CC BY
18
АНАЛИЗ ВЫРОЖДЕНИЯ СЛОЖНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С АНТРОПОКОМПОНЕНТАМИ Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
Рассматривается проблема анализа вырождения сложной динамической системы с антропокомпонента-ми. Поставленная задача решается с помощью инструментария функционалов вырождения, конструируемых для сложной динамической системы с антропокомпонентами, модельное представление которой использует аппарат интервальных модельных представлений и интервальной арифметики.
Введение. Постановка задачи
В статье рассматривается проблема анализа вырождения сложных динамических систем (СДС) с антропокомпонентами, модельная реализация которых использует инструментарий интервальных модельных представлений и интервальной арифметики [6]. Для решения поставленной задачи авторы опираются на существующие в литературе описания человека-оператора [1, 7] с помощью аппарата передаточных функций, которые с учетом фактора интервальности коэффициентов полиномов числителя и знаменателя последних в предлагаемой работе сведены к случаю СДС с интервальными системными параметрами.
Для контроля вырождения используется такой специфический показатель качества функционирования сложной динамической системы, как функционалы вырождения, содержательно несущие информацию о сужении функциональных возможностей системы, а математически - конструируемые на спектре сингулярных чисел матрицы отношения вход-выход при заданном модельном представлении входных заявок на обслуживание СДС [5]. Очевидно, что интервальное модельное представление сложной динамической системы с антропокомпонентами приводит к интервальности значений функционалов вырождения этой системы. В этой связи ставится задача оценки угловых (граничных) реализаций функционалов вырождения, которые могли бы свидетельствовать об опасности возможного вырождения сложной динамической системы.
Количественная оценка вырождения сложной динамической системы.
Аппарат функционалов вырождения
Пусть задана сложная многомерная динамическая система, реализующая некий линейный оператор с матрицей N (*), отображающий пространство входов в пространство выходов так, что становится справедливой линейная алгебраическая задача (ЛАЗ) вида
n(w) = N(wß)X(w) (1)
где N(w,e) - m х m - матрица для любых значений w, в ; n(w), X(w) - т -мерные векторы; w принимает смысл непрерывного времени t, когда ЛАЗ (1) параметризована непрерывным временем, и смысл дискретного времени к, выраженного в числе интервалов дискретности длительности At, когда ЛАЗ (1) параметризована дискретным временем; в - т -мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N, принимающий смысл частоты со при спектральном гармоническом представлении внешнего воздействия.
Будем рассматривать ЛАЗ как инструментальную модель контроля вырождения
на спектре сингулярных чисел [aj : j = 1, m} матрицы N(w,e) с помощью числа обусловленности и функционала вырождения, при этом матрицу N будем именовать критериальной.
Степень близости матрицы N к ее вырождению может быть оценена с помощью числа обусловленности С{Щ} этой матрицы, определяемого на спектре сингулярных чисел матрицы N соотношением [3, 4]
С{Щ = атах {^О^п {Щ}, _ _ (2)
где атах{Щ} = тах{а.{Щ}}; у = 1,т, атщ{Щ} = тт{а.{N}}; у = 1,т - соответственно
} }
максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы N, вычисляемые в силу соотношения
а =
М'2
; у = 1, т, м, ^(М - ЩТЩ) = 0. (3)
V
В соответствии с определением (2) числа обусловленности подчинены неравенствам [3, 4].
1 < С{Щ} (4)
В силу сложности контроля близости числа обусловленности к бесконечности введем в рассмотрение величину, обратную числу обусловленности, назвав ее функционалом вырождения JDj [5], который зададим соотношением
= С-1{Щ} = ат1п(Щ}а1П1ах{Щ}, (5)
Соотношение (5) с учетом неравенств (4) позволяет записать: 0 < JDj < 1. (6)
Таким образом, процесс вырождения ЛАЗ можно отслеживать по приближению значения функционала вырождения JD . к нулю.
Особенность модельного представления сложной динамической системы с антропокомпонентами
Сложные динамические системы с антропокомпонентами могут быть разделены по способу мотивации их функционирования на два типа (класса, группы):
1. сложные динамические системы с антропокомпонентами состязательного типа, которые характеризуются тем, что антропокомпоненты задействованы в технологический процесс, целью которого является выявление наилучшего в принятом смысле антропокомпонента группового или индивидуального типа;
2. сложные динамические системы с антропокомпонентами созидательного типа, которые характеризуются тем, что антропокомпоненты задействованы в технологический процесс, целью которого является достижение наилучшего совокупного продукта.
