Проблема параметрической инвариантности выхода дискретной системы относительно неопределенности задания матриц модельного представления объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМА ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ ВЫХОДА ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЗАДАНИЯ МАТРИЦ МОДЕЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТА О.В. Слита

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор А.В. Ушаков

В работе рассматриваются дискретные объекты управления с неопределенностями задания матриц модельного представления. Формулируются алгебраические условия параметрической инвариантности, предлагается алгоритм управления, позволяющий достигнуть инвариантность выхода проектируемой системы относительно модельных неопределенностей исходного объекта.

Введение

Рассматриваемые в работе дискретные объекты управления получены переходом от непрерывного времени к дискретному. Исходный номинальный объект содержит неопределенности задания матрицы состояния, и даже при фиксированном интервале дискретности эти неопределенности вызывают неопределенности в системных матрицах дискретного объекта. Таким образом, для дискретных объектов характерна ситуация, когда неопределенности содержатся и в матрице состояния, и в матрице управления. Предлагается применение буферной системы минимальной размерности, при использовании которой все неопределенности оказываются сконцентрированными в матрице состояния, и к объекту оказывается возможным применить алгоритм обобщенного модального управления, с помощью которого достигается параметрическая инвариантность выхода проектируемой системы относительно модельных неопределенностей.

1. Постановка задачи

Рассмотрим дискретный объект управления (ДОУ), под которым будем понимать функциональное объединение [1, 2] исходного непрерывного объекта управления (НОУ)

х(г) = Лх(г) + Вп(г), у(г) = Сх(г) (1)

с управляющей ЭВМ (микропроцессором, микроконтроллером), математическое описание которого дается в дискретные моменты времени. Таким образом, ДОУ - это дискретное по времени представление НОУ, полученное переходом от непрерывного времени t к дискретному к, выраженному в числе интервалов дискретности длительности Т , так что t = кТ , при котором переменные х(к) и у(к) представляют собой выборки из непрерывных процессов х^) и у(1;) в моменты t = кТ , а управление и(к) на интервале дискретности фиксируется на уровне значения и(кТ) . При такой концепции ДОУ его модельное представление

х(к +1) = Лйх{к) + Бйи{к), у(к) = Сах(к), (2)

характеризуется матрицами Л^ , Б^ , С^

Ла = еЛТ , Б^ =(еЛТ -1У1 Б, Сй = С, (3)

если ввод управления и(к) в объект происходит без задержки [1].

Для решения поставленной задачи формирования условий достижения параметрической инвариантности выхода системы к неопределенности матричных компонентов модельного представления ДОУ (2) сделаем допущение, что интервал дискретности Т таков, что при представлении матричной экспоненты бесконечным матричным рядом

лт к Л'Т'

е = I ^Т- (4)

г=0 г!

можно ограничиться первыми тремя членами, представив матричную экспоненту в форме

еАТ = I + АТ + . (5)

2!

С учетом (5) матрицы (3) модели ДОУ (2) принимают вид

А2Т2 ( АТ Л

А, = I + АТ + —, В, = Т\1 + А^у, С, = С. (6)

Теперь сделаем предположение, что исходный НОУ характеризуется неопределенностью задания матричных компонентов его модели (1).

Вначале положим, что неопределенности сосредоточены только в матрице состояния, так что модель НОУ имеет представление

хЦ) = (А + АА)) + Ви (Г), (7)

что в силу (6) породит неопределенность матричных компонентов модели ДОУ (2) в форме

х(к +1) = (Ав + ААВ )х(к) + (Вп + АВв )и (к), у(к) = Спх(к), (8)

где

( л2гт2 Л ( ,Л2 Л

Ай + ААй =

I+АТ+А Т

2

V

+

т АА Тг ААТ + АААТ2 +

2

(9)

В, +АВ, = Т[1 + ^В + ААТ2В (10)

Если ЭВМ в составе устройства управления дискретным объектом осуществляет обмен информацией с объектом и датчиками, размещаемыми на нем, в асинхронном режиме, то интервал дискретности оказывается нефиксированным и равным Т + АТ, в нем содержится неопределенность АТ, и неопределенности модельного представления ДОУ принимают вид

АА, = ААТ + А ТАТ +-+

й 2

А АТ! (АА(В+ АТ)+ ААА(В+АТ) + АА' (В + АТ )2 Л

V 2

АВ, = ВАТАТ + ВАТ + В^А +АА(Т+АТ)2В . (11)

