Эллипсоидные оценки качества систем с интервальными параметрами, конструируемые на харитоновской выборке из массива угловых реализаций Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЛИПСОИДНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ, КОНСТРУИРУЕМЫЕ НА ХАРИТОНОВСКОЙ ВЫБОРКЕ ИЗ МАССИВА УГЛОВЫХ

РЕАЛИЗАЦИЙ Т.А. Акунов, С.А. Сударчиков, А.В. Ушаков

Рассматриваются возможности аппарата эллипсоидных оценок качества систем типа многомерный вход - многомерный выход применительно к системам с интервальными параметрами. Эллипсоидные оценки прозрачно отражают конвергенцию эллипсоидных мажорант и минорант по мере уменьшения относительной интервальности модельных компонентов. Задача решается на "харитоновской" выборке.

Введение. Постановка задачи

Метод В. Л. Харитонова контроля робастной устойчивости систем с интервальными параметрами, сводящий проблему анализа устойчивости систем к определению устойчивости четырех "харитоновских" полиномов с фиксированными параметрами, существенно упростил задачу анализа динамики интервальных систем. В этой связи, если рассматривать задачу синтеза интервальных систем как задачу синтеза их медианных версий с последующим контролем влияния интервальных составляющих интервальных системных компонентов на свойства системы, то с использованием метода В.Л. Харитонова за конечное число итераций можно синтезировать интервальную систему с желаемыми показателями качества, которые можно охарактеризовать на "харитоновской" выборке из угловых реализаций полной мощности медианными значениями этих показателей и оценить их относительную интервальность. К сожалению, эти показатели в основном являются локализационными, так как они представляют собой параметры аппроксимирующего покрытия области локализации собственных значений семейства характеристических полиномов В.Л. Харитонова, основными из которых являются степень устойчивости и колебательность.

Однако пользователей проектируемых систем интересуют такие показатели, как перерегулирование, полоса пропускания отношения вход-выход на уровне заданного значения амплитудно-частотной характеристики, показатель колебательности, полоса пропускания отношения вход-ошибка на уровне требуемого значения относительной частотной ошибки и так далее. Очевидно, все эти показатели будут носить интервальный характер. Нетрудно понять, что идея интервальных представлений, порождающих на угловых реализациях семейство "угловых" траекторий, делает корректной постановку задачи конструирования мажорантного и минорантного покрытий этих процессов. Если мажоранта и миноранта семейства угловых траекторий обладает минимальной достаточностью, то из них может быть извлечена вся информация, интересующая пользователя. Следует заметить, что минимальной достаточностью обладают эллипсоидные мажоранты и миноранты, конструируемые на экстремальных элементах алгебраического спектра сингулярных чисел некоторой критериальной матрицы отношения вход-выход, сводящей задачу управления при конечномерном задающем воздействии к линейной алгебраической задаче [1, 3]. С тем, чтобы сконструировать критериальную матрицу, необходимо иметь четыре "угловые харитоновские" реализации систем вида

x (t) = Fx + Gg((); x(o); >> (() = Cxt (t) i = 1,4, (1)

сопровождающие "харитоновские" характеристические полиномы Di (X) [1]

Для конструирования матричных компонентов систем вида (1) воспользуемся тем обстоятельством, что отношения вход-выход и вход-ошибка инвариантны относительно базиса представления. Дополним это свойство систем предположением, что в неподвижном состоянии при постоянном задающем воздействии g(t) = g0 = const выпол-

няется условие ууст = g0. Тогда передаточные функции систем вида (1) могут быть

охарактеризованы семейством передаточных функций, сконструированных на полиномах В. Л. Харитонова так, что они записываются следующим образом:

ф1 МДУТГ = АТЛ = С( - ¥ ) (2)

g(s) Ау)

ф2 МДу# = АН = (3)

g ( ) А2 )

Фз «=*# = ТОП = С(-*3 )-1 «з, (4)

g ) Аз)

д

Ф4^) = ^ = АТЛ = ^ - ^ (5)

g ( ) А4 )

Структурная реализация передаточной функции (2)-(5) порождает семейство систем вида (1).

Эллипсоидные оценки качества "харитоновской" системы многомерный вход-многомерный выход. Основной результат

Сведем отношение вход-выход при конечномерном задающем воздействии к линейной алгебраической задаче вида

п( ) = ^ )х(о), (6)

где х (() - критериальная матрица, п принимает смысл агрегированного выхода семейства систем (1) у = [,у2,у3,у4]Т или агрегированной ошибки а = [, а2, а, а4]Т, х(о) - вектор начального состояния источника конечномерного задающего воздействия. Скаляризация векторно-матричного выражения (6) с помощью эллипсоидных миноранты и мажоранты осуществим путем перехода в (6) к соотношению по векторным евклидовым нормам, для которых оказываются справедливыми [2] неравенства.

