Обеспечение стабильности показателей качества в задачах управления динамическим объектом с интервальными параметрами при конечномерном экзогенном воздействии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБЕСПЕЧЕНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ КОНЕЧНОМЕРНОМ

ЗАДАЮЩЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ Т.А Акунов, С.А. Сударчиков, А.В. Ушаков

Решается задача обеспечения стабильности показателей качества при управлении многомерным непрерывным динамическим объектом с интервальными параметрами при конечномерном задающем входном воздействии.

Введение. Постановка задачи

Рассматривается многомерный непрерывный динамический объект управления, матричные компоненты которого характеризуются параметрической неопределенностью, задаваемой в интервальной форме. Предполагается, что модельная параметрическая неопределенность, в силу выбора базиса представления объекта или включения на входе некоторой буферной системы минимальной размерности, может быть только в матрице состояния исходного объекта управления. Введение буферной системы является конструктивным решением задачи достижения требуемой интервальности матричных компонентов проектируемой системы в случае, если в исходном объекте управления интервальными оказались матрицы [А] состояния и [б] управления [1]. На основе анализа конечномерного входного задающего воздействия в переходном и установившемся режимах [2] ставится задача синтеза обобщенного изодромного управления, обеспечивающего системе стабильные показатели качества.

Интервальное модельное представление исходного объекта управления

Объект управления с интервальной матрицей состояния и интервальной матрицей управления задается векторно-матричной моделью

к') = №(()+[В]и (); х(0); у(() = Сх((), (1)

где х е Я", и е Яг, у е Ят - соответственно векторы состояния, управления и выхода ОУ; [А], [В], С - интервальная матрица состояния, интервальная матрица управления и матрица выхода, согласованные по размерности с переменными модели (1). Интервальная матрица состояния [А] представляется в виде аддитивной композиции медианной и интервальной составляющих

[А] = А0 + [ДА] = А0 + [ДА, ДА], (2)

где

Ао = гон'{со1 (Доу; г = 1,") у = 1," },

ДА = гон{;о1 (дАу; г = 1,п)у = 1,п }

ДА = гон\со1 (дДАу; г = 1,п) у = 1,п}

Аоу = 0.5(Ау + Ау); Д% = Ау - Аоу; Д% = Ау - Аоу .

А0 и [ДА] - соответственно медианная и интервальная составляющая интервальной матрицы [А].

Дополним исходный ОУ (1) буферной системой

хВ (()= АВхВ (() + ВВиВ ((); х (0); Ув (() = СВхВ ((), (3)

где Хв - 1 -мерный вектор состояния буферной системы (БС), ив - г -мерный вектор входа, у в - г -мерный вектор выхода, Ав - х Пв) - матрица состояния БС, Вв -

(пв X г)-

матрица входа, Св

, Св - (г x l)-

матрица выхода.

Агрегирование ОУ (1) и БС (2) осуществляется путем наложения условия

и(() = у в ((). (4)

Введем в рассмотрение вектор состояния размерности п = п + Пв, Х = со1{х, Хв } агрегированного объекта управления. Тогда векторно-матричное описание агрегированного объекта примет вид

г ()=[ ] (() + ви((),

х(() = Сх ~ ((); у в = св ~((); у(() = Су ~),

где в силу (1) и (2) с учетом (3) матричные компоненты принимают вид

[ ]= [A] ВСв" ; в = " 0 "

J 0 Ab _ _ Вв _

Cx =

[in

0n

] С~в = [0n

In

cy = [c

0n

]..

(5)

(6)

(7)

(8)

"х \^пхп "Пв хпв } ^в |."пхп *Пв хпв } ^у ^ "Пв хпв .

Нетрудно видеть из (7), что условие интервальности сохранилось только в матрице состояния, для которой можно записать

А ]= Ао + 1лА [

где A0 =

(9)

A0 В0СВ , AA = "AA [АВ]Св"

_ 0 Ab _ 0 0

Основной результат

Основной результат может быть представлен в виде утверждения.

