CC BY
33
модифицированных полиномиальных динамических модальных моделей (ПДММ) методом модального управления на основе формирования требований к характеристической частоте Ю0 путем оценки величины ДДф, не приводящей к нежелательному изменению динамических показателей системы. Одновременно подход позволяет сформулировать требования к параметрам канальной среды в форме величины Д1 - длительности бита при выборе канала связи.
Литература
1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -СПб: Изд-во «Профессия», 2003.
2. Ирвин Дж., Харль Д. Передача данных в сетях: инженерный подход. - Пер. с англ. -СПб: БХВ - Петербург, 2003.
3. Боженкова Н.Ю., Осипцева О.С., Ушаков А.В. Фактор канальной среды в задаче синтеза цифрового дистанционного управления непрерывным объектом // Изв.вузов. Приборостроение. - 2008. - Т.51. - №3.
4. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.
Боженкова Надежда Юрьевна
Осипцева Ольга Святославовна Ушаков Анатолий Владимирович
— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, nyb9@yandex.ru
— Компания 81ешепее, ведущий специалист, Ье1-cka@gmai1.ru
— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, ushakov-avg@yandex.ru
УДК 62.50
КОНТРОЛЬ ВЫРОЖДЕНИЯ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СОЗИДАТЕЛЬНОГО ТИПА
С АНТРОПОКОМПОНЕНТАМИ Н.А. Дударенко, М.В. Полякова, А.В. Ушаков
Рассматривается проблема контроля вырождения сложных динамических систем созидательного типа с антропокомпонентами. Для количественной оценки вырождения используются функционалы вырождения, конструируемые на спектре сингулярных чисел критериальной матрицы системы. Примером такой системы может быть любой функциональный или творческий коллектив: экипаж космического аппарата, персонал исследовательской лаборатории и т.д.
Ключевые слова: вырождение, контроль, сложная система, антропокомпонент, состязательный тип
Введение
Динамическая система с антропокомпонентами созидательного типа представляет собой контингент из п членов, каждый из которых несет конкретную функциональную нагрузку, вычлененную из общей задачи. Каждый из представителей коллектива функционирует с персональными параметрами передаточной функции (полосой пропускания, моторного запаздывания и т. д.) при определенным образом распределенной нагрузке. В случае неравномерно распределенной среди антропокомпонентов нагрузки может про-
изойти сбой в нормальном функционировании коллектива. В этой связи встает задача разработки технологии контроля возможного вырождения динамической системы созидательного типа, в состав которой входят антропокомпоненты, с целью предупреждения вырождения динамической системы и сохранения ее работоспособности.
В работе разработан инструментарий для контроля вырождения, базирующийся на функционале вырождения.
Сложная динамическая система созидательного типа с антропокомпонентами математически может быть представлена как линейный оператор, отображающий пространство целевых намерений в пространство осуществляемых реализаций. Задача решается в предположении, что размерности этих пространств согласованы и являются равными. В математической постановке линейный оператор становится вырожденным [1], если размерности указанных пространств оказываются несогласованными или его ранг становится равным меньшей из размерностей пространств. Причин вырождения может быть достаточно много. Система может вырождаться, когда из ее состава выпадает некоторый функциональный элемент. Как следствие, сокращается размерность пространства осуществляемых реализаций. Причины вырождения могут носить организационный характер, когда формируемые целевые намерения неудачно распределяются по входам сложной динамической системы. Вырождаться могут системы по причине параметрической природы, когда неудачно организованы связи между каналами системы, неудачно назначены по знаку и величине коэффициенты передачи этих связей или неудачно сформированы полосы пропускания каналов.
В статье рассматривается проблема контроля вырождения сложных динамических систем созидательного типа с антропокомпонентами параметризованных временем.
Для количественной оценки вырождения используются функционалы вырождения, конструируемые на спектре сингулярных чисел критериальной матрицы системы. В данной статье рассматривается случай динамических систем с антропокомпонентами созидательного типа, которые характеризуются тем, что антропокомпоненты задействованы в технологическом процессе, целью которого является достижение наилучшего совокупного эффекта при устремлении к общей цели. Примером такой системы может быть любой функциональный или творческий коллектив: экипаж космического аппарата, группа исследовательской лаборатории и т. д.
