Асимптотические свойства множества -решений дифференциального включения с импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].

Малютина Елена Валерьевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].

Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, ассистент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].

УДК 517.93

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА 5-РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ

ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

© А. И. Булгаков, В. В. Скоморохов, О. В. Филиппова

Ключевые слова: дифференциальные включения с импульсными воздействиями; аппроксимирующее отображение; радиус внешних возмущений; модуль непрерывности отображения; 6 -решение.

В работе дано определение приближенного решения (6 -решения) дифференциального включения с импульсными воздействиями, установлены ассимптотические свойства множеств решений аппроксимирующих дифференциальных включений с внешними возмущениями. Найдено необходимое и достаточное условие устойчивости аппроксимации дифференциальных включений относительно внешних возмущений.

Пусть М” — п-мерное векторное пространство с нормой \ \, comp[M”] — множество всех непустых компактов пространства М”.

Пусть X — нормированное пространство с нормой || Ух .Обозначим Bx [x,e] — открытый шар пространства X с центром в точке x Е X и радиусом е > 0. Пусть U С X. Тогда U — замыкание множества U; co U — выпуклая оболочка множества U; h+ [U\; U] = sup px[x,U] — полуотклонение по Хаусдорфу множества Ui С X от множе-

x£Ui

ства U в пространстве X; hx[Ui; U] = max{h+[Ui; U]; h+[U; Ui]} — расстояние no Xay-

Ui U .

Пусть U Е [a,b] — измеримое по Лебегу множество. Обозначим L”(U) пространство

суммируемых по Лебегу функций x : U ^ М” с нормой ||x||£n(^) = J |x(s)|ds.

и

Пусть tk Е [a,b] (a < ti < ... < tm < b) — конечный набор точек. Обозначим че-

рез С [a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a,ti], (ti,t2], ..., (tm,b] ограниченных функций x : [a,b] ^ М”, имеющих пределы справа в точках tk, к = 1, 2,...,m, с нормой ||x|| ёпаац =sup{\x(t)\ : t Е [a,b]}.

Рассмотрим задачу

x(t) Е F(t,x(t)), t Е [a,b], (1)

A(x(tk)) = Ik(x(tk)), к = 1,...,m, (2)

x(a) = x0, (3)

отображение F : [a, b] х М” ^ comp[M”] удовлетворяет условиям Каратеодори. Отображения Ik : М” ^ М”, к = 1,2,..., т, непрерывны, A(x(tk)) = x(tk + 0) — x(tk), к = 1, 2,..., т. _

Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию x Е С [a,b], для которой существует такое q Е L” [a, b], что при почти всех t Е [a,b] выполняется включение q(t) Е F(t,x(t)) и при всех t Е [a,b] имеет место представление

t m

x(t) = xo + q(s)ds + Y,X(ik,b](t)^(x(tk)), (4)

a k=

где A(x(tk)), к = 1, ...m удовлетворяют равенствам (2).

Обозначим через К([a, b] х М” х [0, ж)) множество всех функций п: [a, b] х М” х [0, то) ^ ^ [0, ж), обладающих следующими свойствами:

1) при каждых (x,6) Е М” х [0, ж) функция n(',x,6) измерима;

2) при почти всех t Е [a, b] и всех 6 Е [0, ж) функция n(t, ',6) непрерывна;

3) для каждых U Е comp^”] и 6 Е [0, ж) существует такая суммируемая функция mu,s: [a,b] ^ [0, ж), что при почти всех t Е [a, b] и всех x Е U и т Е [0,6] выполняется неравенство n(t,x,T) ^ mu,s(t);

4) при почти всех t Е [a, b] и каждого x Е М” выполняются равенства lim z—x o n(t, z, 6)

= 0, n(t, x, 0) = 0.

Заменим в определении множества K([a, b] хМ” х [0, ж)) условие 3 на более сильное требование, в котором функция mu,s(') есть константа. Соответствующее этому требованию подмножество множества K([a,b] х М” х [0, ж)) обозначим через Iе([a,b] х М” х [0, ж)).

P([a, b] х М” х [0, ж)) — множество всех функций п'• [a, b] х М” х [0, ж) ^ [0, ж), обла-

K([a, b] х М” х [0, ж)),

творяющих следующим условиям: для каждых U Е comp^”] и 6 Е (0, ж) найдутся такие числа r(U, 6) > 0 и в(U, 6) ^ 0, что при почти всех t Е [a, b] всех x Е U число r(U, 6) удовлетворяет неравенству r(U,6) ^ n(t,x, 6), а для числа @(U, 6) при почти всех t Е [a,b] и всех x Е U и т Е [0,6] имеет место оценка n(t,x,T) ^ в(U,6).