Утверждение 1. Пусть медианная версия агрегированного объекта (5), (6)

• _ _ _

х(() = A0x(() + B0~((), y(() = Cyх(t) (10)

должна воспроизводить внешнее задающее конечномерное воздействие g (t) с нулевой установившейся ошибкой

е(() = g(()-y((); lim е(() = 0. (11)

t

Пусть модель конечномерного воздействия представима автономной системой минимальной размерности 1 в форме

z(i)= rz(t); z(0); g(() = Pz(),

fl . „ x>m . -p D1x 1. p Rinxi

(12)

где 2 е Я ; g е Я ; Ге Я ; Р е Я . Пусть также при построении агрегированного ОУ (5) выполнены матричные условия

Ав = Г; Св~= Р (13)

так, что матрица Ао принимает вид

"Ао воР~

A0 =

0

Г

тогда поставленная задача получает решение с помощью управления

~(() = К~((),

где вектор ошибки слежения по состоянию задается в форме

(14)

)= Tz()-~ ((), (16)

если матрица подобия удовлетворяет матричным соотношениям

ТГ - A0T = 0 P - CT = 0. □ (17)

Доказательство. Для доказательства положения утверждения строится модель ошибки слежения по состоянию. Для чего продифференцируем соотношение (16) по времени, в результате чего получим

~(t )= Т Z (t)-Т (t). (18)

Если в (18) подставить (10) и (12), учесть (16), то для модели ошибки становится справедливым следующее представление

~(() = А0Т(()+((- A^)(t)-B~(t); Т(0) = Tz(0)-~(0). (19)

Учтем в (18) первое из матричных соотношений (17) и подставим в него (15), тогда получим окончательную модель для ошибки слежения по вектору состояния

?(() = ^0Т((); Т(0), (20)

где F0 = A0 - BK .

Явное решение для системы (20) имеет вид

Т(( ) = exp(F~0t )~(0). (21)

Это решение обладает свойством

lim Т(()= 0, (22)

t ^ю

если матрица состояния F0 гурвицева, причем требуемый темп сходимости в (22) определяется структурой собственных значений (мод) матрицы F0, тем самым задача обеспечения нулевой ошибки слежения за конечномерным задающим воздействием сводится к задаче модального управления при выполнении соотношения (17).

Теперь покажем, что выполнение условия (22) с одновременным учетом второго матричного соотношения (17) гарантирует выполнение условия (11).

Для ошибки слежения по выходу за конечномерным задающим воздействием в силу (12) и (17) можно записать

е(() = СТ(()-(~ - CT)z((). (23)

Подстановка в (22) второго соотношения (16) дает

е(() = С~((); lim е(() = C lim ~(t)= 0. (24)

t ^ю t ^ю

Ключевым моментом в получении результатов (21), (22) и (24) является нетривиальное решение (17). Условием этого решения является пересечение алгебраических спектров собственных значений матриц Г и A [3, 4]. Это условие в данном случае выполняется,

так как матрица A имеет треугольный вид (14), для которого можно записать

afo }=a{A0 }ua{r}. ■ (25)

Фактор интервальности матрицы состояния агрегированного ОУ (14) учтем с помощью следующего утверждения. Утверждение 2.

Закон управления (15) не меняет оценки абсолютной интервальности матрицы состояния, так что выполняется равенство

ДIF = ДIA , (26)

но при этом изменяет значение оценки 5¡Р относительной интервальности интервальной матрицы состояния системы

~ А 11[А~]|| 5 ¡Р =

Ео

Доказательство утверждения использует соотношения (26), позволяющие записать

5 ¡Р =

[АР ]

ни

Р0

А0 - ВК\\

■ (27)

Положения утверждений 1 и 2 позволяют сформировать алгоритм синтеза обобщенного изодромного управления методами модального управления.

Поставленную задачу синтеза обобщенного изодромного управления в форме (15) будем решать в два этапа. На первом этапе синтезируется матрица К в предположении непосредственной измеримости вектора ошибки ) с одновременным контролем достижимого значения оценки матрицы состояния системы. На втором этапе синтезируется устройство, которое формирует его асимптотическую оценку. В реализации такого подхода алгоритм принимает вид, представленный ниже.

1. Составить ( [В] С) представления исходного ОУ (1).

2. На основе анализа входного задающего воздействия построить его конечномерную модель с матрицами (Г, Р) (12).

3. Сформировать агрегированный объект управления (1) и БС (3), матричные компоненты которой совпадают с матричными компонентами конечномерного входного воздействия.

4. Сформировать требования к динамическим свойствам системы в переходном и установившемся режимах, задав их в форме желаемой структуры мод и условия обеспечения нулевой установившейся ошибки слежения, а также в виде требований к значению оценки 5¡%Р относительной интервальности матрицы состояния агрегированной системы.

5. На основе сформированной структуры мод сконструировать модальную модель в виде наблюдаемой пары матриц (л, Н) с нормой, удовлетворяющей требованиям к значению интервальности

||[аа ]|

Л = аг§-

Л = е а{~}}& 5¡Р

МЛМ

- 5 тР

6. Решить уравнения Сильвестра [5, 6] МЛ-АМ = -ВН относительно матрицы подобия М для медианной версии агрегированного ОУ.

