CC BY
20
ФАКТОР РАЗМЕРНОСТИ ПРИ СИНТЕЗЕ ЦИФРОВОГО ДИСТАНЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ДВОИЧНОМ КАНАЛЕ СВЯЗИ О.С. Осипцева, А.В. Ушаков
Рассматриваются проблемы цифрового дистанционного управления с учетом фактора канальной среды. Предлагается алгоритм синтеза цифрового дистанционного управления в классе модальных управлений агрегированным дискретным объектом, характеризующийся регулятором на базе концепции агрегированного интервала дискретности «прямой канал - объект управления - обратный канал». Положение статьи иллюстрируется примером.
Введение
Принципиальным отличием цифрового дистанционного управления непрерывным объектом от такого же управления в условиях компактного размещения объекта и регулятора является фактор канальной среды. Фактор канальной среды расширяет размерность модели объекта в его дискретном представлении, причем это расширение происходит в силу четырехфазного кодового преобразования: параллельного кода, выработанного управления в последовательный, согласованный с предоставленным каналом связи; последовательного в параллельный в прямом канале связи и таких же преобразований в обратном канале связи. Размерность параллельного кода определяется используемыми АЦП и ЦАП [1]. Так, если используются восьмиразрядные АЦП и ЦАП, то размерность исходной задачи управления в его дискретном представлении с учетом фактора канальной среды увеличивается на тридцать два порядка. Если встанет дополнительная задача обеспечения помехоустойчивости передачи, то эта размерность дополнительно увеличивается на 2т разрядов, где т - число проверочных разрядов поме-хозащищенного кода. К этому надо добавить, что размещение объекта управления на контролируемом пункте и цифрового регулятора на пункте управления приводит к неизбежности построения регулятора в динамической версии, содержащей в своем составе динамическое наблюдающее устройство, размерность которого не менее размерности дискретной модели объекта управления с учетом фактора канальной среды. Таким образом, если исходный объект управления имеет второй порядок, то с учетом фактора канальной среды даже в условиях отсутствия помех проектируемая система за счет расширения размерности дискретной модели и построения полного наблюдателя получит размерность, равную шестидесяти четырем. В такой ситуации возникают определенные проблемы синтеза цифрового дистанционного управления. Первой из них является проблема отсутствия на настоящий момент «банка» модальных моделей сверхвысокой размерности. Второй проблемой является отсутствие гарантии вычислительной устойчивости всех матричных процедур с матричными компонентами высокой размерности при синтезе модального управления, опирающегося на решение уравнения Сильвестра [2, 3].
В этой связи наиболее конструктивным разрешением возникших проблем является введение в рассмотрение агрегированного интервала дискретности, равного суммарной длительности преобразования параллельного кода в последовательный, последовательного в параллельный как в прямом, так и обратном каналах связи, так что размерность агрегированного дискретного объекта увеличивается всего на два порядка.
В случае, если шумовая среда в канале связи такова, что неизбежным становится введение избыточных разрядов кода для обеспечения помехоустойчивости, то этот фактор может быть учтен путем дискретного модельного представления составной системы «канальная среда - объект управления» с интервальным значением интервала дискретности агрегированного дискретного объекта.
Предлагаемый подход ограничивает возможности достижения временных показателей процессов системы в переходном режиме. В свою очередь, в силу теоремы К.Шеннона - В. Котельникова агрегированный интервал дискретности при синтезе системы накладывает заметные ограничения на выбор характеристической частоты Юо параметризованной модальной модели [1, 2].
1. Синтез цифрового дистанционного управления на базе концепции агрегированного интервала дискретности дискретного модельного представления системы «канальная среда - объект управления»
В соответствии с модельной концепцией, высказанной во введении, ставится задача синтеза закона управления, обеспечивающего заданные показатели качества процессов в переходном и установившемся режимах для управляемого объекта, который в оболочке синтеза представлен агрегированной дискретной версией объекта с агрегированным интервалом дискретности. Агрегирование построено на последовательном соединении трех дискретных систем: первая система, модельная, представляет прямой канал связи; вторая представляет дискретное модельное описание исходного управляемого объекта управления; третья - обратный канал связи в его дискретном описании (рис. 1). Цифровое дистанционное управление строится как цифровое модальное динамическое управление.
