Васильев, В. В. Балабанов // Радиотехника.
- 1991. -№ 10.-С. 86-89.
4. Представление и быстрая обработка многомерных изображений / К. К. Васильев, В. Р. Крашенинников, И. Н. Синицын,
B. И. Синицын // Наукоёмкие технологии. -2002.-Т. 3,№3.-С. 4-24.
5.Васильев, К. К. Ковариационные функции ошибок линейной фильтрации многомерных случайных полей / К. К. Васильев, В. Е. Дементьев // Труды РНТОРЭС им. Попова. - 2006. -
C.170-172.
6.Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Наука, 1971. - 1108 с.
Дементьев Виталий Евгеньевич, аспирант кафедры «Телекоммуникации» УлГТУ. Имеет труды в области обработки многомерных случайных полей и обнаружения аномалий. Победитель конкурса «Инновационные проекты аспирантов и студентов - 2005».
УДК 519.876.5 К. К. ВАСИЛЬЕВ
ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОТЯЖЁННЫХ АНОМАЛИЙ НА МНОГОМЕРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ
Производится синтез алгоритма оптимального обнаружения точечных и протяжённых сигналов на многомерных изображениях. Предлагаемая методика основана на предварительной оптимальной фильтрации наблюдений и позволяет существенно упростить реализацию обнаружителя и его последующий вероятностный анализ.
Поддержано грантом РФФИ 05-08-33712А
Ключевые слова: обнаружение, решающее правило, математические модели, многомерные изображения, отношение правдоподобия.
Случайные поля (СП) служат хорошими математическими моделями для описания реальных сигналов и помех в разнообразных системах извлечения информации, включающих пространственные апертуры датчиков. Среди всего многообразия проблем, возникающих при создании подобных систем, можно отметить задачу обнаружения аномалий. Общее решение этой задачи известно. Оно основано на построении модифицированного отношения правдоподобия и сравнении с пороговым значением [2-4]. По результатам этого сравнения принимается решение в поль-
© К. К. Васильев, 2006
зу гипотезы о наличии полезного сигнала или гипотезы об его отсутствии. Основные сложности, возникающие при использовании описанной методики, связаны с необходимостью построения прогноза отсчётов СП и расчёта многомерных ковариационных матриц ошибок прогнозирования для всевозможных пространственных положений сигнала. В настоящей работе найдена новая форма решающего правила, основанная на предварительной фильтрации СП.
Для решения задачи предположим, что производятся наблюдения
г, = х-. +6-., / е У, (1)
I
где 3 = - конечная или бесконеч-
ная многомерная целочисленная сетка; У, = ; / = 1,2..,/?; /7 - число измерений
СП; {х-} - СП с пространственными корреляционными связями и {в-} - СП независимых
случайных величин с нулевыми средними и дисперсиями У0. Появление детерминированного
сигнала приводит к изменению модели (1) в области индексов ] е О е 3 :
2-. =5-. +х7 / еС, (2)
у _/ у 7 ' 7 ? 4 7
где 7 е С} - совокупность отсчётов полезного сигнала.
Тогда оптимальный обнаружитель можно записать в виде [3,4]:
> Ь0 - сигнал есть,
1 - - *
(5)
' V у J э>'
<Ь0- сигнала нет,,
(3)
где 5- - значение искомого сигнала в точке
7 =0'рЛ»».,Л); ^ = Рэ,7+К«7; - ковариационная матрица ошибок прогноза, х9- -прогноз в точку / = (/. )по всем наблю-
дениями, не входящим в область £. Отметим, что в соответствии с правилами тензорного исчисления [4] запись вида акЬк эквивалентна
А'
, т. е. в выражении (3) и далее предпола-
к=1
гается суммирование по одинаковым нижним индексам.
Заметим, что вычисление прогноза хэ- весьма затруднительно при больших размерах области С. Это обусловлено тем, что для каждой
точки / е С прогнозирование, вообще говоря, выполняется с помощью своей специальной процедуры. Строго оптимальный прогноз (фильтр Винера)
% =ай2'г З^в^ев (4)
будет включать линейную комбинацию большого числа наблюдений 1- у <£ С, коэффициенты
которой аТ} будут различны для каждой точки / е £ в область предполагаемого сигнала.
