Обнаружение протяжённых аномалий на многомерных случайных полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.876.5

В. Е. ДЕМЕНТЬЕВ

ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОТЯЖЁННЫХ АНОМАЛИЙ НА МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ

Производится анализ алгоритмов оптимального обнаружения точечных и протялсённых сигналов на многомерных изображениях. Выявляется зависимость эффективности обнаружения от размерности случайного поля, его корреляционных характеристик, параметров шума и полезного сигнала.

Поддержано грантом РФФИ 05-08-33712А

Ключевые слова: случайные поля, сигналы и помехи, обнаружение аномалий.

В последнее десятилетие быстро развиваются разнообразные системы, связанные с обработкой цифровых сигналов и изображений. Среди них можно выделить радио- и гидролокационные комплексы с пространственными антенными решётками, аэрокосмические системы глобального мониторинга Земли, системы технического зрения и др. Для названных систем описание сигналов и помех осуществляется с помощью случайных функций нескольких переменных, то есть случайных полей (СП). Несмотря на большое число публикаций по проблемам представления и обработки СП, в настоящее время отсутствуют удовлетворительные решения целого ряда задач даже для плоских изображений. Обработка и представление случайных полей, заданных на многомерных пространствах, рассматривались в весьма ограниченном числе работ [1,2, 4]. Это объясняется большими методологическими и математическими трудностями построения алгоритмов обработки случайных полей, связанными с переходом к нескольким измерениям. Одной из важных задач, возникающих при обработке многомерных СП, является задача обнаружения аномалий. В настоящее время известны оптимальные алгоритмы обнаружения аномалий на многомерных изображениях [2-4]. Вместе с этим в доступной литературе практически отсутствуют аналитические оценки эффективности обнаружения аномалий при наличии многомерных коррелированных помех. Поиску этих оценок, а также выявлению и анализу некоторых важных соотношений и посвящена настоящая работа.

В последнее десятилетие быстро развиваются разнообразные системы, связанные с об

© В. Е. Дементьев, 2006

работкой цифровых сигналов и изображений. Среди них можно выделить радио- и гидролокационные комплексы с пространственными антенными решётками, аэрокосмические системы глобального мониторинга Земли, системы технического зрения и др. Для названных систем описание сигналов и помех осуществляется с помощью случайных функций нескольких переменных, то есть случайных полей (СП). Несмотря на большое число публикаций по проблемам представления и обработки СП, в настоящее время отсутствуют удовлетворительные решения целого ряда задач даже для плоских изображений. Обработка и представление случайных полей, заданных на многомерных пространствах, рассматривались в весьма ограниченном числе работ [1, 2, 4]. Это объясняется большими методологическими и математическими трудностями построения алгоритмов обработки случайных полей, связанными с переходом к нескольким измерениям. Одной из важных задач, возникающих при обработке многомерных СП, является задача обнаружения аномалий. В настоящее время известны оптимальные алгоритмы обнаружения аномалий на многомерных изображениях [2-4]. Вместе с этим в доступной литературе практически отсутствуют аналитические оценки эффективности обнаружения аномалий при наличии многомерных коррелированных помех. Поиску этих оценок, а также выявлению и анализу некоторых важных соотношений и посвящена настоящая работа.

Для решения этих вопросов формализуем задачу обнаружения в следующем виде. Пусть производятся наблюдения

2;. = Х-. / б У,

J У ./ 7 5

где 3 = 0"1?У2 - конечная или беско-

7 *

нечная многомерная целочисленная сетка,

Л =1~М,9

I = 1,2..,и, г? - число измерений СП, {х-.} -

СП с пространственными корреляционными связями и {9-} - СП независимых случайных величин с нулевыми средними и дисперсиями Ув.

Появление детерминированного сигнала приводит к изменению модели (1) в области индексов

/ е С е 3 :

г, = + х- + <9-, /еС,

у у у у' 7 '

где - совокупность отсчётов по-

лезного сигнала.