8(к) е(к)
- У(к)
ипК(к)
ПКС ВАС
^пк т^пк >^пк
:(к +1)
> ЭЗ
хпк (к )
Ве
Хе(к)
Хе(к+Д
ЭЗ
к
- Б
XX)
N
вок , аок , сок
ЭЗ
У(к) = х0К (к) Хж (к +1)
ОКС
х(к+1) х(к) у(к)
ЭЗ
А
С
\
двоичныи канал связи
В
Ь
е
Рис. 1. Схема цифровой системы дистанционного управления с агрегированным интервалом дискретности
Ниже приводится алгоритм синтеза цифрового модального управления с агрегированным интервалом дискретности.
1. Сформировать требования к показателям качества системы цифрового дистанционного управления в переходном и установившемся режимах функционирования.
2. Априорно оценить разрядности пр устройств кодового преобразования и диапазон скоростей передачи предоставляемого телемеханического протокола (ТМП): с = (At)-1
3. Сформировать агрегированный интервал дискретности Ata для случая двоичного канала связи (ДКС) без помех в силу соотношения: 4=2(At) пр.
4. Сформировать векторно-матричное модельное представление (ВММП) непрерывного объекта управления (НОУ):
x(t) = Ax(t) + Buoy (t); x(0); y(t) = Cx(t), (1)
где x, uОУ, y - соответственно векторы состояния, управления и выхода объектов; x е Rn,uoy е Rr, y e Rm ; A,B, C - соответственно матрицы состояния, управления и выхода, согласованные по размерности с векторами x, u, y .
5. Сформировать векторно-матричное описание дискретного представления объекта
x(k +1) = Ax(k) + Buoy (k); x(0); y(k) = Cx(k) (2)
где k - дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности, длительностью At так, что непрерывное время t и дискретное k связаны отношением t = (Ata) • k;
матрицы A,B,C вычисляются в силу соотношений:
A = exp(A • Ata); B = A- • (A -1) • B; C = C (3)
6. Построить модельное представление прямого и обратного каналов связи, осуществляющих задержку дискретного сигнала на один такт длительностью Ata в форме
xпк (k + 1) = ank xпк (k) + bnkuпк (k); x(0); y пк (k) = Cпк xпк (k) (4)
uoy(k)= y пк (k ) (5)
xok (k + 1) = aok xок (k ) + bок u ок (k); x(0); уок (k) = coк xoк(k) (6)
где xпк, uпк, yпк, xOK, uOK, уОК - соответственно векторы состояния, управления и выхода в прямом и обратном каналах единичной размерности;
x пк е g", u пк е g , у пк
B = B
ппк - пок
G"
vок
G", uok е G, Уок
Gm
A = A = 0л пк ^ок
= Ц с пк = сок = [1].
7. Сформировать агрегированный дискретный объект управления (АДОУ), составленный из последовательного соединения прямого канала связи, дискретного объекта управления (ДОУ) и обратного канала связи с вектором состояния
ха = хпкт; хдОУт; хОКт ] размерности иа=и+2, вектором регулированного выхода у, вектором измеряемого выхода уи, представляющим собой выход ОКС, и матрицами (Аа ,Ва
,Са ,Саи).