Пусть ф(-, •, ) Е К ([a, b] х М” х [0, ж)). Определим функцию ф(ф): [a, b] х М” х [0, ж) ^ ^ [0, ж) равенством

<p(rf)(t,x,6) = sup h[F (t,x),F(t,y)}. (5)

y£B[x,^(t,x,S)\

Значения функции ^>(ф)(-, •, ■) в точке (t,x,6) будем называть модулем непрерывности отображения F: [a,b] х М” ^ comp^”] в точке (t, x) по переменной x в шаре В[x,^(t,x, 6)], функцию ф(-, •, •) — функцией радиуса модуля непрерывности или просто радиусом непрерывности, а саму функцию ^>(ф)(-, •, ■) — функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения F: [a, b] х М” ^ comp^”] относительно радиуса непрерывности ф(-, •, ■) [1-7].

Будем говорить, что многозначное отображение F: [a, b] х М” х [0, ж) ^ comp^”] аппроксимирует, отображение F: [a,b] х М” ^ comp^”], если найдется такая функция £(■, •, •) Е К([a,b] х М” х [0, ж)), что при почти всех t Е [a, b] и всех (x,6) Е М” х [0, ж) выполняется оценка

h[F(t,x),F(t,x,6)\ ^ ((t,x,6). (6)

Отображение F(-, •, ■) будем называть аппроксимирующим отображение F(•, •) или просто аппроксимирующим. Функция £(■, •, ■) Е К([a,b] х М” х [0, ж)) в неравенстве (6) определяет степень близости значения F(t,x, 6) в точке (t,x) Е [a,b] х М” к значению F(t,x)

для каждого фиксированного 6 Е [0, ж). Эту функцию £(■, ■, ■) будем называть степенью аппроксимации отображения Г: [а, Ь] х М™ ^ сотр[Ми] отобщжением Г: [а, Ь] х Мга х х [0, ж) ^ сотр[М™] или просто степенью аппроксимации.

Пару (С(^, ■, ■),£(■, ■, ■)) будем нжывать аппроксимацией отображения Г(■, ■) или просто аппроксимацией. Пару (С(^, ■, ■),£(■, ■, ■)) будем называть аппроксимацией вложением, если при почти всех г Е [а, Ь] и всех (х, 6) Е М™ х [0, ж) выполняется включение Г(г, х) С С(г, х, 6).

Значения аппроксимирующего отображения С(, ■, ■) могут вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать некоторой функцией ^(■, ■, ■) Е К ([а, Ь] х Мп х [0, ж)).

В связи с этим рассмотрим отображение Qn: [а,Ь] х Мп х [0, ж) ^ сотр[Мп], определенное равенством

Qn (г,х,6) = С(1,х,6)п^ё\ (7)

где функция п](■, ■, ■) Е К ([а, Ь] х Мп х [0, ж)) в каждой точке (г, х) Е [а, Ь] х Мп при каждом фиксированном 6 Е [0, ж) определяет погрешность вычисления значений аппроксимирующего отображения С(, ■, ■). Далее, функцию п(■, ■, ■) будем называть радиусом внешних возмущений аппроксимирующего отображения С(, ■, ■) или просто радиусом внешних возмущений.

Пусть п^, ■, ■) Е К([а,Ь] х Мп х [0, ж)) и пусть пара (С(■, ■, ■),£(■, ■, ■)) аппроксимирует отображение Г(■, ■). Рассмотрим при каждом фиксированном 6 Е [0, ж) дифференциальное включение

х(г) е Qv(г,х(г),6), г е [а,Ь], (8)

где отображение Qn: [а,Ь] х Мп х [0, ж) ^ сотр[Мп] задано равенством (7). Дифференциальное включение (8) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями.

Каждое решение х: [а, Ь] ^ М™ дифференциального включения (8) с импульсными воз-

6

решением) включения (1).

Пусть отображение Г: [а, Ь] х Мп ^ сотр[Мп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Рассмотрим задачу Коши

х(г) е со г(г,х(г)), г е [а,Ь], (9)

А(х(ги)) = 1к(х(Ьк)), к = 1,...,т, (10)

х(а) = х0, (11)

где со Г(■,х(-)) - выпуклая оболочка множества Г(■,х(-)), отображения 1к : М™ ^ М™, к = 1, 2,..., т, непрерывны, А(х(Ьк)) = х(Ьк + 0) — х(Ьк), к = 1,2,..., т.

Обозначим через Н(V), Исо(У) множества решений задач (1)-(3) и (9)-(11), соответственно, принадлежащих множеству V Е С [а, Ь], а через Н^)(у) — множество всех 6-решений задачи (9)—(11) при заданном 6 > 0, принадлежащих множеству V Е С [а,Ь].

Замыкания этих множеств будем рассматривать в пространстве С [а, Ь], через V6 будем

обозначать замкнутую 6 -окрестность множества V в пространстве С [а, Ь].

Пусть пара (С(■, ■, ■),£(■, ■, ■)) аппроксимирует отображение Г со 1оп[а, Ь] х Мга ^ сотр[Мга] вложением.

