Асимптотическое представление множества приближенных решений дифференциального включения с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ

АРГУМЕНТОМ

© Е.А. Пчелинцева

Пусть Rn - п -мерное пространство с нормой |*|; сотр[Яп] - множество всех непустых компактов пространства Rn. Пусть U С Rn. Обозначим U - замыкание множества U в пространстве R'1, со U -выпуклую оболочку множества U, U6 - е -окрестность множества U, U° = U.

Пусть функция ф : #^[«,6] -» R1 измерима по Борелю и ограничена, а функция р : [а, 6] —> -> Л1 измерима по Лебегу. Далее, пусть отображение F : [а, Ь] х й" 4 сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Обозначим через К ([а, 6] х [0, оо)) множество всех функций г] : [а, Ь\ х [0, оо) [0, оо), обладающих следующими свойствами : при каждом 5 € G [0, оо) функция 6(-,6) измерима; для каждого <5 € [0, оо) существует такая суммируемая функция ms : [а, Ь] -> [0, оо), что при почти всех t G G [а, Ь] и всех т £ [0, J] выполняется неравенство ri(t,r) ^ ms(t); при почти всех t € [а, Ь] справедливы равенства lim ri(t,6) = 0 и т?(£,0) = 0.

(5->0+0 4 '

Рассмотрим дифференциальные включения

x{t) е F{t,x\p(t)]), t е [а, 6],

*(0 = </>(£), если f £ [а, 6], (1)

x(t) е со F(t,x\p(t)]), t е [а, 6],

*(0 = ^(О.если^ ^ [а, 6]. (2)

Под решением включения (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, Ь] -> Rn

при почти всех £ £ [а, 6], удовлетворяющую (1).

Пусть г;(-,-) £ К([а,Ь\ х [0,оо)). Для каждого 6 € [0, оо) рассмотрим дифференциальное включение

£(<) € (^фф])4^, * € [а,6],

я(0 = <Ж)> если£ £ [а, 6]. (3)

Каждое решение включения (3) при фиксированном 6 > 0 будем называть 6 -решением (приближенным решением) включения (1).

Пусть V С Сп[а,Ь]. Обозначим через Нсо(У), Н71(6){У) множества решений включения (2), (3), принадлежащих множеству V, соответственно.

В докладе утверждается, что найдется такая функция г/(•,•) 6 К([а,Ь\ х [0,оо)), что для любого ограниченного, замкнутого множества V С С Сп[а,Ь] справедливо равенство

Нс0(У) = [)Н,т(У>),

6

где НЛ^)(У*) - замыкание в пространстве

Сп[а, 6] множества Нпщ{У6), V6 - 8-

окрестность множества V в пространстве Сп[а,Ъ\.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И. Асимптотическое представление множеств 6 -решений дифференциального включения // Матем. заметки. 1999. Т.65. №5. С. 775-778.

ОБ ОДНОЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА

© А.Ю. Сазонов

В работе предлагается математическая модель ная модель может быть использована при прогазораспределения в окрестности системы плос- ектировании аппаратов с колосниковыми газо-

ких струй в низком зернистом слое. Предложен- распределительными устройствами.