К вопросу устойчивости дифференциального включения с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

К ВОПРОСУ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ © Е.А. Панасенко, Е.А. Пчелинцева (Тамбов)

Пусть Ж" - n-мерное пространство с нормой | • |; сотр[Жп] - множество всех непустых компактов пространства Кп. Пусть U С Ш.п. Обозначим U - замыкание множества U в пространстве Ж", со U -выпуклую оболочку множества U, Ue - е- окрестность множества U, U° = U.

Пусть функция ip : К1\[а, Ъ\ —> Ж1 измерима по Борелю и ограничена, а функция р : [а, Ъ] -» Ж1 измерима по Лебегу. Далее, пусть отображение F : [а, Ь] х Ж" —» сотр[Ж”] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Обозначим через К([а,Ь] х [0, оо)) множество всех функций г] : [а, Ъ\ х [0, оо) —> [0,оо), обладающих следующими свойствами : при каждом 6 £ [0,оо) функция ¿(-, S) измерима; для каждого <5 6 [0,оо) существует такая суммируемая функция ms : [а, Ь] —» [0,оо), что при почти всех t £ [а, Ь] и всех т 6 [0,<5] выполняется неравенство r](t,r) ^ ms(t); при почти всех t Е [а, Ь] справедливы

равенства lim n(i, <5) = 0 и r)(t, 0) = 0.

¿-+0+0

Рассмотрим дифференциальные включения

x(t) Е F(t, x[p(t)]), t е [а, Ь], х({) = 1р(£), если £ £ [а, Ь], (1)

x(t) £ соF(t,x\p(t)]), t € [а, Ь], ж(0 = ф(€), если £ f [а,Ъ]. (2)

Пусть r](-, •) 6 К ([а, Ь] х [0, оо)). Для каждого 6 £ [0, оо) рассмотрим дифференциальное вклю-

чение

x(t) е (F(t,x(p(t)])v(t's\ t 6 [а, Ъ], х(£) = %/>(£), если £ £ [о, Ь]. (3)

Под решением включения (1) ((2), (3)) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, b] —> Ж" при почти всех t € [а, Ь], удовлетворяющую (1) ((2), (3)). Каждое решение включения (3) при фиксированном ö > 0 будем называть ¿-решением (приближенным решением) включения (!)•

Пусть V С Сп[а, Ь]. Обозначим через H(V), HC0(V), Hv^(V) множества решений включения (1), (2), (3), принадлежащих множеству V, соответственно.

Будем говорить, что дифференциальное включение (1) устойчиво на ограниченном замкнутом множестве V С Сп[а, Ь] относительно внешних возмущений из класса К([а, 6] х [0, оо)), если для любой функции т/(-, •) 6 К([а,Ь\ х [0, оо)) выполняется равенство

HWj = r\Hri(6)(vs),

S

где Я7?(г)(У<5) - замыкание в пространстве Сп[а,Ъ\ множества Hri(s) (Vs), V5 - ¿-окрестность множества V в пространстве С"[а, Ь].

Будем говорить, что для дифференциального включения (1) на множестве V С Сп[а,Ь] выполняется принцип плотности, если справедливо равенство

йТЮ = ясо(10.

Теорема. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь]. Тогда дифференциальное включение (1) устойчиво на множестве V относительно внешних возмущений из класса К([а,Ь\ х [0, оо)) тогда и только тогда, когда для него на множестве V выполняется принцип плотности.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №01-01-00140 и Минобразования РФ, грант №Е02-1.0-212.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И. Асимптотическое представление множеств ¿-решений дифференциального включения // Матем. заметки. 1999. Т.65. №5. С. 775-778.

2. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №12. С. 1587-1598.

ОПТИМИЗАЦИОННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СРЕДСТВО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН

© A.B. Паршин (Воронеж)

При управлении учебным процессом в рамках преподавания математических дисциплин часто встречаются задачи, требующие нахождения в определенном смысле оптимального (наилучшего) решения. Для нахождения такого решения очень полезным бывает использование метода оптимизационного математического моделирования.

Так как в данной постановке те задачи, которые приводится в докладе, рассматриваются впервые, то решение их осуществляется в первом (линейном) приближении с применением методов линейного программирования.

1. В качестве одной из таких педагогических задач в докладе решается задача отыскания оптимального распределения ресурса Т времени самостоятельной подготовки обучающихся между занятиями с учетом их вида и принадлежности к той или иной теме, то есть отыскивается такая матрица X = (,хч), которая максимизировала бы суммарный эффект (ценность) самоподготовки. Здесь под хij подразумевается время самоподготовки, рекомендуемое учащемуся при подготовке к занятию г-го вида j-й темы.

2. Если под значениями Xij понимать количество занятий г-го вида, рекомендуемое при составлении учебной программы в j-ю тему, то первая математическая модель с минимальными изменениями может быть применена для оптимального распределения занятий по их видам и темам при разработке учебных программ преподаваемых математических дисциплин.

3. В докладе также решается задача формирования оптимального пакета заданий на курсовые работы по дисциплине "Математика" инженерно-технического вуза и приводится теоретиковероятностная интерпретация этой задачи.

4. Кроме этого рассматривается задача формирования минимального необходимого комплекта заданий, максимизирующего суммарный эффект подготовки обучающихся к контрольному мероприятию (экзамен, контрольная работа и так далее).

5. Если в рамках некоторой преподаваемой математической дисциплины запланированы п видов лабораторных работ, для проведения которых привлекаются m преподавателей, то педагогическая практика показывает, что каждый преподаватель бывает наиболее компетентен, как правило, не по всем, а по ряду определенных видов лабораторных работ (обычно тем, которые сам ставил и (или) разрабатывал к ним учебно-методические материалы). Поэтому возникает задача так распределить преподавателей по видам проводимых лабораторных работ, чтобы суммарный эффект от их проведения для образования обучаемых был максимальным. Решение этой задачи приводится в докладе.

6. В докладе также рассматривается еще одна актуальная педагогическая задача. Как, не выходя за рамки выделенного бюджета времени, распределить время проведения установочных консультаций ко всем работам вычислительного лабораторного практикума так, чтобы суммарный эффект от проведения всех установочных консультаций для учащихся был максимальным.