CC BY
26
ПРОБЛЕМА НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ В ЗАДАЧЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ЦИФРОВОГО ДИСТАНЦИОННОГО
УПРАВЛЕНИЯ О.С. Осипцева, А.В. Ушаков
В работе рассматривается проблема начального состояния при цифровом дистанционном управлении непрерывным объектом. Данная проблема рассматривается путем введения в алгоритм синтеза цифрового модального управления с агрегированным интервалом дискретности асимптотическую оценку состояния управляемого объекта по прошествии времени сходимости невязки оценки «к нулю».
Введение. Постановка задачи
Рассматривается система цифрового динамического дистанционного управления с использованием агрегированного интервала дискретности, позволяющего построить модель цифрового агрегированного дискретного объекта минимальной размерности. Обнаруживают заметное расхождение качества процессов при скачкообразном изменении задающего воздействия и при ненулевом начальном состоянии объекта. Причем процессы, порожденные ненулевым состоянием объекта при всех модельных представлениях динамической среды «объект-канал», характеризуются выбросами выходной траектории технического объекта. Это обстоятельство разработчику нельзя выпускать из поля зрения. Дистанционное управление техническими объектами - это чаще всего управление уникальными дорогостоящими объектами. Ситуация ненулевого начального состояния в настоящий момент не является эксклюзивной, она соответствует неожиданному включению этого объекта, который был отключен от энергосети по причинам, хорошо знакомым как гражданским лицам, так и техническому персоналу предприятий народного хозяйства. Большие выбросы при отработке объектом ненулевого начального состояния - это опасность разрушения уникального объекта. Без сомнения, при разработке системы управления объект снабжается устройствами технической безопасности, такими как концевые выключатели, механические демпферы и т.д. Тем не менее, в системе управления должны быть заложены алгоритмические возможности, позволяющие минимизировать выбросы в поведении объекта при его включении в ненулевом начальном состоянии.
В теории управления давно обсуждается системная проблема, связанная с тем, что наблюдающее динамическое устройство, вводимое в состав системы управления для формирования оценки вектора состояния управляемого технического объекта, дает асимптотическую оценку этого вектора по прошествии времени сходимости невязки оценки «к нулю». Таким образом, на определенном интервале времени управление ведется по неверной информации о состоянии объекта. В связи со сказанным возникает дилемма:
• не управлять процессом, то есть управлять с помощью нулевого управления;
• управлять процессом, используя для управления неверную информацию.
Построение дискретной модели агрегированного объекта для случая канала связи без помех с агрегированным интервалом дискретности в классе минимальных модельных представлений
Сформулируем алгоритм синтеза цифрового модального управления с агрегированным интервалом дискретности.
1. Сформировать требования к показателям качества системы цифрового дистанционного управления непрерывным техническим объектом в переходном и установившемся режимах ее функционирования.
2. Оценить разрядности np используемых в составе устройств кодового преобразования и длительность Át элементарного сигнала (биты) используемых в канальной среде двоичных кодов на основе пропускной способности предоставляемого телемеханического протокола (ТМП) в силу соотношения: Át = (c)_1.
3. Сформировать агрегированный интервал дискретности Ata для случая двоичного канала связи (ДКС) без помех в силу соотношения: ^=2(At) пр.
4. Сформировать векторно-матричное модельное представление (ВММП) непрерывного объекта управления (НОУ):
x(t) = Ax(t) + Buoy (t); x(0); y(t) = Cx(t), (4.1)
где x, uоу, y - соответственно, векторы состояния, управления и выхода объектов;
x е Rn,u0y е Rr, y е Rm ; A, B, C - соответственно матрицы состояния, управления и выхода, согласованные по размерности с векторами x, u, y .
