ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ ВЫХОДА СИСТЕМЫ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

3

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 62-50

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ 8-ИНВАРИАНТНОСТИ ВЫХОДА СИСТЕМЫ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С.А. Александрова, А.А. Мусаев, О.В. Слита, А.В. Ушаков

Ставится задача обеспечения параметрической е -инвариантности выхода непрерывной системы при неопределенности матрицы состояния исходного объекта. Задача решается для случая матрицы состояния объекта, заданной в сопровождающей форме, для которой оказываются невыполнимыми условия достижения абсолютной параметрической инвариантности. Результаты иллюстрируются примером.

Ключевые слова: неопределенность задания матрицы, сопровождающая форма, параметрическая е -инвариантность, собственные значения и векторы.

Введение

Современные методы анализа и синтеза динамических систем позволяют решать задачи управления ими в условиях системных неопределенностей задания модели объекта [1-5]. Одной из постановочных версий управления в условиях неопределенности является задача обеспечения инвариантности выхода системы к неопределенности параметров модели исходного объекта [4, 5] или параметрической инвариантности.

В работе приводятся алгебраические условия достижимости абсолютной параметрической инвариантности [2, 4, 5] и делается переход к ситуации, когда полученные алгебраические условия оказываются невыполнимыми, что явилось мотивацией к постановке задачи обеспечения е -инвариантности выхода системы с заданной оценкой величины е .

Алгебраические условия обеспечения абсолютной параметрической инвариантности

выхода системы

Рассматривается непрерывный объект управления (ОУ)

х (0 = (А + ДА)х(?) + Ви(?) , Х(0| (=0 = *(0), У (?) = Сх(0 , (1)

где х е Я", и е Яг, у е Ят; х, и, у - векторы состояния, управления и выхода

А е Я"'", В е Я"хг, С е Ятх", А, В, С - матрицы состояния, управления и выхода, при этом (А, В) и

(А, С) образуют соответственно управляемую и наблюдаемую пары; ДА е Я"'" - неопределенность задания матрицы состояния.

Закон управления (ЗУ) объектом (1) формируется в виде

и(0 = К ^ (/) - Кх(0, (2)

где g (?)- задающее воздействие, матрица К с использованием метода модального управления [6] находится с помощью системы уравнений

МЛ-АМ = -ВИ , (3)

К = НМ1,

в которых наблюдаемая пара матриц (Л,Н) модальной модели задает желаемые динамические свойства

системы (путем назначения структуры собственных чисел диагональной матрицы Л). Следует отметить, что если известны матрицы А, В, Л, Н , то уравнение (3) решается относительно матрицы М , а если известны А,В, Л, М , то уравнение (3) решается относительно матрицы Н в форме

Н = (ВТВ)-1 ВТ (АМ - МЛ).

Замкнутая система, образованная ОУ (1) и ЗУ (2), записывается как

х(/) = Гх(0 + Gg(0 + ДГх(/); х(0); (4)

У (0 = Сх(/);

Г = А - ВК , G = ВК, ДГ = ДА .

ЗУ (2) должен обеспечивать желаемые показатели качества замкнутой системы при наличии в исходном объекте параметрической неопределенности, т.е. параметрическую инвариантность ее выхода. Для целей дальнейших исследований представим сигнальный компонент ДГх(?) в декомпозированной форме:

AFx(t) = AAx(t) =

1" "*(t)" "0"

0 [[ AA, ... Mn] + 1

0 л о. 0

[[ AA, ... AA,]

x(t)

x2(t) X (t)

[[

П1 AAn2

AA 1

nn J

Xi(t)

x2(t)

Xn (t)

= t) .

(5)

Вектор параметрического воздействия t) сформирован на правых мультипликативных компонентах элементов разложения ДFx(t) в форме (5) в силу представления

" х^)"

Л (t) = col

Л j =[AA.i AAj 2 ... AAjn ]

x2(t)

Xn (t)

= (AA) jx(t) = hTx(t)

(6)

где (AA)j - j -ая строка матрицы AA . На левых сомножителях слагаемых этого выражения сформируем матрицу параметрического воздействия D = row |dj = [0(_1)х1 ;1;0(n_j)x1 ]; j = 1,nJ . С использованием (6) запишем уравнение (4) системы в виде

4(t) = Fx(t) + Gg(t) + Dn(t); y(t) = Cx(t) . (7)

Представление (7) системы (4) позволяет переформулировать задачу обеспечения абсолютной параметрической инвариантности j(t, F, g(t), AA Ф 0) = j(t, F, g(t),AA = 0) как задачу обеспечения сигнальной инвариантности [4, 7]

y(t, F, g(t), ^(t) Ф 0) = y(t, F, g(t), n(t) - 0) . (8)

Запишем выражение (8) в терминах преобразований Лапласа и передаточных функций (матриц)

