Об интегральном модуле непрерывности многозначного отображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ МОДУЛЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

© А.И. Булгаков, А.И. Коробко

Пусть X - линейное нормированное пространство с нормой || ■ ||х- Обозначим Вх[х,е] - открытый шар пространства X с центром в точке х £ X и радиусом е > 0, если t — 0, то Вх[х, 0] = х, hx [■; •] - расстояние по Хаусдорфу в пространстве X соответствующих множеств; сотр[Х] - множество всех непустых компактов пространства X. Пусть U С X. Тогда U - замыкание множества {7; ||{У|| = sup |Н|х, Щи) - множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств множества

u£U__________

¡7; Ue = U В [и, б], если е > 0, и {7° = U. Пусть В'1 - n-мерное пространство вектор-столбцов

и££7

с нормой | • |. Обозначим Сп[а,Ь] пространство непрерывных функций х : [а, Ь] Rn с нормой IM|c”[a,6] =max{|a:(i)| : t £ [а,6]} .

Пусть многозначное отображение Д : [а, 6] хС"[а, 6] —> сотр[Дп] обладает свойством: при каждом х £ Сп[а,Ь] отображение Д(-,х) измеримо (см.[1]); для каждого ограниченного множества В С С Сп[а,Ь] существует суммируемая функция Дв : [а, Ь] -» [0,оо), что для всех х G Сп[а,Ь] и почти всех t £ [a,b] выполняется оценка 11Д(i,ж)|| < Pe(t).

Будем говорить, что многозначное отображение Д : [а, Ь] х Сп[а, b] —> сотр[Дп] интегрально непрерывно (непрерывно в среднем) в точке х £ Сп[а,Ь], если для любой последовательности Xi € Cn[a,b\, г = 1,2,..., сходящейся кхв пространстве Сп[а,Ь\ при i —)• оо, выполняется равенство

ь

h[A(t,Xi)-, A(t,x)]dt = 0,

если отображение Д : [а, 6] х Сп[а,Ъ\ —> comp[i?"] интегрально непрерывно (непрерывно в среднем) в каждой точке х £ Сп[а,Ъ\, то будем говорить, что оно интегрально непрерывно на пространстве Сп[а,Ь]. Далее, будем считать, что отображение Д : [а, Ь] х Cn[a,b] -> comp[i?n] интегрально непрерывно на пространстве Сп[а,Ь\.

Обозначим через Р(Сп[а, Ъ] х [0, оо)) множество всех непрерывных функций и : Сп[а, Ь] х [0, оо) —» —» [0,оо), для которых для любого х £ Сп [а, Ь] справедливо соотношение uj(x, 0) = 0 и любых (х,6) £ Сп[а,Ь] х (0, оо) выполняется неравенство cj(x,6) > 0.

Лемма 1. Пусть X - нормированное пространство, U С X выпуклое множество. Тогда для любых X\,X2 £ U, г\,гъ > 0 справедливо неравенство

hx[Bx[xi,r1]nU;Bx[x2,r2]nU] < Цц -*2||х + |г1 -г2|.

Пусть U — непустое выпуклое замкнутое множество пространства Сп[а,Ъ\ и пусть ui(-, ■) £ £ Р(Сп[а,Ь] х [0, оо)). Рассмотрим многозначное отображение Mij(oj) : U х [0, оо) —> 0,(U), определенное равенством _________________

Ми(ы)(х,5) = ВСп[а>Ь][а:,а;(а;, J)] Л U. (1)

Лемма 2. Пусть U - непустое выпуклое замкнутое множество пространства Сп[а,Ь] и пусть и>(-,-) £ Р(Сп[а,Ь\ х [0, оо]). Тогда многозначное отображение Ми(ш) ■ U х [0, оо) —> fl(U), заданное соотношением (1), непрерывно по Хаусдорфу.

Определим отображение фи{ш) '■ U х [0,оо) -> [0, оо) соотношением

ь

4>и{и)(х,6)= sup [ h[A(t,x);A(t,y)]dt, (2)

y£Mu(u>)(x,S) J a

где отображение Мц(ш)(х,8) : U х [0,оо) —>• fl(U) задано равенством (1).

Значение функции </?[/(о;)(-) ■) в точке (х,6) £ U х [0, оо) назовем интегральным модулем непрерывности отображения А : [а,Ь] х Сп[а, b] -> comp[i?n] в точке х £ Сп[а,Ь] на множестве

lim

г—>00

/

^с/(^)(^5<5), функцию cj(-, •) - функцией радиуса интегрального модуля непрерывности или про-сто интегральным радиусом непрерывности, а саму функцию ipu(uj)(-, •) - интегральной функцией модуля непрерывности или просто интегральным модулем непрерывности отображения А : [а, 6] х Сп[а, Ь] —> сотр[Дп].

В теории аппроксимаций многозначных отображений важную роль играют топологические свойства различных модулей непрерывности многозначных отображений (см.[2, 3]). Для введённого интегрального модуля непрерывности справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть U - непустое выпуклое компактное множество пространства Сп[а, Ь] и пусть ш(-,-) £ Р(Сп[а,Ь\ х [0, оо]). Тогда отображение ipu{u) : U х [0, оо) —» [0, оо), заданное равенством (2), непрерывно на U х [0, оо) и для любого х £ U выполняется соотношение

lim tpu(z,6) = 0. (3)

z—>x

5-+ 0+0

Пусть U - непустое замкнутое множество пространства Сп[а,Ь\. Будем говорить, что функция ??(•, •) € Р(Сп[а, 6] х [0, оо)) равномерно на множестве U С Сп[а, Ь] оценивает сверху относительно интегрального радиуса непрерывности uj(-, ■) £ Р(Сп[а, Ъ] х [0, оо)) интегральный модуль непрерывности отображения А : [а, 6] х Сп[а, 6] —» сотр[Дп], если для любого е > 0 существует такое (5(е) > 0, что при все х £ U и <5 6 [0,<5(е)) выполняется оценка

Vu(u)(x,ö) < г](х,е),

где отображение <pc/(w) : U х [0,оо) —> П({7) определено соотношением (2).

Теорема 2. Пусть U - непустое выпуклое компактное множество пространства Сп[а,Ь] и пусть ш(-, •) £ Р(Сп[а, b] х [0, оо)). Тогда найдется функция Т](-, ■) £ Р(Сп[а, Ъ\ х [0, оо)), которая равномерно на множестве U С Сп[а,Ь] оценивает сверху относительно интегрального радиуса непрерывности cj(-, ■) £ Р(Сп[а,Ь] х [0, оо)), интегральный модуль непрерывности отображения А : [а, Ь] х Сп[а, Ъ) -> сотр[Дп].

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

2. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Диф. уравнения. 2000. Т. 36. № 12. С. 1587-1598.

3. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений //Матем. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 35-52.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00324, Министерства образования и науки РФ, грант № Е02-1.0-212, НИР темплана 01.002.2.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ,

ВЫПУКЛЫХ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ

© А.И. Булгаков, А.И. Полянский

Здесь формулируются свойства выпуклых по переключению множеств, принадлежащих пространству суммируемых функций. Отметим высказанное профессором В.М. Тихомировым предложение, что выпуклость по переключению является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве. Выпуклость по переключению неявно используется во многих