CC BY
11
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки
Том 23, № 124
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-738-744 УДК 517.911.5
АППРОКСИМАЦИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
СЕ В. В. Скоморохов
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет» 392000. Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106 Е-таП: uaa@nnii.tstu.ru
Аннотация. В работе изучаются гиперболические дифференциальные включения дробного порядка с импульсными воздействиями. Дано определение приближенного решения (6 -решения) гиперболического дифференциального включения дробного порядка с импульсными воздействиями, установлены асимптотические свойства множеств решений аппроксимирующих дифференциальных включений дробного порядка с внешними возмущениями.
Ключевые слова: гиперболические дифференциальные включения; дробная производная; импульсные воздействия; аппроксимирующее отображение; радиус внешних возмущений; модуль непрерывности отображения; ¿-решение
Введение
Изучению дифференциальных включений дробного порядка посвящены работы многих известных российских и зарубежных математиков [1-3]. Это связано с тем, что дифференциальные включения дробного порядка оказались удобным инструментом в моделировании многих явлений в различных областях науки и техники. Действительно, мы можем найти многочисленное их применение к задачам прикладной математики, физики, экономики, биологии, химической технологии и т. д. Дифференциальные включения с импульсным воздействием стали важны при моделировании процессов и явлений реального времени [4, 5].
Стоит отметить, что процесс моделирования связан с теми или иными погрешностями. Они возникают, прежде всего, в связи с тем, что сама математическая модель описывает процесс с некоторыми допущениями и предположениями. Кроме того, построение самого многозначного отображения, порождающего дифференциальное включение дробного порядка и описывающего модель, связано с той или иной степенью точности.
Поэтому аппроксимация дифференциального включения дробного порядка является актуальной задачей (см., например, [6]).
1. Основные понятия
Пусть М™ - п -мерное векторное пространство с нормой || х)|; 1 ро б ]К"а- множество всех непустых, компактов М" ; к] х ж- расстояние по Хаусдорфу между множествами, содержащимися в пространстве М™. Обозначим Сп)]1, а^Э^) ¿^пространство непрерывных функций и; ]1, ааО]1) Ьаоо К" с нормой и [ ос ]1, ааО]1, Щ -Ь")]1,ааО]1) — пространство суммируемых по Лебегу функций и; 1, аа0]1, Ьаоо М"
а Ь
с нормой и [ [ [ х-^<Ис1х. 00
Будем говорить, что X; ]1, аа0]1, Ьа0М" оо 1 ро з]Ж"а удовлетворяет условиям Ка-ратеодори, если выполняются следующие условия:
1) при каждом и X Ж™ отображение X) % измеримо;
2) при почти всех )£, х-\-Т. 1, ааО 1, отображение Х)£, х, >4- непрерывно;
3) для каждого ограниченного множества V—»Ж™ найдется такая функция ту) ^ >фХ Х1)]!., ааО]1) Ьа^ что при почти всех )£,ж+Х ]1,ааО]1,Ьа и всех и X V выполняется неравенство Х)£,ж, и+ ^ т^)^ ж-|г
Пусть ^ X ]1, аа (1 < ^ < ... <1т < а) - конечный набор точек. Обозначим через С")]1, ааО]1, Ьас\-множество всех непрерывных на каждом из промежутков ]1, ¿гаО]1, Ьа, , ^з^СЗ ^ - - ■ 1 ааО|1; ограниченных функций щ ]1, ааО]1) Ьаоо Е™, имеющих пределы справа в точках к [ 2, 3,. . ., т, г1ю у-\-[ и0 1, с нормой
уе а;
и с-([о,«.н°,Ч) ^ 1X8 ММ^Н!; )£,а;+Х]1,ааО]1,М-
Пусть )г,р-|-Х )1,2аО)1)2а Для /)£, х+Т Ьп)\\, ааО]1, выражение
1^р)}%х+[ Г/%-{)я;т+ - йзвт,
0 1 У+)р+Х0,/0 )х г)у Г^ Р
назовем смешанным левосторонним интегралом Римана-Лиувиллл порядка )т,р-\^ ) И—гамма-функция. Дробная производная Капуто порядка )г,р+определяется выражением
Рассмотрим задачу
О(о'р)и)г,х+! )1,х+Х ]1,ааО]1,Ц )2+
( дН+[ {к)и)гк,х-Н^ к[ 2,3, ...,га, )3+
и)*,1+[ «)1,аН-[ )4+
где а) в) непрерывны и «)1+[ /?)Цг отображение X; ]1, 00 1Р° э ]М"а
удовлетворяет условиям Каратеодори. Отображения {&; М" оо К", к [ 2,3,...,™, непрерывны, ( ж-Н-[ и)Ьк 0 к [ 2,3,...,™.
Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию и X С™)] 1, ааО]1, Ьа^ для которой существует такое д X £")] 1, ааО]1, Ьа^ что при почти всех )£, х+Х ]1, аа0] 1, Ьа выполняется включение д)1,х+Х Р)£, х, х-Нт и при всех )t, х+Х ]1,ааО]1>Ьа имеет место представление
Обозначим через ааО]1, ЬаО®" +Ьмножество всех функций г); ]1,ааО
] 1, ¿аОМ" 0]1) ^ ^ "V обладающих следующими свойствами:
1) при каждых )и7 5+Х 0]17 + функция 5+ измерима;
2) при почти всех )£, х+Х ]1, ааО]1, Ьа и всех ö X ]1, е + функция T])t,x, непрерывна;
3) для каждых U X i ро s]M"a и 8 X ]1, 6 + существует такая суммируемая функция ]1,ааО 1,Ьаоо 1,6 "V что при почти всех )i,x+X ]1,ааО]1,Ьа и всех и X U и
т X ]1, <5а выполняется неравенство rj)t, х, и, т-KJ /¿гудЖ
4) при почти всех )£,х+Х 1, ааО]1, Ьа и каждого и X К" выполняются равенства
1+[ 1.
Je о+о
Обозначим через P)]l, ааО]1, ЬаО®" 0]1> ^ +Ь множество всех функций т/; ]1,ааО ]l,i>aOR™ +оо ]1, 6 обладающих свойствами из класса функций К)] 1, ааО
0]1,6 +V а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U X ipo s]R"a и ö X )1,6 + найдутся такие числа r)U,S-\-> 1 и 1, что
при почти всех ж+Х ]1, ааО]1, Ьа и всех uXU число r)U, удовлетворяет неравенству ff)t,х, а для числа 7)17,£+ при почти всех )£, х+Х ] 1, аа0] 1, Ьа всех uXU и т X ]1, Sa. имеет место оценка ж, u, т+ij 7)f/, ¿+
Пусть P)]l, ааО]1, baQ>M.n 0]1> е +t- Определим функцию <р)ф+, ]1,ааО
]1,ЬаОК" 0]1, ^ +оо ]1, 6 + равенством
Значения функции >+ в точке )£,х, и, будем называть модулем непре-
рывности отображения Р; ] 1,ааО] 1 ■ О00 • ро з]М"а в точке )1,х,и+ по переменной и в шаре В\и, х, и, функцию ф) X ¥ ^ хЗ— функцией радиуса модуля непрерывности или просто радиусом непрерывности, а саму функцию (р)ф-$ххх>$-- функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения Р; ]1,ааО]15^аО®" 00 1 Р° й относительно радиуса непрерывности ф) ^ ^ >+
Будем говорить, что многозначное отображение Р; 1, ааО]15 ЬаО®" 0]1> ^ +оо 1ро б ]К"а аппроксимирует отображение Р; ] 1, аа 0] 1, Ьа О®" сю 1 р:> з]М"а если найдется такая функция х X А")] 1, о а 0 ] 1, ^а О О 1, С -Нг что при почти всех )£,х+Х ]1,ааО]1,Ьа и всех }и, 5+Т. М" 0]1- £ + выполняется оценка
dsdr.
(р)ф-$1,х,и,8+[
IKS
V В [u,0(t,a;,в,Й)]
Л]Р)£, х, u-^F)t, х, v-|a
h]F)t, х, «+Р)£, ж, и, ¿На^ £)£, х, ii, 5+
)5+
Отображение F) х х х убудем называть аппроксимирующим отображение X) х х хНыи просто аппроксимирующим. Функция >4Х if)]l, ааО]1, baOR™ 0]1> ^ +Ьв нера-
венстве (4) определяет степень близости значения X)i, х, и, в точке )£, х, и+1 ]1, аа0 ]1, ¿aQD£™ к значению F)t, х, и+для каждого фиксированного <5 X ] 1, € + Эту функцию убудем называть степенью аппроксимации отображения X; ]1, asQl, Ь^СН" 00 i ро s ]К"а отображением X; ]1, аа0 1, ЬаСЖ™ 0]1> G ip° s]R"a или просто степенью аппроксимации.