Постановка задачи контроля вырождения сложных динамических систем
Пусть задача управления сложной динамической системой созидательного типа с антропокомпонентами, представляющей собой контингент из п членов, сведена к линейной алгебраической задаче (ЛАЗ) вида
ПО) = N 9)хМ, (1)
где N9) - р хр-матрица для любых w, 9 ; п(^), х(^) - р-мерные векторы; 9 - р -мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N. Будем рассматривать ЛАЗ (1) как инструментальную модель контроля вырождения на спектре сингулярных чисел, порождаемых ими чисел обусловленности или функционалов вырождения. Степень близости матрицы N к ее вырождению может быть оценена с помощью глобального числа обусловленности С\Ы} этой матрицы, при этом решение задачи заметно обогатится, если, помимо глобального числа обусловленности С{Ы}, контролируются ее числа обусловленности С^ N}, определяемые на спектре сингулярных чисел матрицы N с помощью соотношения
ф}=ам ^К'М, С N }= ам N К^}, (2)
где аМ({V}=а1{#}, ат({V}=а N}, ау+1{#}, V = 0,р-1 - соответственно максимальное, минимальное и V -ое сингулярные числа матрицы N, вычисляемые в силу соот-
ношения
а I =
•4"
,: det(м/ - ^Ы) = 0. (3)
Если воспользоваться сингулярным разложением матрицы (БУО-процедурой) [3, 4], то матрица N запишется в виде
N = иы2ыУЫ , _ (4)
где 2ы = diag{а|; | = 1, р} - матрица с сингулярными числами на главной диагонали, построенная по правилу убывания их значений с ростом индекса |, иы и ¥ы - матрицы соответственно левого и правого сингулярных базисов [3, 4], для которых выполняется соотношение
К¥Н] = арыц , I = 1Р. (5)
Векторно-матричное соотношение (5) придает исходной линейной алгебраической задаче (1) геометрическую интерпретацию, которая состоит в том, что вектор
X = (I = 1, р) отражается в подпространство, натянутое на | -ый элемент РЫ]- левого сингулярного базиса Ры так, что соответствующий ему вектор имеет норму, равную а|. Таким образом, единичная сфера в пространстве, натянутом на векторы х, отображается в эллипсоид, натянутый на левый сингулярный базис с размерами полуосей, совпадающих с сингулярными числами матрицы N .
Вырождение матрицы N в смысле достижения бесконечности ее числа обусловленности, записанного в форме (2), означает «сплющивание» этого эллипсоида вдоль его р-той полуоси, т.е. вдоль ^-того левого сингулярного вектора Р^. Нетрудно видеть, что, если параметр 9 модифицирует матрицу N(9) таким образом, что последовательно, начиная с а принимают нулевые значения остальные р -1 сингулярных чисел, кроме а1 , то в пространстве, натянутом на левый сингулярный базис, будет наблюдаться последовательное «сплющивание» эллипсоида вдоль векторов Рщ, ищ _1,...UN 2. В итоге сфера отобразится в эллипсоид единичной размерности, т.е. в
отрезок прямой. Система оказывается на границе глобального вырождения. В том случае, когда все сингулярные числа становятся нулевыми, констатируется глобальное вырождение линейной алгебраической задачи, которое характеризуется тем, что сфера отображается в точку.
Спектр сингулярных чисел и сконструированные на нем числа обусловленности матрицы N указывают механизм численного контроля процесса вырождения [2] при вариации параметра 9 с помощью контроля сепаратных чисел обусловленности, последовательно устремляющихся к бесконечным значениям. Задача заметно упрощается, если матрица N 9) представима в одной из следующих форм:
N{м>, 9) = N(9)Я(и>, 9), N{м>, 9) = 0(м?, 9)N(9), (6)
где Я(н', 9) и Q(w, 9) - ортогональные матрицы, которые не меняют спектра сингулярных чисел [3, 4], так что спектр сингулярных чисел матрицы N9) равен спектру сингулярных чисел N(9) .
Число обусловленности в силу определения численно [3, 4] удовлетворяет неравенствам 1 < С^Я , где левое условие неравенства соответствует случаю хорошей обусловленности матрицы N, а правое - плохой. Контроль близости числа обусловленности матрицы к бесконечности весьма затруднителен. В этой связи вместо числа
обусловленности для оценки вырождения предлагается использовать функционалы вырождения J Dv, задаваемые соотношением
^ = с;1^}. (7)
По свойству чисел обусловленности функционал вырождения удовлетворяет неравенствам
0 < = с;1^ }< 1. (8)
Таким образом, процесс вырождения алгебраической задачи можно отслеживать по последовательному обнулению функционалов вырождения J Dv.
