Об одной плоской задаче фильтрации газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ

АРГУМЕНТОМ

© Е.А. Пчелинцева

Пусть Rn - п -мерное пространство с нормой |-|; comp[7?Tl] - множество всех непустых компактов пространства Rn. Пусть U С Rn. Обозначим U - замыкание множества U в пространстве Rn, со U -выпуклую оболочку множества U, U£ - е -окрестность множества U, U° = U.

Пусть функция гр : 7?1 \[а, ¿?] -)> Л1 измерима по Борелю и ограничена, а функция р : [а, Ь] -> -> R1 измерима по Лебегу. Далее, пусть отображение F : [а, Ь] х Rn ->■ сошр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Обозначим через К([а,Ь] х [0, оо)) множество всех функций г/ : [а, Ь] х [0, оо) ->• [0,оо), обладающих следующими свойствами : при каждом S Е Е [0, оо) функция ö(-,ö) измерима; для каждого ö Е [0,оо) существует такая суммируемая функция ms : [а, Ь] -> [0,оо), что при почти всех t Е Е [а, Ь] и всех т Е [0, <5] выполняется неравенство rj(t,T) ^ m<s(i); при почти всех t Е [а, fr] справедливы равенства lim riit.S) = 0 и n(t,0) = 0.

5—>0+0 »vi/

Рассмотрим дифференциальные включения

x(t) Е F{t,x\p(t)])t t Е [a,ö],

= ^(0>если££ [а, ö], (1)

x(t.) Е со F(t,x\p(t)]), t Е [а, 6],

z(0 = ^(Oi если£ £ [а, Ь]. (2)

Под решением включения (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, b] —» Rn

при почти всех £ Е [а, Ь] , удовлетворяющую (1).

Пусть 7/(-,-) Е /Г([а,6] х [0,оо)). Для каждого 6 Е [0, оо) рассмотрим дифференциальное включение

¿(0 Е (^.ф^)])4^, * Е [а, 6],

= <Ж)> если £ £ [а, 6]. (3)

Каждое решение включения (3) при фиксированном 6 > 0 будем называть 6 -решением (приближенным решением) включения (1).

Пусть V С Сп[а,Ь]. Обозначим через НС0(У), ЯЧ(,)(Ю множества решений включения (2), (3), принадлежащих множеству V, соответственно.

В докладе утверждается, что найдется такая функция Е К([а,Ь] х [0,оо)), что для лю-

бого ограниченного, замкнутого множества V С С Сп[а,Ь\ справедливо равенство

Нсо(У) = [}Н,т{У<),

<5

где Н71(й)(У6) - замыкание в пространстве

Сп[а, Ь] множества Нп^{У6), V6 - д-

окрестность множества V в пространстве Сп[а,Ь\.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И. Асимптотическое представление множеств 5 -решений дифференциального включения // Матем. заметки. 1999. Т.65. №5. С. 775-778.

ОБ ОДНОЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА

(с) А.Ю. Сазонов

В работе предлагается математическая модель ная модель может быть использована при прогазораспределения в окрестности системы плос- ектировании аппаратов с колосниковыми газо-

ких струй в низком зернистом слое. Предложен- распределительными устройствами.

Для <р(х,у) - потенциала фильтрационного течения имеем следующую задачу в прямоугольнике П = {-/ < я < /,0 < у < #}.

Ду? = 0, {х,у) е П

*Ру(х10) = 0; 1р'х(±1,у) = 0;

¥>(х, Я) = 0; (р{2ра, у) = и0у,

0 < у < /?., р = 0, ±1,..., ±п.

Здесь 2а - расстояние между струями, Н - высота зернистого слоя. Газовый факел моделируется разрезом в комплексной плоскости.

С помощью преобразований

IV

п /' Л

г = С . ......=, и) = ъп г

У у/(1 - г2){1 - тЧ2)

задача сводится к задаче Келдыша-Седова в комплексной полуплоскости Ішги > 0 для комплексного потенциала скорости фильтрации Ф(г). Получены расчетные формулы для скорости фильтрации газа их и иу, обеспечивающие высокую точность поставленной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буевич Ю.А., Колесникова H.A., Минаев Г.А. Плоские задачи газораспределения в зернистом слое / Ин-т прикладной математики АН СССР. М., 1979. Препринт №129.

2. Ахиезер А.И. Элементы теории эллиптических функций. М., 1970.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

© В.В. Скоморохов

Пусть сотр[Кп] - множество всех непустых компактов пространства 1КП; В[и,г} - замкнутый шар пространства Кп с центром в точке и и радиусом г > 0; В[и, 0] = {и}; /г[-, •] - расстояние по Хаусдорфу между множествами, содержащимися в К'1. Пусть и С К". Обозначим С/ замыкание множества £/; IIе - замкнутую е -окрестность множества 11{е > 0), £7° = и.

Обозначим через Л'([0,и;] х Кп х [0, оо)) множество всех функций г} : (—оо, оо) х х [0, оо) ->•

[0,оо), обладающих следующими свойствами: при каждых х £ К" и 6 £ [0, оо) функция измерима и и;-периодична; при почти всех £ € 6 ( —оо,оо) и всех <5 6 [0, оо) функция 77(£,-,5) непрерывна; для каждого ограниченного множества и С и каждого <5 £ [0, оо) существует такая суммируемая функция тц^ '■ [0,с^] -> [0,оо), что при почти всех £ £ [0,и>] и всех х £ 17 и т £ [0, <5] выполняется неравенство ^(¿,.г,<5) ^ ^ тпи,,5(£); ПРИ почти всех £ € [0,и;] и всех х £ £ К” справедливы равенства Нт^г-^г^ ??(£, 2,6) = = т?(*,а:,0) = 0.

Рассмотрим дифференциальное включенние

¿(£) £ F(£,:r(£)), ££(-оо,оо), (1)

где отображение F : ( —оо,оо) х М'1 —> сотр[К'1] и -периодично по первому аргументу и удовлетворяет условиям Каратеодори на [0,и;] х Кп.

Будем говорить, что и -периодическое по первому аргументу многозначное отображение F : (—оо,оо) х Еп х [0,оо) -*• сотр[Кп] аппрок-

симирует отображение ^ : (—оо, оо) х 1п -) -> сотр[Мп], если найдется такая функция £(•,•,•) £ ЛГ([0,о;] х Мп х [0, оо)), что при почти всех £ € (—оо, оо) и всех (х,<5) £ Кп х [0,оо) выполняется оценка

/г[Г(£,ж),.Р(£,я,<5)] ^£(£,х,5).

Пару (]?(•, •, •), £(•, •, •)) будем называть и-периодической аппроксимацией отображения или просто а;-периодической аппроксимацией.

Пусть 77о(*, *, *), ^(-, *, *) £ ^([0,Н х Мп х [0, оо)). Рассмотрим при каждом <5 > 0 дифференциаль-