Вычислительные проблемы формирования функционалов вырождения сложных технических систем, описываемых интервальными матричными компонентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517/519:62.50:681.306

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ВЫРОЖДЕНИЯ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ИНТЕРВАЛЬНЫМИ МАТРИЧНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ

H.A. Дударенко, М.В. Полякова, A.B. Ушаков

Рассмотрены вопросы формирования функционалов вырождения для сложных технических систем, компоненты векторно-матричного описания динамики которых содержат интервальные параметры. Описано конструирование функционалов вырождения с помощью функций параметрической чувствительности элементов алгебраических и геометрических спектров критериальной матрицы системы. Предложен алгоритм формирования оценок относительной интервальности функционалов вырождения.

Ключевые слова: сложная техническая система, функционал вырождения, интервальный системный параметр, векторно-матричное представление, оценка относительной интервальности.

ВВЕДЕНИЕ

Задача формирования функционалов вырождения [1] сложной технической системы (СТС) управления типа «многомерный вход — многомерный выход» (МВМВ) встречается с неожиданными трудностями, если компоненты их математического описания имеют интервальные системные параметры. Под системными параметрами понимаются коэффициенты полиномов числителей и знаменателей передаточных функций сепаратных каналов СТС в случае использования для их модельного представления отношения «вход — выход» [2]. При описании сложных систем МВМВ-типа в терминах пространства состояний под системными параметрами понимаются элементы матриц входа, состояния и выхода этой системы. Интервальность системных параметров системы МВМВ-типа естественным образом влечет за собой интервальность функционалов вырождения.

Предмет настоящей статьи состоит в поиске аналитических связей интервальности функционалов вырождения с интервальностью системных параметров сложных систем МВМВ-типа, описываемых в терминах пространства состояний.

В своем исследовании авторы опирались на аппарат интервальных представлений, теории параметрической чувствительности применительно к элементам алгебраических спектров собственных

значений и сингулярных чисел, геометрического спектра собственных векторов критериальных матриц, а также матричных функций от матриц.

1. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ, СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ И ЭЛЕМЕНТОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

Рассматривается матрица Н(д)лХл, элементы которой зависят от вектора q параметров q,, т. е.

q = со1{д^.; у = 1, р}. Вектор д представим в форме д = д0 + Ад, где д0 — его номинальное значение, а Ад — его вариация относительно д0.

От параметров д^. (у = 1, р) оказываются зависимыми и элементы Хг(д) алгебраического спектра

а{#(д)} = {Х,.(д) : ёе1[Хг(д)/ - Н(д)] = 0; I = М} собственных значений матрицы Н(д) и элементы геометрического спектра ^(д) ее собственных векторов

Н(д)^(д) = Хг(д)^.(д); I = 1, п. (1)

Если для матрицы Н(д) построить сингулярное разложение, то получим представление

Н(д) = и(д)Е(д) Ут(д),

где Е(д) = ё1а§{аг(д); г = 1, п } — диагональная для Уд матрица сингулярных чисел аг(д), вычисляемых в силу соотношений

а.(#) = |^1/2(q)|det(h.(q)/ - H(q)HT(q)) = = det(u.(q)/ - HT(q)H(q)) = 0,

(2)

где : ёе1;(ц/ — Яй) = 0, и(д), У(д) — ортогональные для Уд матрицы, образующие левый и правый сингулярный базисы, такие что

и(д) ит(д) = ит(д)и(д) = I,

У(д) Ут(д) = Ут(д)У(д) = I

Таким образом, матрица И(д) обладает алгебраическим спектром сингулярных чисел ста{И(д)} =

= {аг(д); г = 1, п} и двумя геометрическими спектрами с элементами и(д) и У(д), образующими левый и(д) = row{Uг.(q); г = 1, п} и правый

У(д) = row{ У(д); г = 1, п} сингулярные базисы, элементы которых связаны соотношением И(д) У(д) = = а,(д)Ц(д).