Внимание авторов сосредоточено на исследовании моделей второго типа. Для СДС с антропокомпонентом первого типа в системной постановке вырождение является мотивированной системной целью. Технология контроля вырождения таких систем строится на модельном представлении, позволяющем контролировать процесс вырождения в параметризованной временем форме. Особенно ярко вырождение такого типа проявляется, когда в состязательной технологической среде участвуют ан-тропокомпоненты-индивидуумы (АИ). Сложная динамическая система, составленная из антропокомпонентов-индивидуумов, характеризуется отсутствием связей между ними, и вырождение в основном определяется текущими значениями параметров модельных представлений антропокомпонентов-индивидуумов, а также среды, в которой организован состязательный технологический процесс.
Для СДС с антропокомпонентом второго типа вырождение является системной катастрофой.
Следует заметить, что материалы по математическому модельному представлению в основном носят отраслевой характер и чаще всего не являются доступными научной общественности. Тем не менее, библиографический анализ ситуации [1, 7] позволяет констатировать, что к настоящему моменту сложилось типовое модельное представление антропокомпонента типа «человек-оператор», задаваемое передаточной функцией
) = «МЦ)^ (7)
5 (Т2 S +1)
где Т1 характеризует способность оператора предвидеть развитие информационного процесса, Т2 - совокупная временная оценка длительности процесса восприятия информации, вызванной несовершенством ее представления и уровнем адаптируемости оператора к данному способу представления информации, одновременно она учитывает естественную задержку реакции оператора, отражающую динамику нервно-мышечной системы человека, т - величина чисто реактивного запаздывания, определяемая тренированностью оператора. Наличие интегрирующего звена в знаменателе отражает способность антропокомпонента накапливать опыт. Медианные значения указанных параметров характеризуются величинами Т1 = 1.8с, Т2 = 20с, т = 0.2с . Математическая модель хорошо подготовленных операторов обладает относительной ин-тервальностью перечисленных параметров, не превышающей двадцати пяти процентов.
Рассмотрим в качестве примера сложную непрерывную динамическую систему с интервальностью только в матрице состояния, векторно-матричное описание которой имеет вид:
х^) = [р ^) + Gg ^); х(0); у^) = Сх^), (8)
где x, g, у - векторы состояния, задающего воздействия и выхода, соответственно:
x е Rn; g, у е ^; [р] - матрица состояния системы с интервальными параметрами, G и С - матрицы входа и выхода системы с фиксированными параметрами, согласованные по размерности с размерностью векторов х, g и у так, что [р]е Rnxn; G , СТ е Rnxт .
Интервальная матрица состояния системы [р] составлена из интервальных скалярных компонентов [р ] [6], так что
[Р] = го^а!^ ]; г = Щ), у = Щ}, [ру,р у ] [р ] = \ру, ру ]; ру <. (9)
Будем использовать два представления интервальной матрицы состояния, первое из которых зададим в форме
[р] = р,р], _ _ _ _ _ _ (10) где [р] = (ру ] г = 1,п)у = 1,п}, [р]= гом\со1 ([ру ]' = 1,п) у = 1,п}, при этом р
и р - граничные (угловые) реализации интервальной матрицы [р ].
Второе представление интервальной матрицы [р ] строится на декомпозиции этой матрицы на медианную и симметричную интервальную части в форме
[р ] = р0 ], (11) где р0 - медианная составляющая матрицы [р] с фиксированными скалярными компонентами р0у вида
f0 = row\col{Fqíj ; i = 1,n\ j = 1,n} (12)
элементы которой Foj вычисляются в силу соотношения
Foj = mid {[iFj ]=[Fj, Fij ]}= o.sFj + Fj ), (13)
а [AF ] = [aF, AF ] - симметричный интервальный матричный компонент интервальной
матрицы [F], симметричные граничные реализации которого AF и AF задаются соотношениями
AF = F - F0 = coI{-()w(aF j = Fj - F0iJ-; i = 1, n) j = 1, n}, (14)
AFij = F - F0 = col{row(AF j = Fij - F0j; i = 1, n) j = 1, n} . (15)
Функционалы вырождения сложной динамической системы с интервальными параметрами
Оценку интервальности функционала вырождения в условиях, когда параметры структурных компонентов сложной динамической системы являются интервальными, будем осуществлять, опираясь на аппарат интервальных модельных представлений и интервальной арифметики.