Y(s, g(s), n(s) Ф 0) = Ф yg (s)g(s) +Ф(s)n(s) = Ф yg (s)g(s),

(9)

где g (s) - Лапласов образ задающего воздействия g (t); n(s) - Лапласов образ «параметрического» воздействия л(( ); Ф yg (s) - передаточная функция (матрица) отношения «задающее воздействие-выход системы»; Фул (s) - передаточная функция (матрица) отношения «параметрическое» воздействие-выход системы». Очевидно, что равенство (9) при n(s) Ф 0 выполняется, когда

Ф УЛ (s) = 0. (10)

Соотношение (10) представляет собой «сигнальный» аналог инвариантности выхода (ошибки) к неопределенностям задания матрицы состояния исходного объекта, которое выполняется при любых реализациях внешнего задающего воздействия g (t). Приведем утверждение, одно из положений которого базируется на структуре собственных векторов [8] матрицы состояния проектируемой системы.

Утверждение 1. [3, 5]. Для того чтобы система (4) обладала абсолютной параметрической инвариантностью выхода к неопределенности задания матрицы исходного объекта или чтобы система (10) обладала сигнальной инвариантностью выхода относительно внешнего «параметрического» воздействия n(t) в смысле условий (8), (9), т.е. чтобы передаточная функция (матрица) «параметрический» вход п -выход системы y » Фул (s) была бы нулевой и выполнялось равенство (10),

Фyn (s) = C(si _ F)_1 D = row {фynj = C(si _ F)_1 Dj; j = ~p;1 < p < nJ = 0, достаточно, чтобы

1. столбцы Dj матрицы D были собственными векторами матрицы F ;

2. столбцы Dj принадлежали ядру матрицы C , т.е. чтобы выполнялось соотношение CDj = 0.

Проблема параметрической е -инвариантности

Проблема параметрической е -инвариантности возникает в случае, когда невозможно достижение абсолютной параметрической инвариантности, т.е. когда не выполняется какое-либо из условий утверждения 1. Проиллюстрируем эту ситуацию [9] на примере объекта управления, заданного в сопровождающем управляемом базисе

[ 0 1 0 . 0 " [ 0"

0 0 1 . 0 0

Л = , В =

0 0 0 . 1 0

_-а0 -а1 -а2 . • -ап-1 _ к _

С = [1 0 0 ... 0]

(11)

[ 0 0 0 . 0 "

0 0 0 0 0

АЛ = =

0 0 0 0 0

Аа0 Аа; Аа2 . • Аап-1 _ 1

В этом случае любые системные неопределенности АЛ возмущают только последнюю строчку матрицы состояния, и

• [ Аа0 Аа1 Аа2 ... Аап-1 ],

откуда для матрицы Б получаем представление в виде матрицы-столбца

Б = [0 0 ••• 0 1]. (12)

В силу канонической сопровождающей формы задания матрицы Л и вида матрицы В (11) ЗУ (2) сохраняет каноническую сопровождающую форму матрицы состояния Р системы [9], которая имеет собственные вектора 5,, формируемые по схеме Вандермонда:

5, = [1 Ъ . К1 ]т; ( = Ш). (13)

Как видно из структуры (13) собственных векторов, матрица-столбец Б (12) не совпадает ни с одним из собственных векторов Р . Таким образом, при представлении матрицы состояния в форме (11) первое условие утверждения 1 выполнено не будет. Следовательно, абсолютная параметрическая инвариантность выхода для случая матрицы состояния, заданной в сопровождающей форме, недостижима. В этом случае следует перейти к обеспечению е - инвариантности выхода проектируемой системы.

Оценка е величины параметрической е -инвариантности

Задачу формирования оценки е величины параметрической е -инвариантности решим в два этапа.

Этап 1. Модификация представления собственных векторов, построенных по схеме Вандермонда; им придается вид

\-1 /„2\-1

5, =

г1 ... ((г1 )1 1];(,=1П).

Этап 2. Представление матрицы-столбца Б (12) в виде проекции на собственный вектор 51 в форме а5[ = Б, в которой коэффициент а ищется с помощью алгоритма Грама [10] из условия

(51, Б) = 5Т Б = 1

а=

((„51) 5Т51 1+(х-1 )2 +...+(х-(п-1>)2'

Определим оценку е на основе нормы невязки представления матрицы-столбца Б его проекцией Б(^) = а5; на вектор 51 в форме

е^) ^Цб-Б^Ц/ЦБ|)-100%.

Пример

В качестве ОУ рассмотрим электропривод, исполнительный двигатель которого обладает механической характеристикой, содержащей восходящий участок [11]. Представление ОУ в виде (1) характери-

зуется матрицами Л + [АЛ ] =

0 1 0 [3,5; 0,5]

с медианной составляющей А =

0 1

0 -1,5

и интервальной

[АЛ] =

В = [0 1]т , С = [1 0].