Ставится задача конструирования функций параметрической чувствительности

Л _ 5Х,( #)

Л iq

iqj 3# j

Ц _

_ #)

q = qo

q = qo

И aiqj _

_ dai(q)

За,-

q = qo

соответственно собственных значений, собственных векторов и сингулярных чисел критериальной матрицы Л(д).

Утверждение 1. Пусть матрица Н(д) имеет простую структуру и вещественный спектр а{Н(д)} =

= {Х.(Х. = 0; і = 1, п)}, тогда

Л*, _ (М-У Hq. M _ (M-1 Hq. M)...

— /я^-1

;q,

(3)

где М = М(д)| ? — матрица приведения матрицы

И(д) к диагональному виду, М — г-й столбец матрицы М, (М *)г — г-я строка матрицы М *, И?. —

матрица чувствительности матрицы Я(д), получаемая дифференцированием всех ее элементов по параметру ду.. ♦

Доказательство утверждения 1 можно найти в книге [3].

Нетрудно видеть, что на функциях чувствительности собственных значений матрицы простой структуры Я(д), именуемых также функциями модальной чувствительности [4], может быть скон-

струирована матрица = £^(д0) модальной чувствительности [5]

= row{col{Х^.; і = 1, п}; у = 1,р}.

Столбцы матрицы модальной чувствительности составлены из функций чувствительности всех

собственных значений (мод) Хг?. к вариациям одного параметра д., у = 1, р, строки этой матрицы составлены из функций чувствительности одного собственного значения Х;(д) к вариациям всех параметров д.. Если на векторе Ад = со1{Ад.; у = 1, р} вариаций вектора параметров д относительно номинального значения д0 сконструировать вектор

АХ = со1{АХ.; і = 1, п} вариаций собственных значений, то эти векторы оказываются связанными соотношением

АЛ(#0, Aq) _ S,(q0)Aq.

(4)

Векторно-матричное соотношение (4) решает задачу оценки вариации собственных значений матрицы H(q). Тогда, если воспользоваться сингулярным разложением матрицы модальной чувствительности т

Sx = Vx , при этом выделить согласованные

тр°йки {UImaxaimaxVImax}, {^min^min VXmin}, то на

фиксированной сфере ||Aq || = const в пространстве параметров могут быть получены оценки

max ||АЛ || _ aIM||Aq ||,

Aq

max ||АЛ|| _ a ||Aq||

Aq

(5)

(6)

соответственно максимальной и минимальной по норме вариации собственных значений. Правые сингулярные векторы V тях и Vтіп задают наиболее неблагоприятное и наименее неблагоприятное сочетания параметров, порождающих соответственно вариации (5) и (6).

Если задача оценки вариации собственных значений матрицы Н(д) с помощью векторно-матричного соотношения (4) решается покомпонентно, то для оценок максимально достижимой вариации АХ., собственного значения Х. при вариации Ад вектора параметров можно воспользоваться соотношением

max ||АЛ.|| _ £ |Л^. Aq,|; i _ 1,

Aq j

і = 1

n.

Для вычисления функций чувствительности (#)

Ь _

S/q.

нам потребуется

q = qo

p

Утверждение 2. Матрица М(д) приведения матрицы Н(д) к диагональному виду Л(д) [6, 7] составлена из собственных векторов ^.(д) (1) диагонализи-руемой матрицы Н(д) так, что

^.(д) = М,.(д); / = М . ♦ (7)

Доказательство следует из матричного условия подобия М(д)Л(д) = Н(д)М(д), записанного в форме

М(д)го’№{Лг.(д); / = 1, п} = H(q)row{Mг.(q); / = 1, п}.

Соотношение (7) сводит задачу конструирования функций чувствительности (9) к задаче

формирования функций чувствительности М1.