Теорема1. Пусть V — ограниченное замкнутое множество пространства СР [а, Ь], и пусть ф(■, ■, ■) Е Р([а, Ь]хМгах[0, ж)). Далее, пусть пара (С(■, ■, ■),£(■, ■, ■)) аппроксимиру-

(■, ■)

п(■, ■, ■) Е К([а,Ь] х Мга х [0, ж)), для которой существует такое число е > 0, что при почти всех г Е [а, Ь] всех х Е (и(V))£ и 6 Е [0, ж) выполняется оценка

<р(-ф)(t,x^) < п(t,x,6),

и справедливо равенство

Исо(У) = [) Иф)(У*), (12)

*>0

где Иц(ь)(у*) — замыкание в пространстве Ср[а,Ь] множества Ип*)(У*), У* — замкнутая в пространстве СР[а,Ь] 5-окрестность множества У.

С

Пусть У —ограниченное замкнутое множество пространства С [а,Ь]. Будем говорить, что аппроксимация дифференциального включения (1) устойчива на, ограниченном замкнутом множестве У С СР [а,Ь] относительно внешних возмущений из класса, & ^ К ([а, Ь] х М” х [0, то)), если для любой функции п(',',') Є & выполняется равенство

ИУ) = П Ип(*)(У*). (13)

*>0

Теорема 2. Пусть У — ограниченное замкнутое множество пространства СР [а, Ь]. Далее, пусть пара, (Р(-, •, ■),£(■, •, ■)) аппроксимирует отображение Г(-, •) вложением. Тогда для того, чтобы для любой функции п(',',') Є К([а,Ь] х М” х [0, то)) аппроксимация дифференциального включения была, устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для задачи (1)-(3) на множестве У выполнялось равенство

H (V) = Hco(V).

ЛИТЕРАТУРА

1. Hajek О. Discontinuous differential equations. I, II. // Journ. of Dif. Equat. 1979. V. 32. T. 2. C. 149-185.

2. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

3. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений // Мат. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 35-52.

4. Толстоногое А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск : Наука, 1986.

5. Булгаков А.И. Интеграьные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Мат. сб. 1992. Т. 183. № 10. С. 63-86.

6. Завалищип С. Т., С'есекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

7. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. С. 480.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-01-97503, № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы».

6

solutions to differential inclusion with impulses. In the work there is given the definition of the 6

approximating differential inclusions with external disturbance are derived. The necessary and sufficient condition of stability of approximations of differential inclusions respect to external disturbances is found.

Key words: differential inclusion with impulses; approximating mapping; radius of external

6

Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].

Скоморохов Виктор Викторович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, ассистент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].

УДК 517.988.6

О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА И НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ

© Е. О. Бурлаков

Ключевые слова: операторы Volterra; непрерывная зависимость решений уравнений от параметров; локально липщицевы операторы.

Для уравнения Volterra в произвольном функциональном пространстве получены условия существования единственного глобального или предельно продолженного решения и его непрерывной зависимости от параметров уравнения.

Пусть Y = Y([a,b], М”) —банахово пространство функций, определенных на [a,b], со значениями в М” и нормой ||-||у; L^^a,^,^^”) —пространство измеримых существенно ограниченных функций y : [a,b] ^ М” с нормой ||у||ьте = vraisupte[a,b\ \y(t)\.

Определение 1. Оператор Ф : Y ^ Y называется вольтерровым [1], если для всякого £ Е (0,b—a) и любых yi,y2 Е Y из того, что yi(t) = y2(t) на [a, a+£], следует ^yi)(t) = (ФУ2Ш на [a,a+£].

Всюду ниже предполагается, что в пространстве Y выполнено V -условие [2]: для произвольных y Е Y, {yi} С Y, таких что ||yi — y||y ^ 0, и любого £ Е (0, b—a), если yi(t) = 0 на [a, a+£] при всех i = 1,2,..., то y(t) = 0 на [a, a+£].

Для каждого £ Е (0,b—a) обозначим Y = Y([a, a+£], М”) линейное пространство сужений y^ на [a, a+£] функций y Е Y. Зададим норму в этом пространстве равенством l|y£IIy[aa+£\ = inf IMIy, где нижняя грань вычисляется по всевозможным продолжениям y Е Y функции y£ .Тогда, в силу V-условия, пространство Y становится банаховым. Положим, Yb-a = Y.

Возьмем любое £ Е (0,b—a). Пусть отображение Р£ : Y^ ^ Y произвольным образом доопределяет каждый y£ Е Y£ на весь отрезок [a, b]. Далее зададим отображение E£ : Y ^ Y^, (E%y)(t) = y(t), t Е [a, a+£]. При £ = b — a эти отображения Pb-a,Eb-a : Y ^ Y считаем тождественными. Для вольтеррова оператора Ф : Y ^ Y определим оператор Ф^ : Y,£ ^ Y,£, Ф£y£ = E£ФР£y£.