"" ((Щ " "м (()} ^ ,(7)

где ат )}, ам )} - минимальные и максимальные сингулярные числа, соот-

ветственно, критериальной матрицы N ([).

Для конструирования критериальной матрицы N () воспользуемся положения-

ми следующего утверждения.

Утверждение. Пусть g (() - конечномерное задающее воздействие, которое генерируется с помощью автономной конечномерной системы минимальной размерности

2(() = Гг((); ф) g() = Рг(\ РРТ = I;г() = ехр(л)ф), (8)

где 2 е Я1, Г е Я1х1, Р е Ятх1, g е Ят . Тогда для агрегированной системы, построенной на четырех "харитоновских" угловых реализациях системы вида (1), становятся справедливыми представления

х() = ехр(¥Г )х(о) + (Т ехр(Г) - ехр(¥Г )Т )(о), (9)

у() = Сх() = С ехр^ )х(о)+С (Т ехр(Г) - ехр(¥г )Т )г(о), (1 о)

а() = g () - У() = (Р - СТ )ехр(Г >(о)- С ехр(¥ )(х(о) - Тг(о))^ (11)

здесь Г = dia.gr\, Р = diagPi, ¥ = diag ¥, С = diagCi, Т = diagTi ( = 1, п),

где матричные компоненты Ti матрицы T вычисляются с помощью матричного уравнения Сильвестра □

Тг Г, - ЪгТг = G1P1, (12)

Доказательство утверждения можно найти в [3, 1] ■.

Для построения эллипсоидных мажоранты и миноранты переходной характеристики семейства систем (1) путем сведения задачи к виду (6) положим в (9)—(11) х(о) = 0 и сформулируем следующее утверждение.

Утверждение. Для вынужденной составляющей движения (9) вектора состояния х(г) и (10) выхода у() систем (1), которые при ступенчатом задающем воздействии

ё(() = ё(о) = Рг(0), ||ё(о) = 1 представляют собой переходные характеристики по состоянию и выходу системы (1), справедливы представления

х(() = ^хё (()ё (0); у(() = Муё (()ё (0), (13)

где ЫХё () и Ыу8 () - переходные матрицы по состоянию х(г) и выходу у(() имеют вид

^ () = Ъ 1 (ехр (^)-1); Куг (г) = СЪ(ехр (^)-1)G, (14)

а эллипсоидные мажоранты и миноранты переходных характеристик по состоянию и выходу определяются выражениями

Ьхм () = ам (г)} кхт () = ат ^ (г)},

Км() = ам К*(/)} Иут() = ая ^(г)}. □. (15)

Доказательство утверждения строится на подстановке в соотношения (9), (11) Г = 0 и решении уравнения Сильвестра при этом условии [1]. ■

Использование соотношения (13) совместно с (12) позволяют сконструировать мажоранты ам (%), гПм миноранты ат (%), гП т , соответственно, перерегулирования

а(%) и времени переходного процесса гП семейства "харитоновских" систем (1).

Для построения эллипсоидных мажоранты Мм (с) и миноранты Мт (с) амплитудно-частотной характеристики вход-выход и эллипсоидных мажоранты 5м (со) и миноранты 5т (со) относительной частотной ошибки [4] рассмотрим соотношения (9) -

(11) в установившемся режиме для случая гармонического внешнего задающего воздействия, которые с учетом (8) принимают вид

х() = Т ехр(Г )г(0) = Т г((, (16)

у() = Сх() = СТг (), (17)

е() = ё ()- у()=(Р - СТ >((). (18)

Для случая гармонического задающего воздействия интерес представляют критериальные матрицы Ыхг(),Nуг() и Ыег(г), для которых в силу (16)-(18) можно записать

^ () = Т ехр(г), () = СТ, N.. (г) = (Р - СТ), (19)

здесь матрицы Г и ехр Г имеют представления

0 с

Г = diag < ri =

-а 0 exp rt = diag¡ exp(r\t) =

(i = 1,m)) ,(20)

(i=im), (21)

cosa sin a - sin a cosa

в силу которого последняя из них является ортогональной [5]. Если воспользоваться свойством [5] спектра сингулярных чисел произвольной матрицы не зависеть от умножения ее слева или справа на ортогональную матрицу, то при использовании соотно-

шения (7) для формирования мажорант и минорант амплитудно-частотных характеристик вход-выход и относительной частотной ошибки исчезает зависимость о времени, причем для гармонического воздействия в случае выполнения в (8) условия РРТ = I норма ||х(о)| = ||г(о)| совпадает с амплитудой гармонического воздействия так, что

gm = | |^(о). Таким образом, становится справедливым положение следующего утверждения.