/-го столбца матрицы М(д). Эта задача решается с учетом того обстоятельства, что собственный вектор матрицы задается с точностью до его нормы [8, 9], а потому становится справедливым следующее

Утверждение 3. Функция чувствительности ^ . = М1. . /-го элемента {^.(д) = М(д); г = 1, и} геометрического спектра собственных векторов матрицы Н(д) представима в форме

метров д относительно его номинального значения д0 записывается в виде

% = (иТ)гн. V = (иТН. ♦

Доказательство приведено в работе [10].

На функциях чувствительности аг-? . сингулярных чисел Н(д) может быть построена матрица £а = ^а(д0) сингулярной чувствительности

= row{col{ аг?.; / = 1, п }},

где строки Sa — функции чувствительности а

сингулярного числа a^q) к вариации всех компонентов q. вектора q; столбцы Sa1 — функции чувствительности a1q ,; l = 1, n всех сингулярных чисел к вариации одного компонента д,. вектора параметров.

Для оценки а* наиболее чувствительного сингулярного числа воспользуемся функционалом

/к = llsa 11 , i = 17« . Получим:

a* = argmax /¿а.

k = 1 k * i

где коэффициенты у/. линейного разложения М1.. по

собственным векторам М.; к = 1, п; к ^ / определяются соотношением

j (M-1)'HMk

Yik = --------1— ■

k * i; Yifk = о

- ^k

которое имеет эквивалентное представление ( M-1 H„M)

y ik

ik

k * i; yik = о. ♦

Доказательство приведено в работе [2]. Обратимся теперь к вычислению функций чув-да,( д)

‘ элементов а,(д)

ствительности aiq =

За,-

q = qo

алгебраического спектра сингулярных чисел матрицы Н(#), формируемого в силу соотношений (2).

Утверждение 4. Пусть (и х и)-матрица Н(#) характеризуется алгебраическим спектром сингулярных чисел аа{Н(д)} = {аг(д); і = 1, и}, тогда функция чувствительности аг-? , сингулярного числа аг, і = 1, и

к вариации компоненты д., у = 1, р вектора пара-

Оценку доминирующего параметра д* можно получить с помощью функционала

•^о/ = 11^Л, 7 = 1, Р, в форме 9* = ащшах/ш.

aj

Если на векторе А# = со1{Ад^.; у = 1, р} вариаций параметров # относительно номинального значения #0 построить вектор Аа = со1{Ааг; і = 1, и} вариаций сингулярных чисел, то эти векторы оказываются связанными соотношением

Aa(q0, Aq) = S Ад.

(8)

Построим сингулярное разложение матрицы Sa

T

сингулярной чувствительности Sa = UaZa Va . Если выделитъ согласованные тр°йки {Uamax, aamax, Famax}

и ^amin aamin, ^aminb то на фиксированной сфере

||Ад || = const в пространстве вариаций сингулярных чисел могут быть сконструированы оценки

max || Аа|| = ааМ ||Ад ||, min||Aa|| = аат||Ад ||

Aq Aq

максимальной и минимальной по норме вариации Аа вектора сингулярных чисел матрицы Н(д). Правые сингулярные векторы Vamax и Vamin задают соответственно наиболее неблагоприятное (Ад)м = У^^НАд || и наименее неблагоприятное

(Ад)т = У^ЛАд|| сочетания вариаций Аду, j = 1, p, параметров.

n

Если задача (8) решается покомпонентно, то максимальная вариация Аа., достижимая на векторе А# = со1{А#.; у = 1, р} определяется соотношением

шах||АаЛ = V |а,„ Ад.|, / = 1, п .

