Об одном использовании теории возмущений многозначных операторов для исследования дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ное включение

£ е (—со, сю). (2)

Дифференциальное включение (2) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение (1) с а;-периодической правой частью и а;-периодическими внутренними и внешними возмущениями.

В докладе изучаются условия сходимости множеств о;-периодических решений включения (2) к

множеству решений включения (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Скоморохов В. В. Аппроксимация дифференциальных включений // Матем. сб. 2002. Т. 193. №2. С. 35-52.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 01-01-00140).

ОБ ОДНОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ МНОГОЗНАЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© Л.И. Ткач

В работе [1] изложена теория возмущений выпуклозначных отображений, вызванных многозначным отображением типа Гаммерштейна, не обладающих свойством замкнутости значений. Здесь эта теория применяется для исследования дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.

Пусть Яп - пространство п -мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сошр[Лп] - множество непустых компактов пространства Яп. Обозначим Ьп[а,Ь] - пространство функций х : [а,/;] -> -» Яп с суммируемыми по Лебегу компонентами и нормой ||х||^п[а {,| = /аЬ|х(в)|Й5, П(£,”[а,&])

- множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению (определение выпуклости по переключению см. в [1]) подмножеств пространства Ьп[а, 6]. Сп[а,Ь\ - пространство непрерывных функций х : [а, Ь} -» Яп с нормой ||х||с"[а,ь] = тах{|ж(<)| : £ € [о, 6]}.

Рассмотрим следующую задачу

£(£) £ F(£,x(£)), £ е [а, Ь\] х(а) = х0, (1)

где отображение F : [а, Ь] х Яп сотр[Лп] удовлетворяет следующим условиям:

1. существует такая функция / 6 ^1 [о., 6], что для любых х, у € Яп и для почти всех £ 6 [а, 6] вы-

полняется неравенство

*)> ^(*1х)] < К*)\х - у1

где /г[-, •] - расстояние по Хаусдорфу в пространстве Яп;

2. для любого х € Яп отображение F(■,x) измеримо;

3. функция / : [а, Ь] -> [0, оо), определенная равенством /(£) = Бир{|2| : 2 6 ^(£,о)}, суммируема.

Под решением задачи (1) понимаем абсолютно непрерывную функцию х : [а, 6] —> 7?п, удовлетворяющую при почти всех £ 6 [а, Ь] включению в задаче (1) и соотношению х(а) = хо. Согласно следствию 2 (см.[1]), верна следующая

Теорема. Пусть д € Сп [а, 6] - абсолютно непрерывная функция и пусть существует такая суммируеммая функция к : [а, 6] -> [0,оо), что для почти всех £ 6 [а, 6] выполняется неравенство р(д(0> д(£))) < к(£), где /?(•,•) - расстояние от

точки до множества в пространстве Яп.

Тогда для любого г > 0 существует решение х задачи (1), обладающее свойствами: |ж(£) —

— <7(01 5: £е(0 при любом £ £ [д, Ь], |а:(£) -

— д(£)| < £ + /с(£) -I- /(£)£<.(£) при почти всех £ 6 € [а, 6],

условий рассмотрения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функциональнодифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. №6. С. 3-32.

2. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. №3. С. 16-26.

£с(£) = £(ехр( [ /(в)с?А)-|-

а

+ [ ехр( [ 1(з))с1т)+

3 а т

+ |<7(а) - £о|ехр( / 1(з)(1з) +

«/ а

+ / к(т) ехр( / 1(8)ёз)(1т.

«/а «/г

Заметим, что из полученной теоремы вытекают классические результаты работы [2] с точностью до е, что является следствием более общих