Параметрическая эпсилон-инвариантность, порождаемая динамическим наблюдением состояния объекта с неопределенностью матричных компонентов модельного представления Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ЭПСИЛОН-ИНВАРИАНТНОСТЬ, ПОРОЖДАЕМАЯ ДИНАМИЧЕСКИМ НАБЛЮДЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ МАТРИЧНЫХ КОМПОНЕНТОВ МОДЕЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О.В. Слита, А.В. Ушаков

Показывается, что источником параметрической эпсилон-инвариантности может быть не только нарушение алгебраических условий достижения абсолютной параметрической инвариантности, но и наблюдение за состоянием объекта с неопределенностью матричных компонентов.

Введение

В статье рассматриваются непрерывные объекты управления, модельное представление которых содержит неопределенности как в матрице состояния, так и в матрице управления. Для объектов такого синтезируется изодромный закон управления, обеспечивающий слежение выхода объекта за внешним конечномерным воздействием. В отличие от [1] и [2], для восстановления неизмеримой переменной, используемой в законе управления, вводится наблюдающее устройство. Показано, что введение наблюдающего устройства в систему с неопределенностями задания матричных компонентов может привести к появлению s -инвариантности. Сформулированы требования к матрицам, описывающим объект управления, выполнение которых гарантирует нулевое значение установившейся ошибки.

Постановка задачи

Рассмотрим линейный непрерывный объект с неопределенностью общего вида x(t) = (A + AA) x(t) + (B + AB)u(t); x(0); y(t) = Cx(t). (1)

где x e Rn, u e Rr, y e Rm - векторы состояния, управления и выхода, соответственно; A, B, C - соответственно, номинальные компоненты матриц состояния

и управления объекта управления (ОУ) и матрица выхода: A e Rnxn, B e Rnxr, C e Rmxn, АЛ, AB - матричные вариации матрицы состояния и управления, соответственно, dimAA = dim A, dimAB = dimB .

Поставим задачу синтеза закона управления, обеспечивающего слежение выхода объекта (1) за внешним конечномерным воздействием g (t)

Z(t) = rz(t), z(0), g(t) = Pz(t), (2)

где z e Rl, g e Rm, re Rl xl, P e Rmxl, (Г, P) - наблюдаемая пара, так, чтобы ошибка

по выходу e(t) = g(t) - y(t), e e Rm с течением времени стремилась к нулю

lim e(t) = 0. (3)

t

Синтез обобщенного изодромного закона управления

Сформулированную задачу будем решать в классе обобщенных изодромных управлений [1], характеризующихся минимальным составом измерений. Вначале осуществим синтез закона управления для номинальной версии ОУ (1)

x(t) = Ax(t) + Bu(t); x(0); y(t) = Cx(t). (4)

Для сведения задачи слежения к задаче регулирования [2] введем в рассмотрение вектор ошибки по состоянию

£(t) = Tz(t) - x(t), (5)

где £ е , матрица особого в общем случае линейного преобразования T е .

Построим модель динамики процессов относительно ошибок слежения £(t) и

e(t)

£(t) = Tz(t) - x(t). (6)

Получим векторно-матричные уравнения относительно ошибок £(t) и e(t)

£(t) = A£(t) + (TГ - AT)z(t) - Bu(t), (7)

e(t) = C£(t) + (P - CT)z(t). (8)

Векторно-матричные соотношения (7)-(8) представляют собой модель динамики ошибки слежения, позволяющие сформулировать задачу слежения как задачу регулирования. Правая часть векторно-матричного уравнения (7) содержит как управление, так и «помеху» (T Г- AT) z(t), которая в силу неуправляемости источника внешнего воздействия в установившемся режиме без применения специальных мер не позволяет обеспечить близкий к нулю вектор ошибки по состоянию £(t) и по выходу

e(t).

Изложим основные положения решения задачи слежения с помощью обобщенного изодрома в виде системы утверждений [2].

Утверждение 1. Если матрица особого преобразования T удовлетворяет матричным соотношениям

Tr-AT = 0, P - CT = 0, (9)

то законом управления

u(t) = K£(t) (10)

обеспечивается асимптотическая сходимость ошибки слежения по состоянию £(t) и выходу e(t) к нулю с темпом, который определяется структурой мод матрицы F = A - BK, так что

£(t) = F£(t), £(0) = Tz(0) - x(0), e(t) = C£(t). (11)

Доказательство. Справедливость утверждения устанавливается

непосредственной подстановкой (9) и (10) в (7) и (8).