Известно [5], что оптимальный алгоритм обнаружения принимает в этом случае следующий вид:

>А0-сигнал есть < Л 0 - сигнала нет, где хэ- - оптимальный прогноз значений СП {х-, у 6 С}, построенный на основе всех

имеющихся наблюдений, не принадлежащих об-ласти сигнала, У = Рэ + Ув, где Рэ - ковариационная матрица ошибок прогноза. Перепишем Оптимальный обнаружитель, воспользовавшись

связью Т = Ув(Е - Ув~] Р)~{ ковариационной

матрицы ошибок прогнозирования Т, ковариационной матрицы ошибок фильтрации Р и ковариационной матрицы шума Ув:

4-и у 'у у Э/ >

'.у

1

1

К Г ]2} V2

| >Л0 -сигнал есть

s-.Pr.Zf =<

-- ; и <А0-сигнала нет

в У

в '-У

При этом пороговое значение Л0 может быть найдено из следующего соотношения [5]:

Р„ = ]^/Яо)Д=0.5-ФоА~"<1/Яо)). (О

До д/Д!/Я0)

где

1

Ф0(г) = -?= \е 2а?/, т(ЫН]) = О(Ь/Н0) =

у! 2л; о

У0 } Г0 'V

Соответственно вероятность правильного обнаружения определяется следующим выражением:

О

Р0 =0.5 + Фо(

о

т{ЫНх)-К 0

(2)

ЩЫН,)

Анализ выражений (1) и (2) показывает, что величина порогового сигнала, при которой достигается необходимая вероятность правильного обнаружения при заданной вероятности ложной

тревоги РР определяется из выражения

Д =

>к.

р{ЫНх)

Таким образом, ключевой величиной, влияющей на качество обнаружения, является величина

1

У

с2-- -

У

1

в У

У

Ух-Р-х, .

¿-и у »у '

(3)

0 'Л

Далее будем считать, что СП {х-} однородно, его КФ изотропна, и форма сигнала представляет собой «-мерный шар. При этом КФ ошибок фильтрации также изотропна и может быть оценена с помощью следующего приближённого выражения [5]:

ДО = - „^(¿М) =

(2я) Г (0.5 И)

1

^ стУхР(В(0)

^ С 2 . _2 т-./.ччУ'

(2л-)""7 Г(0.5уУ) +

где В(г) - КФ фона; ) и () - прямое и обратное преобразование Фурье; Г() ~ гамма

функция [6].

Проведём вначале исследование зависимости эффективности обнаружения от размерности поля. Для этого, считая СП {х-} достаточно гладким и учитывая форму сигнала, заменим суммирование в выражении (3) интегрированием:

(4)

л- п МЗтф) ...$тфп_]

л

А = {2лМ)""'[— {...}

{¡)(Ис1(рх...с1(рп_х -

2

V,

У2

ув 0 О -№тф)...3тф„_х

п г. Шгф,..}Нпф„_,

7 Я \ ¡*(Щ1-ри)Лффг.Л<рпЧ) (5)-

О 0 О-МЯгф, .Япфп_,-МХ,п1>,.. Х1пф„_1

На рис. 1 и 2 представлены графики зависимостей величин (5) от размерности поля, его коррелированности и величины порогового сигнала. Анализ кривых на графиках показывает, что с ростом коррелированности поля и уменьшением размера сигнала разница между характеристиками эффективности обнаружения для разных размерностей поля стремится к нулю. Это объясняется требованиями к гладкости фонового СП {Ху}, накладываемыми при выводе

выражения для КФ ошибок фильтрации и интегральном переходе к выражению (5). Понятно,

что чем менее коррелированным будет СП {х,} 5

тем большую ошибку будут содержать выражения (4) и (5).

9

0,94 0,945 0,95 0,955 0,96 0,965 0,97 0,975 0,98 0,985 0,99

Рис. 1. Зависимость характеристик обнаружения (5) от размерности и коэффициента корреляции СП

I l| H! }Н 1| 1!! f 1 U ¡11 II! } I i I 11 ■ L | III }!l I, 41 , .1, >!! Ц 111 ) IJI |I1 1}

3 4 5 6 7 8 9 1011 12131415161718192021 222324

Рис. 2. Зависимость характеристик обнаружения (5) от размерности СП и величины полезного сигнала

Таким образом, эффективность обнаружения шарового сигнала на СП любой размерности при соблюдении условий гладкости поля и ограниченных размеров аномалии можно считать независимой от размерности поля. Это позволяет заменить (5) следующим компактным интегральным выражением:

о2 М . ММ

д = — (¡52 № - — \ /> (|/ - у|ж./№//).