5. Сформировать векторно-матричное описание дискретного представления объекта x(k +1) = Ax(k) + Ви0У (k); x(0); y(k) = Cx(k) , (4.2)
где k - дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности, длительностью Át так, что непрерывное время t и дискретное время k связано соотношением t = (Áta)• k; матрицы A,B,C вычисляются в силу соотношений:
A = exp(A •Áta); B = A"1 • (A -I) • B; C = C (4.3)
6. Построить модельное представление прямого и обратного каналов связи, осуществляющих задержку дискретного сигнала на один такт длительностью Áta в форме
xnk (k + 1) = ank x пк (k) + bnku пк(k); x(0); y пк (k) = cnk xnk (k), (4.4)
и0у(k) = y пк(k), (4.5)
xok (k +1) = aok xoк (k) + boк и0к(k); x(0); Уок (k) = c0к xoк (k X (4.6)
где x пк , u пк , У пк, xok , u ok , У ок - соответственно векторы состояния, управления и выхода в прямом и обратном каналах единичной размерности;
пк , uпк е G , Упк е G , x0k е G , u0k е G , Уок е G ,
A пк = Аок = 0; bnk = bok = [1 j cnk = cok = [1j
7. Сформировать агрегированный дискретный объект управления (АДОУ), составленный из последовательного соединения прямого канала связи, дискретного объекта управления (ДОУ) и обратного канала связи с вектором состояния
xa = [к T; xдоуT; xпк T ] размерности na=n+2, вектором регулированного выхода y, вектором измеряемого выхода уи, представляющим собой выход ОКС, и матрицами
Л
( АА, BA,CА, CA ).
xa (k +1) = [xnk (k +1); x(k +1); xok (k +1)]-1 (4.7)
xa(k+1) = aaxa(k)+bauпк(k); x(0); y(k) = caxa(k);
y(k) = Ca x(k), (4.8)
где
а0к b0kc 0
= A 0 А вспк ; (4.9)
0 0 апк
Ba =
0 0
впк
Сл = [о С о]; ёА =[Сок 0 0];
(4.10)
апк = аок = И впк = вок = Ц спк = Сок = 1 (4.11)
8. Сформировать априорную оценку 4п длительности переходного процесса ^ для случая системы дистанционного цифрового управления с регулятором без наблюдателя в форме 4п=(Л7а) па и для случая регулятора с наблюдателем в форме 4п=2(Л4) па .
9. Проверить выполнение тах{п, 1пн }< где - требуемая по техническому заданию длительность переходного процесса, при этом в случае выполнения неравенства -переход к п.10 алгоритма, в случае невыполнения осуществление действий:
9.1. переход к п.1 с целью согласования технического задания на предмет снижения требований к величине с последующим переходом к п.9;
9.2. переход к п.2 с целью смены ТМ-протокола на ТМП с большей скоростью передачи, с последующим переходом к п.10;
9.3. если условие ¿пт< tап выполняется для случая системы дистанционного цифрового управления с регулятором без наблюдателя, то совершить переход к реализации дискретного наблюдателя с интервалом дискретности Д^, таким, чтобы процесс наблюдения совершался бы за один такт «канального времени».
10. Сформировать закон управления в форме комбинации обратной связи по состоянию ха с матрицей К и прямой связи по задающему воздействию §(к) матрицей кg
1пк
(k) = Kgg (k) - Kx(k)
(4.12)
с использованием метода модального управления.
11. Выбрать непрерывную динамическую модальную модель (ММ) в форме пары матриц (Га , Нa ) желаемого поведения «вход-выход» проектируемой системы. Га - матрица состояния ММ, является носителем желаемой структуры собственных значений
т
размерностью na х na dim Н а = dim Ba ; (Га , Н A) - наблюдаемая пара матриц.
12. Сконструировать дискретную версию модальной модели с парой матриц (Га , Н а ), где матрица Г а вычисляется с помощью соотношения Га = ехр(ГА • Ata), а матрица
На вычисляется на основе пары матричных уравнений Сильвестра для непрерывного и дискретного случаев:
МаГА -ААМА =-ВАНА (4.13) относительно матрицы М а .
МаГА - ААМА = -ВАНА _ (4.14) при известной матрице На относительно матрицы Ма .
13. Сформировать матрицу Kg с помощью соотношений прямых связей по задающему
воздействию и из условия равенства регулируемого выхода и задающего воздействия в неподвижном состоянии
z =1
Kg = arg(CA (zI - Fa )-1 • BaK& Ma Га = FaMa ,
Kg = [CA (I - Ma Г aMa"1)-1 • Ba ]-1
= I} = [Ca (I - Fa )-1 • BA ]"\
(4.15)
(4.16)
(4.17)
14. Построить цифровой закон управления, использующий сигнал ошибки г(к) = g(к) - у(к) по выходу
unKk) = Kgg(k) - Kx(k) = Kgg(k) - Kyy(k) - Kxx(k) =Kss(k) - Kxx(k)
Kg =Ky =K
(4.18)
15. Сформировать динамическое наблюдающее устройство вектора состояния XA (к) объекта (4.2) в форме
xe (k +1) = Fexe (k) + Le y(k) + Beu(k), (4.19)
где матрицы динамического наблюдающего устройства выбираются из условия
Fe = arg{o{Fe} Р v{Fa }&o{Aa } П o{Fe] = 0}, (4.20)
Le = arg{contr (Fe, Le)}, (4.21)
Be = TeBA, (4.22)
Р - знак мажоризации, означающий в решающей задаче, что моды матрицы состояния наблюдателя локализованы на комплексной плоскости согласованных локализационных кругах так, что круг локализации собственных значений наблюдателя имеет радиус меньший, чем радиус согласованного с ним круга локализации мод матрицы состояния дискретной системы.