Нетрудно заметить, что для сложной динамической системы, модельное описание которой задается интервальными компонентами, функционал вырождения также является интервальной величиной [6] и задается в форме
JDj ]=[+1- j {мЫх{м1 (16)
где [V] - m х m -интервальная критериальная матрица сложной системы, такая что
[N ] = N 0 +[AV], (17)
причем N0 - медианная составляющая интервальной критериальной матрицы [n] с фиксированными скалярными компонентами, а [AN] - симметричный интервальный матричный компонент интервальной критериальной матрицы [N]; |amj{[N]}],
amix{[N]}] - соответственно j -ое (j = 1, m -1) и максимальное интервальные сингулярные числа матрицы [N ], при этом интервальное значение функционала вырождения (16) производится в соответствии с правилами интервальной арифметики.
В (16) под интервальным сингулярным числом j ] понимается результат формирования интервального представления сингулярного числа с граничными (угловыми) реализациями aj и aj на основании вычисления спектров сингулярных чисел всех угловых реализаций (N)c интервальной матрицы [N ] с последующим выделением экстремальных значений всех сингулярных чисел.
В силу интервальности [6] функционал вырождения можно разложить на две составляющие:
[jDJ ]= JDJ 0 + [ajDJ ^ 08)
где Jdj 0 - медиана интервального функционала вырождения \Jdj ], а [aAJdj ] - симметричный интервальный компонент интервального функционала вырождения Jdj ]. Тогда его относительная оценка будет вычисляться в силу следующего соотношения:
SiJDj =
AJDj
Jd-dj 0
(19)
а абсолютная оценка интервальности функционала вырождения запишется в форме A
(20)
A iJDj =
AJDj
Следует заметить, что большей пользовательской ценностью обладает оценка (19), так как она позволяет оценить влияние фактора интервальности системных параметров на значения функционала вырождения в процентах относительно его медианного компонента.
Сформируем представления интервальной версии критериальной матрицы в форме (17) сложной непрерывной динамической системы (8) для различных вариантов модельного представления потока входных заявок [2].
Для случая сложной непрерывной динамической системы вида (8) при внешнем векторном одночастотном гармоническом воздействии g(t) частоты со интервальная
версия [[V(с )] критериальной матрицы системы задается выражением
[N (с)] = C[T (с)], (21)
где матрица [T(с)] удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра [3, 4] с интервальными матричными компонентами вида
[[(с)]-№(с)]= GP (22)
и для рассматриваемого случая внешнего воздействия имеет вид
[T(c)] = -[[F]2 +с21]-1[[F] С]G . (23)
При этом матричное уравнение Сильвестра (22) решается на всех угловых реализациях (F)c относительно угловых реализаций матрицы (T(с))с с последующим формированием на множестве полученных матриц их интервального представления.
Для случая сложной непрерывной динамической системы вида (8) при внешнем векторном многочастотном гармоническом воздействии g (t ) частоты со- ( j = 1, m) с
интервальная версия [N(Q)] критериальной матрицы системы [N(Q)] задается выражением
[N(Q)] = C[(Q)], (24)
где матрица [[(Q)] удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра [3, 4] с интервальными матричными компонентами вида
To(Q)E - FoT)(Q) = GP, (25)
и для рассматриваемого случая внешнего воздействия имеет вид
[T(Q)]= -[[F]2 +с21 ]-1[[F] MjI]G, (26)
при этом Q = col\p - = a>y -, j = 1, m}, y - - коэффициент распределения частот многочастотного гармонического задающего воздействия по входам системы, 0<у - < 1.
При этом матричное уравнение Сильвестра для случаев одночастотного и многочастотного гармонического воздействия в формах (22) и (25) решается на всех угловых реализациях (F)c относительно угловых реализаций матриц (T(с))с и (T(Q))c соответственно с последующим формированием на множестве полученных матриц их интервального представления.
Формирование интервальных критериальных матриц [N(с)] для одночастотного и многочастотного гармонического воздействия осуществляется с помощью соотноше-
ний (21) и (24) соответственно, в которых перемножение матриц выполняется по правилам интервальной арифметики [6] с учетом того факта, что матрица С с фиксированными параметрами имеет интервальное представление, характеризующееся равными граничными (угловыми) реализациями.