х, (к +1) = [хпк (к +1); х(к +1); Хок (к +1)]-1 (7)
x a (k +1) = aaxa (k)+B au пк (k); x(0); y(k) = caxa (k); y(k) = CAx(k),
где
(8)
апк 0 0
N A A С ^ пк А 0
0 С аок
Апк =0; Aok=0;спк = i
0 0 0"
B A 0 ; (9)
0 C 0
В А =
впк "1"
0 = 0
0 0
-1 впк =1
; С, =[0 С 0]; СА =[0 0 1];
(10)
А пк = аок = 0; Спк = впк = 1 • (11)
8. Сформировать априорную оценку 4п длительности переходного процесса ^ для случая системы дистанционного цифрового управления с регулятором без наблюдателя в форме 4п=(Л7а) па и для случая регулятора с наблюдателем в форме
4п=2(ДГа) Па •
9. Проверить выполнение условия ^пт< 4п, где - требуемая по техническому заданию длительность переходного процесса, при этом в случае выполнения неравенства - переход к п.10 алгоритма, в случае невыполнения - осуществление действий:
9.1. переход к п.1 с целью согласования технического задания на предмет снижения требований к величине с последующим переходом к п. 9;
9.2. переход к п. 2 с целью смены ТМ-протокола на ТМП с большей скоростью передачи, с последующим переходом к п.10;
9.3. если условие ^пт< tш выполняется для случая системы дистанционного цифрового управления с регулятором без наблюдателя, то совершить переход к реализации дискретного наблюдателя с интервалом дискретности Д^, таким, чтобы процесс наблюдения совершался бы за один такт «канального времени».
10. Сформировать закон управления в форме комбинации обратной связи по состоянию хА с матрицей К и прямой связи по задающему воздействию g(k) матрицей ^ _ _
и пк (к) = Kgg ^) - Кх^) (12)
с использованием метода модального управления [5].
11. Выбрать непрерывную динамическую модальную модель (ММ) в форме пары матриц (ГА, НА) желаемого поведения «вход-выход» проектируемой системы. ГА -матрица состояния ММ - является носителем желаемой структуры собственных значений размерностью па х па НА = ВАТ; (ГА, НА ) - наблюдаемая пара матриц.
12. Сконструировать дискретную версию модальной модели с парой матриц (ГА, Н А ), где матрица Г а вычисляется с помощью соотношения ГА = ехр(ГА ■ ), а
матрица Н а вычисляется на основе пары матричных уравнений Сильвестра для непрерывного и дискретного случаев:
(13)
_ _ (14)
при известной матрице НА относительно матрицы М А .
13. Сформировать матрицу К с помощью соотношений прямых связей по задающему воздействию и из условия равенства регулируемого выхода и задающего воздействия в неподвижном состоянии
К = агв(СА (21 - ¥А )-1 • ВАКг , = I} = [СА (I - ¥А)-1 • Ва ]-1
М А ГА -А А М А = -В А Н А
относительно матрицы М А .
М А Га -А А М А =-В А Н А
М А Г А = ¥ аМ А
(15)
2 = 1
_ ____ _ (16)
Кё = [Са (I -МА ГаМА"1)-1 • Ва ]-1 (17)
14. Построить цифровой закон управления, использующий сигнал ошибки е(к) = g ^) - у(к) по выходу:
unK(k)=Kgg(k)-Kx(k) =Kgg(k)-Kyy(k)-Kxx(k) _ = KEs(k)-Kxx(k). (18)
Kg Ky Ks
15. Сформировать динамическое наблюдающее устройство вектора состояния xA (k) объекта (2) в форме
xe(k +1) = Fexe (k) + Le y(k) + Beu(k), (19)
где матрицы динамического наблюдающего устройства выбираются из условия
Fe = arg{a{Fe) p a{FA}& } П^} = 0}, (20)
Le = arg{contr (Fe, Le)}, (21)
Be = TBa (22)
Здесь p - знак мажоризации, означающий в данной задаче, что моды матрицы состояния наблюдателя локализованы на комплексной плоскости левее вдоль вещественной оси мод матрицы состояния системы.
