CC BY
38
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ: КОНТРОЛЬ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ПОДПРОСТРАНСТВ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ОБЪЕКТА ОБРАЗУ ЕГО МАТРИЦЫ
УПРАВЛЕНИЯ
О. В. Слита, А. В. Ушаков
Рассматриваются алгебраические проблемы параметрической инвариантности для случаев, когда ранг матрицы управления меньше размерности пространства состояния, предлагается алгоритм контроля принадлежности подпространств характеристической матрицы объекта образу его матрицы управления, при условии выполнения которой становится достижимым решение проблемы параметрической инвариантности.
Введение.
Одной из алгебраических проблем обеспечения параметрической инвариантности является контроль принадлежности подпространств характеристической матрицы объекта образу его матрицы управления. Контроль принадлежности может помочь при поиске таких модификаций матрицы управления, при которых достижима параметрическая инвариантность системы.
Вопрос о принадлежности подпространств характеристической матрицы объекта образу его матрицы управления затрагивается в работе [7]. Однако в указанной работе не рассматривается проблема разработки алгоритмического обеспечения сделанных в ней выводов о влиянии ранга матрицы управления на решение задачи параметрической инвариантности системы. В данной работе предлагается способ, с помощью которого может быть решена поставленная алгебраическая задача.
Постановка задачи параметрической инвариантности.
Рассматривается линейный непрерывный объект, неопределенность знания параметров структурных компонентов которого путем выбора соответствующего базиса [1,2] представима неопределенностью задания его матрицы состояния так, что его уравнение динамики принимает вид:
х(г) = (А + АА) х(г) + Ви(г); х(0); у(г) = Сх(г). (1)
В выражении (1) х, и, у - соответственно векторы состояния, управления и выхода;
х е Я" , и е Яг, у е Ят , А, В, С - соответственно номинальная компонента матрицы состояния объекта управления (ОУ), его матрицы управления и выхода, согласованные
А г>ПХП Г, ппхг г>тхи А л
по размерности с векторными переменными: А е Я , В е Я , С е Я , АЛ -матричная вариация матрицы состояния.
Поставим задачу синтеза закона управления (ЗУ) в виде прямой связи по внешнему задающему воздействию g(г) с матрицей К^ и обратной связи по
состоянию объекта х(г) с матрицей К, образующих аддитивную композицию, в предположении полной их измеримости.
и(г) = Kgg (г) - Кх(г). (2)
Структурное объединение ОУ (1) и ЗУ (2) образует систему с векторно-матричным представлением
х(г) = Гх(г) + Gg(г) + АГх(г); х(0) ; (3)
у (г) = Сх(г); е(г) = g (г) - у (г). (4)
В (3), (4) е(г)- ошибка воспроизведения системой задающего воздействия, матрицы Г и G имеют представление
Р = А - ВК, О = БКё , (5)
ЛР - матричная вариация матрицы состояния системы, удовлетворяющая равенству
ЛР = ЛА . (6)
От матричных компонентов закона управления (2) потребуем удовлетворения:
1) Техническим требованиям к динамическим свойствам проектируемой системы с номинальной матрицей состояния Р в переходном и установившемся режимах, задаваемых в форме желаемой структуры собственных значений этой матрицы так, что выполняется соотношение
К = а^{Р = А - ВК:а{Р} = {Яу, у = 1,...п}} (7)
2) Условия равенства выхода задающему воздействию в неподвижном состоянии, доставляемого системе матрицей К^ вида:
К8 = агв{Ф(^) = -С^1 - Р)-1 О5=0 = -СР ~1ВК& = I}. (8)
О=ВКё
Инвариантность выхода системы (а, следовательно, и ошибки) можно записать в форме
у(1, Р, ЛР = ЛА * 0) = у(1, Р, ЛР = ЛА = 0). (9)
Решение задачи параметрической инвариантности при различных рангах матрицы управления.
Представим матричную вариацию ЛР = ЛА в аддитивной форме
р
ЛА = ^ЛАу, (10)
у =1
где матричные компоненты ЛАу обладают рангом, равным единице
гапкЛАу =1. (11)
Свойство (11) матричных компонентов ЛАу допускает их представление в столбцово-строчной мультипликативной форме
ЛАу = ёук], (12)
где ёу и к у е Яп , при этом столбец ёу не должен содержать неопределенные элементы (ЛА)ц, (/,I = 1,...п) , т.е. иметь фиксированную структуру.
