CC BY
15
ВЛИЯНИЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ДВОИЧНОМ КАНАЛЕ БЕЗ ПОМЕХ НА КАЧЕСТВО ДИСТАНЦИОННОГО ЦИФРОВОГО
УПРАВЛЕНИЯ О.С. Осипцева, А.В. Ушаков
Показывается, что цифровой модальный регулятор, включенный в состав дискретной системы, размещенной в компактной технической среде, претерпевает заметные модификации, если эта система погружается в двоичную канальную среду. В первую очередь, независимо от состава измерения, цифровой модальные регулятор должен быть реализован версией цифрового динамического модального регулятора, во вторую очередь, в составе системы оказываются элементы задержки на передающей и приемной сторонах канальной среды, вызванные преобразованием параллельного кода в последовательный, и наоборот, что, несомненно, повлияет на качество дистанционного цифрового управления.
Введение. Постановка задачи
Современная теория дискретных (цифровых) систем управления [1-4] опирается на практику эксплуатации этих систем при условии их размещения в компактной технической среде. Компактная техническая среда характеризуется близостью размещения объекта управления и регулятора, реализующего цифровое управление объектом. Компактное размещение допускает обмен информацией от устройства управления к объекту и от измерительных устройств, размещенных на объекте, к устройству параллельными кодами [5]. Если техническая задача такова, что цифровой регулятор и объект управления оказываются разнесенными в пространстве, так как цифровая дискретная система оказывается погруженной в двоичную канальную среду, то технические возможности реальных двоичных каналов связи требуют на передающей стороне преобразования параллельного кода в последовательный, а на приемной стороне -преобразования последовательного кода в параллельный. При таких преобразованиях возникают непредвиденные задержки, определяемые размерностью представления используемых кодов. Отмеченное обстоятельство существенно меняет техническую реализацию цифровой дискретной системы и оказывает заметное влияние на качество дистанционного управления с ее помощью. Необходимо отметить, что системное проявление фактора погружения цифровой системы в двоичную канальную среду, даже в случае отсутствия помех, в современной библиографии по теории дискретных (цифровых) систем не получило широкого освещения. Авторы полагают, что предлагаемая вниманию читателя статья несколько поправит сложившуюся ситуацию.
Синтез цифрового модального регулятора системы, размещенной в компактной технической среде
Ставится задача синтеза цифрового регулятора, реализующего модальное управление непрерывным объектом управления
•
х(0 = Лх^) + Ви(Г); х(0); у(Г) = Сх(Г). (1)
Очевидно, что цифровая природа синтезируемого регулятора может быть согласована с непрерывным объектом управления (1), если сконструировать его дискретное представление
х(к +1) = ЛхЦ) + Ви(к); х(0); у(к) = Сх(к). (2)
В (1),(2) х, и, у - соответственно векторы состояния, управления и выхода объектов; х е Я",и е Яг,у е Ят ; Л,Л;В,В;С,С - соответственно матрицы состояния, управления и выхода, согласованные по размерности с векторами х, и, у; к - дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительностью Лt так, что непрерывное время t и дискретное к связано соотношением t = ) • к .
Матрицы непрерывного объекта управления (1) и дискретного объекта управления (2) связаны соотношением
А = ехр( А -А/); В = А'1 • (А - /) • В; С = С . (3) Цифровой модальный регулятор
и(к ) = Кgg (к ) - Кх(к ) (4) образует с дискретным объектом управления (2) цифровую систему управления
х(к +1) = Ёх(к) + ^ (к); у(к) = Сх(к) (5)
где Ё = А - ВК; О = В"^ (6)
Матрица К обратных связей по состоянию дискретного объекта управления должна быть выбрана такой, что спектр ее собственных значений а(Ё} = ; г = 1, п} обеспечивает требуемые динамические свойства системы (5). Матрица К по внешнему задающему воздействию g (к) обеспечивает требуемые свойства системы (5) в установившемся режиме, простейшим из которых является равенство к ее входу в неподвижном состоянии. Таким образом, для конструирования матриц К и Kg цифрового регулятора (4) можно воспользоваться алгоритмом, которому придадим номер А.1.
1. Формирование (А, В, С ) - представления дискретного объекта управления (2) на основе (А,В, С) - представления исходной версии объекта управления (1).
2. Выбор полиномиальной динамической модели желаемого поведения "вход-выход" непрерывной версии проектируемой системы, формирование на ее основе (Г, Н) - представления непрерывной модальной модели, где
Г е Япхп; Н = Вт; (Г, Н) - образуют наблюдаемую пару матриц.