16. Вычислить матрицу Te подобия вектора наблюдения xe (k) вектору состояния xA (k), задаваемого в форме
xe (k) = TexA (k) (k), (23)
в силу решения матричного уравнения Сильвестра
TA - FeTe = LeCe, (24)
которое совместно с (22) обеспечивает асимптотическую сходимость к нулю вектора невязки наблюдения ©e (k),
©e (k + 1) = Fe ©e (k); (0) = 7>(0) - xe (0) , (25)
©e (k) = (Fe )k ©e (0) (26)
17. Сформировать динамическую версию закона управления (18)
uпк (k) = Kee(k) - N y(k) - Dxe (k). (27)
18. Проверить работоспособность просинтезированного цифрового дистанционного устройства управления и оценить его динамические свойства в модельной среде MatLab [6,7].
2. Пример алгоритм синтеза цифрового модального управления с агрегированным интервалом дискретности
В соответствии с алгоритмом синтеза, приведенным в пункте 1, осуществим следующие действия.
1. Формирование требования к системе: дана система дистанционного цифрового управления электроприводом второго порядка со показателями качества - перерегулирование системы а<11%, время переходного процесса ^п=0.7с.
2. Выбор канальной среды: принята среда, формируемая средствами системы телемеханики, в которой организована передача данных со скоростью 400 бит/с, длительность одного бита (элементарного сигнала) кода равна At=2.5 мс, пр= 8. Используются восьмиразрядные АЦП и ЦАП, пр= 8.
3. Формирование агрегированного интервала дискретности Ata для модальной модели Ata=0,04a
4. Формирование векторно-матричного модельного представления (ВММП) непрерывного объекта управления (НОУ):
x(t) = Ax(t) + Buoy (t); x(0); y(t) = Cx(t),
"01" "0"
Л = ; в = ;С
00 1
; С = [10].
5. Формирование векторно-матричного описания дискретного представления объ-
екта
х(к +1) = Лх(к) + ВиОУ (к); х(0); у(к) = Сх(к) ,
где Л =
"1 0,04" "0"
; в =
0 1 0,04
; с = [1 о].
6. Выбор матриц модельного представления прямого и обратного каналов связи, осуществляющих задержку дискретного сигнала на один такт длительностью Ata:
Л пк = лок = 0; впк = вок = 1 Спк = сок = [11
7. Формирование агрегированного дискретного объекта управления
Л Л
Хл (к +1) = ЛлХл (к) + В ли пк (к); х(0); у(к) = САхА (к); у(к) = С Ах(к),
где
Ал =
0 В 0
0 Л С
00 01 0,04 0 01
00 0,04 0 10 00
"1"
0
; в л = 0
0
; Сл =[0 1 0 01 Сл =[0 0 0 1].
8. Формирование априорной оценки tап: для случая системы дистанционного цифрового управления с регулятором без наблюдателя tш= 0,16; для случая регулятора с наблюдателем tап= 0,32.
9. Проверка выполнения условия ^т< tап: ^т= 0,7 с.
10. Формирование закона управления в форме комбинации обратной связи по состоянию хЛ с матрицей К и прямой связи по задающему воздействию g(k) матрицей
К
ипк (к) = Kgg(к) - Кх(к) .
11. Выбор непрерывной динамической модальной модели (ММ) в форме пары матриц (ГЛ, Н Л ) желаемого поведения «вход-выход» проектируемой системы: динамическая модальная модель с распределением мод Баттерворта четвертого порядка
4 3 2 2 3 4
я(б) = б +2.6ш0б +3.4ш0 б +2.6ш0 Б+ш0 , доставляющей системе перерегулирование а=11% и время переходного процесса ^п=0.7с.
Характеристическая частота модальной модели в силу теоремы К. Шеннона -В. Котельникова не должна превышать данного значения ш0=шн=п/Д1а~78.54.
Г =
- 72,56 30,056 0 0
- 30,056 - 72,56 0 0
0 0 - 55,54 55,54 0 0 - 55,54 - 55,54
; Н = [1111].
12 Конструирование дискретной версии модальной модели с парой матриц (Г , Н л ):
Г =
0,0198 0,0512 0 0
- 0,0512 0,0198 0 0
0 0 - 0,0656 0,086 0 0 - 0,086 - 0,0656
; Н = [1111].