Если теперь допустить, что исходный непрерывный объект (1) содержит неопределенности как в матрице состояния, так и в матрице управления, так что он принимает вид

хЦ) = (А + АА) хЦ) + (В + АВ)и^); х(0); у(/) = Сх(/), (12)

при этом интервал дискретности также является неопределенным, то модельное представление (10) ДОУ характеризуется матричными неопределенностями АА, , АВ,, первая из которых имеет вид (11), а вторая определяется соотношением

АВй = (В + АВ)АТАТ + (В + АВ)АТ + (В + АВ)АТ А +

+ АА(Т + АТ )2 (В + АВ)

2 . ( ) Таким образом, при решении задачи параметрической инвариантности для случая ДОУ наиболее характерной является ситуация общего вида, когда неопределенность

модельного представления содержится как в матрице состояния, так и в матрице управления.

Как и в случае непрерывного объекта с неопределенностями и в матрице состояния, и в матрице управления, конструктивным способом сведения задачи с неопределенностями в двух матрицах к задаче с неопределенностью только в матрице состояния является введение буферной системы на входе дискретного объекта. В качестве буферной может быть принят элемент задержки на один интервал дискретности, характеризующийся нулевой матрицей состояния и единичными матрицами входа и выхода, в результате чего задача сводится к синтезу управления расширенным дискретным объектом с неопределенностью в матричных компонентах модельного представления, задаваемого в виде

~(к +1) = + ЛЛD )~(к) + ВС1и (к), у(к) = CD~(к),

й ~ \ T Г ~ + Л~ \Аё +ЛАё

где расширенный вектор х = к хъ I , Ad + ЛAd =

Ч

0

(14)

(Вй +ЛВй )СЬ

АЬ

Аё =

Аё 0

ВСъ Аъ

ЛАй =

"М*

0

ЛВС 0

\ 0 "

= Чз

_ Въ _

; С = \CD 0]; Аъ, Въ и Съ -

матрицы состояния, входа и выхода буферной системы, соответственно.

Задача обеспечения абсолютной параметрической инвариантности выхода проектируемой дискретной системы с одновременным наделением ее желаемыми динамическими показателями в переходном и установившемся режимах решается с помощью закона управления

~(к) = ^ (к) - Ка ~ (к), (15)

объединение которого с объектом (14) формирует дискретную систему

~(к +1) = ~~(к) + &Е(к) + ЛАй~(к); у(к) = Сё~(к), (16)

где матрицы и G имеют вид

= - ВёКё, & = . (17) Проблему параметрической инвариантности выхода системы у(/), а, следовательно, и ошибки е(/), т.е. инвариантности к неопределенности ЛАа задания матрицы состояния исходного дискретного объекта, можно записать в расширенной форме

у(и Е(г), Р, ЛАй * 0) = у(и *(0, Р, ЛАй = 0). (18)

Условие параметрической инвариантности, записанное в форме (18), будем именовать условием абсолютной параметрической инвариантности (АПИ).

Декомпозируем матрицу ЛАа на минимальное число матричных компонентов,

каждый из которых характеризуется единичным рангом, так что проведенная декомпозиция удовлетворяет соотношению

Р

ЛАё = £ ЛА^ & тапкЛЛ] = Н . (19)

j=1

С использованием выражения (19) член ЛАах(к) в (16) для случая матричной неопределенности общего вида можно представить в форме

р = аг§шт

Р

АЛйх(к) =

[АЛ11 АЛМ ■■■ АЛ1_

+

[АЛ21 АЛ22 к ЛЛ2

+ ••• +

[ЛЛ~1 ЛЛ~2 к АЛ__]

~1(к) ~2(к )

__(к )

Х1(к ) Х2(к )

х~(к)

х1(к) Х2(к )

.1] |_х_(к)_

Представления цепочку соотношений (20) в компактной мультипликативной мат-рично-векторной форме. Для этого на левых сомножителях аддитивных векторно-матричных компонентов (20) построим матрицу Р размерности (_ х р) в форме В = гап{Рр, р = 1, р}, (21)

где Рр = еа1\рр = 5р, / = 1, п}, в которой 5 р1 - символ Кронекера; и введем в рассмотрение р -мерный вектор параметрического воздействия £(к)

С(к) = еа^р (к), р = 1, р} , (22)

где компоненты £ р (к) задаются соотношениями

Ср (к) = [ АЛ

Ч 2

АЛ

Рп

Х1(к)