Утверждение. Эллипсоидные мажоранты и миноранты амплитудно-частотных характеристик по состоянию x(t) = x(t,w), выходу у(^) = у(?,©) и ошибке а() = ф,о)

многомерной непрерывной системы, построенной на семействе "харитоновских" систем (1), удовлетворяют оценочным неравенствам (7), принимающим для гармонического воздействия вид

xit,a

(

xi a

Mxm И*" ||Z(0| - ||Z(0)|

M„ (a) M xM (®)eCT„{T}.

M (a)<MaJ. = lyH< m Mym(a)< ||.-(0| ||z(0| <

< Mxm (а)Уш

yM

(a), Va

Mym (a), MyM (a)eajCT }.Sm (a)< Sm(a), Sm(a)Ga„((P-CT)},

||g(t ,a) = IHal

||z(0) " ||z(0j

<Sm(a), Va

(22)

(23)

(24)

в которых оа {(*)}- алгебраический спектр сингулярных чисел матриц (*), матрица Т путем решения уравнения Сильвестра (12) принимает вид

T(a)=-(a21 + F2) row{[[ iGi aGi];i = 1,m},

(25)

а a - частота задающего внешнего векторного воздействия. □.

Доказательство утверждения строится на использовании неравенства (7) применительно к критериальным матрицам (19) с учетом свойств ортогональной матрицы (21), а также на непосредственном решении уравнения Сильвестра (12) для случая матрицы Г вида (20) [6]. ■. Пример.

В качестве примера рассматривается процесс конструирования мажорант и минорант переходных и частотных характеристик системы, построенной на объединении

ОУ x() = [A]x()+Bu(t);

x(0); y() = Cx() и закона управления u(t) = K g(()- Kx((). Объект управления характеризуется интервальной матрицей состояния

Г 0 1 0 " [a] = A0 + [AA] =0 0 1

_[- 20; 20] [-10;10] [- 7;7]_

и матрицей управления с фиксированными параметрами B = [0 0 1]T , с распределением мод Баттерворта для значений характеристической частоты a 0, гарантирующей

робастную устойчивость.

Приведенные на рис. 1-9 кривые эллипсоидных мажорант и минорант во временной и частотной областях позволяют наблюдать степень влияние фактора интервально-сти на процессы в системах с интервальными параметрами, а также констатировать факт сходимости мажорант и минорант друг к другу по мере управляемого уменьшения относительной интервальности системных компонентов интервальной системы. Оче-

видно аналогичные кривые в форме эллипсоидных мажорант и минорант могут быть построены для случая стохастического задающего воздействия.

Рис. 1. Мажоранта и миноранта переходной характеристики интервальной системы при значении характеристической частоты с0 = 6 с-1

Рис. 2. Мажоранта и миноранта переходной характеристики интервальной системы при значении характеристической частоты с0 = 10 с-1

Рис. 3. Мажоранта и миноранта переходной характеристики интервальной системы при значении характеристической частоты с0 = 50 с-1

Рис. 4. Мажоранта и миноранта амплитудно-частотной характеристики интервальной системы при значении характеристической частоты с0 = 6 с-

Рис. 5. Мажоранта и миноранта амплитудно-частотной характеристики интервальной системы при значении характеристической частоты с0 = 10 с-1

Рис. 6. Мажоранта и миноранта амплитудно-частотной характеристики интервальной системы при значении характеристической частоты с0 = 50 с-1

Рис. 7. Мажоранта и миноранта относительной частотной ошибки при значении характеристической частоты соо = 6 с -

ю"1 10° ю1 ю2 ю3

Рис. 8. Мажоранта и миноранта относительной частотной ошибки при значении характеристической частоты со = 1о с -

Рис. 9. Мажоранта и миноранта относительной частотной ошибки при значении характеристической частоты со = 5о с -

В заключение необходимо отметить, что использование соотношений (16)-(18) с учетом представления решения уравнения Сильвестра в форме (12) позволяет сконструировать мажоранты и миноранты полос пропускания на уровне заданных значений

амплитудн0-частотных характеристик вход-выход и относительной частотной ошибки на семействе "харитоновских" систем. Более того, они позволяют наблюдать процесс сходимости мажорант и минорант друг к другу по мере снижения относительной ин-тервальности системных компонентов исходной интервальной системы.

Литература

1. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Диф. уравн. 1978. Т.14. №11. С. 2086-2088.

2. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

3. Акунова А., Акунов Т.А., Ушаков А.В. Оценка чувствительности стохастических интервальных систем с помощью спектральных чисел обусловленности // 6-й Санкт-Петербургский симпозиум по теории адаптивных систем, посв. Памяти академика Цыпкина ЯЗ., 1999 СПб.

4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.

5. Ушаков А.В. Модальные оценки качества процессов управления многомерными системами при гармоническом внешнем воздействии // Автоматика и телемеханика. 1989. №11.