Дз 1 ^ /

2. ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ КРИТЕРИАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ

Пусть СТС с интервальной матрицей [Р] состояния и фиксированными матрицами (7 входа и С выхода задана векторно-матричным описанием

X (?) = №(?) + С£(0; у(?) = Сх(?), (9)

где £(?) — конечномерное экзогенное воздействие на СТС, формируемое с помощью автономной системы — источника экзогенного воздействия

г (?) = Ег(?); г(0) = г(?)|, = о; &(?) = Рг(?),

х(?), г(?) — соответственно векторы состояния СТС и источника экзогенного воздействия; у(?) — вектор выхода СТС, его компоненты: свободное Усв(?), вынужденное ув(?), переходное уп(?) и установившееся уу(?) движения. Е, Р — соответственно матрицы состояний и выхода источника экзогенного воздействия, представимые в виде Е =

; у = 1, т Р = ^{Р. = [1 0];

0

-Ю/ 0_

7 = 1, т}. Появляется возможность сформировать четыре линейные алгебраические задачи, параметризованные непрерывным временем ? с интервальными параметрами и имеющие представления:

Усв( *)

[ ^св ]( * )х( 0 ),

ув (*) = С([ І] - е[ ^[ 7) г( 0) = [ N (*)]г (0),

Уп (*) = -Се[ ^[ 7] г( 0) = [ N (*)] г( 0),

Уу( *) = С[ 7] (0) = [ ш *)] г( 0)

,(10)

в которых интервальная матрица [7 ] преобразования подобия удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра с интервальными матричными компонентами [11]

[7]Е - [Р ][7] = СР. (11)

Линейные алгебраические задачи (10) допускают обобщенное представление в форме

П(*)(*) = [^(*)(*)]х(0), (12)

где [Л^(*)(*)] — (т х -^-интервальная критериальная матрица, параметризованная непрерывным време-

нем ?, индекс (*) принимает смысл индексов «св», «в», «п» и «у» соответствующих компонентам движения: свободное, вынужденное, переходное и установившееся; ц> применительно к системе (9) принимает значения w = Шшх = п, ц> = Шшг = /; П(*)(?) = У(*)(?) — т-мерный вектор выхода системы

(9), где индекс (*) принимает смысл индексов «св», «в», «п» и «у»; х(0) — принимает смысл векторов х(0) = х(0), х(0) = г(0) в соответствии с выражениями (10). Конкретная реализация каждой интервальной критериальной матрицы [Л^*)(?)] из банка

(10) определяется реализациями матриц системы (9), видом экзогенного воздействия £(?), определяемого реализацией матриц Е и Р и решением [ Т ] уравнения (11). Конкретный выбор критериальной матрицы [Л^*)(?)] из банка (10) определяется предметом исследования.

Представление (12) позволяет формировать функционалы вырождения в соответствии с технологией, описанной в работах [1, 10].

3. ФУНКЦИОНАЛЫ ВЫРОЖДЕНИЯ.

ОЦЕНКА ИХ ИНТЕРВАЛЬНОСТИ

Для количественной оценки вырождения сложных динамических систем используется аппарат функционалов вырождения [1, 11], определяемых выражением

/(Л) = ау{Л }/а^Л} = ау{д} а!1 {д};

V = 17т, (13)

где N — критериальная матрица СТС ранга т, а ау{Л} — элементы алгебраического спектра сингулярных чисел этой матрицы. Если критериальная матрица СТС оказывается интервальной, то ее целесообразно представить в форме

[N1 = N0 + [АЛЛ, (14)

где Л0 — медианный матричный компонент матрицы [Л] с фиксированными скалярными элементами, а [АЛ] — ее интервальный матричный компонент с симметричными скалярными матричными элементами. Функционал вырождения, конструируемый на этой матрице, также интервальный и представим в форме, подобной форме (14):

•М[Л]} = [/(Л)] = /„(Л) + [А/Ш] =

= /„(Л) + [А/(Л); А/у(Л) ],

(15)

где А/у(Л) = — А/у(Л). Представление интервального функционала вырождения позволяет охарактеризовать его оценкой относительной интерваль-ности,

8,/ = |[А/]|/|/,0|, (16)

в соответствии с которой

Jv{[N]} = Jvc(N)(1 + [5/v]) = = Jvo(N)(1 ± /).

