Алгоритмы оптимального обнаружения сигналов с неизвестными параметрами на многозональных изображениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.876.5

К. К. ВАСИЛЬЕВ, В. Е. ДЕМЕНТЬЕВ

АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА МНОГОЗОНАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ

В работе производится синтез алгоритмов оптимального обнаружения точечных и протяжённых сигналов с неизвестными параметрами на многозональных изображениях. С помощью методики статистического моделирования подтверждается высокая эффективность предлагаемых алгоритмов по сравнению с существующими методами.

Поддержано грантом РФФИ 05-08-33712А

Публикации на тему моделирования изображений, их фильтрации и обнаружения на них аномалий различного вида активно печатаются в научных журналах и трудах международных конференций с конца 70-х годов. Однако, несмотря на обилие спутникового материала, в настоящее время практически отсутствует решение важной задачи совместного обнаружения сигналов одновременно по нескольким различным изображениям одного и того же объекта. Такая задача возникает, например, при обработке многозональных спутниковых изображений, когда требуется обнаружить аномалии различного вида на спутниковых снимках, сделанных в разных спектральных диапазонах. Особенностью обработки таких данных является то, что, несмотря на естественные корреляционные связи, изображения, в силу различной природы происхождения обрабатываемых кадров, могут существенно отличаться друг от друга. Количественно эти отличия могут быть описаны с помощью взаимных корреляционных функций. В настоящей работе рассматривается алгоритм оптимального обнаружения протяжённых сигналов различного вида с неизвестными параметрами на многозональных изображениях.

Для решения этой задачи представим многозональное изображение в виде N пространственных сеток [2,5], на которых заданы наблюдения

к = /,2,...,/^, полученные в результате пространственной дискретизации изображений, поступивших от различных систем датчиков. Тогда, как и в [5], представим модель наблюдений при отсутствии полезного сигнала (гипотеза Н0)

как аддитивную смесь: © К. К. Васильев, В. Е. Дементьев, 2005

4 = 4+вИ> Л е ^? к = 12,...,Ы г (1)

однородного случайного поля х* с нулевым средним и заданной корреляционной функцией Кп.п) = М\4.Л > 4+«,;+«)} и пространственного

белого шума 0 * с М{9 *} = 0,М{(9*)2} =<те2.

При наличии полезного сигнала (гипотеза Н]) модель наблюдений запишется в виде:

4 = 4 + 4 +е-у ' (<>./)6 к = ,

(2)

4 = 4+9*, (1,7) к = 1,2.....М,

где = 5- протяжённый в пространстве полезный сигнал, (/,/)е о * ¿' = 1,2,....,//; ^ - неизвестный уровень на отдельных кадрах изображения; - известные значения относительных уровней

сигнала, расположенного в области Г)0 на к-м кадре.

Для проверки гипотезы Н{ при неизвестных

уровнях сигналов воспользуемся модифицированным отношением правдоподобия [7]:

1= шах (а)({4}/Я1,У,...У)/о>({^}/Д0)) • (3)

1 N

О 5 • • «| Л

При этом решения в пользу гипотезы я, принимаются, если ь>Ь0, где ьо - пороговое значение. Показано в [2], что при в реальных аэрокосмических системах искомые условные вероятности

(о({И}/Я,..s-1.....sл ) ii со ({zj} / Я0 ) часто можно

аппро кс им I ï роват ь гауссово к ими:

te . , V ^ , , _ „ . . 1

со(^Д ij\k)eQ,;}/Z0,HM) = (-

Л/

■)Х

(2ïï) - V cl et Г , (4)

1

xexpf-(z/v. -'»o.i,;/,)}

?

где

7721 »у/ = м (412о> яо )■=' - /2о1-

оптимальный (в смысле минимума дисперсии

ошибки) прогноз случайного поля в I-м кадре., сделанный на основе всех наблюдений 70, в которых полезный сигнал заведомо отсутствует.

Подставляя (4) в (3), можно получить следующее правило оптимального обнаружения сигнала по совокупности наблюдений на N кадрах:

N

к=\

> Ln - сигнал есть г 0 , (?)

<L0 - сигнала нет

рэщ,=Щ (*м ~хэ1гк)-<Ъ;!)) " ковариационная

матрица ошибок при оптимальном прогнозировании; Ещ.( - единичная пространственная матрица,

я , г = 1,2,..., N, оценки неизвестных уровней полезного сигнала.