Пару )Х) >f>fX х>£>£>4+- будем называть аппроксимацией отображения X) хху§-или просто аппроксимацией, а если при почти всех )f, х-\- X ] 1, а& (3 ] 1, Ьа и всех )и,6+Т М" 0]1) + выполняется включение F)t,x, ыЧ—> F)t,x,u,6+ то аппроксимацией вложением.
Значения аппроксимирующего отображения Х)>£хх >3-могут вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать некоторой функцией
В связи с этим рассмотрим отображение ] 1,аа0] 1, 6a0R" О] 1i €1 ip° s]R"a, определенное равенством
Qj,)t, х, и, 5Ц F)t, х, щ 6^1'х>и>5\ )6+
где функция г]) х ii")]l, аа0]1, baQM" 0]1> -Н-в каждой точке )t,х, и+Т ]1, ааО
при каждом фиксированном 8Х\ 1, € + определяет погрешность вычисления значений аппроксимирующего отображения X) х х х Далее, функцию 77) х х >f убудем называть радиусом внешних возмущений аппроксимирующего отображения X) х X х xj-или просто радиусом внешних возмущений.
2. Основные результаты
Пусть tjJxX^^-^ А")] 1, аа0] 1, ¿а0Мп 0] 1, Е -Нг Рассмотрим при каждом фиксированном 5Х] 1,е + дифференциальное включение
D^p)u)t, х+1 Qv)t, ж, u)t, ж+Н )7+
где отображение Qri; ]1, aaQ]l, baQIR" 0j] 1, Е +00 i ро s ]М"а задано равенством (5). Дифференциальное включение (6) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями.
Каждое решение включения (6) с импульсными воздействиями (2) и условиями (3) при фиксированном 5 > 1 будем называть 6 -решением (приближенным решением с точностью до 6 или просто приближенным решением) включения (1).
Пусть отображение X; ]1, аа0] 1, fta0ffi" 00 ipo s]R"a удовлетворяет условиям Ка-ратеодори. Рассмотрим задачу
D{o'p)u)t, х+1 iрF)t, ж, u)t, х-Нт )8+
( дН+[ {k)u)tk,x-Hf k[ 2,3, ...,га, )9+
u)t,l+[ «)l,zH-[ ß)x+ ): +
где l pP) XXu) XxH—выпуклая оболочка множества F)x >f u) % >4^ отображения R™oo к [ 2,3,...,m, непрерывны, ( z-H-[ 0 к [ 2,3,...,™,
непрерывны и а)1+[ ß)l+ Обозначим через Р) 14 Hco)V+ множества решений задач (1)-(3) и (7)-(9), соответственно, принадлежащих множеству V —> С") ] 1, ааО] 1, Ьа\г
Пусть V -^C^l^ofOl^at aeQl, biöR"Ql, е Обозначим через
Hv{5))V+ множество всех решений задачи (6), (2), (3) с заданным радиусом внешних возмущений, принадлежащих множеству V.
Теорема 1. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства С")]1,ааО 1,М-и пусть Р)]1,ааО lj ЬаО®" 0]1) Е Далее, пусть па-
ра аппроксимирует отображения F)>f>fXr вложением. Тогда для
любой функции ^ХХ^^Р ЛГ)]1, aaO]lj ЬаО®" 0]1> ^ ~Н" для которой существует такое число £ > 1, что при почти всех )t,x-\-T ]1,ааО]1>Ц всех и X )U)V-{f и S X ] 1, 6 + имеет место неравенство
ж, и15-К r])t, х, и, <4
где х, щ £+- модуль непрерывности отображения F)x>f>^ выполняется соот-
ношение
HCO)V+[ рад^ч ä>0
где Hv(g))V6+- замыкание в пространстве С™)]1, ааО]1, bsc\-множества V&
- замкнутая в пространстве С" )] 1, aaQ] 1, feaf S -окрестность множества V.