(17)

4. ОЦЕНКА КОМПОНЕНТОВ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ВЫРОЖДЕНИЯ СТС С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ

Для использования возможностей аппарата теории параметрической чувствительности [3, 4] произведем параметризацию, применимую для произвольного интервального элемента [(• )]вектор-но-матричного описания СТС с помощью скалярного параметра q и в развитие выражения (17) сформируем цепочку равенств:

[(•)] = (•)„(! + [5/0] = Оo(1 ± 5/*)) =

= (-)o(1 ± g| q=8/ •)) = (-)o(1 + g|

q = ±5j( •)

),

приняв гипотезу, что параметр д принимает значения из интервала д е [—81(-), 8/(-)].

Примечание. Будем полагать, что каждый интервальный системный параметр, представляемый в форме (14), параметризуется своим параметром д., 7 = 1, р, и они образуют р-мерный вектор параметров д. ♦

Представим интервальный функционал вырождения [/,(Л)] на основе соотношений (15) и (16) в форме

К(Л)] = /*,(Л)(1 + д) = да д) = /у(д).

Утверждение 5. Функция чувствительности сингулярного числа а.(д) е ста{Л(д)} критериальной матрицы Л(д) к вариации компоненты д.,

7 = 1, р; 1 < р < т, вектора параметров д относительно его номинального значения д0 = 0

а

= (UTyNq. V _ (UTNq V)a. ♦

(18)

Справедливость этого утверждения следует из положений утверждения 4, если в нем матрицу Н(д) заменить на матрицу Л(д).

Соотношения (18) позволяют сконструировать

функцию чувствительности Jvq , =

Зд,

q = qo

7 = 1, р. Прямое дифференцирование по д. выражения (13) приводит к представлению функцию чувствительности /у„ в форме

т _________ —1

Jv qj av qy a1

учет соотношений (18), в которой приводит к пользовательскому результату

/^ = (Ц^. V),,а!1 - а,а!2 (Ц^. V) 11. (19)

Этот результат позволяет для функционала вырождения /,(#) записать его полную вариацию

А/ = ¿„Ад, где ¿V = row{ /; у = 1, р} — матрица-строка функций чувствительности функционала вырождения /,(д), Ад = со1{Ад.; у = 1, р} — вектор-столбец полных вариаций системных параметров.

Если вернуться к интервальной природе вектора полных вариаций системных параметров Ад, записав его в форме [Ад], то тем самым осуществится переход к интервальной природе и полной вариации А/ = А/(Ад) функционала вырождения так, что будет справедливой запись

А/ = А/,[(Ад)) = [А/,] = [ А/, А/ ],

при этом угловые значения вариации функционала вырождения

А/, = - А/ ,

A q

i = 1

5. АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛА ВЫРОЖДЕНИЯ

av a1 av1q.

Шаг 1. Составить матричные компоненты [Р] = = Р0 + [АР], Є и С векторно-матричного описания

(9) исследуемой системы и задать требуемое значение 5/к/ оценки относительной интервальности

функционалов вырождения /,, V = 1, т .

Шаг 2. В зависимости от решаемой задачи исследования вырождения системы выбрать критериальную матрицу из банка (10).

Шаг 3. Записать соотношения (10) в параметризованной параметром д форме:

Усв (*, д) = с/( ф Ґх( 0) = Лсв( *, д )х( 0),

Ув(*, д) = С(7(д)3)ґ7(д))г(0) = = (= дЖ0),

Уп( *, д) = -СеД 3) ґ Т( д) г( 0) = Лп( *, д )г( 0),

Уу(*, д) = С7(д)еЕг(0) = Лу(*, д)г(0).

