Аппроксимация функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями и внутренними и внешними возмущениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911.5

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ И ВНУТРЕННИМИ И ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

© А. И. Булгаков, В. В. Скоморохов, О. В. Филиппова

Ключевые слова: дифференциальные включения с импульсными воздействиями; аппроксимирующее отображение; радиус внутренних и внешних возмущений; модуль непрерывности отображения; 6—решение.

Данная работа продолжает исследование дифференциальных включений с импульсными воздействиями, начатое в работе [1]. Здесь исследованы дифференциальные включения с внешними и внутренними возмущениями и импульсными воздействиями.

В работе дано определение приближенного решения ( 6—решения) дифференциального включения с импульсными воздействиями, установлены важные свойства аппроксимирующих дифференциальных включений с внутренними и внешними возмущениями. Сформулированы свойства, при которых "малые" изменения правой части дифференциального включения (1) и множества V, на котором ищется решение задачи Коши, "незначительно" изменяют множество решений задачи (1)-(3).

Пусть М™ — п-мерное векторное пространство с нормой | \, comp[Rra] — множество всех непустых компактов пространства М™.

Пусть X —нормированное пространство с нормой || ||х ■ Обозначим Bx[x,e] —открытый шар пространства X с центром в точке x Е X и радиусом е> 0 . Пусть U С X. Тогда U — замыкание множества U; coU — выпуклая оболочка множества U; h+ [Ui; U] = sup px [x,U] — полуотклонение по Хаусдорфу множества Ui С X от множества U в про-

x£Ui

странстве X; hx[Ui; U] = max{h+[Ui; U]; h+[U; Ui]} — расстояние по Хаусдорфу между

Ui U .

Пусть U Е [a, b] - измеримое по Лебегу множество. Обозначим L™(U) пространство

суммируемых по Лебегу функций x : U ^ М™ с нормой ||x||i«(^) = f \x(s)\ds.

и

Пусть tk Е [a,b] (a < ti < ... < tm < b) — конечный набор точек. Обозначим че-

рез С [a, b] множество всех непрерывных на каждом из промежутков [a,ti], (ti,t2], . (tm, b] ограниченных функций x : [a,b] ^ М™, имеющих пределы справа в точках tk, k = 1, 2,m, с нормой ||x^«[a6] =sup{|x(t)| : t Е [a,b]}.

Рассмотрим задачу

x(t) Е F(t,x(t)), t Е [a,b], (1)

A(x(tk)) = Ik(x(tk)), k = 1,...,m, (2)

x(a) = x0, (3)

отображение F : [a, b] x М™ ^ comp[M™] удовлетворяет условиям Каратеодори. Отображения Ik : М™ ^ М™, k = 1, 2,..., ^ ^ ^^^^^ывны, A(x(tk)) = x(tk + 0) — x(tk), k = 1, 2,...,m.

™

Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию x Е С [a,b], для которой существует такое q Е L™[a, b] , что при почти всех t Е [a,b] выполняется включение q(t) Е F(t,x(t)), и при всех t Е [a,b] имеет место представление

t m

x(t) = xo + q(s)ds + Y^ X(ik,b](t)A(x(tk)), (4)

a k=

где A(x(tk)), k = 1,...,m, удовлетворяют равенствам (2).

Обозначим через K([a, b] x М™ x [0, ж)) множество всех функций п: [a, b] x М™ x [0, то) ^ ^ [0, ж), обладающих следующими свойствами:

1) при каждых (x,6) Е М™ x [0, ж) функция n0,x,6) измерима;

2) при почти всех t Е [a, b] и всех 6 Е [0, ж) функция n(t, •,&) непрерывна;

3) для каждых U Е comp^™] и 6 Е [0, ж) существует такая суммируемая функция mu,s: [a,b] ^ [0, ж), что при почти всех t Е [a, b] и всех x Е U и т Е [0,6] выполняется неравенство n(t,x,T) ^ mu,s(t);

4) при почти всех t Е [a, b] и каждого x Е М™ выполняются равенства lim n(t, z, 6) = 0,

Й—0+o

n(t, x, 0) = 0.