16. Вычислить матрицу Te подобия вектора наблюдения xe(k) вектору состояния
xa (k), задаваемого в форме
xe (k) = Tex a (k) - ©e (k), (4.23)
в силу решения матричного уравнения Сильвестра
TeAA - FeTe = LgCe (4.24)
которое совместно с (4.22) обеспечивает асимптотическую сходимость к нулю вектора невязки наблюдения ©e (k),
©e (k + 1) = Fe©e (k); © (0) = Tex(0) - xe (0) , (4.25)
©e (k) = (Fe )k ©e (0) (4.26)
17. Сформировать динамическую версию закона управления (4.18)
uПК (k) = Kgs(k) - N Ay(k) - Dxe (k), (4.27)
IN
;d\Iat ;TeTf = Kx
18. Приведение системы к начальному состоянию с помощью следующих действий:
л
18.1. Для восстановления оценки вектора у(Ь ) вычислим нормуматрицы выхода (С'аx(k)-(С'аTe_1 Xn\ , где Xn - нулевая матрица размерностью (1 х п) .
18.2. Если
ССАx(k) - &А Te-1 Xn
>s, то закон управления системы будет равный
нулю, т.е. u(k) = 0 где Б - асимптотическая оценка состояния управляемого объекта по прошествии времени сходимости невязки оценки «к нулю». 18.3. Иначе, u(k) вычисляется с помощью закона (4.18) 19. Проверить работоспособность просинтезированного цифрового дистанционного устройства управления и оценить его динамические свойства в модельной среде МаЛаЬ
Пример
Проведение предпринятых исследований осуществляется при выполнении следующих системных требований.
1). Непрерывный технический объект второго порядка вида (3.1) с матричными
; С = [1 0].
"0 1" ; B = "0"
компонентами A =
0 0 1
curve (*) - Y without observer .curve red - Y with observer
* 1
* 1
0 02 ф Ф
1.4
curve (*) - Y without observer.curve red - Y with observer
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t, cek
фЬ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t, cek
Рис. 1. Переходные характеристики системы цифрового дистанционного управления
curve (*) - Y without observer.curve red - Y with observer
curve (*) - Y without observer.curve red - Y with observer
Ф Ф
1.4
■■**■—
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1 4 1.6 1.8 2 t, cek
Рис. 2. Процессы в системе цифрового дистанционного управления по управляемому выходу, вызванные ненулевым начальным положением объекта
2). Набор технических требований к системе дистанционного управления в виде допустимого перерегулирования <10% и длительности переходного ^цт =0.225с.
3). Разрядность аппаратных средств при цифровой реализации дистанционного управления пр=8.
4). Телемеханический протокол, работающий со скоростью 400 бит/с и обеспечивающей длительность одного бита кода Д^=2.5мс.
На рис. 1 приведены переходные характеристики системы цифрового дистанционного управления, полученные в предположении полной измеримости вектора состояния системы и при его восстановлении с помощью наблюдателя при приведении системы к нулевому начальному условию. На рис. 2 приведены кривые процессов в системе цифрового дистанционного управления по управляемому выходу, вызванные ненулевым начальным положением дистанционного управляемого непрерывного тех-
нического объекта, полученные в предположении полной измеримости вектора состояния системы и при его восстановлении с помощью наблюдателя.
Литература
1. Изерман Р., Цифровые системы управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
2. Ирвин Дж., Харль Д. Передача данных в сетях: инженерный подход / Пер. с англ. СПб: БХВ-Питер, 2003
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.
4. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002.
5. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. Л.: Машиностроение, ЛО, 1983.
6. 6.Ту Ю. Современная теория управления / Пер. с англ. М.: Машиностроение,1971.
7. Тутевич В.Н. Телемеханика. М.: Высшая школа, 1985.
8. Olga S. Osiptseva, The Influence of delay in binary channel on the quality of remote digital control in PP-protocol / Preprints of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), St.-Petersburg, Russia, 2004. SPb: SPSUITMO, 2004.