Пусть V- ограниченное замкнутое множество пространства С™)]1, asQl, feafn пусть Р)] 1, аа 0 ] 1, baОО ] 1 ? t -Нг Будем говорить, что аппроксимация дифференциального включения (1) устойчива на ограниченном замкнутом множестве V —>С™)]1, ааО]1> fraf относительно внешних возмущений из класса Ä')] 1, аа0] 1, К™ 0]1, G -++-, если для любой функции rj) Üf)]l, ааО]1, baQW1 CZ>] 1, e -H-выпол-
няется равенство
HWM П HmW5+ ä> 0
Теорема 2. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства С™)]1, ааО] 1,bat Долее, пусть пара аппроксимирует отображе-
ния Р) х X вложением. Тогда для того, чтобы для любой функции
А)]1,ааО]1,ЬаОК"0]1,€ -+f
аппроксимация дифференциального включения была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для задачи (1)-(3) на множестве V выполнялось равенство
H)V+[ Ясо)У+
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.
3. Витюк А.Н. Существование решений дифференциальных включений с частными производными дробных порядков // Известия высших учебных заведений. Математика. 1997. № 8. С. 13-19.
4. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987.
5. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.
6. Булгаков А.И., Скоморохов В.В., Филиппова О.В. Асимптотические свойства множества 5 -решений функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1039-1043.
Поступила в редакцию 18 апреля 2018 г.
Прошла рецензирование 21 мая 2018 г.
Принята в печать 26 июня 2018 г.
Скоморохов Виктор Викторович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: uaa@nnn.tstu.ru
Для цитирования: Скоморохов В.В. Аппроксимация гиперболических дифференциальных включений дробного порядка с импульсными воздействиями // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 738-744. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-738-744
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-738-744
APPROXIMATION OF HYPERBOLIC DIFFERENTIAL INCLUSIONS OF FRACTIONAL ORDER WITH IMPULSES
V. V. Skomorokhov
Tambov State Technical University 106 Sovetskaya St., Tambov 392000, Russian Federation E-mail: uaa@nnn.tstu.ru Abstract. In this paper there are considered hyperbolic differential inclusions of fractional order with impulses. Here we represent the concept of approximate solution (5 -solution) for a hyperbolic differential inclusion of fractional order with impulses. The asymptotic properties of solutions sets to approximating differential inclusions of fractional order with external disturbance are derived.
Keywords: hyperbolic differential inclusions; fractional derivative; impulses; approximating map; radius of external perturbations; modulus of continuity; 5 -solution.
REFERENCES
1. Filippov A.F. Differentsial'nyye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'yu [Differential Equations with Discontinuity Right Part]. Moscow, Nauka Publ., 1985. (In Russian).
2. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnyye drobnogo poryadka i nekoto-ryye ikh prilozheniya [Fractional Integrals and Derivatives, Theory and Applications]. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1987. (In Russian).
3. Vityuk A.N. Sushchestvovaniye resheniy differentsial'nykh vklyucheniy s chastnymi proizvod-nymi drobnykh poryadkov [Existence of solutions of partial differential inclusions of fractional order]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika - Russian Mathematics, 1997, no. 8, pp. 13-19. (In Russian).
4. Samoylenko A.M., Perestyuk N.A. Differentsial'nyye uravneniya s impul'snym vozdeystviyem [Impulsive Differential Equations]. Kiev, Vishcha shkola Publ., 1987. (In Russian).
5. Zavalishchin S.T., Sesekin A.N. Impul'snyye protsessy. Modeli i prilozheniya [Impulse Processes. Models and Applications]. Moscow, Nauka Publ., 1991. (In Russian).
6. Bulgakov A.I., Skomorokhov V.V., Filippova O.V. Asimptoticheskiye svoystva mnozhestva 5 -resheniy funktsional'no-differentsial'nogo vklyucheniya s impul'snymi vozdeystviyami [Asymptotic properties of the set of 5 -solutions to differential inclusion with impulses]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2011, vol. 16, no. 4, pp. 1039-1043. (In Russian).
Received 18 April 2018
Reviewed 21 May 2018
Accepted for press 26 June 2018
Skomorokhov Victor Victorovich, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: uaa@nnn.tstu.ru
For citation: Skomorokhov V.V. Approksimatsiya giperbolicheskikh differentsial'nykh vklyucheniy drobnogo poryadka s impul'snymi vozdeystviyami [Approximation of hyperbolic differential inclusions of fractional order with impulses]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 738-744. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-738-744 (In Russian, Abstr. in Engl.).