о 0 0

Полученное выражение является частным случаем характеристики (5) при п - Исследования также показывают, что описанными свойствами обладают характеристики обнаружения прямоугольных сигналов на анизотропных СП.

Рассмотрим далее поведение характеристик обнаружения в зависимости от параметров фонового изображения, шума и полезного сигнала.

Зависимость А от дисперсии и коррелированности фонового СП определяется поведением КФ ошибок фильтрации. Поэтому перепишем (2) в виде

фШ)

P(i) = F'\

1

G.

+ F{B{/))

Л ^

Видно, что P(i, аа'х ) > ах ) Д-1™ любых

а > 1. Тогда A"j (астх ) < А, (ст;) для любых

а > 1. Выявленная зависимость демонстрирует то, что обнаружить один и тот же сигнал легче на случайном поле с меньшей дисперсией, чем с большей.

Зависимость А от внутрикадровой корреляции фонового изображения аналогична зависимости от дисперсии поля, т. е.

А~(Я,(0) < А2!(Я2(/)), если B](i)>B2(i) для

любого i. Объяснить падение эффективности обнаружения можно меньшим информационным содержанием более коррелированного поля перед менее коррелированным.

На рисунках 3, 4, 5, 6 показаны графики зависимостей вероятности правильного обнаружения от величины полезного сигнала, дисперсии фона (рис. 3, а), дисперсии шума (рис. 4, а), внутри-кадровой корреляции (рис. 5, а) и размера сигнала (рис. 6, а). Соответственно на рисунках 3, б, 4, б, 5, б, 6, б показаны графики зависимости уровня сигнала от отмеченных параметров при вероятности правильного обнаружения равной 0.5.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 $

а б

Рис. 3. Зависимость эффективности обнаружения от величины полезного сигнала и дисперсии шума

а б

• 1 ' . ф . т _ ф■

Рис. 4. Зависимость эффективности обнаружения от величины полезного сигнала и дисперсии поля

Б

Р

0.8 0,7 0.6

0.4 0.3 02

///

Щшу.. ршЖ

Ш \

• - • • г • / » » • - ...... ■ • • • V . • , • •

# / рО.99 '

ж;:;::::.:::::;

• • • - « • .

0,65

о.е ^

од

0.15 0.4 0.35 0.3

Т « •

• « • » » 1 :

• • •«• ^ • • «•••

1 4 : ; : : / • • • / • .....

- у

- »».— - - <г - • • • - • ' « 1 • Г ■ - • 1- - | - уЛ . . . • | • ^ : 1

0=2 0.8Э 03520,8540,5550,880

Г

Рис. 5. Зависимость эффективности обнаружения от величины полезного сигнала и коэффициента

корреляции фонового поля

Рис. 6. Зависимость эффективности обнаружения от величины полезного сигнала и размера полезного

сигнала

Рассмотрим теперь некоторые случаи обнаружения протяжённого сигнала, имеющие важное значение при решении практических задач. Пусть выполняется обнаружение протяжённых сигналов размерами М и аМ на фоне случай-

г

ных полей с КФ 5,(0 и В2 (/) = В1 (—) . При

а

этом энергетические спектры [2] КФ равны соответственно:

ос

(?,(*>) = *■<*,(0)= и

-00 со

02(со) = Р(В2(0)= •

-сс

По теореме подобия

7

(ю) = ПВ, (0) = (-)) = (О)«).

(2

Тогда сами КФ ошибок фильтрации можно определить из следующих выражений

сг;С, (¿у)

С7; + О, (й>)

а 2

/

2 -) = />,(

а: а

ог

а;

<2

Таким образом, увеличение радиуса корреляции в а раз в КФ СП приводит увеличению радиуса корреляции в а раз в КФ ошибок фильтрации при условии, что дисперсия шума увеличивается в а раз. При этом для характеристик (5) справедливы следующие равенства:

* аМ . л а\1 сМ

Д2=—( V } \5(-)Р2(|/-у|,<Т?М~)ф//) =

/-Т /V Г/ ГУ

ст?

