О сходимости множества решений двухточечной краевой задачи, построенной по крайним точкам аппроксимирующего отображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

В работе 1930 г. "Исследование понятия интеграла" [1, статья № 16] вводится понятие дифференциальной эквивалентности и дается метод определения интеграла, базирующийся на этом понятии. Эти идеи получили развитие в теории интеграла Хенстока, в которой понятия вариационной эквивалентности и вариационного интеграла фактически обобщают соответствующие понятия из теории Колмогорова. На этом пути можно получить вариационные варианты определения интегралов Данжуа-Перрона, Данжуа-Хинчина и многих других обобщений интеграла Лебега.

Другой круг идей Колмогорова касается анализа принципиальных трудностей, возникающих при попытке объединить общей концепцией различные типы интегралов. Эти мысли Колмогорова получили подтверждение в серии работ, посвященных взаимосвязи различных неабсолютных интегралов. Так, многие применяемые в классическом гармоническом анализе интегралы связаны с отношением порядка на числовой прямой, в то время как другие интегралы, в том числе А-интеграл Колмогорова, инвариантны относительно сохраняющих меру преобразований аргумента. Эти два типа интегралов принципиально не поддаются объединению в единую схему и могут давать различные значения при интегрировании одной и той же функции. Важной задачей при этом оказывается описание подпространств интегрируемых функций, для которых какие-либо два из рассматриваемых интегралов не противоречат друг другу.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-

00428.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и Механика. М.: Наука, 1985.

О СХОДИМОСТИ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ПОСТРОЕННОЙ ПО КРАЙНИМ ТОЧКАМ АППРОКСИМИРУЮЩЕГО ОТОБРАЖЕНИЯ

© В.В. Скоморохов (Тамбов)

Пусть сотр[Е"] - множество всех непустых компактов пространства К”; В[и,г] - замкнутый шар пространства Е" с центром в точке и и радиусом г > 0, f?[u,0] = {и}; h[-, •] - расстояние по Хаусдорфу между множествами, содержащимися в К". Пусть U С Еп. Обозначим U замыкание множества U\U£ - замкнутую е-окрестность множества U{e > 0), ¡7° = 17; со U - выпуклая оболочка множества 17; ext U - замыкание множества всех крайних точек множества U. Обозначим Сп[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] -» Е" с нормой ||х||с = max{|a:(i)| : t £ [а, Ь]}.

Обозначим через K([a,b] х I" х [0,оо)) - класс функций г) : [a,b] х!"х [0,оо) —> [0, оо), обладающих следующими свойствами: при каждых (х, ¿) £ I" х [0, оо) функция г}( ■, х, 8) измерима; при почти всех t £ [а, Ь] и всех S £ [0, оо) функция r)(t, ■, 6) непрерывна; для каждых U £ сотр[Е"] и <5 6 [0, оо) существует такая суммируемая функция тц,б '■ [а> Ц —> [0, оо), что при почти всех t £ [а, Ь] и всех х € U и т 6 [0, 5] выполняется неравенство r](t,x,T) ^ mu,s{t); ПРИ почти всех t G [а, Ь] и каждого х 6 Е” выполняются равенства = Ы^^О) = 0.

Пусть Р([а,Ь\ хГх [0, оо)) - класс функций г) : [а, 6] хЕ"х [0, оо) -> [0,оо), обладающих свойствами из класса функций K([a,b\ х Е” х [0, оо)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U £ сотр[Е"] и 6 £ (0, оо) найдутся такие числа r(U,S) > 0 и /3(Е/, S) ^ 0, что при почти всех t £ [а, b] всех х £ U число r(U, 5) удовлетворяет неравенству r(U, 5) ^ r)(t, х,6), а для числа /3(и,д) при почти всех t £ [а, 6] всех х £ U и т £ [0,5] имеет место оценка rj(t,x,T) ^ /3(U,6).

Рассмотрим дифференциальное включение

x(t) € F(t,x(t)), t £ [а, Ь], (1)

где отображение F : [a, b] х !R" —> comp[En] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Под решением включения (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, Ъ\ -» —> К", удовлетворяющую включению (1) при почти всех t £ [а, £>].

Будем говорить, что многозначное отображение F : [a, b] х Ж" х [0,оо) —»• comp[Mn] аппроксимирует отображение F( •, ■), если найдется такая функция £( •, ■, •) £ К([а,Ь\ х К" х [0, оо)), что при почти всех t £ [а, Ь] и всех (х, 5) £ Е” х [0, оо) выполняется оценка

h[F(t,x),F(t,x,S)\ ^ £(t,x,6).

Пару (F(-, •, •)>?(’> ' > ')) будем называть аппроксимацией отображения F( ■, •), а если при почти всех t £ [а, 6] и всех (x,S) £ Е" х [0, оо) выполняется включение F(t,x) С F(t,x,S), то аппроксимацией вложением. Скажем, что отображение F( ■, •, •) удовлетворяет условиям Каратеодори, если при каждом S £ [0, оо) отображение F( •, •, S) : [а, Ь] х Е" —> comp[En] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Пусть 77о( -, ■, •) £ P([a,b] х Е" х [0,оо)) и rj(-, •) £ K([a,b] х 1" х [0,оо)). Определим

отображения Ф : [a, b] X Е™ х [0, оо) —> comp[En], : [а, 6] х К" х [0, оо) —>• сотр[Е”] равенствами

${t,x,6) = ext(coF(t,x,S)), ФЩГ1^,х,6) = {$(t,B[x,rio(t,x,6)],d))ri(t'x's).

Для каждого фиксированного S > 0 рассмотрим включение

x{t) £ ФЧ0Ч(*,ж(*),<5), t £ [а,Ь]. (2)

Рассмотрим дифференциальное включение

x(t) £ соF(t,x(t)), t £ [а, 6]. (3)

Пусть V С (^"[а, 6]. Обозначим через Е = {ж( •) £ Сп[а,Ъ\ : х{а) £ А, х{Ъ) £ В}, где А, В £ £ сотр[Еп]. Обозначим через HVo(,5)4(6){VП-Е), HC0(VГ)Е) множества всех решений включений (2), (3), принадлежащих множеству V П Е, соответственно.

Теорема. Пусть V - замкнутое множество пространства Сп[а,Ь]. Далее, пусть пара (F( ‘! '! ' )> £( ’ 1 '! ')) аппроксимирует отображение F( ■, ■) вложением и F( ■, •, •) удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любых функций %(•>■,•)£ -Р([а, Ь] х I" х [0, оо)), г)( •,•,•) € £ if ([а, Ь] х Еп х [0,оо)) справедливо равенство

Hco(VDE) = П HVo(6)n(S)iVS П Е)>

¿>0

где Hri0^S)v^')(Vd П Е) - замыкание в пространстве Сп[а,Ъ\ множества ЯГ)0(5)7)(й)(У5 П Е).

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 01-01-00140 и Минобразования РФ, грант № Е02-1.0-212.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений // Матем. сб. 2002. Т. 193. №2. С. 35-52.