х2(к ) х~(к )

= (АЛ) рх(к),

(23)

здесь (АЛ)р - р -я строка матрицы АЛ . Следует заметить, что число р членов разложения в выражении (20) существенным образом зависит от базиса представления матрицы состояния объекта (16), в силу чего оно удовлетворяет неравенству 1 < р < п , а если в (19) снять условие минимизации по р, то максимальное значение р может достигать ве-

_2

личины п . Объединение (22) и (23) позволяет представить матрично-векторный компонент АЛр х(к) в форме

Л_(к) = ^ТВрСр (к) = ВС(к) . (24)

р=1

Использование (24) позволяет представить описание системы (16) в форме

_ (к +1) = Ра _ (к) + Се (к) + ВС(к); у(к) = С а _ (к), (25)

не содержащей матричных неопределенностей, но характеризующейся дополнительным внешним «параметрическим» воздействием ¿¡¡(к), которое может осуществлять нежелательное управление выходом у(к), а, следовательно, и ошибкой е(к).

Форма модельного представления (25) системы (16) позволяет поставленную задачу обеспечения параметрической инвариантности сформулировать как задачу обеспечения сигнальной инвариантности, которая принимает вид

0

0

y(k, Fd, g(k),Z(k) * 0) = y(k, Fd, g(k),Z(k) - 0) . (26)

В терминах Z -преобразований и передаточных функций (матриц) выражение (26) записывается как

7(z, g(z),Z(z) * 0) = Фyg (z)g(z) + Фyz (z)Z(z) = Ф yg (z)g(z), (27)

где g(5) - Z-преобразование задающего воздействия g( t), Z(s) - Z-преобразование «параметрического» воздействия Z(t), Фyg (z) - передаточная функция (матрица) отношения «задающее воздействие - выход системы», Фyz(z) - передаточная функция

(матрица) отношения «параметрическое» воздействие - выход системы».

Очевидно, что равенство (27) при Z(z) ^ 0 выполняется, когда

ф yz( z) = 0. (28)

Соотношение (28), по существу, представляет собой «сигнальный» аналог абсолютной инвариантности выхода (ошибки) к неопределенностям задания матрицы состояния исходного объекта, которое выполняется при любых реализациях внешнего задающего воздействия g(k ) .

Выясним, какими алгебраическими свойствами должны обладать матричные компоненты модельного представления системы (25), при наличии которых выполняется соотношение (28). Для этих целей сформулируем следующее утверждение. Утверждение 1. Чтобы система (21) обладала параметрической инвариантностью в смысле условия (26), достаточно, чтобы

1) столбцы Dj матрицы D были бы собственными векторами матрицы Fd ;

2) столбцы Dj принадлежали ядру матрицы Cd, т.е. чтобы выполнялось соотношение CdDj = 0. □ (29)

Доказательство. Если Dj является собственным вектором матрицы Fd, соответствующим ее собственному значению X j, то становится [3] справедливой запись

FdD = XjDj. (30)

Использование свойства матричной функции f ((*)) от матрицы (*)сохранять геометрический спектр собственных векторов исходной матрицы (*) и иметь в качестве элементов алгебраического спектра собственных значений компоненты f (X j) [3] делает справедливым соотношение

f (Fd)Dj = f (Xj )Dj. (31)

В решаемой задаче матричной функцией от матрицы Fd является резолвента

f (Fd ) = (zI - Fd ) 1, входящая мультипликативным компонентом в выражение для передаточной функции Фyz . (z), так что для нее можно записать

Ф^ (z) = Cd (zI - Fd )-1 Dj = Cd (z-X j )-1 Dj = (z-Xj )-lCdD]. (32)

Подстановка в соотношение (32) условия (29) приводит к выполнению соотношений (27), (28). ■

2. Синтез обобщенного модального управления

Рассмотрим вначале случай [4], когда матрица управления Bd является матрицей полного ранга ( rankB = ~ , n - размерность вектора состояния ~ (k) ДОУ). Тогда зада-

ча параметрической инвариантности может быть решена с помощью матрицы обратных связей K в форме K = BD_1(ADM -M~.)M-1, где M = row{, i = 1, Л = diag{ki, i = 1,Л}. В этом случае задавая в качестве столбцов матрицы M столбцы матрицы D, можно обеспечить в системе желаемую структуру собственных векторов. Матрица K является решением системы уравнений Сильвестра