Заменим в определении множества K([a, b] xМ™ x [0, ж)) условие 3 на более сильное требование, в котором функция mu,s(•) есть константа. Соответствующее этому требованию подмножество множества K([a,b] x М™ x [0, ж)) обозначим через K([a,b] x М™ x [0, ж)) . P([a, b] x М™ x [0, ж)) — множество всех функций п: [a, b] x М™ x [0, ж) ^ [0, ж), обла-

K([a, b] x М™ x [0, ж)),

творяющих следующим условиям: для каждых U Е comp^™] и 6 Е (0, ж) найдутся такие числа r(U,6) > 0 и e(U,6) ^ 0, что при почти всех t Е [a, b], всех x Е U число r(U,6) удовлетворяет неравенству r(U, 6) ^ n(t, x, 6), а для числа в(U, 6) при почти всех t Е [a, b], всех x Е U и т Е [0, 6] имеет место оценка n(t, x, т) ^ в(U, 6) .

Пусть ф(^, •, ) Е K ([a, b] x М™ x [0, ж)). Определим функцию р(ф): [a, b] x М™ x [0, ж) ^ ^ [0, ж) равенством

<p(rf)(t,x,6) = sup h[F (t,x),F (t,y)}. (5)

y£B[x,^(t,x,S)]

Значения функции p(ф)(•, •, •) в точке (t,x,6) будем называть модулем непрерывности отображения F: [a, b] xМ™^comp^™] в точке (t, x) по переменной x в шаре B[x,^(t,x,6)\, функцию ф(•, •, •) — функцией радиуса модуля непрерывности или просто радиусом непрерывности, а саму функцию р(ф)(^, •, •) — функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения F: [a, b] x М™ ^ comp^™] относительно радиуса непрерывности ф(•, •, •). Далее, для сокращения записи будем коротко писать р(ф)(^, •, •) — модуль непрерывности отображения F(•, •).

Будем говорить, что многозначное отображение F: [a, b] x М™ x [0, ж) ^ comp^™] аппроксимирует, отображение F: [a,b] x М™ ^ comp^™], если найдется такая функция £(•, •, •) Е K([a,b] x М™ x [0, ж)), что при почти всех t Е [a, b] и всех (x,6) Е М™ x [0, ж) выполняется оценка

h[F(t,x),F(t,x,6)] ^ £(t,x,6). (6)

Отображение F(•, •, •) будем называть аппроксимирующим отображение F(•, •) или просто аппроксимирующим. Функция £(•, •, •) Е K([a,b] x М™ x [0, ж)) в неравенстве (6) определяет степень близости значения F(t,x, 6) в точке (t,x) Е [a,b] x М™ к значению F(t,x) для каждого фиксированного 6 Е [0, ж). Эту функцию £(•, •, •) будем называть степенью

аппроксимации отображения F: [a, b] x М™ ^ comp[Wn] отобщжением F: [a, b] x М™ x

x [0, ж) ^ comp^™] или просто степенью аппроксимации.

Пару (Ft, •, •),£(•, •, •)) будем называть аппроксимацией отображения F(•, •) или просто аппроксимацией. Пару (F(•, •, •),£(•, •, •)) будем называть аппроксимацией вложением, если при почти всех t Е [a, b] и всех (x,6) Е М™ x [0, ж) выполняется включение F(t,x) С С F(t, x,6) . ^

Значения аппроксимирующего отображения F(•, •, •) могут вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать некоторой функцией п(•, •, •) Е K([a,b] x М™ x x [0, ж)).

Если функция п(•, •, •) Е K([a,b] x М™ x [0, ж)) в каждой точке (t,x) Е [a,b] x М™ при каждом фиксированном 6 Е [0, ж) определяет погрешность вычисления значений аппроксимирующего отображения F(•, •, •) , то функцию п(•, •, •) будем называть радиусом внешних возмущений аппроксимирующего отображения !?(•, •, •) или просто радиусом внешних возмущений.

