CC BY
17
Для (р(х,у) - потенциала фильтрационного течения имеем следующую задачу в прямоугольнике II = {-I < х < 1,0 < у < #}.
Ду> = 0, (х,у) е П
Ч>'у{х-> 0) = 0; <р'х{±1,у) = 0;
<р(х, Н) = 0; <р{2ра, у) = и0у,
0 < у < /г, р = 0, ±1,..., ±п.
Здесь 2а - расстояние между струями, Н - высота зернистого слоя. Газовый факел моделируется разрезом в комплексной плоскости.
С помощью преобразований
^ /' Л
г — С I —. ■■ =, ш = вп 2
У у/(1 — ¿2)(1 — ТП2£2)
задача сводится к задаче Келдыша-Седова в комплексной полуплоскости 1т > 0 для комплексного потенциала скорости фильтрации Ф(г). Получены расчетные формулы для скорости фильтрации газа их и иу, обеспечивающие высокую точность поставленной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Буевич Ю.А., Колесникова H.A., Минаев Г.А. Плоские задачи газораспределения в зернистом слое / Ин-т прикладной математики АН СССР. М., 1979. Препринт Л* 129.
2. Ахиезер А.И. Элементы теории эллиптических функций. М., 1970.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
(с) В.В. Скоморохов
Пусть сотр[Кп] - множество всех непустых компактов пространства Кп; В [и, г] -замкнутый шар пространства Кп с центром в точке и и радиусом г > 0; /?[гг,0] = {гг}; /г[-, •] - расстояние по Хаусдорфу между множествами, содержащимися в Мп. Пусть и С 1п. Обозначим II замыкание множества [/; IIе - замкнутую е -окрестность множества и(е > 0), и0 = 11.
Обозначим через Л'([0,и;] х Мп х [0,оо)) множество всех функций г] : (—оо, оо) х Кп х[0,оо) -» -» [0, оо) , обладающих следующими свойствами: при каждых х € и £ [0, оо) функция измерима и и;-периодична; при почти всех £ £ 6 ( —ос,оо) и всех 6 £ [0,оо) функция ^(¿,-,(5) непрерывна; для каждого ограниченного множества и С и.'1 и каждого <5 € [0, оо) существует такая суммируемая функция тц^ • [0, с^] -> [0,оо), что при почти всех Ь € [0, си] и всех х € V и т 6 [0, <5] выполняется неравенство /;(<, х, 6) ^ ^ ти,б{Ь)\ при почти всех £ 6 [0,ш] и всех х € € 1йп справедливы равенства 7/(^, 2, (5) =
= ф,х,0) = 0.
Рассмотрим дифференциальное включенние
¿е(-оо,оо), (1)
где отображение F : ( —оо,оо) х К'1 —> сотр[К'1] и; -периодично по первому аргументу и удовлетворяет условиям Каратеодори на [0,о;] х Кп.
Будем говорить, что и -периодическое по первому аргументу многозначное отображение Е : (—оо, оо) х Мп х [0,оо) —»• сотр[1Кп] аппрок-
симирует отображение .Р : (—оо, оо) х -» —>■ сотр[Мп], если найдется такая функция £(•,•,•) € /С([0,о;] х Еп х [0,оо)), что при почти всех £ £ ( —оо, оо) и всех (я, 6) € Кп х [0,оо) выполняется оценка
Л[^(*,ж),.Р(<,я,£)] ^ №,х,6).
Пару (-Р(-, •, •)> £('» 0) будем называть и-
периодической аппроксимацией отображения ^(-,-) или просто си-периодической аппроксимацией.
Пусть *){->',-) € #([0,И х К" х [0,оо)).
Рассмотрим при каждом 6 > 0 дифференциаль-
ное включение ¿(0 6
£ £ (— оо, оо). (2)
Дифференциальное включение (2) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение (1) с си-периодической правой частью и а;-периодическими внутренними и внешними возмущениями.
В докладе изучаются условия сходимости множеств и: -периодических решений включения (2) к
множеству решений включения (1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений // Матем. сб. 2002. Т. 193. №2. С. 35-52.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант К9 01-01-00140).
ОБ ОДНОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ МНОГОЗНАЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
© Л.И. Ткач
В работе [1] изложена теория возмущений выпуклозначных отображений, вызванных многозначным отображением типа Гаммерштейна, не обладающих свойством замкнутости значений. Здесь эта теория применяется для исследования дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.
Пусть Яп - пространство п -мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сотр[Яп] - множество непустых компактов пространства Яп. Обозначим Ьп[а, Ь] - пространство функций х : [а, Ь] -> —» Пп с суммируемыми по Лебегу компонентами и нормой ||®||^»[а,6] = /аЬ|ж(5)|с/5, П(Ьп[а,6])
- множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению (определение выпуклости по переключению см. в [1]) подмножеств пространства Ьп[а,Ь\. Сп[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, 6] -> Лп с нормой ||а;||с"[а,ь] = тах{|х(£)| : £ € [о, Ь}}.
Рассмотрим следующую задачу
i(/)eF(í,I(í)), te[a,b}^, х(а) = х0, (1)
где отображение F : [а, Ь) х Яп —> сотр[#п] удовлетворяет следующим условиям:
1. существует такая функция / € Ь1[п,Ь\, что для любых х, у в Яп и для почти всех £ € [а, Ь] вы-
полняется неравенство
h[F{t,x),F(t,x)] < l(t)\х - у\,
где h[-, •] - расстояние по Хаусдорфу в пространстве Я71;
2. для любого х G Яп отображение F(-,x) измеримо;
3. функция / : [а, 6] -» [0,оо), определенная равенством f(t) = sup{|z| : 2 G F(t,o)}, суммируема.
Под решением задачи (1) понимаем абсолютно непрерывную функцию х : [a,í>] —> Rn, удовлетворяющую при почти всех t 6 [а, 6] включению в задаче (1) и соотношению х(а) = xq. Согласно следствию 2 (см.[1]), верна следующая
Теорема. Пусть q G Сп[а,&] - абсолютно непрерывная функция и пусть существует такая суммируеммая функция ас : [а, 6] -> [0, оо), что для почти всех t Е [а, Ь] выполняется неравенство p{q(t), F(t,q(t))) < K(t), где р(-,-) - расстояние от точки до множества в пространстве Rn.
Тогда для любого е > 0 существует решение х задачи (1), обладающее свойствами: |x(f) —
— <l(t)I < ПРИ любом t е [а, 6], |х(£) —
— q(t)| < е + n(t) + l(t)££(t) при почти всех t € € [а, 6],