Конструирование критериальных матриц
Поставим задачу приведения описания процессов в сложных динамических системах к виду (1) с последующим применением к ней предложенной схемы контроля вырождения. Сведение задачи управления к параметрической линейной алгебраической задаче проиллюстрируем на примере непрерывной многомерной системы:
хЦ) = Fx(t) + Gg (г); x(0); у(0 = Сx(t), (9)
где x, g,y - векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно:
x е Rn, g,y е Rm, F , G , С - матрицы состояния системы, входа и выхода объекта управления (ОУ), согласованные по размерности с размерностью векторов x, g,y так,
что F е Япхп , G, СТ е Rnxm . Задачу будем решать в предположении, что задающее воздействие g ^) имеет конечномерное представление, задаваемое в форме
¿(0 = ЕГ(0; Г (0); g (t) = Pz(t), (10)
где г е Rl, Е е Rм; Р е Rmxl; г - вектор состояния модели задающего воздействия (МЗВ), Е, Р - матрицы состояния и выхода МЗВ соответственно, причем матрица Р удовлетворяет условию: Р• Р = I, где I - единичная матрица размерности тхт. МЗВ выбирается минимальной размерности, но такой, чтобы ее выход
g ^) = Рг^), где ¿(1) = еаг(0), (11)
на множестве начальных состояний г (0) адекватно представлял весь класс конечномерных задающих воздействий системы (9). Решение системы (9) для переменных состояния х^) и выхода у^) для случая задающего воздействия g^) вида (11) может быть записано в форме
хЦ) = емх(0) + [ТеЕ - емТ]г(0), (12)
у^) = Сеих(0) + С[ТеЕ - ер1Т]г(0), (13)
где матрица Т ищется из решения матричного уравнения Сильвестра [3, 4]
ТЕ - ¥Т = GP. (14)
Ограничимся в решениях (12) и (13) вынужденными составляющими движения, которые имеют представления
х^) = [ТеЕ - етТ]г(0), (15)
y(t) = С[ТеЕ - етТ]г(0). (16)
Матрица Т решения уравнения Сильвестра (14) представляет собой матрицу подобия (в общем случае особого), которое связывает установившуюся составляющую вектора х^) и вектора ¿^) векторно-матричным соотношением
х(0 = Tz(t). (17)
Это становится понятным, если учесть, что соотношение (15) в установившемся режиме в случае гурвицевости матрицы F принимает вид х^) = ТеЕ ¿(0), и сравнить
полученный результат с выражением (11). Нетрудно видеть, что (15), (16) сводят задачу исследования процессов управления к линейной алгебраической задаче (1), где вектор П(^) принимает смысл векторов x(t) и у(^, матрица N(ю, 9) принимает смысл матриц
Nx (() = [ТеЕ - eFtT] и Ny (() = С[ТеЕ - eFtT], (18)
в которых вектор х(^) принимает смысл вектора ^(0), переменная w является непрерывным временем t, а параметр 9, осуществляющий модификацию матрицы N, задается композицией параметров матриц Е и F. Базовой в решении задач контроля вырождения является вторая из матриц (18), так как вырождение есть характеристика «вход-выходных» отношений.
Основной результат. Алгоритм контроля вырождения сложной динамической системы
Сведение задачи управления сложной динамической системой (9) к линейной алгебраической задаче (1) в формах (15) и (16) с критериальными матрицами вида (18) позволяет конструировать оценки возможного вырождения в форме функций времени или модельного представления потока обрабатываемых заявок в классе конечномерных функциональных представлений. Специфика параметризации задачи временем состоит в оценке отрезка времени, на протяжении которого сложная система не вырождается, т.е. в контроле выполнения неравенства tD > tDR, где tD, tDR - соответственно реальное и допустимое (требуемое) времена наступления (фиксации факта) вырождения. Контроль указанного неравенства производится по моменту нарушения неравенства JD (() < 3ш, где JD ^), 3ш - соответственно реальное и допустимое значения функционала вырождения.
Алгоритм
1. Задать {{, О, С}-представление многоканальной сложной системы с антропокомпо-нентами в своем составе, обрабатывающей входную векторную заявку, сформированную ИЗВ.
2. Задать {Е, Р, г(0)}-представление конечномерной модели источника задающего воздействия (ИЗВ), формирующего на своем выходе обрабатываемую динамической системой заявку.
3. Задать допустимое значение функционала вырождения .
4. Задать допустимое время наступления (фиксации факта) вырождения tDR.
5. Сформировать динамическую критериальную матрицу динамической системы в форме (18). Провести эксперимент в оболочке Мя^Ь по фиксации реального времени tD наступления вырождения в форме нарушения неравенства JD (() < .
6. В случае нарушения неравенства tD > tDR осуществить переход к п. 1 алгоритма с целью изменения параметров системы (модификация матрицы входа О для перераспределения потока заявок по сепаратным входам, модификация матрицы состояния F путем введения необходимых перекрестных связей и дублирования и т.д.), в случае выполнения неравенства tD > tDR - переход к п. 7 алгоритма.
7. Фиксация результата, выход из алгоритма.