Как показал профессор В. Р. Крашенинников [4, 5], вместо правила обнаружения (3), использующего прогноз (4), в область С может быть применена существенно более простая процедура, основанная на статистике
где х7- - оптимальным прогноз, сделанный на основе всех наблюдений, кроме г-; У?.- = Рэ7у + Уд-, Рэт-. - ковариационная матрица ошибок £т- = Хт - хт-. Очевидно, при обнаружении протяжённых сигналов с неизвестным положением в пространстве вычисление (5) требует значительно меньшего числа операций, чем (3). Это связано с тем, что процедура (5) может быть разделена на 2 части. Вначале осуществляется компенсация мешающих изображений и формируется статистика
Мт =УтТ]^] -%)> ■
После этого для различных возможных положений сигнала выполняется операция сравнения
с порогом линейной комбинации я-/и,. Точно
таким же свойством инвариантности компенсатора обладает и правило обнаружения с использованием предварительной декорреляции мешающих изображений [4-6].
Существенным недостатком всех рассмотренных алгоритмов является достаточно сложный анализ эффективности обнаружения сигналов. В процессе поиска путей упрощения такого анализа удалось получить ещё одну процедуру обнаружения протяжённых сигналов. Для этого достаточно в (2) подставить известную связь между тензорами оценок
где х- - аналитическая оценка СП в области
/ е О, сделанная на основе всех наблюдений г-., ] е J . После элементарных преобразований
с учётом того, что Р(Е + Уд[ Рэ) = Рэ,
2 - хэ =(Е + Уд]Рэ - х), находим следующую форму статистики (2):
Заметим, что х- - оптимальная оценка
элемента х-, сделанная на основе всех
наблюдений 2-, у е 3, как при наличии, так и
при отсутствии полезного сигнала. Но только для случая отсутствия полезного сигнала оценки
х1=х-(г-,Н0) являются оптимальными линейными оценками в обычном смысле минимума дисперсии ошибок. Если же находятся
х- = х-:(2рНх), то полученные величины х- сле-
дует считать псевдооценками, содержащими в своём составе преобразованный входной сигнал я. .
Таким образом, найденная процедура обнаружения предполагает проведение оптимальной линейной фильтрации СП, расчёт ковариационной матрицы ошибок фильтрации и выполнение весового суммирования в соответствии с выражением (3). Поскольку алгоритм (3) в отличие от известных обнаружителей не требует трудоёмкого расчёта ковариационных матриц ошибок прогнозирования или проведения декорреляции, то его удобно использовать при решении задач вероятностного анализа эффективности обнаружения. При этом пороговое значение А0 может
быть найдено из следующего соотношения [5]:
Ло-»<Х/Я0) (7)
PF= ^(L/H0)dL=0.5-Ф0(-
Л«.
щщ
где Ф0(г) = je 2dt, m(L/H0) = 0,
4ьг
о
M{L!H,) = D(L/H0) = ЩЫЩ =~s-s- -y^P-s-.
Соответственно вероятность правильного обнаружения определяется следующим выражением:
PD~ 0.5 + Ф0(
о
m{L!Hx)-Л0
ЩТЩ)
(8)
Анализ выражений (7) и (8) показывает, что величина порогового сигнала, при которой достигается необходимая вероятность правильного обнаружения при заданной вероятности ложной тревоги определяется из выражения:
тЦЫН^-тиЦиЩ)
А =
1 1 Л
— s-s---— S-P-S- >Ь
V, " Vg 'J
ЩьЩ)
где к - коэффициент, определяемый из выражений (7) и (8) по заданным значениям Р0 и РР .
Таким образом, синтезированный алгоритм позволяет формировать разнообразные системы обработки многомерных данных, а также проводить анализ эффективности обнаружения анома-
лии.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт. - М. : Мир, 1982. - Т. 1.-312 с.
2. Прикладная теория случайных процессов и полей / К. К. Васильев, Я. П. Драган, В. А. Казаков и др.; под ред. К. К. Васильева, В. А. Омельченко. - Ульяновск : УлГТУ, 1995.-256 с.
3. Васильев, К. К. Обнаружение точечных аномалий на фоне мешающих изображений / К. К. Васильев, В. В. Балабанов // Радиотехника. - 1991. - № 10. - С. 86-89.
4. Представление и быстрая обработка многомерных изображений / К. К. Васильев, В. Р. Крашенинников, И. Н. Синицын, В. И. Синицын // Наукоёмкие технологии. -
2002. - Т. 3, № 3. - С. 4-24.
5. Крашенинников, В. Р. Основы теории обработки изображений : учебное пособие / В. Р. Крашенинников. - Ульяновск : УлГТУ,
2003.- 152 с.
6. Васильев, К. К. Применение адаптивной декорреляции для обработки изображений / К. К. Васильев, С. А. Агеев // Наукоёмкие технологии. - 2002. - Т. 3, №3. - С. 25-31.
Васильев Константин Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Телекоммуникации» УлГТУ. Имеет более 300 трудов и изобретений в области обработки многомерных случайных полей и обнаружения аномалий. Заслуженный деятель науки и техники РФ.