■

Управление (10) при выполнении (9) называется обобщенным изодромным управлением. Т. о., задача обеспечения нулевой установившейся ошибки

lim e(t) = lim C£(t) = lim C exp(Ft)£(0) (12)

t ^-да t ^да t ^да

сводится к управлению структурой собственных значений матрицы состояния системы

(11) <j\F}= fy, i = 1, n}. Матрица K может быть сконструирована методами модального

управления [1]. Первое уравнение (9) является однородным уравнением Сильвестра (УС) относительно матрицы T. Ключевым моментом решения задачи слежения, содержащегося в утверждении 1, является существование нетривиального решения однородного УС.

Утверждение 2. Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения матричного УС (9) относительно матрицы особого преобразования T является условие включения алгебраического спектра собственных значений матрицы Г в алгебраический спектр собственных значений матрицы A так, что

<{r}c<{A} (13)

или, что то же самое [ёе1;( XI - А)]|х=г = т.е. характеристический многочлен матрицы A является аннулирующим многочленом [5] матрицы Г .

□

Доказательство утверждения 2 приведено в [2].

■

Для того, чтобы обеспечить выполнение условия (13), воспользуемся принципом внутренней модели [5], а именно расширим систему (4) с помощью буферной системы. В качестве буферной системы воспользуемся системой (2) с матрицей состояния Г. Тогда уравнения (4) в случае последовательного включения буферной системы с матрицей состояния Г получат представление

х (У) = ЛС (У) + ВС(У); С (У) = СС (У), (14)

, С = [С 0], Г, Оь и Ру - матрицы состояния, входа и

" А ВРь' " 0 "

А = , В =

0 Гь _ _Оь _

выхода буферной системы соответственно,

х =

х

хь

вектор состояния расширенной

системы, ху - вектор состояния буферной системы. Буферная система должна

удовлетворять условию (Л, В ) = ш^оШг (а, В )}.

Нетрудно видеть, что для системы (14) должны выполняться соотношения (5)-(11) с точностью до замены компонентов (*) на (*), в том числе

С(У) = К%(У), (15)

%(0 = %), £(0) = Тг(0)-х(0), х(0 = С%(У). (16)

Рассмотрим теперь систему с неопределенностями, описываемую уравнениями (1). Обеспечим существование нетривиального решения системы УС (9), дополнив систему (1) включенной на ее входе буферной системой (2). Тогда расширенная система принимает вид

С 0) = (А + ДА)С (t) + ВС(У); С (0 = Сх (У), (17)

где Л + ДА =

А + ДА ВРь +ДВРь 0 Гь

+

ДЛ ДВРь 00

. Как видно из уравнения

А ВРь 0 Гь

(17), после введения буферной системы все неопределенности объекта (1) оказываются

сосредоточенными в матрице Л , что позволяет использовать возможности алгоритма достижения параметрической инвариантности [1].

Условия параметрической инвариантности ошибки слежения по выходу

Запишем уравнения ошибок слежения по состоянию и по выходу для системы

(17).

£ (У) = А£(У) + ДА£(У) - ВВД, £(0); С(0 = С%(г).

(18)

Матричная вариация ДА представима в форме ДАу = djhT, 7 = 1, р . Тогда уравнение (18) можно преобразовать к виду

% (У) = А%(0 + £>а0 - Ви(У), %(0); С(У) = СГ(0, (19)

где вектор «параметрического» воздействия ^(0 = со}\? 7 = hTx(t), 7 = 1,р}, матрица Э = 7 = d7,7 = 1, р}. После введения закона управления вида (10) уравнение (19) принимает вид

£ = Р~ (г) + БС(г), £ (0); ~(г) = С£ (г). (20)

где Р = Л - Ж.

Инвариантность ошибки слежения к неопределенностям АР = АЛ задания матрицы состояния системы (18) можно записать в форме

е(г, Р,АР = АЛ * 0) = е(г,Р, Ар = АЛ = 0). (21)

Поставленная задача обеспечения параметрической инвариантности принимает вид е е

~(г, р г) * 0) = ~(г, р г) = 0). (22)

Сформулируем утверждения, содержащие алгебраические условия достижения абсолютной параметрической инвариантности выхода, а, следовательно, ошибки слежения.

Утверждение 3. Для того, чтобы система (20) обладала параметрической инвариантностью в смысле условия (22), достаточно, чтобы

1) столбцы Б] матрицы D были бы собственными векторами матрицы Р , так что

РБ] = Я}Б}, /рБ = IЯБ (23)

2) столбцы Б] принадлежали ядру матрицы С, т.е. чтобы выполнялось соотношение

СБ] = 0; (24)

3) спектр сг|/7}= {я} был бы таким, чтобы обеспечивалась сходимость ~(г) с заданным темпом.

□

При выполнении условия 1 утверждения 3 решение последнего из уравнений (21) имеет вид

~ ~ ~ г ~ ~

е(г) = (г) = С ехр(Рг)£ (0) + { Сехр(Р(г - т))СТ)йт =

C exp(Ft)<~ (0) + JCD(diag(ехр(^- (Г - г)); j = 1, ^}(r)dr.