3. Конструирование дискретной версии модальной модели с парой матриц (Г, Н), удовлетворяющих соотношению
Г = ехр(Г • А/); Н = Н (7)
4. Решение матричного уравнения Сильвестра
МГ - АМ = -ВН (8)
относительно матрицы М
5. Задание матрицы М подобия векторов состояния дискретной модальной модели и проектируемой цифровой системы в форме
М = М (9)
6. Решение матричного уравнения Сильвестра
МГ-АМ = -ВН (10)
при известной матрице М (9) относительно матрицы Н в форме Н = (ВтВ)-1 • Вт • (АМ-МГ) (11)
7. Вычисление матрицы К по состоянию дискретного объекта управления (2) в силу соотношения
К = НМ-1 =НМ-1 (12)
8. Формирование матрицы Ё состояния цифровой системы (5) в силу соотношений Ё = МГМ-1 = А -ВК (13)
9. Формирование матрицы К с помощью соотношений
Кё = агв(С {21 - Ё)-1 • = I} = [С (I - Ё)-1 • В ]-1 (14)
10. Построение реализационной версии цифрового закона управления (4), использующего сигнал ошибки в(к) = g (к 0 - у(к) и единичную отрицательную связь по выходу
и(к) = Kgg(k) -Кх(к) = К^(к) -Куу(к) -Кхх(к)\^=Ку=_ = КЕг(к) -Кхх(к) (15)
где матрица Kx вычисляется с помощью соотношения
Kx = k - KgC (16)
Заметим, что цифровая система с реализационной версией цифрового регулятора (15) максимально приспособлена к погружению в канальную среду.
Погружение цифровой системы управления в двоичную канальную среду.
Основной результат
Если цифровая система (5), спроектированная из условия ее функционирования в компактной технической среде, должна осуществлять дистанционное управление объектом, то эта система должна быть погружена в канальную двоичную среду. Погружение в канальную среду предполагает, что регулятор, реализующий цифровой закон управления в форме (15), оказывается размещенным на передающей стороне, а управляемый объект (2) - на приемной стороне. Информационный обмен между цифровым регулятором и объектом по прямому каналу (каналу управления) и обратному каналу (информационному каналу) должен происходить скалярным образом. Это требование может быть обеспечено, если от закона управления в форме (15) перейти к его динамической версии. Динамическая версия закона (15), имеющая в своем составе динамический наблюдатель, позволяет ограничиться составом измерения, получаемого по обратному каналу связи, представленного только выходом объекта управления. Таким образом, синтез цифрового модального регулятора системы, погруженной в канальную двоичную среду, может быть осуществлен в силу следующего алгоритма, которому придадим номер А.2.
1. Выполнение пунктов 1-10 алгоритма А.1.
2. Формирование динамического наблюдающего устройства вектора состояния x(k) объекта (2) в форме
xg (k + 1) = Fexe (k) + Ley(k) + Beu(k), (17)
где матрицы динамического наблюдающего устройства выбираются из условия Fe = arg{a{F e} p g{F}&g{!} I o{F e} = 0}, (18)
Le = arg{contral(Fe, Le)}, (19)
Be = TeB (20)
Вычисление матрицы Te подобия вектора наблюдения xe (k) вектору состояния x(k) , задаваемому в форме
xe (k) = Tex(k)-®e (k), (21)
в силу решения матричного уравнения Сильвестра
TeA - FeTe = Lß^ (22)
которое совместно с (20) обеспечивает асимптотическую сходимость к нулю вектора невязки наблюдения ©e (k),
©e (k + 1) = Fe©e (k); ©e (0) = Tex(0) - xe (0) , (23)
©e (k) = (Fe )k ©e (0) (24)
3. Формирование динамической версии закона управления (15)
u(k) = Kss(k) - Ny(k) - Dxe (k), (25)
где матрицы связей N по выходу объекта управления и D по вектору состояния динамического наблюдающего устройства вычисляются в силу матричного равенства
[[ м б
с
т
= к
Задача погружения цифровой системы, осуществляющей дистанционное управление объектом, в двоичную канальную среду будет завершена, если в скалярный прямой и обратный каналы на их входах и выходах будут включены цепочки из Пр элементов
задержки, где Пр - число разрядов представления цифровых переменных в регуляторы
и объекты. В результате полная схема цифровой системы, осуществляющая дистанционное управление цифровым объектом управления, погруженная в двоичную канальную среду, примет вид, приведенный на рис. 1.