7. Сконструировать матрицу МАМ 1, вычислить ее норму

МЛМ

-1

и осуществить

проверку выполнения требования к интервальности интервальной матрицы состояния проектируемой системы, в случае его невыполнения осуществить возвращение к п.5, в противном случае - к п.8.

8. Вычислить матрицу обратной связи К в форме К = НМ-1 обобщенного изодромного управления и (() = К~ (().

9. Сформировать реализационную версию закона обобщенного изодромного управления (зоиу)

-1

~() = К8е(() + (28)

на основе измерения ошибки ) по выходу системы и вектора состояния ~н динамического наблюдателя вектора д ошибки слежения по состоянию

С Н = Гн С н + 1н £((),

(29)

опирающегося на модельное представление д(() = ); в(() = Суд((), чтобы матричные компоненты (25) вычислить в силу соотношения

((, N)= агвЛ[

С П

= к!

для которого матрицу П вычислить из решения уравнения Сильвестра

ПГ - Гн Г! = - С .

(30)

(31)

10. Провести компьютерный эксперимент в среде программой оболочки МЛТЬЛВ с целью проверки корректности назначения собственных значений матрицы состояния наблюдателя (29) вектора ошибки слежения по состоянию на основе медианной версии интервального модельного представления агрегированной системы

v(í )=КМ(); ^(о) в(( )=),

(32)

где

V =

С01{ , ©дн

= П ~н

Л }

• с =

с о

■ (30)

"[~] БЫ

о Рн _

Следует заметить, что введение в состав системы наблюдателя не увеличивает оценки относительной интервальности матрицы состояния спроектированной системы, поэтому необходимость контроля его влияния на эту оценку исчезает [1]. Более того, оценка относительной интервальности матрицы состояния спроектированной системы в предположении, что вектор ошибки слежения по состоянию полностью измерим, формируется в п. 5 процедуры синтеза тела алгоритма, поэтому по завершении выполнения алгоритма 5¡Г оказывается вычисленной.

Пример

Для иллюстрации полученных результатов рассматривается изодромное управление объектом с интервальными матрицами состояния и управления, которые имеют вид " 0 1 0 " [А]= 0 0 1 , [Б]=[0 0 [1.5;0.5]]Г. Матрица выхода объекта имеет

[—1;0] [-10;10] [- 7;7]_ фиксированные параметры и записывается в форме С = [1 0 0]. Матричные компоненты источника конечномерного входного воздействия ) = ); г(0); g(() = Рг() в

случае гармонического входного воздействия при ш = 5с_1 получают реализации Г 0 5] г ,

Г = , Р = [10]. Модифицируем ОУ путем введения буферной системы со-

— 5 0

гласно п. 3 алгоритма с тем, чтобы интервальной оказалась только расширенная матри-

ца состояния

A ].

так что

0 1 0 0 0 0 0 10 0 [-1;0] [-10;10] [- 7;7] [l.5;0.5] 0

0 0

0 0

0 0

0

-5

. Матрицы управ-

ления B и выхода C расширенной системы соответственно принимают вид

B = [0 0 0 0 1] . C = [1 0 0 0 0]. причем пара матриц (A0. B) - управляемая.

Реализуем алгоритм синтеза обобщенного изодромного управления. опирающегося на обобщенное модальное управление. Полученные результаты приводятся в виде кривых y(t). г((). s(() (рис. 1).

Рис. 1. Траектории y(t). z(t). s(t)

Заключение

Агрегирование исходного объекта управления и некоторой буферной системы минимальной размерности позволяет сохранить интервальность только в матрице состояния агрегированного объекта. Руководствуясь предложенным алгоритмом. становится возможным управлять интервальностью путем влияния на медианную составляющую матрицы состояния агрегированной системы или через назначения соответствующих значений матрицы обратных связей. а также осуществлять контроль относительной интервальности матричных компонентов агрегированной системы с использованием аппарата теории чувствительности. В силу специфики задачи управления динамическим объектом с интервальными параметрами при конечномерном задающем воздействии наибольшей конструктивностью обладают функции траекторной чувствительности.

Литература

1. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002.

2. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. / Пер. с англ. М.: Наука, 1980. 376 с.

3. Ланкастер П. Теория матриц. / Пер. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

4. Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов Р.О., Ушаков А.В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами. Бишкек: Илим, 1991.

5. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. Л: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.

6. Ушаков А.В. Обобщенное модальное управление. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т.43. №3.