В случае выполнения условия 2 утверждения 3 подынтегральное выражение становится равным нулю, и сходимость ~(t) к нулю будет определяться алгебраическим спектром

а собственных значений матрицы F. Обеспечить желаемый спектр собственных

значений матрицы F можно с помощью модального управления [1].

■

Синтез обобщенного модального управления

Рассмотрим вначале случай [3], когда rankB = n +1. Тогда задача параметрической инвариантности может быть решена с помощью матрицы обратных связей K в форме K = B _1 (AM - МЛ)М _1, где M = row{, i = 1, n + /}, Л = diag{, i = 1, n + /}. В этом случае задавая М = D, можно обеспечить в системе

желаемую структуру собственных векторов. Матрица K является решением системы матричных уравнений [1, 3]

МЛ - AM = -BH, (25)

K = HM , (26)

В случае, когда rankB < n +1, уравнение (25) распадается на 2 уравнения

DЛD - AD = -BHD , (27)

M Л- AiM = - B~H, (28)

причем условием разрешимости уравнения (27) относительно матрицы Hd является выполнение включения [5] столбца (Л/I - AD/ е ImB , что следует иметь в виду при формировании буферной системы. Уравнение (28) при заданной наблюдаемой паре (л, H) решается относительно матрицы M . В этом случае матрица обратных связей K

K = [HD HID M]-1. (29)

Синтез наблюдающего устройства. Основной результат

Изодромное управление в форме (15) порождает систему (16), которая является автономной с измеримым выходом в виде ошибки слежения. Таким образом, ситуация характеризуется наличием полного измерения для построения наблюдателя переменной | (t).

Синтезируем вначале наблюдающее устройство [2] для номинальных значений параметров системы

= FJe + L~(t), (30)

где (Fe, L)- наблюдаемая пара, Fe задает желаемые динамические свойства наблюдателя.

Введем вектор невязки наблюдения в для случая номинальных параметров

в = U-Ie . (31)

Продифференцировав в , получаем в = TeI -|e = Fe0 + (TeF -FeTe - LC).

Чтобы невязка наблюдения в с течением времени стремилась к нулю, нужно, чтобы выполнялось следующее уравнение

TeF - FeTe = LC. (32)

Учитывая (32), получаем в = Fe0 , lim 0e = 0 и lim Ie = Te| (t) .

t^ю t^ю

В случае, если dim Ie (t) = dim | (t)

i(t) = T-C (t). (33)

В системе с неопределенностями будет несколько иной подход к синтезу наблюдающего устройства, обусловленный наличием компонента DZ(t) в системе, описываемой уравнениями (19). Подставим в уравнение (19) выражение (33) с учетом закона управления (15)

т(t) = A£(t) - B~(t)+DZc тт CC-1T TC тт-1в = A~(t) - B(K~(t) - Kt-Щ))+DZ(t) =

и =Kg^K!e ge =Kg -Kle в

= FT (t) + BKT~X0 (t) + DZ(t) . Введем в рассмотрение расширенный вектор кТ = [^ T вT T и для к запишем:

К = f<~ + BKT~xe + dZ = f% + BKT~le + " d '

_ Fee + TeDZ _ _ 0-i+Fee _ TeD

Z = FKK+DkZ; ck=[C 0]

T(t) = Ci (t) = C£ (t) + 0 -e (t) = Ckk . Решение для e(t) принимает вид

__ eee t ee t ee ___T

e(t) = C~(t) = Cexp(Ft)£(0)+JCexp(T(t-r))DZ(r)dr+JCexp(F(t-т))ТКТ~1е(т)1т. (34)

0 0 Для равенства нулю последнего подынтегрального выражения необходимо, чтобы

столбцы матрицы В были собственными векторами матрицы F. В этом случае с учетом свойств матричной функции от матрицы можно записать

JCexp(F(t - т))BKT~le(r)dr = jCB(diag{xp^- (t - т)); j = 1p})£(r)dr. 0 0 Задавая в уравнении Сильвестра (25) один из столбцов матрицы M как Mb = В, получим

В Л в - AB = - BH в . (35)

В случае матрицы В ранга rank В = 1 (a - л + Hв )l )в = 0.

Таким образом, чтобы матрица В была собственным вектором матрицы F, она должна принадлежать нуль-пространству матрицы A - (Лв + Hв )l, т.е.

В е N{A-(лв + Hв}}. (36)

Заметим, что условие (36) выполняется не всегда, поэтому ошибка (34) имеет установившееся значение, т. е. абсолютная параметрическая инвариантность системы в общем случае недостижима, и закон управления

~(t) = KT;1^ ) (37)

обеспечивает спроектированной системе только инвариантность до s .