Мл - A dM = - BdH, (33)

K = HM. (34)

В случае, когда rankB < n , уравнение (33) распадается на 2 уравнения:

Dлd - AdD = — BdHD, (35)

M л- AdM = -BdH, (36)

причем условием разрешимости уравнения (35) относительно матрицы Hd является выполнение включения [5] столбца Dj (хjI - Ad)Dj е ImBd. Уравнение (36) при заданной наблюдаемой паре ((, H) решается относительно матрицы M . Матрица обратных связей K в этом случае находится как

K = [HD H\D M]-1. (37)

В соответствии со сказанным предложим алгоритм обобщенного модального управления, обеспечивающий абсолютную параметрическую инвариантность выхода проектируемой дискретной системы с одновременным наделением ее желаемыми динамическими показателями в переходном и установившемся режимах.

Алгоритм решения задачи обобщенного модального управления (ОМУ)

1. Сформировать желаемую структуру a{/~d }= {хi; i = 1,собственных значений матрицы F состояния системы (16), сформировать желаемую структуру {si : Fdbii = Xibii, i = 1, собственных векторов той же матрицы.

2. Сформировать (Ad, Bd, Cd ) матричные компоненты объекта управления вида (14) с управляемой парой (~d, Bd) и наблюдаемой парой (Ad, Cd).

3. Сформировать диагональную матрицу Л. = diag{хi;i = 1,n} размерности x ~) состояния модальной модели, являющуюся носителем желаемой структуры мод матрицы состояния синтезируемой системы с тем, чтобы выполнением соотношения а{Л}=a{/~d }= {хi; i = 1,Л} доставить проектируемой системе желаемые динамические свойства в переходном и установившемся режимах.

4. Сформировать матрицу M подобия матриц Л и Fd на спектре желаемых собственных векторов матрицы FD в форме

M = rowfai = , i = 1П}. (3 8)

5. Решить матричное уравнение Сильвестра (33) или систему уравнений Смльвестра (35), (36) (в зависимости от величины ранга матрицы Bd ) при заданных матрицах

Л, Ad, Bd и MM относительно матрицы H в классе наблюдаемых пар матриц (Л, H).

6. Вычислить матрицу K отрицательной обратной связи по вектору ~ (k) состояния ОУ (14) с помощью соотношения (34), так чтобы она удовлетворяла требованию

Kd = arg^n & y(g(k),Fd, AAd * o)= y(g(k), Fd, AAd - o)}, (39)

где п, пг - соответственно набор достигаемых динамических показателей и требуемых показателей, Я - отношение порядка типа «больше-меньше».

7. Сформировать матрицу Кзакона ОМУ в форме (15) с целью обеспечения требуемых свойств отношения вход-выход проектируемой системы, обязательным из которых является свойство равенства выхода у(к) входу g(к) в установившемся режиме при неподвижном состоянии системы с помощью соотношения

К^ = аЦад = Сй (¿7 - Рё)-1 = 7^ = ^ (I - ~)-1 Бё ]"1. (40)

8. Провести исследование динамических свойств системы вида (16), спроектированной методами обобщенного модального управления, средствами программной оболочки МаАаЬ на предмет достижения требуемых динамических и алгебраических свойств.

Заключение

Для случая дискретного описания исходного непрерывного объекта с неопределенностями матричных компонентов модельного управления показано, что дискретное описание всегда содержит неопределенности как в матрице состояния, так и в матрице управления. Как следствие, для решения задачи обеспечения абсолютной параметрической инвариантности применительно к дискретным системам рекомендовано осуществление процедуры их расширения. Сформулированы алгебраические условия абсолютной параметрической инвариантности. Предложен алгоритм синтеза обобщенного модального управления дискретным объектом, доставляющий проектируемой системе желаемые динамические свойства в переходном и установившемся режимах с одновременным обеспечением параметрической инвариантности выхода относительно неопределенностей модельного представления исходного ДОУ.

Литература

1. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.

2. Изерман Р. Цифровые системы управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1991.

4. Ушаков А. В. Обобщенное модальное управление. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т.43. № 3. С. 8-16.

5. Слита О. В., Ушаков А. В. Алгебраические проблемы параметрической инвариантности: контроль принадлежности подпространств характеристической матрицы объекта образу его матрицы управления. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2004. Выпуск 14. Информационные технологии, вычислительные и управляющие системы / Под ред. проф. В.Н. Васильева. С. 41-45.