Пусть п0( •, •, •) Е К ([a, b] x М™ x [0, ж)) . По функции £( •, •, •) Е K ([a, b] x М™ x [0, ж)) , определим функцию С(п0): [a,b] x М™ x [0, ж) ^ [0, ж) равенством

£(m)(t,x,6)= sup £(t,z,6). (7)

z£B[x,no(t,x,S)]

Лемма 1. Пусть п0( •, •, •) Е K([a, b] x М™ x [0, ж)), а £(•, •, •) Е K([a, b] x М™ x x [0, ж)) . Тогда функция £(п0)( •, •, •), заданная равенством (7), принадлежит множе-K([a, b] x М™ x [0, ж))

Каждое решение x: [a, b] ^ М™ задачи (1)-(3) может вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать некоторой функцией П0( •, •, •) Е К([a,b] x М™ x [0, ж)). В связи с этим рассмотрим отображение F0: [a, b] x М™ x [0, ж) ^ comp^™], определенное равенством

F0(t,x,6) = F(t,B [x,n0(t,x,6)],6), (8)

где функция п0(•, •, •) Е К([a,b] x М™ x [0, ж)) в каждой точке (t,x(t)) Е [a,b] x М™ при каждом фиксированном 6 Е [0, ж) задает погрешность вычисления значения решения x: [a,b] ^ М™ в точке t Е [a,b] дифференциального включения (1), причем эти погрешности могут быть неравномерны относительно фазовой переменной x Е М™. Далее, функцию П0( •, •, •) будем называть радиусом внутренних возмущений аппроксимирующего отображения F( •, •, •) или просто радиусом внутренних возмущений.

Лемма 2. Пусть щ( •, •, •) Е К ([a, b] x М™ x [0, ж)) и пара (F( •, •, • ),£( •, •, •)) аппроксимирует, отображение F(•, •). Тогда для отображения F0 : [a, b] x М™ x [0, ж) ^ ^ comp\Wa], заданного pa,венетвом (8), при почти всех t Е [a, b] и всех (x,6) Е М™ x[0, ж) справедливы соотношения

\\F0(t,x,6)\\ ^ sup \\F(t,z)W + C(n0)(t,x,6), (9)

z£B[x,no(t,x,S)]

h[F(t,x),F0(t,x,6)] ^ £(w)(t,x,6) + <p(n0)(t,x,6), (10)

где функция £(п0)(•, •, •) определена равенством (7), а р(п0)( •, •, •) — модуль непрерывности отображения F(•, •) относительно радиуса, непрерывности п0( •, •, •).

Теорема 1. Пусть щ( •, •, •) Е К ([a, b] x М™ x [0, ж)) и^ара (F( •, •, • ),£( •, •, •)) аппроксимирует, отображение F(•, •). Тогда отображение F0( •, •, •), заданное равенством (8), аппроксимирует отображение F(•, •) со степенью аппроксимации

F( •, •, •) = £(П0)( •, •, • *)+ Р(П0)( •, •, •),

где функция £ (по)(' , ' , ') определена равенством (7), а р(по)( •, •, •) — модуль непрерывности отображения Г(•, •) относительно радиуса, непрерывности по( •, •, • )■

Пусть п0( •, •, •) ^ К ([а, Ь] хМ™ х [0, то)) и п( •, •, •) Е К ([а, Ь] хМ™ х [0, то)). Рассмотрим отображение Яп0п: [а,Ь] х М™ х [0, то) ^ сошр[М™], определенное равенством

Япоп (г,х,5) = (Го(г,х,5))п{1’х’6) ■ (11)

Согласно теореме 1 для отображения Яп0п(•, •, •) при почти всех £ Е [а,Ь] и всех (х, 5) Е М™ х [0, то) имеем

Н[Г(г,х),Япоп(1,х,5)] < £(по)(г,х,5) + <р(по)(г,х,5)+ п(^х,5).

Отметим, что для всех функций по( •, •, •) Е К([а,Ь] х М™ х [0, то)) и п( •, •, •) Е Е К ([а, Ь] х М™ х [0, то)) при почти в сех £ Е [а, Ь] и любых х Е М™ справедливо равенство

Иш Н[Г(г,х),Яп0п(1,х,5)}=0. (12)

6^0+0

Таким образом, получаем, что для заданной аппроксимации (Е( •, •, • ),£( •, •, •)) все отображения ЯПоП: [а,Ь] х М™ х [0, то) ^ сошр[М™], определенные равенством (11) и зависящие от функций п0( •, •, •) Е К ([а, Ь] х М™ х [0, то)) и п( •, •, •) Е К ([а, Ь] х М™ х [0, то)), близки (в смысле равенства (12)) к отображению Г: [а, Ь] х М™ ^ сошр[М™] , определяющему дифференциальное включение (1).