Рис.1. Схема цифровой системы
Нетрудно видеть, что полученное модельное представление цифровой системы дистанционного управления объектом, погруженной в двоичную канальную среду, позволяет как аналитически, так и средствами универсальной среды МаЛаЬ оценить влияние запаздывания в двоичном канале без помех на качество дистанционного цифрового управления.
В заключение необходимо отметить, что полученное модельное представление является достаточно универсальным. Оно может быть использовано при исследовании влияния запаздывания в двоичном канале связи при наличии импульсных помех. которые приведут к необходимости использования помехозащищенных кодов, фактор которых в системной постановке проявится в дополнительном запаздывании в канале связи на величину, определяемую числами проверочных разрядов кода [5].
Литература
1. Ту Ю., Современная теория управления / Пер. с англ. М.: Машиностроение,1971.
2. Квакернаак Х., Сиван Р., Линейные оптимальные системы управления / Пер. с англ. М.: Мир,1977.
3. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков, Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние,1983.
4. Изерман Р., Цифровые системы управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
5. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения: / Пер. с англ. М.: Мир, 1983.
6. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы: учебник для вузов. 2-ое изд. / В Г. Олифер, Н А. Олифер. СПб: Питер, 2004.
ЭЛЛИПСОИДНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ, КОНСТРУИРУЕМЫЕ НА ХАРИТОНОВСКОЙ ВЫБОРКЕ ИЗ МАССИВА УГЛОВЫХ
РЕАЛИЗАЦИЙ Т.А. Акунов, С.А. Сударчиков, А.В. Ушаков
Рассматриваются возможности аппарата эллипсоидных оценок качества систем типа многомерный вход - многомерный выход применительно к системам с интервальными параметрами. Эллипсоидные оценки прозрачно отражают конвергенцию эллипсоидных мажорант и минорант по мере уменьшения относительной интервальности модельных компонентов. Задача решается на "харитоновской" выборке.
Введение. Постановка задачи
Метод В. Л. Харитонова контроля робастной устойчивости систем с интервальными параметрами, сводящий проблему анализа устойчивости систем к определению устойчивости четырех "харитоновских" полиномов с фиксированными параметрами, существенно упростил задачу анализа динамики интервальных систем. В этой связи, если рассматривать задачу синтеза интервальных систем как задачу синтеза их медианных версий с последующим контролем влияния интервальных составляющих интервальных системных компонентов на свойства системы, то с использованием метода В.Л. Харитонова за конечное число итераций можно синтезировать интервальную систему с желаемыми показателями качества, которые можно охарактеризовать на "харитоновской" выборке из угловых реализаций полной мощности медианными значениями этих показателей и оценить их относительную интервальность. К сожалению, эти показатели в основном являются локализационными, так как они представляют собой параметры аппроксимирующего покрытия области локализации собственных значений семейства характеристических полиномов В.Л. Харитонова, основными из которых являются степень устойчивости и колебательность.
Однако пользователей проектируемых систем интересуют такие показатели, как перерегулирование, полоса пропускания отношения вход-выход на уровне заданного значения амплитудно-частотной характеристики, показатель колебательности, полоса пропускания отношения вход-ошибка на уровне требуемого значения относительной частотной ошибки и так далее. Очевидно, все эти показатели будут носить интервальный характер. Нетрудно понять, что идея интервальных представлений, порождающих на угловых реализациях семейство "угловых" траекторий, делает корректной постановку задачи конструирования мажорантного и минорантного покрытий этих процессов. Если мажоранта и миноранта семейства угловых траекторий обладает минимальной достаточностью, то из них может быть извлечена вся информация, интересующая пользователя. Следует заметить, что минимальной достаточностью обладают эллипсоидные мажоранты и миноранты, конструируемые на экстремальных элементах алгебраического спектра сингулярных чисел некоторой критериальной матрицы отношения вход-выход, сводящей задачу управления при конечномерном задающем воздействии к линейной алгебраической задаче [1, 3]. С тем, чтобы сконструировать критериальную матрицу, необходимо иметь четыре "угловые харитоновские" реализации систем вида
x (t) = Fx + Gg((); x(o); >> (() = Cxt (t) i = 1,4, (1)
сопровождающие "харитоновские" характеристические полиномы Di (X) [1]
Для конструирования матричных компонентов систем вида (1) воспользуемся тем обстоятельством, что отношения вход-выход и вход-ошибка инвариантны относительно базиса представления. Дополним это свойство систем предположением, что в неподвижном состоянии при постоянном задающем воздействии g(t) = g0 = const выпол-