[0 0 " 0 [-2; 2]

Зададим требования к переходному процессу в виде его длительности /пп = 2,4 с и величины перерегулирования ст = 0 % в системе, в которую войдет объект. Синтезируем закон модального управле-

ния для номинального ОУ на основе биномиальной модальной модели, в которой Х[ = Х 2 = -2. Тогда

0" 4 .

Результаты моделирования, представленные кривыми ошибки воспроизведения задающего воздействия g^) = t при медианном и двух угловых реализациях параметров ОУ (е(1), ~ё^) - значения ошибки е^), соответствующие угловым значениям интервальной матрицы состояния), показывают (рисунок, а), что выход системы не обладает абсолютной параметрической инвариантностью, а параметрическая е -инвариантность характеризуется заметной величиной е.

Синтезируем закон модального управления, задавая значения Хь Х1 = -10 , Х1 = -50 , Х1 = -100 .

Результаты моделирования представлены на рисунке, б (Х1 = -10 ), рисунке, в (Х1 = -50) и рисунке, г (Х1 = -100 ), каждый из которых получен при медианных и двух угловых реализациях параметров исходного ОУ. Ни в одном из случаев не достигается абсолютная параметрическая инвариантность, но наблюдается заметное уменьшение величины е параметрической инвариантности по мере уменьшения величины е невязки аппроксимации вектора Б собственным вектором, формируемым по схеме Ван-дермонда (таблица).

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

0 123456789 /, с 0 123456789 /, с

в г

Рисунок. Ошибка по выходу для номинальной и угловых версий системы, спроектированной с помощью модального управления: Х1 = Х 2 = -2 (а); Х1 = -10; Х 2 = -2 (б); Х1 = -50; Х 2 = -2 (в);

Х1 = -100; Х2 = -2 (г) Заключение

Показано, что для случая, когда матрица состояния исходного объекта задана в таком базисе, в котором недостижимо первое условие обеспечения абсолютной параметрической инвариантности, задача инвариантности выхода относительно неопределенности задания матрицы состояния объекта может быть решена в форме достижения параметрической е -инвариантности с заданной е .

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14. B37.21.0406 «Разработка многофункционального малогабаритного мультиротацион-ного летательного аппарата».

К = [5,25 5,875], F =

0 1

-4 -4

К „ = 6,25, О =

Матрица состояния спроектированной системы (медианная составляющая) Собственный вектор Величина е невязки представления матрицы-столбца D Матрица управления спроектированной системы Величина е параметрической инвариантности по ошибке

X1,2 - -2 F " 0 11 -4 -4 J "-0,5" 1 е = 50% G = "0" 4 е = 50%

Xj =-10 X 2 =-2 F = " 0 1 " -20 -12 "-0,1" 1 е = 10% G = " 0 " 20 е = 16%

Xj = -50 X 2 =-2 F = 0 1 1 -100 -52_ -0,02 1 е = 5% G = 0 120 е = 3,85%

Xj =-100 X 2 =-2 F = 0 1 -200 -102 "-0,01" 1 е = 1% G = 0 200 е = 2%

Таблица. Показатели параметрически е -инвариантных систем Литература

1. Буков В.Н., Бронников А.М. Условия инвариантности выхода линейных систем // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 2. - С. 23-35.

2. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. - СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. - 232 с.

3. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. - London: Springer-Verlag, 1993. - 406 p.

4. Слита О.В., Ушаков А.В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008 - № 4. - С. 24-32.

5. Слита О.В., Ушаков А.В. Достаточные алгебраические условия параметрической инвариантности выхода линейной стационарной системы в первом приближении // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2010. - № 6. - С. 16-22.

6. Слита О.В., Ушаков А.В. Модальное управление: два способа реализации концепции подобия // Ме-хатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 9. - С. 7-13.

7. Дударенко Н.А., Полякова М.В., Ушаков А.В. Алгебраическая организация условий обобщенной син-хронизируемости многоагрегатных динамических объектов // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - № 2 (66). - С. 30-36.

8. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Структура собственных векторов матриц состояния многоканальных систем как вырождающий фактор // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 5 (81). - С. 52-58.

9. Слита О.В., Ушаков А.В. Модельное представление объекта управления в задаче параметрической инвариантности// Изв. вузов. Приборостроение. - 2006. - Т. 49. - № 1. - С. 14-20.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1973. - 575 с.

11. Ковчин С. А., Сабинин Ю.А. Теория электропривода. - СПб: Энергоатомиздат, 1994. - 496 с.

Александрова Софья Александровна - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]

Мусаев Андрей Александрович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]

Слита Ольга Валерьевна - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, [email protected]

Ушаков Анатолий Владимирович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, [email protected]