1

СТ.-м

о

а

о о

а

а

2 МЛ/

((а =

О Ъ 0 0 а

о о мм

(

М , ММ д.2 0.2

: р(/)с//—г = ад—),

О 0 0 а а

а а

Выявленный выигрыш можно объяснить увеличением в а раз области, в которой усредняется шум. При этом если а стремится к нулю, то задача сводится к обнаружению точечного сигнала на фоне белого шума, с другой стороны, если а велико, то обнаруживается протяжённый сигнал значительных размеров на фоне высококорелиро-ванного поля. Понятно, что эффективность обнаружения во втором варианте будет существенно превосходить эффективность обнаружения для первого случая.

Рассмотрим теперь обнаружение сигнала в случае, если дисперсия шума и фона увеличены в а раз. В этом случае из (4) следует, что:

Р2 (г,а<т],аст]) = аР] (/,ст2,а2х),

т. е. КФ ошибок фильтрации будет в а раз больше и

<-,;> м мм

Щ о

0 0

/Тг„, , ,.....

асП

о о

а

Объяснить получающийся выигрыш можно уменьшением влияния шумов и увеличением гладкости фонового СП при уменьшении величины а.

Таким образом, в настоящей работе построены характеристики обнаружения протяжённых аномалий на многомерных случайных полях. Найденные закономерности и решения позволят

формировать разнообразные системы обработки многомерных данных и проводить оценку эффективности обнаружения аномалий различного вида.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Прэтт, У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтг.-М. :Мир, 1982.-Т. 1.-312с.

2.Прикладная теория случайных процессов и полей / К. К. Васильев, Я. П. Драган, В. А. Казаков и др.; под ред. К. К. Васильева, В. А. Омель-ченко. - Ульяновск : УлГТУ, 1995. - 256 с.

3.Васильев, К. К. Обнаружение точечных аномалий на фоне мешающих изображений / К. К. Васильев, В. В. Балабанов // Радиотехника.

- 1991. -№ 10.-С. 86-89.

4. Представление и быстрая обработка многомерных изображений / К. К. Васильев, В. Р. Крашенниников, И. Н. Синицын,

B. И. Синицын // Наукоёмкие технологии. -2002. - Т. 3, № 3. - С. 4-24.

5.Васильев, К. К. Ковариационные функции ошибок линейной фильтрации многомерных случайных полей / К. К. Васильев, В. Е. Дементьев // Труды РНТОРЭС им. Попова. - 2006. -

C.170-172.

6.Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Наука, 1971. - 1108 с.

Дементьев Виталий Евгеньевич, аспирант кафедры «Телекоммуникации» УлГТУ. Имеет труды в области обработки многомерных случайных полей и обнаруэ/сения аномалии. Победитель конкурса «Инновационные проекты аспирантов и студентов - 2005».

УДК 519.876.5 К. К. ВАСИЛЬЕВ

ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОТЯЖЁННЫХ АНОМАЛИЙ НА МНОГОМЕРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ

Производится синтез алгоритма оптимального обнаружения точечных и протяжённых сигналов на многомерных изображениях. Предлагаемая методика основана на предварительной оптимальной фильтрации наблюдений и позволяет существенно упростить реализацию обнаружителя и его последующий вероятностный анализ.

Поддержано грантом РФФИ 05-08-33712А

Ключевые слова: обнаружение, решающее правило, математические модели, многомерные изображения, отношение правдоподобия.

Случайные поля (СП) служат хорошими математическими моделями для описания реальных сигналов и помех в разнообразных системах извлечения информации, включающих пространственные апертуры датчиков. Среди всего многообразия проблем, возникающих при создании подобных систем, можно отметить задачу обнаружения аномалий. Общее решение этой задачи известно. Оно основано на построении модифицированного отношения правдоподобия и сравнении с пороговым значением [2-4]. По результатам этого сравнения принимается решение в поль-

© К. К. Васильев, 2006

зу гипотезы о наличии полезного сигнала или гипотезы об его отсутствии. Основные сложности, возникающие при использовании описанной методики, связаны с необходимостью построения прогноза отсчётов СП и расчёта многомерных ковариационных матриц ошибок прогнозирования для всевозможных пространственных положений сигнала. В настоящей работе найдена новая форма решающего правила, основанная на предварительной фильтрации СП.

Для решения задачи предположим, что производятся наблюдения

г, = х-. +6-., I е J , (1)

I