Найдём оценки из условия максимума ю((4,у,£)еП0}/%,#,), или, что то же самое,

условия

минимума

выражения

(^-щы^шА^-щ,,)- 0ценки можно опраде-

Ujt

лить из решения следующих систем линейных уравнений:

я

0/v* - т1М: Ушл (Zijt ~ mUjt ) = 0- (6)

ÔS

После дифференцирования получаем:

.V

N

, k = l..N, (7)

м

/=i

где zijt =zîjt-xijt, а = V~l.

Анализ полненной системы показывает, что оценка уровня сигнала на (-м кадре многозонального изображения зависит не только от наблюдений в точках г-го кадра и корреляционных

связен внутри пего, но и от наолюденпн на всех кадрах многозонального изображения и межкадровых корреляций.

Рассмотрим теперь ряд частных, но важных случаев обнаружения сигнала и поведение системы в этих случаях.

1. Для точечного сигнала система (7) принимает вид

£ак'(/ -z'ij) = 0, h = l..N. (8) t=\

Решениями этой системы будут известные оценки sK =zk;j = zkij где k=\..N, хкц ~

прогноз в точку к-го кадра с координатами (?:, /)

по всем точкам х'ы , t=\..N. (/,v)eQ, loi, vo j. Выигрыш при совместном использовании

последовательности коррелированных изображений по сравнению с обработкой отдельных кадров, составляющих многозональное изображение, достигается в этом случае исключительно вследствие более точного (за счёт использования информации с других кадров) оценивания элементов изображения.

2. Если кадры многозонального сигнала некоррелированны между собой, т. е. alvkijt = 0 при

к о t, то (7) преобразуется к виду:

flvk ClIvkijk ( fijkS ~ Zijk ) = 0 ? к = 1,2,...,N,

и оценки неизвестных уровней принимают вид:

_ fhkaM:ijk^ijk г _ , ? дг О — - 3 ^ ± } ... } 1 v .

(9)

/ык аШ]к /ук

3. Если в состав многозонального изображения входят одинаковые или полностью коррелированные кадры, то соответствующие уравнения в системе (7) будут подобными, а эти кадры можно использовать лишь для усреднения шума при оценивании изображения.

Вследствие значительных сложностей при получении аналитической оценки погрешностей для исследования эффективности синтезированных алгоритмов обнаружения будем использовать методику статистического моделирования. Для этого построим N псевдослучайных выборок у{1),уткаждая из которых представляет

собой трёхмерную реализацию известных [2, 3] моделей многомерных случайных полей с заданными корреляционными свойствами. Далее вычислим для каждой г -й выборки пороговое значение Ь: в соответствии с выбранным алгоритмом.

На основе случайных величин L построим гистограмм ы /#Г() и L / Я,) , аппрокспмирую-щиеПРВ w(L/H0) и ц\Ь/Нх)9 и позволяющие дать оценки рг - вероятности ложной тревоги Р и Рг -

вероятности правильного обнаружения ргу При

этом понятно, что погрешности оценивания вероятностей ро и Рг зависят лишь от величин рп и р., и

числа экспериментов N, то есть могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно больших объёмах вычислений.

Известно по [6]. что дисперсия ошибки оценивания вероятности правильного обнаружения определяется следующим образом:

Р (\ - р \

М{(Рк0 -Рд)2} = —-—• То есть, задавая по-

N

грешность оценивания Рв, можно с помощью этих

формул определить необходимое число N повторений эксперимента.

Теперь в соответствии с описанной методикой произведём анализ предлагаемых алгоритмов. Для этого вначале сравним между собой эффективность алгоритмов совместного обнаружения точечных сигналов на сымитированном многозональном изображении (размер 6*6, 4 кадра) с известными вероятностными характеристиками (внутрикадровая корреляция составляет 0.95, межкадровая 0.7, вероятность ложной тревоги равна 0.001).

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

— Обнаружение с неизвестными уровнями, оце>*а по всем кадром CJ

— Обнаружение с неизвестными уровнями, оценка по текущему кадру ......Обнаружение с известными уровнями по, критерию (5)

0.85

Ро' 0.0

0.75

0.7

0.65

ОБ

0.5

0.5

—Г-

-г

.» • » • • -у» - j • • - ч

.........