13. Формирование матрицы К : К§ = 688,36.
14. Построение цифрового закона управления:
(к)=К^к) - Кх(к)=Кык) - КУк) - Кхк)
u
ПК
--K£s(k) - Kxx(k).
T =
15. Формирование динамического наблюдающего устройства вектора состояния
___ л _
хА (к) объекта (2) в форме хе (к +1) = ¥ехе (к) + Ье у(к) + Веи(к).
16. Вычисление матрицы Те подобия вектора наблюдения хе (к) вектору состояния хА(к):
' 10,431 -9,3608 0,3288 0,7783" - 23,559 24,523 -1,018 - 0,044 12,921 -11,914 0,4364 0,0584 -1,751 2,6088 - 0,1333 0,1578
17. Формирование динамической версии закона управления
иПК (к) = К8е(к) - МЛу(к) - йхе (к) .
18. Проверка работоспособности просинтезированного цифрового дистанционного устройства управления и оценка его динамических свойств в модельной среде MatLab:
Для иллюстрации процессов системы с цифровым динамическим регулятором проведено моделирование переходных процессов для значений характеристических частот модальной модели системы и наблюдателя. При помощи пакета MatLab было проведено моделирование данной системы, результат которого представлен на рис. 2.
Переходный процесс при ступенчатом воздействии длится четыре такта, так как динамика наблюдателя не проявляется, наблюдатель находится в нулевом состоянии. При ненулевом начальном условии состояние объекта длительности процессов составляет восемь тактов, что вызвано несогласованностью состояний объекта и наблюдающего устройства.
y(t)
curve (*) - Y without observer,curve red - Y with observer
curve О - Y without observer,curve red - Y with observer
i
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.' 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45^ w0=wn={pi/0.Q4) у\Ю=юп=(р1/0.04)
^ c
Рис. 2. Процессы в цифровой системе дистанционного управления с агрегированным интервалом дискретности с наблюдателем при единичном скачке
и единичном начальном значении выхода
Kg =Ky =K
Заключение
Использованный авторами прием синтеза цифрового дистанционного управления, основанный на введении агрегированного интервала дискретности, позволил удовлетворить техническим требованиям и заметно сократить аппаратное пространство при конструировании технической среды наблюдения.
Заметим, что если бы задача решалась «в лоб», то ее полная размерность при данных параметрах ЦАП и АЦП с учетом размерности ее среды наблюдения составила бы 66. При интервале дискретности, обеспеченном выбранным телемеханическим протоколом At = 2,5-10"3с, достижимое время переходного процесса составило бы величину
0.165.с. Таким образом, констатируется классический кибернетический результат, состоящий в возможности обмена времени на объект аппаратного пространства схемотехнической реализации.
Дополнительно положительным свойством модели представления с использованием агрегированного интервала дискретности является низкая размерность модальной модели, которое гарантирует в общем случае небольшое перерегулирование, в отличие от ситуации полной размерности, где перерегулирование при таких размерностях в несколько десятков может оказаться довольно высоким.
Литература
1. Ту Ю., Современная теория управления / Пер. с англ. М.: Машиностроение,1971.
2. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние,1983.
3. Изерман Р. Цифровые системы управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
4. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление ив условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2002. 232 с., ил.29.
5. Ушаков А.В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. №3. С.8-16.
6. Olga.S. Osiptseva, The Influence of delay in binary channel on the quality of remote digital control in PP-protocol / Preprints of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), St.-Petersburg,Russia, 2004, SPb:SPSUITMO,
7. ШЙМщева О.С., Ушаков А.В. Влияние запаздывания в двоичном канале без помех на качество дистанционного цифрового управления. Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Выпуск 14. Информационные технологии, вычислительные и управляющие системы / Главный редактор д.т.н., проф. В.Н. Васильев СПб: СПбГУ ИТМО, 2004.