Пусть п0( •, •, •) Е К ([а, Ь] х М™ х [0, то)) и п( •, •, •) Е К ([а, Ь] х М™ х [0, то)) и отображение Г: [а, Ь] х М™ ^ сошр[М™] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Рассмотрим при каждом фиксированном 5 Е [0, то) дифференциальное включение

х(г) Е Яп0п(г,х(г),5), £ Е [а,Ь], (13)

где отображение Яп0п: [а,Ь] х М™ х [0, то) ^ сошр[М™] определенно равенством (11).

Дифференциальное включение (13) будем называть аппроксимирующим дифференци-(1)

чения (13) с импульсными воздействиями (2) и начальным условием (3) при фиксированном 5 > 0 будем называть 5—решением (приближенным решением с точностью до 5 или просто приближенным решением) включения (1). Будем считать, что По( •, •, •) — радиус внутренних возмущений, п( •, •, •) _ радиус внешних возмущений.

Замечание. Отметим, что в каждой точке (£, х, 5) Е [а, Ь] х М™ х [0, то) значение отображения ^о: [а, Ь] х М™ х [0, то) ^ сошр[М™] определяется следующим образом: находится образ шара В[х, щ(1, х, 5)] при отображении ^: [а, Ь] х М™ х [0, то) ^ сошр[М™] . Отображение Яп0п: [а, Ь] хМ™ х [0, то) ^ сошр[М™] определяется через п(£, х, 5)— окрестность каждого значения отображения ^0 : [а, Ь] х М™ х [0, то) ^ сошр[М™] .

Пусть отображение Г: [а, Ь] х М™ ^ сошр[М™] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Рассмотрим задачу Коши

х(1) Е со Г (Ь,х(Ь)), £ Е [а,Ь], (14)

А(х{Ьк)) = 1к(х(гк)), к = 1, ■ ■ ■ ,т, (15)

х(а) = х0, (16)

где со Г(^,х(-)) — выпуклая оболочка множества Г(-,х(-)), отображения 1к : М™ ^ М™,

к = 1,2, ■■■, т, непрерывны, А(х(Ьк)) = х(Ьк + 0) — х(Ьк), к = 1,2,■■■,m■

Обозначим через Н(V), Исо(У) множества решений задач (1)-(3) и (14)—(16), соответственно, принадлежащих множеству V Е С [а,Ь] . Замыкания этих множеств будем рассматривать в пространстве С [а, Ь], через V6 будем обозначать замкнутую 5-окрестность множества V в пространстве С [а, Ь] ■

Пусть V С С™ [а, Ь], по( •, •, •) Е К ([а,Ь] х М™ х [0, то)), п( •, •, •) Е К ([а,Ь] х М™ х х [0, то^^ Обозначим через Нп0(б)п(б)(У) — множество 5— решений дифференциального включения (1) с заданными радиусами внутренних и внешних возмущений (т. е. множество решений задачи (13), (2), (3)), также принадлежащих множеству V■

Справедливы теоремы 2, 3

Теорема 2. Пусть V С СТ[а, Ь] — ограниченное замкнутое множество пространства СТ [а, Ь] ипуст ь ф( •, •, •) Е Р ([а, Ь] х М™ х [0, то)), по( •, •, •) Е К ([а, Ь] х М™ х [0, то)) Далее, пусть (р( •, •, • ),£( •, •, •)) аппроксимирует отображение Г(•, •) . Тогда для любой функции п( •, •, •) Е К([а,Ь] х М™ х [0, то)), для которой существует такое число е > 0, что при почти всех £ Е [а, Ь] всех х Е (и(V))£ и 5 Е [0, то) имеет, место неравенство

£(По)(Ъ х, 5) + р(по)(Ъ х, 5) + <р(ф)(Ь, х, 5) < п(£, х, 5), (17)