'щШ^..........*.....

— - .^-ч . ц^-7 • - --Г.---.....----- - .

• •• •* -* • • - ^ « .1 • • и ». 4 . «

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 О.б 0.7 0.8 О'.Э

Рис. 1. Зависимость вероятности правильного обнаружения точечных сигналов на многозональном изображении от выбранного обнаружителя, отношения сигнал-шум (а) и межкадровой корреляции (б)

Из рис. 1 а видно, что при заданном отношении сигнал-шум с] наилучшим решением является алгоритм, необходимым условием которого является знание уровней сигналов. Однако на практике уровни сигналов очень редко бывают известны. В такой ситуации лучшие результаты показывает алгоритм, оценка неизвестных уровней в котором происходит по всем кадрам многозонального изображения. При этом, как следует из графика на рис. 1 б, понятно, что с ростом межкадровой корреляции обрабатываемого многозонального изображения эффективность такого алгоритма растёт и при существенной межкадровой корреляции этот метод лишь незначительно уступает алгоритму, требующему априорное знание уровней сигнала.

Рассмотрим теперь обнаружение протяжённого сигнала. Для этого на описанном ранее многозональном изображении будем обнаруживать сигнал, который на каждом кадре исследуемого изображения представляет собой квадратную область (2*2), расположенную в одном и том же месте. Из рис. 2 видно, что при достаточной межкадровой корреляции кадров оптимальный алгоритм обнаружения с неизвестными уровнями (8) значительно выигрывает у квазиоптимального алгоритма (9), с ростом межкадровой корреляции приближаясь по своей эффективности к алгоритму, в котором уровни являются известными.

Проведённые исследования показывают, что полученный алгоритм демонстрирует очень хорошую точность обнаружения, близкую к точности метода, требующего априорное знание уровней сигнала.

0.2 ,0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.S

R

Рис. 2. Зависимость величины относительного проигрыша оптимального обнаружителя с неизвестными уровнями перед методом оптимального обнаружения с известными уровнями на уровне 0.5 от межкадровой корреляции

Полученный из оптимального алгоритма квази-оптимальный метод может с успехом заменять оптимальный обнаружитель, особенно если временные издержки являются существенным фактором при осуществлении обработки изображения, однако в случае, когда межкадровая корреляция велика и один или несколько кадров значительно поражён помехами, то квазиоптимальный метод сильно проигрывает оптимальному алгоритму.

Таким образом, описанные алгоритмы позволяют формировать разнообразные системы обработки многозональных изображений, которые могут в зависимости от задачи быстро и эффективно обнаруживать точечные и протяжённые сигналы на спутниковых снимках.

БИБЖОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений. / У. Претт. - М.: Мир, 1982. - Т. 1. - 312 с.

2. Прикладная теория случайных процессов и полей / Васильев К. К., Драган Я. П., Казаков В. А. и др; под ред. Васильева К. К., Омельченко В. А. -Ульяновск: УлГТУ, 1995.-256 с.

3. Васильев, К. К., Крашенинников, В. Р. Адаптивные алгоритмы обнаружения аномалий на последовательности многомерных изображений. // Компьютерная оптика. - 1995. - Вып. 14-15, ч. 1. -С. 125-132.

4. Васильев. К. К.. Балабанов В. В., Обнаружение точечных аномалий на фоне мешающих: изображений // Радиотехника. - 1991. - № 10. -С. 86-89.

5. Васильев, К. К., Крашенинников В. Р., Сппн-цын И. Н., Синицын В. И. Представление и быстрая обработка многомерных изображений /'/ Наукоёмкие технологии. - 2002. - Т. 3. - № 3. С. 4-24,-

6. Васильев, К. К. Методы обработки сигналов /' К. К. Васильев. - Ульяновск: УлПИ. 1990. - С. 95.

9

7. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Левин. - М.: Сов. радио, 1966.-686 с.

Васильев Константин Константиновичу доктор технических наук профессор, заведующий кафедрой САПР УлГТУ. Область научных интересов - статистический синтез и анализ информационных систем.

Дементъев Б итали й Евген ь ев и ч, асп ирант кафедры САПР.