Подстановка (12) с учетом (11) в (3) позволяет записать:
х(1) = Рх(1) + Оg(1)+Б£(1); у(1) = Сх(1), (13)
где Б - (п х р) матрица вида
Б = тсм{йу, у = 1,... р}. (14)
Вектор ) размерности р составлен из элементов , определяемых соотношениями
(1) = ИГ]х(1). (15)
Вектор £ будем именовать вектором параметрического воздействия. Поставленная задача обеспечения параметрической инвариантности в форме (9) при использовании модели (13) принимает вид
У(1,Р,g(1),£(1) * 0) = у(1,Р,g(1),£(1) - 0) . (16)
Соотношение (16) по существу содержит доказательство следующего утверждения [4].
Утверждение 1. Для того, чтобы система (13) обладала параметрической инвариантностью, т. е. выполнялось условие (16) достаточно, чтобы передаточная функция (матрица) «параметрический вход £ -выход системы y» Фy^(s) была бы
нулевой, т. е. выполнялось равенство
Ф y£( s) = 0. □ (17)
Доказательство утверждения 1 приведено в [7].
Для дальнейших исследований сформулируем следующее утверждение [4]. Утверждение 2. Для того, чтобы выполнялось условие параметрической инвариантности выхода y(t) системы (13) относительно j - го элемента (t)
параметрического воздействия £(t), задаваемое в форме
y(t,F,g(t)£j(t) ф 0) = y(t,F,g(t),£j(t) - 0) (18)
достаточно, чтобы
1) D j - j - й столбец матрицы D был собственным вектором матрицы состояния F системы (13);
2) D j принадлежал ядру матрицы C так, что выполнялось бы соотношение
CDj = 0 .□ (19)
Доказательство утверждения 2 приведено в [7].
Из утверждения 2 можно сделать вывод, что для полной инвариантности в форме (16) достаточно, чтобы все столбцы матрицы D были собственными векторами матрицы F и они принадлежали ядру матрицы C .
Для того, чтобы проверить, являются ли столбцы матрицы D собственными векторами матрицы F , используем следующее утверждение.
Утверждение 3. Для того, чтобы столбец Dj матрицы D был бы собственным
вектором матрицы F состояния системы (13) достаточно, чтобы вектор (AjI - A)Dj
принадлежал образу матрицы B , т.е. чтобы выполнялось включение
(AjI - A)Dj- e JmB . (20)
Доказательство утверждения 3 приведено в [7].
Выражение (20) является ключевым в решении поставленной задачи. Анализ его позволяет сделать следующие выводы относительно ранга матрицы B . Вывод 1. Если матрица B обладает рангом rankB = n = dim х, причем n > p , то всегда выполняется условие (20), а потому существует такая матрица K, которая доставляет матрице F желаемый спектр собственных значений с одновременным обеспечением геометрического спектра собственных векторов, включающих в свой состав все столбцы Dj матрицы D .
Вывод 2. Если ранг матрицы B rankB < n, то решение существует только при выполнении условия (20), которое обеспечивается с помощью модификации элементов Aj желаемого спектра собственных значений матрицы состояния системы (13), а также
элементов матрицы B .
Для целей контроля выполнения условия (20) оказывается полезным использование положения следующего утверждения. Утверждение 4. Соотношение (20) имеет эквивалентное представление
rank [(A - AjI )Dj: B ]= rankB . (21)
Доказательство справедливости соотношения (21) можно найти в [3,6].
Необходимо сказать несколько слов по поводу достижения выполнения условия (21). Ранг матрицы как одна из ее скалярных характеристик по своей природе является
целочисленной величиной, что затрудняет контроль близости к выполнению условия (21). В этой связи целесообразно воспользоваться сингулярным разложением [6] составной матрицы [(A -AjI)Dj: B] с целью контроля спектра сингулярных чисел этой
матрицы, т.к. число ненулевых сингулярных чисел этой матрицы определяет ее ранг. Основной результат.