где функция £(по)( •, •, •) определена равенством (7), ф( •)(•, •, •) — модуль непрерывности отображения Г(•, •) относительно радиусов непрерывности по( •, •, •) и Ф( •, •, •), выполняется соотношение

Нсо(V) = р| Нт{бМб)^6), (18)

6>0

где НП0(6Ы6)^6)—замыкание в пространстве сГ[а,Ь] множества Нп0(б)п(б)^6), V6 замкнутая в пространстве С [а, Ь] 5 -окрестность множества V■

Если пара (Р( •, •, • ),£( •, •, •)) аппроксимирует отображенпе Г: [а, Ь] хМ™ ^ сошр[М™] вложением, теорему 2 можно уточнить.

Теорема 3. Пусть V С СТ[а, Ь] — ограниченное замкнутое множество пространства сГ[а, Ь], ф( •, •, •) Е Р([а, Ь] х М™ х [0, то))■ Далее, пусть пара (р( •, •, • ),£( •, •, •)) аппроксимирует, отображение Г( •, •) вложением. Тогда для любой функции по (•, •, •) Е Е К ([а, Ь] х М™ х [0, то)) и любой функции п( •, •, •) Е К ([а, Ь] х М™ х [0, то)), для которой существует такое число е > 0, что при почти всех £ Е [а, Ь] и всех (х,5) Е (и(V))£ х х [0, то)

<р(ф)(г,х,5) < п(£,х,5),

справедливо равенство (18)

Замечание. Рассмотренные здесь вопросы обобщают и уточняют результаты работ [1-6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Скоморохов В.В., Филиппова О.В. Асимптотические свойства множества 5— решений функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1039-1043.

2. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений// Матем. сб. Москва, 2002. Т. 193. № 2. С. 35-52.

3. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

4. Толст,опогов А. А., Финогенко И. А. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве// Матем. сб. Москва, 1984. Т. 125. № 2. С. 199-230.

5. Финогенко И. А. Об одном классе дифференциальных уравнений с разрывной правой частью// Известия РАЕН. Сер. МММИУ. 1998. Т. 2. № 4. С. 98-107.

6. Гельман Б. Д., Обуховский В.В. О новых результатах в теории многозначных отображений.

II. Анализ и приложения // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Математический анализ. 1991. Т. 29. С. 107-159.

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011).

Bulgakov A.I., Skomorokhov V.V., Filippova O.V. Approximation of functional-differential inclusion with impulses and with internal and external perturbations. This work continues the study of differential inclusions with impulses started in [1]. Here there are investigated differential inclusions with internal and external perturbations and with impulses. In the article we represent the concept of approximate solution (5—solution) for a differential inclusion with impulses and prove the important properties of approximating differential inclusions with internal and external perturbations. There are also formulated the conditions under which "small" changes of the right-hand side of differential inclusion (1) and of the set V, where the solutions belong, may only "inconsiderably" change the set of all solutions to problem (l)-(3).

Key words: differential inclusions with impulses; approximating map; radius of internal and

5—

УДК 621.391

ТЕНЗОРНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА СОСТОЯНИЯ БЕСПРОВОДНОЙ СЕТИ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ ДЛЯ СИСТЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО МЕДИЦИНСКОГО МОНИТОРИНГА © С. А. Григоренко, С. Л. Казаков, И. И. Пасечников

Ключевые слова: тензорная ортогональная модель информационной сети; тензорная методология информационных сетей; нагруженная информационная сеть.

Рассмотрен подход к описанию процессов информационного взаимодействия объектов распределенной сети системы непрерывного медицинского мониторинга на основе тензорной методологии Г. Крона [1], показан метод оценки эффективности сетевых ячеек на основе вычисления к. п. д. в смысле передачи информации [2].

Система непрерывного медицинского мониторинга пациентов (клиентов), построенная на основе беспроводной сети передачи данных (БСПД), включает в себя три основных части (рис. 1): систему съема информации (ССИ) о состоянии здоровья у пациентов; БСПД; систему анализа мониторинговой информации, - в наипростейшем случае - автоматизированное рабочее место специалиста (АРМС).