Шаг 4. Составить аналитические выражения матриц чувствительности Л(*)^.(*) для банка крите-

риальных матриц (10), в которых индекс (*) принимает смысл индексов «св», «в», «п» и «у»:

N (t) = C¿ (eF(q)t) = C (eF( q) t )q. =

__1 Fo t Fo t _i

= C{(MM 1 e 0 - e 0 MM1) +

Xjt ---- -i

+ Mdiag(te ; i = 1, n )M_ }, (20)

NcBq. (t) = cA {C(T(q)eEt - e^TCq))} =

q dq,

= C( Tq. eEt - (eF(q)T0 - eFt Tq. ), (21)

J J J

Nnq. (t) = -C (A( eF( q) ¿T( q))) =

V5q

= -C{ (eF(q)')q. To - /0< T

(22)

NVq. (t) = -Cj At(q)eEt ¡> = C{ Tq.eFt}, (23)

в которых М. = row{ М... ; / = 1, п} — функции параметрической чувствительности матрицы приведения медианного компонента Р0 интервальной матрицы [/] к диагональному виду.

Шаг 5. Записать параметризованное д параметром матричное уравнение Сильвестра (11) Т(д)Е — Дд)Т(д) = СР, продифференцировать его по параметру д/ и далее упорядочить в целях получения уравнения Сильвестра относительно матрицы чувствительности Т..

Т4уЕ - ^0 Т4. = ^ Т0.

Шаг 6. Составить реализации матриц чувствительности Л(*)3. (?) критериальных матриц из банка

(10) в силу соотношений (20—23), для чего вычислить функции чувствительности собственных

значений матрицы Дд), собственных векторов М.

и матрицу чувствительности Т...

Шаг 7. Вычислить функции чувствительности ¿V. . функционалов вырождения в силу соотношения (19), подставив в него реализации матриц чувствительности . (?), сформированных на шаге 6.

Шаг 8. Сформировать угловые реализации функционалов вырождения /Ду (?) на угловых реализациях параметров д. = 8X0 в целях после-

'с 1

дующего формирования интервального представления [/Ду(?)] функционала вырождения /Ду(?) в форме (15).

Шаг 9. Сформировать оценку 87/у = |[А/]|/|/0| относительной интервальности функционала вырождения / и проверить выполнение неравенства

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе композиции возможностей аппарата теории параметрической чувствительности и интервальных представлений предложен алгоритм, позволяющий формировать оценки относительной интервальности функционалов вырождения сложных технических систем, матричные компоненты математического описания которых в процессе эксплуатации претерпевают вариации параметров в некоторых пределах. Полученный результат позволяет оценить пределы вариации функционала вырождения, а, следовательно, интервальных элементов матричных компонентов описания систем, обнаруживающих заметную склонность к вырождению и, как следствие, к потере ее работоспособности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дударенко Н.А., Полякова М.В, Ушаков А.В.. Экспресс-оценка склонности сложных динамических систем к вырождению // Проблемы управления. — 2010. — № 2. — С. 19—24.

2. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. — Л.: Машиностроение, 1983. — 245 с.

3. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. — М.: Советское радио, 1972.

4. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. — М.: Наука, 1981. — 464 с.

5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 318 с.

6. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с.

7. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. — М.: Мир, 1984. — 264 с.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

9. Акунов Т.А., Ушаков А.В. Анализ чувствительности эллипсоидных оценок многомерных процессов управления // Изв. вузов СССР. Приборостроение. — 1991. — Т. 34, № 8. — С. 21—27.

10. Ушаков А.В. Модальные оценки качества процессов в линейных многомерных системах при внешних конечномерных воздействиях // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 11. — С. 72—82.

11. Дударенко Н.А., Полякова М.В., Ушаков А.В. Алгебраическая постановка задачи контроля системного вырождения сложных технических систем // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2010. — № 5. — С. 18—20.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.Н. Афанасьевым.

Дударенко Наталия Александровна — канд. техн. наук, доцент, И dudarenko@yandex.ru,

Полякова Майя Вячеславовна — аспирантка, И 12noch@mail.ru;

Ушаков Анатолий Владимирович — д-р техн. наук, профессор, И Ushakov-AVG@yandex.ru,

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики, в (812) 595-41-28.