Пример использования предложенного алгоритма
Проиллюстрируем компоненты алгоритма на примере сложной системы с антро-покомпонентами, когда контингент антропокомпонентов представлен двумя сотрудниками, вмонтированными в технологический процесс таким образом, что обрабатывае-
мые ими технические компоненты должны поступать на финальный этап формирования готового изделия синхронно. Предполагается, что два антропокомпонента работают на достижение общей цели без руководящего звена, самостоятельно, независимо друг от друга и, следовательно, не имеют перекрестных связей. Таким образом, ставится задача контроля возможного вырождения коллектива, порождаемая различными персональными свойствами участников, влияющими на достижение общей цели, которые представлены в передаточной функции антропокомпонента коэффициентами.
Остановимся на выполнении только п.1 алгоритма в связи с трудностями математического описания антропокомпонентов в форме векторно-матричной модели. Библиография по данному вопросу достаточно скудна [5]. Проведенный библиографический анализ ситуации позволил выделить два варианта наиболее употребляемых передаточных функций антропокомпонентов (обобщенных операторов).
В первом варианте антропокомпонент - обобщенный оператор описывается передаточной функцией
^ (5) = К^ +1) е- , АКК' (Т 5 + 1)(Т3 5 +1) ' (19)
где К - коэффициент преобразования входной заявки в конкретное действие; Т1 - постоянная времени способности упреждения (экстраполирования) развития процесса; Т2
- постоянная времени процесса восприятия информации, вызванная несовершенством ее представления и индивидуальной способностью адаптации оператора к данному способу ее представления; Т3 - постоянная времени естественной задержки реакции оператора, вызванная динамикой нервно-мышечного механизма; т - величина чистого запаздывания, определяемая тренированностью оператора.
Во втором варианте, который характерен для случая непрерывно изменяющихся входных потоков, возникает интегрирующее звено, отражающее свойство целостности восприятия ситуации (информации о потоке), и передаточная функция антропокомпонента как обобщенного оператора имеет вид
К(Т15 + 1) е_Т5
(Т 5 +1) 5 ■ (20)
Постоянные времени передаточных функций (19), (20) имеют следующий порядок величин: т = 0,1-0,3 с, 71=1,6-2,0 с, Т2=15-25 с, Тз=0,05-0,15 с.
Построим {{, О, С)-представление системы, состоящей из двух антропокомпонентов
- обобщенных операторов, формируемое на основе передаточных функций вида (19): К1 С^5 + 1) „-V. ф (5)= К2 (Т125 + 1) еТ
^АК (5 )
Фак 1 (5 ) =
(Т215 + 1Х-Т315 + 1) ' АК2Х/ + 1)(ТТз2 5 + 1) Тогда, следуя методике построения моделей «вход-состояние-выход», на основе передаточной функции «вход - выход» для матричных компонентов {{, О, С) получим:
Р =
С =
- Тз-1 Т3-1 ( 1_ Т_1т ) 2111/ 0 0 " " 0 0
0 — Т- 21 0 0 , / \ , О = К1Т2-1 0
0 0 - Т - 32 Т- (1 - Т Т ) 32 22 12 0 0
0 0 0 - Т -122 _ 0 К Т- 2 22
"1 0 0 0"
0 0 1 0
Заключение
Дальнейшее направление работы авторы связывают с формированием критериев оценки степени различия функциональных возможностей антропокомпонентов, гарантирующей работоспособность системы максимальной продолжительности. На основании этих критериев могут быть сформированы системные контингенты, что позволит предупредить возможность и упростить контроль вырождения в коллективах созидательного типа, в состав которых входят антропокомпоненты.
Литература
1. Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю.В. Прохорова. - М.: Советская энциклопедия, 1988.
2. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Технология контроля вырождения сложных динамических систем с помощью частотных сепаратных чисел обусловленности // Современные технологии: Сборник статей / Под ред. С.А. Козлова. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2003. - 298 с.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука, 1984.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления / Пер. с англ. - М.: Мир, 1999.
5. Ту Ю.Т. Современная теория управления / Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1971.
Дударенко Наталия Александровна
Полякова Майя Вячеславовна
Ушаков Анатолий Владимирович
— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, dudarenko@eyandex.ru
— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, 12noch@mai1.ru
— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, ushakov-avg@yandex.ru
УДК 62.50
СИНТЕЗ ДВУХКАНАЛЬНОЙ ОПТОЭЛЕКТРОННОЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕРВАЛЬНЫХ МОДЕЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
А.Ю. Цвентарный, А.В. Ушаков
Ставится и решается задача синтеза двухканальной оптоэлектронной измерительной системы с использованием интервальных модельных представлений. Для синтеза используется компенсационно-модальный метод, учитывающий фактор наличия единичной отрицательной обратной связи по выходу в структуре исходного динамического объекта.
Ключевые слова: оптоэлектронный, следящая система, интервальные параметры, компенсационно-модальный метод.
Введение
В настоящее время задача контроля (измерения) линейных и угловых перемещений элементов больших пространственных конструкций (радиотелескопы, мачты радиорелейной и мобильной связи) решается двумя способами. Первый способ состоит в