Для случая сложной непрерывной динамической системы вида (8) при стохастическом внешнем воздействии стационарном в широком смысле типа «белый шум» g(/) = w(t), обладающем матрицей интенсивности Q, интервальные версии [[V(«)] критериальных матриц системы, в качестве которых приняты матрицы спектральной плотности [^ («)] и дисперсии ру ] выхода системы, при интервальных реализациях
матричных компонентов их модельного представления задаются выражениями
[V(©)] = [[у (©)] = -2СрОД?]2 + * 21)-1 р ]СТ, (27)
[V ]=[у ]= Ср ]СТ, (28)
при этом интервальная матрица рх ] является интервальной матрицей дисперсии вектора состояния х^) и удовлетворяют матричному алгебраическому уравнению типа уравнения Ляпунова, записываемого в форме
Р][Рх]+[Рх []Т = -GQGT . (29)
При этом матричное алгебраическое уравнение типа уравнения Ляпунова (29) решается на всех угловых реализациях (р)с относительно угловых реализаций матрицы (Рх )с с последующим формированием на множестве полученных матриц их интервального представления. Формирование интервальных критериальных матриц [[V(«)] и [[V] осуществляется с помощью соотношений (27) и (28), в которых перемножение матриц выполняется по правилам интервальной арифметики [6] с учетом того факта, что матрица С с фиксированными параметрами имеет интервальное представление, характеризующееся равными граничными (угловыми) реализациями.
Для случая сложной непрерывной динамической системы вида (8) при стохастическом внешнем воздействии стационарном в широком смысле типа «окрашенный шум» g ^) = ), моделируемом выходом формирующего фильтра вида
&ф(0 = Гф2ф(0 + Gфw(t); £(0 = Рф2ф(0, (30)
возбуждаемого по входу «белым шумом» w(t) с матрицей интенсивности Q, интервальные версии [[V(«)] критериальных матриц системы, в качестве которых приняты матрицы спектральной плотности [^у («)] и дисперсии [Ру ] выхода системы, при интервальных реализациях матричных компонентов их модельного представления задаются выражениями (27) и (28), при этом матрица дисперсии [Рх ] вектора состояния системы (8) определяется с помощью соотношения
[рх ] = Сх рх ]т , Сх = \lnxn 0пх/|, (31)
1 ~ Т Т Т
Рх\ - матрица дисперсии составного вектора х = х 1ф вычисляется в
силу матричного алгебраического уравнения типа уравнения Ляпунова
[~ [ х ]+[[ [ ] = -GQGT, (32)
в котором матрицы [р] и G составной системы имеют представление
[р ] GPф , G = 0
0 Гф
(33)
При этом матричное алгебраическое уравнение типа уравнения Ляпунова (32) решается на всех угловых реализациях (F)c относительно угловых реализаций матрицы (Dx )c с последующим формированием на множестве полученных матриц их интервального представления. Формирование интервальных критериальных матриц [(«)] и [[V ] осуществляется с помощью соотношений (27), (28) и (31), в которых перемножение матриц выполняется по правилам интервальной арифметики [6] с учетом того факта, что матрицы C и C с фиксированными параметрами имеют интервальные представления, характеризующиеся равными граничными (угловыми) реализациями.
Заключение
Процесс исследования вырождения системы с антропокомпонентами сводится к исследованию СДС с интервальными параметрами, анализ вырождения которых может быть осуществлен с использованием предложенных технологий. Если в составе системы присутствуют антропокомпоненты, угловые реализации параметров которых могут привести к вырождению СДС, то этот компонент должен быть изъят из структуры, заменен на другой, параметры которого должны подвергнуться тщательному входному контролю, а изъятый компонент должен быть подвергнут профессиональному тренингу или констатации профессиональной пригодности.
Литература
1. E. I. Jury. A literature survey of biocontrol systems. // Trans. IEEE (Automatic Control). July, 1963. Р.210-217,
2. Акунова А.М., Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Проблемы вырождения сложных систем: технология контроля при гармоническом и стохастическом экзогенных воздействиях. / Современные технологии: Сборник научных статей. Под ред. проф. С.А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО (ТУ), 2004.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления./Пер. с англ. М.: Мир, 1999.
5. Дударенко Н.А. Технология контроля вырождения сложных динамических систем с помощью частотных сепаратных чисел обусловленности. / Современные технологии: Сборник научных статей. Под ред. проф. С.А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО (ТУ), 2003. С. 245-252.
6. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПбГУ ИТМО, 2002.
7. Сильвестров М.М., Козиоров Л.М., Пономаренко В.А. Автоматизация управления летательными аппаратами с учетом человеческого фактора. М.: Машиностроение, 1986.