Пример. Рассмотрим ОУ с передаточной функцией W(s) =

1

1 -1

T + AT

В =

((T + AT )s +1) s , C = [1 0].

T + AT

Матрицы, описывающие объект, имеют вид А =

Для номинального значения постоянной времени Т = 0,1 с матрицы описания объекта

Алгебраический спектр собственных

"0 1 " , в = " 0"

записываются как A =

0 -10 10

значений матрицы А с номинальными параметрами сг{А} = {Я[ = 0;^ = —10}.

Поставим задачу обеспечения нулевой установившейся ошибки отработки задающего воздействия g(/) = / вида (2). Матрицы модельного представления

"0 1"

источника задающего воздействия имеют вид Г =

0 0

, P = [1 0]. Алгебраический

спектр собственных значений матрицы Г <г{г}={лП2 = 0}. Таким образом, спектры

матриц А и Г пересекаются частично.

Поставим на входе объекта буферную систему для того, чтобы неопределенности были сконцентрированы только в матрице состояния. Строим буферную систему так, чтобы полностью включить алгебраический спектр собственный значений матрицы Г

в алгебраический спектр матрицы А, для чего на входе исходного ОУ последовательно

включим интегратор. Теперь матрицы, описывающие объект управления, принимают вид

"0 1 0" Г1 " Т Г0 0 0" Г0

А = 0 -10 10 , С~ = 0 , ДА = 0 Д~22 Д~23 , в = 1

0 0 0 0 0 0 0 0

Используя оба входа системы, один из которых является естественным входом исходного объекта, а другой - входом буферной системы, запишем матрицу

-Т

В =

0 0 0 1

. Условие (24) выполняется, т.е. СВ = 0. Спектр собственных значений

матрицы Р зададим как корни полинома Баттерворта третьего порядка с характеристической частотой ©0 = 5 .

В данном случае ранг матрицы В меньше порядка расширенной системы, поэтому следует перейти к решению матричных уравнений (27), (28). Проверим уравнение (27) на разрешимость:

(V - А)Я, =-5 =[-1 5 0]Т ,

следовательно, (я,1 - А )в £ 1тВ .

Таким образом, задача обеспечения абсолютной параметрической инвариантности в данной системе не решается, и можно обеспечить только 8 -инвариантность. Поэтому получим приближенное решение уравнения (27). Построим

наилучшее представление (а/ - А )в в пространстве столбцов матрицы В. Для этого решим уравнение (аВ +а2В2 )= - А)в, где В1 - первый столбец матрицы В, В2-второй столбец матрицы В . Получим а1 = 0, а2 = 5.

Модифицируем матрицу В с тем, чтобы получить наилучшее

Г 0 0"

представление Вм =0 5 . В данном случае коэффициент а1 = 0,1 для того, чтобы

0,1 0

матрица М имела обратную.

Запишем приближенное решение уравнения (27) Нв

0 -1

. В этом случае в

системе

обеспечивается собственный

- 2,5 4,33

- 4,33 - 2,5

вектор

Вм = [- 0.2 1 0]Т * В. Решим

уравнение (28) при Л =

"1 0"

, Н =

0 1

Н =

Запишем

[Нв Н ]

матрицы

М =

Нм М ]

- 0.2 - 0,058 0,0954 1 - 0,27 0,49 0 0,01 0,017

и

0 1 0 -1 0 1

. Вычислим К согласно уравнению (29):

К =

- 9,08 -1,816 -1,21 5,121 0,024 30,216

В рассматриваемом случае гапкБ = 2, поэтому определим, является ли В собственным вектором матрицы Е с помощью уравнения (36). Это уравнение решения не имеет, и матрица В не является собственным вектором Е . Таким образом, наблюдающее устройство вносит дополнительный вклад в ошибку системы. Для синтеза наблюдающего устройства вычислим матрицу Те согласно уравнению (32), где

" 0 1 0 " " 875 150 10

ет = 0 0 1 . Матрица Те 1 имеет вид Те 1 = -1250 375 50

-1000 - 200 - 20 - 24,8 - 27,5 - 4,52

Таким образом, закон "- 5645 - 2010 -176,143"

3701 - 55 - 84,04

управления

(37)

и(г) =

принимает

вид

Литература

1. Никифоров В.О., Ушаков А.В., Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПбГУ ИТМО (ТУ), 2002.

2. Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов Р.О., Ушаков А.В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами. Бишкек: Илим, 1991.

3. Ушаков А.В. Обобщенное модальное управление. // Изв. ВУЗов. Приборостроение. 2000. Т.43. № 3.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1991.

5. Уонем М. Линейные многомерные системы: геометрический подход. М.: Наука, 1980.