Для того, чтобы обеспечить выполнение условия (21), произведем модификацию матрицы B при фиксированной структуре собственных значений Aj и фиксированных
Dj. Одним из вариантов модификации может быть аддитивно-мультипликативная
модификация элемента Bj матрицы B, которая задается в форме:
Bj (в ) = {(1 + А/ B + (1 - вj )Bij }, (22)
где Pij е [-1;1]Ъ в j = maxЩ i ^ B = min b/ i ).
Pij Pij
Как упоминалось выше, контроль принадлежности матрицы (AjI - A)Dj образу
матрицы B будет вестись с помощью сингулярного разложения составной матрицы (AjI - A) Dj M B .
Сингулярное разложение позволяет представить матрицу (AjI - A)Dj:B в виде
(AjI - A) Dj M B = U £VT, (23)
где U - ортогональная m x m матрица, V - ортогональная r x r матрица, £ - матрица сингулярных чисел, которая при m > n принимает вид
diag{aj; j = 1, m}
£ =
0 m-r ,r
(24)
Ранг матрицы (Лу1 - А): В равен числу ненулевых сингулярных чисел ау, поэтому для контроля принадлежности (Лу1 - А)образу В введем функционал вида:
J = £г+1,г+1 , 0 < J < 1, (25)
£1,1
где £ г+1Г+1- элемент, стоящий на пересечении г + 1-й строки и г + 1-го столбца, причем £ Ф 0 , если (Лу1 - А)£ JmB. При стремлении к нулю г + 1-го сингулярного числа значение функционала J также стремится к нулю, при этом вектор (Лу1 - А) приближается к образу матрицы В с модифицированными в силу (22) элементами.
Проверка выполнения условия(21) производится по следующему алгоритму:
1) По формуле (22) осуществить модификацию матрицы В = В(в) , в е [—1;1].
2) Осуществить нормировку В = В(в(*)): ||В||2 = 1 для сравнимости результатов.
3) Составить характеристическую матрицу (Лу1 - А), где Лу выбраны из желаемого
спектра матрицы состояния системы.
4) Сформировать матрицу (Лу1 - А)= Е, осуществить ее нормировку так, что
= 1.
5) Сформировать агрегированную матрицу Е:В, осуществить ее сингулярное разложение (23), вычислить функционал (25). Если J{в} = 0, то перейти к п.6. В противном случае перейти к п.1.
6) Осуществить синтез модального управления на заданном спектре собственных чисел для случая сформированной матрицы В.
7) С использованием программной оболочки Ма1!аЬ осуществить проверку результатов.
Пример.
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим объект, векторно-матричное
описание которого х = (А + ДА)х + Ви; у = Сх имеет следующие компоненты:
"0 1 0 " "0 0 0 " "0" "0
А = 0 0 1 ; ДА = 0 0 0 ; В = 0 ; С = [1 0 0 ]; п = 0
0 - 800 -108 0 - 800Дд - 8Дд 1 1
Потребуем, чтобы система обладала динамическими свойствами, которые обеспечиваются следующими собственными значениями: Л =-20, ^ =-10, Л3 =-5. Т.к. условие СП = 0 выполняется, то для проверки достижимости параметрической инвариантности осуществим проверку условия (20). Агрегированная матрица Е: В обладает рангом, равным рангу матрицы В , при матрице управления вида 0 "
В = - 0,0097 . При таком значении матрицы В по формуле (25) значение критерия 1
J = 0, а, следовательно, выполняется условие (20). При этом матрица замкнутой
" 0 1 0 " - 200 - 30 0 20548 2281 - 5
передаточная функция «параметрический вход -выход системы у» ф у^) = С (э1 - Е)-1 П = (? - Л3)_1 СП = 0.
системы Е имеет вид: Е =
, и выполняется условие (17), т.е.
Литература.
1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М. Наука,
1976.
2. Справочник по теории автоматического управления /под ред. А.А. Красовского. М. Наука, 1987.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1991.
4. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002.
5. Ушаков А. В. Обобщенное модальное управление. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43. № 3. С.8-16.
6. Голуб Дж., Ван Лоун Ч., Матричные вычисления./ Пер. с англ. М.: Мир, 1999.
7. Слита О.В., научный руководитель Ушаков А.В. Фактор ранга матрицы управления динамического объекта в задаче достижения параметрической инвариантности. // Современные технологии: Сборник статей / под ред. Козлова С. А. СПб.: СПбГУИТМО, 2003. С.253-259.
